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还成立吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们 有
a2 b2 2a b
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
二、新课讲解
1.思考:如果用 a,去替b 换 a2 b中2的 2,ab a, b 能得到什么结论? a必, b须要满足什么条件?
ab a b (a 0,b 0) 2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 a b (2 ab ) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④ 是成立的,当且仅当 a b时
④中的等号成立.
四、小结
1、本节课主要内容？
你会了 吗？
2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
1. 两个不等式
（1） a, b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取""号)
（2） ab a b (a当>0且,b仅>当0)a=b时，等号成立 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
22..代代数数意证义明：:几何平均数小于等于算术平均数
33..几几何何意证义明：:半弦长小于等于半径
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
重要不等式：a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？
1.设 a >0，b >0，若
3是
3a与
3b
的等比中百度文库，则
1 a
1 b
得最小值为（ B）
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
1 D.
4
证明:当 a 0,b 0 时,a b ab . 2
证明:要证 a b ab ① 2
优选数学必修五基本不等式市 公开课一等奖Ppt
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
一 、探究
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB=a2 b2 则正方形的面积为S=a2 b2 。
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为 xym2
得 xy 81
xy x y 2
=18/2=9
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成 因立此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最 大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值， 当且仅当两值相等时取最值。
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
作业
(课本100页)
1.x＞0, 当x取何值时， x 1 的值最小？最小
值是多少？
x
2.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各 为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多 少？
2(x y) 40 等号当且仅当x=y时成立，此时
x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 最短，最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值， 当且仅当两值相等时取最值。
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的 面积最大，最大面积是多少？
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
三、应用 发现运算结构，应用不等式
ab a b（a 0,b 0）
a b 2 a（b a 0,b 0）
2
例1、若
x 0 ,求 y
x
1
的最小值.
x
变1:若 x 0,求 y 3x 12 的最小值
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三
角形，它们的面积总和是S’=2a—b——
问3：观察图形S与S’有什么样的大
小关系？易得，s > s’,即
D
a2 b2 2ab
H
G
C
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
A
变化的弦图
Ea F cb
a2 b2 B
问5：当a,b为任意实数时，a2 b2 2a b
x
变2:若a 0, b 0,求 y b a 的最小值.
ab
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
变3:若 x 3 ,求 y x 1 的最小值. x3
构造条件
三、应用 发现运算结构，应用不等式
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
2
（a
0,
b
0）
例2、已知 0 x 1 ,求函数 y x(1 x) 的最大值.
变式:已知
0
x
1
,求函数
y
x(1
2 x ) 的最大值.
2
应用要点：
一正
二定
三相等
例3：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩
形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所 用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）
mx . y xy x y 2 100, 2
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们 有
a2 b2 2a b
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
二、新课讲解
1.思考:如果用 a,去替b 换 a2 b中2的 2,ab a, b 能得到什么结论? a必, b须要满足什么条件?
ab a b (a 0,b 0) 2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 a b (2 ab ) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④ 是成立的,当且仅当 a b时
④中的等号成立.
四、小结
1、本节课主要内容？
你会了 吗？
2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
1. 两个不等式
（1） a, b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取""号)
（2） ab a b (a当>0且,b仅>当0)a=b时，等号成立 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
22..代代数数意证义明：:几何平均数小于等于算术平均数
33..几几何何意证义明：:半弦长小于等于半径
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
重要不等式：a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？
1.设 a >0，b >0，若
3是
3a与
3b
的等比中百度文库，则
1 a
1 b
得最小值为（ B）
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
1 D.
4
证明:当 a 0,b 0 时,a b ab . 2
证明:要证 a b ab ① 2
优选数学必修五基本不等式市 公开课一等奖Ppt
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
一 、探究
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB=a2 b2 则正方形的面积为S=a2 b2 。
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为 xym2
得 xy 81
xy x y 2
=18/2=9
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成 因立此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最 大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值， 当且仅当两值相等时取最值。
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
作业
(课本100页)
1.x＞0, 当x取何值时， x 1 的值最小？最小
值是多少？
x
2.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各 为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多 少？
2(x y) 40 等号当且仅当x=y时成立，此时
x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 最短，最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值， 当且仅当两值相等时取最值。
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的 面积最大，最大面积是多少？
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
三、应用 发现运算结构，应用不等式
ab a b（a 0,b 0）
a b 2 a（b a 0,b 0）
2
例1、若
x 0 ,求 y
x
1
的最小值.
x
变1:若 x 0,求 y 3x 12 的最小值
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三
角形，它们的面积总和是S’=2a—b——
问3：观察图形S与S’有什么样的大
小关系？易得，s > s’,即
D
a2 b2 2ab
H
G
C
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
A
变化的弦图
Ea F cb
a2 b2 B
问5：当a,b为任意实数时，a2 b2 2a b
x
变2:若a 0, b 0,求 y b a 的最小值.
ab
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
变3:若 x 3 ,求 y x 1 的最小值. x3
构造条件
三、应用 发现运算结构，应用不等式
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
2
（a
0,
b
0）
例2、已知 0 x 1 ,求函数 y x(1 x) 的最大值.
变式:已知
0
x
1
,求函数
y
x(1
2 x ) 的最大值.
2
应用要点：
一正
二定
三相等
例3：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩
形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所 用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）
mx . y xy x y 2 100, 2