高考高分突破复习：专题整合16

精选-高考历史总复习专题十六中外历史人物评说专题整合课件

如李四光两次否定“洋神话”；牛顿则在“巨人的肩上”大胆创新，做出了辉煌的科学成就；爱因斯坦则大胆否定了牛顿的绝对时空观念，创立了相对论。
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2.正确的科研方法 (1)独立思考是科学创见的首要条件，是科学思维的必备品质。 (2)重视实践调查，考察(李四光)，归纳总结(牛顿)，理论分析(爱因斯坦)，科学实验以及实践调查，科学实践与理论研究相结合，是科学家基本的方法。 (3)坚持不懈、勤奋探索。
3.淡泊名利的人生态度，科学的价值观杰出科学家无一例外地生活简朴，看轻物质享受，淡泊名利，有自知之明，对自身价值有正确的认识，有关注国家民族、全人类生存兴衰的强烈责任感，以工作为快乐，以成功为享受，如爱因斯坦的快乐主张就很有代表性。
4.艰苦奋斗的精神牛顿则终身未婚，把生命完全献给了人类的科学事业。
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2.唐太宗 (1)唐太宗执政时期，吸取隋亡教训，确立了一系列稳定社会、发展经济的方针政策，使唐朝政治清明、经济复苏和发展、社会安定，出现了“贞观之治”的局面，为唐朝步入强盛奠定了基础。 (2)采取较开明的民族政策，巩固发展了统一的多民族国家。 (3)他的开明政治和贞观年间的一系列制度创新，造就出兼容并蓄、博大开放、昂扬进取的时代风貌。晚年求治之心锐减而骄逸之心渐萌。但这并不影响唐太宗对推动历史发展所做出的丰功伟绩和政治家的本色。
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(2)孔子编订的“六经”，既奠定了中国封建社会传统政治的理论基础，也成为中国古代文化的核心内容。 (3)孔子还是中国古代伟大的教育家，他奠定了中国古代的教育传统，“学在民间”对中华民族文化的构建和传承起到了重要作用。 (4)孔子学说对亚洲甚至世界都产生了影响。汉朝后，儒学传入越南、朝鲜、日本等国，成为这些国家传统文化的组成部分。18世纪以后，儒学传到西方，欧洲一些启蒙思想家从儒学中得到启发、借鉴和鼓舞。

专题16高考英语句子翻译高分突破(下)(原题版)

次序与句序照抄照搬、一一对应，常常需要调换原文的前后次序。根据英语语言习惯，翻译时对中文原句词序与句序进行调整，使英文译文通顺达意，称为换序。
句序调换例 1 你能打电话给我，真是体贴啊！译文：It is considerate of you to make a phone call to me.（正确）解析：You can make a phone call to me, which is considerate.（错误。这是曲解了原文，也不是地道的
►专题 16 高考英语句子翻译高分突破（下）
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考点难点精讲
【考情链接】
高考英语中的翻译（中译英）题要求考生能应用所学过的语法和词汇来准确地表达思想，是一种要求相当高的考查形式。要求考生把中文的句子译成通顺的、语法结构正确的、符合英语表达习惯的英语句子，并能准确地传达中文句子中的每一个信息。该题型全面地考查学生英语词汇、语法等知识的综合运用能力，它对学生的动词时态、语态、名词的单复数、冠词、形容词、副词、介词等应用能力，还对学生的词组、句型、句子结构等进行了全面考查。
当过多的定语词组出现时，可以通过用 in 或 of 等介词引导的定语词组或者用 that 或 which 等连词引导的定语从句对部分定语词组进行后置处理，以此来保持结构上的平衡。需要注意的是：汉语里没有后置定语。
例 1 这位老人经历了美国战后第六次后果严重的及各个领域的经济危机。译文：The old man experienced the sixth post-war economic crisis of serious consequences that influenced a variety of fields in America. 解析：这位老人经历了经济危机。这是句子的主要成分，其余部分均为中心词“经济危机”的定语。但是在英语译文中，词序发生了很大的变化。例 2 你应该就你的所作所为向在场的所有人表示歉意。译文：You should apologize to all present for what you have done. 解析：汉语里没有后置定语，而英语中后置定语却很常见。all present, present 作“在场的、出席的” 解时，就是典型的后置定语。另外，介词短语、分词短语和不定式短语及定语从句，都往往置于所修饰的名词之后。具有多项状语时，英语语序通常是：条件状语+目的状语+主语+程度状语+谓语+方式状语+频度状语+时间状语+宾语。这是一般情况，并不绝对，具体还要根据语言交际的需要而定。例 3 我公司为此于今年二月正式地多次向贵校表示合作意向。译文：For this purpose, my company officially showed intention to cooperate with your school many times in February this year. 解析：划线部分为句子的主要部分，其他均为修饰动词的状语，分别表示目的、时间、方式、频度等。但是在英文译文中，词序发生了很大的变化。例 4 去年 8 月份的时候，他在郊区买了一套房子。

2023届高三数学高分突破必做大题(含得分详细答案解释)

2023届高三数学高分突破必做大题17．(本小题12分)设∆ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知b tan A = (2c -b) tan B （1）求角A 的大小；（2）若∆ABC的面积为3 b +c =2，求a的值.18．(本小题12分)在四棱锥P－ABCD中，平面P AC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DA＝12 AB（1）证明：BC⊥P A（2）若P A＝PC＝22AC2Q在线段PB上，满足PQ = 2QB，求三棱锥P－ACQ 的体积。

从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50，150)内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250，350)内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图：①从B类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关” ？已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+= . （1）讨论f (x ) 的单调性；（2）若f (x ) ≥ a ，求a 的取值范围.21． (本小题 12 分)已知抛物线C ：214y x =，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A,B 两点，且 A,B 两点在抛物线C 的准线上的投影分别P 、Q .（1）已知D (-1,0) ，若0)(=⋅++OD OD OB OA ，求直线 l 的方程；（2）设P 、Q 的中点为M ，请判断PF 与MB 的位置关系并说明理由.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

2025届高考专题复习：+信息类文本阅读指导

……由于产生于西方的现代地理学在中国的传播很迟，加上我国缺乏全面系统的科学基础，中国沿革地理虽然早已成为专门学问，却一直未形成新的学科。历史地理学则有自己独立的学科体系和理论，是现代地理学的一部分。
【尝试分析】 “沿革地理……较为发达，是因为古代学者……”混淆关系，材料中 ⁠ 仅说明沿革地理学是古代学者“治学的基础”，选项直接将古代沿革地理学的发达 ⁠ 归因于“古代学者需要借助它来开展儒学和历史研究”则是不对的，二者不存在必 ⁠ 然的因果关系。且“它并没有独立的学术空间”曲解文意，文中只是说它“早已成 ⁠ 为专门学问，却一直未形成新的学科”。 ⁠
设误方式五：无中生有
设误方式
判定技巧
命题者在转述原文内容时增添了原文仔细检查选项的内容能否在原文中找到依
没有的信息，以此来干扰考生。
据，或者能否根据原文合理地推断出来。
典例5 [2022浙江卷，T8，B]两宋时期饮食风气发生了变化，产生了转折，无论从个体角度还是从朝廷角度来看，这都是经济比较发达造成的。【对应原文】转折来自于两宋：从个体角度来看，两宋文化昌盛导致读书人与日俱增以至于仕途门槛抬高，同时武功疲弱又令多少人壮志难酬；从朝廷角度来看，宋室有鉴于唐朝藩镇割据之痛，自宋太祖赵匡胤“杯酒释兵权”始便鼓励朝臣“择便好田宅市之，为子孙立永远之业，多致歌儿舞女，日饮酒相欢，以终其天年”。用舍行藏之下，也不由得士大夫们不将视线转向饮食了。【尝试分析】 “这都是经济比较发达造成的”无中生有。根据原文可知，两宋时
⁠
学科体系和理论，是现代地理学的一部分”。 ⁠
设误方式七：混淆时态
设误方式
判定技巧
命题者故意把原文中尚未确定或还未实现的内容，通过增删关键词，转换成既成事实。主要是已然与未然、或然与必然之间的混淆。

高考语文复习专题断句技巧文言断句指南

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【参考译文】赵憙字伯阳，是南阳宛县人。年轻时有节操。堂兄被人杀害，没有儿子，当时赵憙十五岁，时常想着报仇。于是带着兵器约好朋友，后来终于前去寻仇。仇人们全部生了病，没有人能抵抗。
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对称结构文言文中常用总说分承或分说总承的写法，还讲究句子的整齐对称，或者两句之间讲究意思的正反对比，我们可以根据这些特点断句。 ►例 6 (2018·天津卷，改编)用“/”给下面短文断句。每至汀风春溪月秋花繁鸟啼之旦莲开水香之夕宾友集歌吹作舟棹徐动觞咏半酣飘然恍然
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►例 1 (2019·全国卷Ⅲ，改编)用“/”给下面短文断句。鲁人或曰夫鲁小国而有战胜之名则诸侯图鲁矣且鲁卫兄弟之国也而君用起则是弃卫鲁君疑之谢吴起 [解法演示] 句中的“鲁人”“小国”“战胜之名”“起”“卫”“鲁君”“之” “吴起”或是名词或是代词，位于句首或句尾，作一个句子的主语或宾语，其前或后应断开。如“夫鲁小国”后面应断开，“而君用起”后面应断开，“鲁君疑之”前后均须断开。
[答案] 纯礼字彝叟/以父仲淹荫/知陵台令兼永安县/永昭陵建/京西转运使配木石砖甓及工徒于一路/独永安不受令/
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【参考译文】纯礼字彝叟，因父亲范仲淹的恩荫，任陵台县令兼永安县令，永昭陵兴建时，京西转运使调配木材石料砖和工匠于一路，唯独永安县不接受命令。
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●即学即练 2．用“/”给下面短文断句。宽性友爱弟兄多宦达子侄亦有名称于东京立第同居八院相对甥侄皆有休憩所击鼓而食当世荣之答案：宽性友爱/弟兄多宦达/子侄亦有名称/于东京立第同居/八院相对/甥侄皆有休憩所/击鼓而食/当世荣之/ 【参考译文】裴宽性情友爱，弟兄大多官位显达，子侄也有名声，在东京建房同住，八座院落相对，外甥和侄辈都有休息的地方，击鼓吃饭，当代的人都认为这是荣耀的事。

高考高分突破复习：专题整合13

四、本专题内容高频考点是牛顿和爱因斯坦。其他内容要按照国别和派别加以整理，要注意本专题与其他如两次工业革命有交叉知识点的整理和记忆。由于未考考点多要避免不会考的心态。
2020高考高分突破复习：专题整合（1 5）
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家保护、奖励科技发明、改革教育制度和专利制度，组织科研机构，这些都推动了近代科学的创立和发展。
2020高考高分突破复习：专题整合（1 5）
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2020高考高分突破复习：专题整合（1 5）
3.思想：思想的解放为近代科技的发展解除了精神枷锁。文艺复兴、宗教改革和启蒙运动都为近代科技的进一步发展创造了条件。
印象画派
特点
画家及其代表作
选择重大题材；强调理性，注重画面的法国：大卫《马拉之死》、安格尔
严整与和谐
《泉》
注重情感表现和画面整体的完整和统一，法国：德拉克洛瓦《自由引导人民》
但不拘细节；强调色彩
西班牙：哥雅《枪杀马德里市民》
注重表现社会现实
法国：米勒《拾穗者》俄国：列宾《伏尔加河上的纤夫》
法国：莫奈《日出·印象》注重光与色的和谐，画面明亮；后期主
等。
2020高考高分突破复习：专题整合（1 5）
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2020高考高分突破复习：专题整合（1 5）
3.影视艺术：19世纪末电学等科学技术的发展，为电影、电视的出现奠定了物质基础；社会的巨大变化和人类新的精神需求、商业利润的驱动是影视艺术发展的动力；19 世纪末，电影在第二次科技革命下产生；20世纪20年代，电视艺术诞生。
4.精神：面向现实，重视实验，崇尚理性的科研精神，有利于科技的发明和发展。 5.主观：科学家群体的不懈努力。
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2016高考生物大二轮复习课件第一编专题整合突破 1-8-2生物技术在其他方面的应用.ppt

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高考调研· 明方向
考点聚焦· 升知能
40分钟标准作业
大二轮 ·生物
解析
(1)培养菊花组织时，外植体在接种到培养基之前，必须进行消毒处理，整个组织培养过程中都要进行无菌
操作。培养月季花药时，选取处于单核期的花粉成功率最高。确定花粉发育的时期，最常用的方法是醋酸洋红法。(2) 培养嫩枝组织和花粉的培养基中都要加入细胞分裂素和生长素。(3)图中的 B 过程是再分化，愈伤组织形成幼小植物后必须给予光照，因为叶绿素的形成需要光照，这样植物体才能够进行光合作用。(4)培养月季花药产生花粉植株的途径一般有两种，一种是花粉在诱导培养基上先形成愈伤组织，再将其诱导分化成植株；另一种是花粉通过胚状体阶段发育为植株，这两种发育途径的不同主要取决于培养基中激素的种类及其浓度配比。
大二轮
大二轮 ·生物
第一编
专题整合突破
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高考调研· 明方向
考点聚焦· 升知能
40分钟标准作业
大二轮 ·生物
专题八物技术实践
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高考调研· 明方向
考点聚焦· 升知能
40分钟标准作业
大二轮 ·生物
第 2讲
生物技术在其他方面的应用
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高考调研· 明方向
考点聚焦· 升知能
40分钟标准作业
大二轮 ·生物
解析原则上含 DNA 的生物材料都行，只是 DNA 含量高的成功的可能性更大，所以酵母和菜花均可作为提取 DNA 的材料，故 A 正确；DNA 在 2 mol/ L NaCl 溶液和蒸馏水中，溶解度较大，故 B 正确；向鸡血细胞液中加蒸馏水搅拌，鸡血细胞会破裂，因 DNA 在蒸馏水中溶解度较大，故不会析出，C 项错误； DNA 溶液加入二苯胺试剂沸水浴加热，冷却后变蓝，故 D 正确。

【8个专题28份】2019高考数学高分突破二轮复习练习 381页

【8个专题28份】2019高考数学高分突破二轮复习练习目录2019年3月1日第1讲三角函数的图象与性质 (2)第2讲三角恒等变换与解三角形 (19)规范答题示范——三角函数及解三角形解答题 (34)第1讲等差数列与等比数列 (36)第2讲数列求和及综合应用 (51)规范答题示范——等差数列与等比数列解答题 (67)第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积 (69)第2讲空间点、线、面的位置关系 (86)第3讲立体几何中的向量方法 (102)规范答题示范——立体几何解答题 (127)第1讲统计与统计案例 (131)第2讲概率、随机变量及其分布列 (152)规范答题示范——概率与统计解答题 (176)第1讲直线与圆 (180)第2讲椭圆、双曲线、抛物线 (194)第3讲圆锥曲线中的热点问题 (213)规范答题示范——解+析几何解答题 (233)第1讲函数图象与性质 (236)第2讲基本初等函数、函数与方程 (250)第3讲不等式 (264)第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题 (280)第5讲导数的综合应用与热点问题 (298)规范答题示范——函数与导数解答题 (316)第1讲坐标系与参数方程 (319)第2讲不等式选讲 (334)第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化 (346)第2讲函数与方程、数形结合思想 (359)第3讲分类讨论、转化与化归思想 (371)第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解+析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解+析由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 B2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解+析 A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误. 答案 D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解+析易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 答案 B4.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解+析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A考点整合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )2.三角函数的常用结论(1)y＝A sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.(2)y＝A cos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝A tan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的定义【例1】(1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.解+析 (1)法一由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13，∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝13(k ∈Z ).当cos α＝1－sin 2α＝223时，cos β＝－223，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－79. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时，cos β＝223，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79.综上可知，cos(α－β)＝－79. 法二由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z )， ∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α， cos β＝cos[(2k ＋1)π－α]＝－cos α，k ∈Z .当sin α＝13时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 答案 (1)－79 (2)1825探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.【训练1】 (1)(2018·潍坊三模)在直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π，则sin(π－α)＝( ) A.12 B.32 C.－12D.－32(2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解+析 (1)∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π，且|OP |＝1.∴由三角函数定义，知sin α＝cos 2π3＝－12.因此sin(π－α)＝sin α＝－12.(2)设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数的定义得yx <x <y ，所以－1<x <0，0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. 答案 (1)C (2)C 热点二三角函数的图象考法1 三角函数的图象变换【例2－1】 (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y ＝f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称 C.关于直线x ＝π12对称 D.关于直线x ＝－π12对称解+析 (1)因为y ＝sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1，故只需将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象. (2)由题意，T ＝π，ω＝2.又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象关于y 轴对称.∴φ＋2π3＝k π＋π2，k ∈Z .由|φ|<π2，取φ＝－π6，因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，代入检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，A 正确.答案 (1)B (2)A探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2 由函数的图象特征求解+析式【例2－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解+析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)(2018·济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22 D.32解+析 (1)由题意知A ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，因为当x ＝5π12时取得最大值2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|<π2，得φ＝－π3.因此函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知，A ＝1，T ＝π，则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，φ＝π3. 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，则x 1＋x 2＝π6，因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案 (1)B (2)D探究提高已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解+析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解+析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知 A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解+析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 热点三三角函数的性质考法1 三角函数性质【例3－1】 (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性.解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 考法2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可. 所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (2018·湖南师大附中质检)已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx ，2)(ω>0)，函数f (x )＝m·n ＋3，若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，求函数g (x )的值域.解 (1)f (x )＝m·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知，最小正周期T ＝π.∴ω＝1，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，求得f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象. 然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，由π4≤x ≤π2，知5π4≤4x ＋π4≤9π4.∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22. 故函数g (x )的值域是[－2，1].1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解+析式 (1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2. (2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT . (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解.(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程； (2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (一角一函数)的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π解+析 f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 C2.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解+析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A3.(2018·湖南六校联考)定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解+析 f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π，k ∈Z ，则φmin ＝23π. 答案 C4.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2解+析依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.答案 C5.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解+析把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.答案 A 二、填空题6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解+析由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.答案－π67.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，其中|PQ |＝2 5.则f (x )的解+析式为________.解+析由题图可知A ＝2，P (x 1，－2)，Q (x 2，2)，所以|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（－2－2）2＝（x 1－x 2）2＋42＝2 5.整理得|x 1－x 2|＝2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝4，即2πω＝4，解得ω＝π2.又函数图象过点(0，－3)，所以2sin φ＝－3，即sin φ＝－32.又|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π38.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解+析由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23.答案 23 三、解答题9.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.10.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π，k ∈Z ， ∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.2 5解+析因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32.所以AB ＝4 2. 答案 A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝________.解+析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.答案 310103.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.考点整合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a . 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等. (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一三角恒等变换及应用【例1】 (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2018·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.13 B.－13 C.3 D.－3(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.解+析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，又x ∈(0，π)，则tan x ＝2，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. 因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)A (2)π3热点二正弦定理与余弦定理考法1 利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】 (2018·潍坊一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0. (1)求B ；(2)若b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，求△ABC 的面积.解 (1)由已知及正弦定理得(sin A ＋2sin C )cos B ＋sin B cos A ＝0， (sin A cos B ＋sin B cos A )＋2sin C cos B ＝0， sin(A ＋B )＋2sin C cos B ＝0，又sin(A ＋B )＝sin C ，且C ∈(0，π)，sin C ≠0， ∴cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝23π. (2)由余弦定理，得9＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴a 2＋c 2＋ac ＝9，则(a ＋c )2－ac ＝9. ∵a ＋b ＋c ＝3＋23，∴a ＋c ＝23， ∴ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝334”，试求a ＋c 的值. 解由S △ABC ＝12ac ·sin B ＝334， ∴12ac ·32＝334，则ac ＝3.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋ac ＝9＋3＝12，故a ＋c ＝2 3.【迁移探究2】在第(2)问中，保留条件b ＝3，删去“条件△ABC 的周长为3＋23”，试求△ABC 面积的最大值.解由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，则9＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，所以ac ≤9(当且仅当a ＝c ＝3时，取等号)，故S △ABC ＝12ac sin B ≤12×9sin 2π3＝934，所以△ABC 面积的最大值为934.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517及B 为三角形一内角，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.考法2 应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】 (2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米.A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为( ) A.210(6＋2)米 B.1406米 C.2102米D.20(6－2)米解+析由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420(米).在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC .可得CH ＝AC ·sin ∠CAH sin ∠AHC ＝1406(米).答案 B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解+析由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). 答案 100 6热点三与解三角形有关的创新交汇问题【例3】 (2018·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. 解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ，所以b ＝3a ，故b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12. 由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练4】已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314，在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72，在△ABD 中，由余弦定理得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，∴AD ＝1292.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89B.79C.－79D.－89解+析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案 B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34πB.π3C.π4D.π6解+析由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2＝sin A .在△ABC 中，A ＝π4. 答案 C3.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解+析因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .由余弦定理a 2＋b 2－c2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C .所以在△ABC 中，C ＝π4. 答案 C4.(2018·合肥质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A.4πB.8πC.9πD.36π解+析由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C ＝6，R ＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2BD.B ＝2A解+析等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . 答案 A 二、填空题6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解+析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12. 答案－127.(2018·东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，则25sin α－7tan 2α的值为________.解+析由题意知tan α＝3a 4a ＝34，sin α＝3a 5|a |＝－35. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247， ∴25sin α－7tan 2α＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－7×247＝－39. 答案－398.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.解+析由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sinC ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝82bc ＝32，所以bc ＝833.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案 233 三、解答题9.(2018·济南二模)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AB ＝23，AM→＝MC →.(1)求BM 的长；(2)设D 是平面ABC 内一动点，且满足∠BDM ＝2π3，求BD ＋12MD 的取值范围. 解 (1)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，代入数据，得cos C ＝－12. ∵AM→＝MC →， ∴CM ＝MA ＝12AC ＝1. 在△CBM 中，由余弦定理知： BM 2＝CM 2＋CB 2－2CM ·CB ·cos C ＝7，所以BM ＝7.(2)设∠MBD ＝θ，则∠DMB ＝π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.在△BDM 中，由正弦定理知： BD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝MD sin θ＝BM sin 2π3＝273. ∴BD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，MD ＝273sin θ，∴BD ＋12MD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋73sin θ＝73(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 故BD ＋12MD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，7.10.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.11.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝3sin(2 018π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x －cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2BD ＝2，求cos C . 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1 ＝32sin 2x －12(1＋cos 2x )＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)f (A )＝32⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0<A <π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6.由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin B ⇒sin B ＝22，B ＝π4或B ＝3π4(舍去)，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin π3sin π4－cos π3cos π4＝6－24.规范答题示范——三角函数及解三角形解答题【典例】 (12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A . (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长. [信息提取]❶看到△ABC 的面积为a 23sin A ，想到三角形的面积公式，利用正弦定理进行转化； ❷看到sin B sin C 和6cos B cos C ＝1，想到两角和的余弦公式. [规范解答][高考状元满分心得]❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出12ac sin B ＝a 23sin A 就有分，第(2)问中求出cos B cos C －sin B sin C ＝－12就有分.❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A ；第(2)问由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9.❸计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos B cos C －sin B sin C ＝－12化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分. [解题程序]第一步：由面积公式，建立边角关系；第二步：利用正弦定理，将边统一为角的边，求sin B sin C 的值；第三步：利用条件与(1)的结论，求得cos(B ＋C )，进而求角A ；第四步：由余弦定理与面积公式，求bc 及b ＋c ，得到△ABC 的周长；第五步：检验易错易混，规范解题步骤，得出结论.【巩固提升】 (2018·郑州质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a sin A －b sin B ＝(3a －c )sin C ，a ∶b ＝2∶3.。

2023新教材高考生物二轮专题复习整合训练(十六)细胞工程

整合训练(十六) 细胞工程全员必做题1.[2022·辽宁省营口市高三期末质量检测]甲品种青花菜具有由核基因控制的多种优良性状，另一远缘植物乙的细胞质中存在抗除草剂基因，欲将乙细胞质中的抗性基因引入甲中。

相关叙述错误的是( )A．操作过程中生物材料、培养基、培养环境都要严格的灭菌B．过程A中取顶芽细胞进行体细胞杂交有利于获得脱毒苗C．过程B中可以用物理法或化学法诱导原生质体融合D．过程C中只有活性部位互补的融合细胞，才可以正常生长2．[2022·江苏省扬州市高三期末]植物体细胞杂交需要分离出有活力的原生质体，研究者通过实验研究了酶解时间对原生质体产量和活力的影响，结果如图。

相关叙述错误的是( )注：原生质体活力＝(有活力的原生质体数/原生质体总数)×100%A．利用纤维素酶和果胶酶去壁后可分离得到原生质体B．随酶解时间延长两种原生质体产量均先增加后减少C.适宜两植物细胞的最佳酶解时间分别为10 h和12 hD．原生质体活力可通过质壁分离与复原实验进行验证3．[2022·山东省高三学业水平等级考试模拟]抗体—药物偶联物(ADC)通过采用特定技术将具有生物活性的小分子药物连接到能特异性识别肿瘤细胞的单克隆抗体上，实现对肿瘤细胞的选择性杀伤。

ADC的结构及其发挥作用的机理如图所示，下列有关说法错误的是( )A．单克隆抗体制备过程中通常将免疫后得到的B淋巴细胞与骨髓瘤细胞融合B．用96孔板培养和多次筛选杂交瘤细胞后，在体外大规模培养可获得单克隆抗体C．ADC通过抗体与细胞膜上的受体特异性结合，以主动运输的方式进入肿瘤细胞D．ADC在肿瘤细胞里被溶酶体裂解，释放药物，使肿瘤细胞死亡4．[2022·山东省菏泽市高三一模]据报道，世界上仅剩下两头雌性北方白犀牛，实验室只留有冷冻的北方白犀牛的精子。

若通过胚胎工程技术尝试拯救该物种，下列叙述正确的是( )A．体外培养受精卵时，培养液中通常加入动物血清、蔗糖等成分B．用雌性北方白犀牛体细胞进行克隆出多头子代后，让其自行繁衍C．可通过胚胎分割技术增加其数量，该技术属于有性繁殖D．这样人工繁育的种群与野生种群相比，遗传多样性降低，野外生存能力下降5．[2022·山东省济南大学城高三月考]我国科学家利用CRISPR/Cas9基因编辑技术将150CAG重复序列精确地插入猪成纤维细胞内的亨廷顿蛋白(HTT)内源性基因中，并成功培育出世界首例含人类突变H基因的模型猪，基本原理如图。

2024届高考一轮复习历史学案(部编版)第十六单元近代史部分微专题整合第51讲近代西方的商业贸易与社

第51讲近代西方的商业贸易与社会生活课标要求 1.了解世界市场形成的过程。

2.认识世界市场的形成对商业贸易的意义。

考点定位 1.认识生产力的发展是世界市场形成的根本原因。

2.认识近代商业贸易的变化。

主题一世界市场的形成1．新航路开辟后，世界市场初步形成背景15世纪之前，世界贸易主要局限于各洲内部和亚欧大陆之间。

近代以来，随着新航路的开辟和西欧各国的殖民扩张，各洲之间的贸易随之扩展。

(选必3，P55)早期殖民新航路开辟后，葡萄牙和西班牙开始大规模殖民掠夺；17－18世纪，荷、英、法等国积极展开殖民活动(选必2，P41)贸易扩展国际流通中的商品种类与数量大大增加；贸易的扩大促进了股份公司的出现和发展(选必3，P55)影响西欧列强在美洲、非洲、亚洲等地的殖民扩张，客观上推动了洲与洲之间的贸易，以欧洲为中心的世界市场初步形成(选必3，P55)2.工业革命后，世界市场扩大基础工业革命后，大机器工厂取代手工工场，需要更广阔的世界市场和原料(选必2，P41)条件蒸汽机车和轮船的出现大大改变了交通运输条件(选必2，P41)途径资产阶级凭借工业革命带来的强大经济和军事实力，在拉丁美洲、亚洲和非洲等地建立殖民地和半殖民地。

倾销工业产品，掠夺原材料，把越来越多的地区纳入资本主义世界市场之中(选必2，P41)表现形成了西欧、北美国家生产和出口制成品，其余国家生产和出口初级产品的国际分工和贸易格局。

从1870年到一战爆发前，世界贸易额增长了近倍(选必3，P56)思维点拨世界市场的形成根源于工商业的发展，世界市场的不断扩大和形成又进一步推动工商业的发展从区域性生产变成世界性的生产和消费。

3．第二次工业革命后，世界市场最终形成(选必2，P41)途径第二次工业革命后，世界主要资本主义国家进行资本输出，瓜分世界标志20世纪初，世界基本被瓜分完毕，资本主义世界市场最终形成概念阐释商品输出与资本输出商品输出：西方列强向中国倾销工业品和掠夺原料，这些商品包括鸦片、西方列强本国的机器工厂所生产的产品。

高考高分突破复习：专题整合教学课件1

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பைடு நூலகம்
高考高分突破复习：专题整合10
二、两次工业革命对中国的影响
第一次工业革命
第二次工业革命
政治
侵略：两次鸦片战争，中国开始沦为侵略：中日甲午战争、八国联军侵华掀起瓜分
半殖民地半封建社会
中国狂潮，中国完全沦为半殖民地半封建社会
反抗：爱国官兵反抗
反抗：戊戌变法、辛亥革命
自然经济开始解体，洋务运动兴起，
经济
自然经济进一步解体，民族资本主义初步发展
中国民族资本主义产生
阶级民族资产阶级产生
民族资产阶级力量壮大
“师夷长技”、学习西方停留在器物层 “君主立宪”“民主共和”“实业救国”、学习西方
思想
面、“中体西用”
发展至制度层面
社会生活衣、食、住、行、风俗观念近代化
高考高分突破复习：专题整合10
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三、本专题内容在选考中属于高频考点，特别注意理解教材提供的历史概念和历史时期的区分，同时要关注空间识图与所学知识的内在联系。另外要注意按照国别史对英国、美国和德国知识的整理及与政治、文化史的内在联系。
高考高分突破复习：专题整合10
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[复习对策] 一、从多元史观的角度评价新航路的开辟
(1)全球史观：是世界市场联系之路，世界由彼此分散、隔绝逐渐连成整体。 (2)现代化史观：是西欧资本主义扩张发展和资产阶级壮大之路。 (3)文明史观：是人类文明交流融合之路，促进了人类文明的发展。 (4)革命史观：是殖民掠夺之路，给殖民地人民带来深重灾难，是殖民地人民争取民族独立解放之路。 (5)社会史观：世界各种物品交换、交流，增加了人类的食品种类，改变了人们的饮食结构和生活习惯。

高考语文复习专题《长短句变换技巧》课件

原意）。
①羊群在小丘上慢慢地走动着， ②就象给无边的绿毯绣上了一白色的大花，③那小丘长满了青草，翠色欲流，④它的线条显得那样柔美。
答案：
在那长满了青草、翠色欲流、线
条显得那样柔美的小丘上慢慢地走动
着的羊群，就象给无边的绿毯绣上了一白色的大花。
技能训练3：
例：提取下列材料的要点，整合成一个单句，为“遗传”下定义。 ①遗传是一种生物自身繁育过程 ②这种繁育将按照亲代所经历的同一发育途径和方式进行 ③在这一过程中，生物将摄取环境中的物质建造自身 ④这种繁育过程所产生的结果是与亲代类似的复本
方法：
(2)抽出句子的主干，让并列的修饰语分别成为分句。
（2）例：把下面的长句改为几个短句，语序标点可变动。
今后一个时期，我们要抓紧进行机构改革和经济体制改革，实现干团队伍的“四化”，建设社会主义精神文明，打击经济领域和其他领域内破坏社会主义的犯法活动，在认真学习新XX章的基础上，整理XX的作风和组织五项工作。
长句和短句的变换方法也适应于单句和复句的变换。因为长句变短句就是让本来单句中的修饰成分变成一个或几个句子，这些句子与本来的主干部分组合在一起，也就成了一种复句的情势；反过来，也主要是把复句情势的几个句子组成结构复杂的单句。
练习：
技能训练1：
把这段文字改写成三个连贯的短句。要求：层次清楚，文意明白，内容不能删减，原意不能改动。
地方法院今天推翻了那条严禁警方执行市长关于不允许在学校附近修建任何等级的剧场的指导的禁令。
分析：四步走一、查找主体二、组织成句三、调整句序四、整理表达
答案：
A、市长发出了关于不允许在学校附近修建任何等级的剧场的指导。
B、而警方则接到了严禁执行市长的这一指导的禁令。

【8个专题28份】2019高考数学高分突破二轮复习练习 381页

【8个专题28份】2019高考数学高分突破二轮复习练习目录2019年3月1日第1讲三角函数的图象与性质 (2)第2讲三角恒等变换与解三角形 (19)规范答题示范——三角函数及解三角形解答题 (34)第1讲等差数列与等比数列 (36)第2讲数列求和及综合应用 (51)规范答题示范——等差数列与等比数列解答题 (67)第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积 (69)第2讲空间点、线、面的位置关系 (86)第3讲立体几何中的向量方法 (102)规范答题示范——立体几何解答题 (127)第1讲统计与统计案例 (131)第2讲概率、随机变量及其分布列 (152)规范答题示范——概率与统计解答题 (176)第1讲直线与圆 (180)第2讲椭圆、双曲线、抛物线 (194)第3讲圆锥曲线中的热点问题 (213)规范答题示范——解+析几何解答题 (233)第1讲函数图象与性质 (236)第2讲基本初等函数、函数与方程 (250)第3讲不等式 (264)第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题 (280)第5讲导数的综合应用与热点问题 (298)规范答题示范——函数与导数解答题 (316)第1讲坐标系与参数方程 (319)第2讲不等式选讲 (334)第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化 (346)第2讲函数与方程、数形结合思想 (359)第3讲分类讨论、转化与化归思想 (371)第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解+析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解+析由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 B2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解+析 A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误. 答案 D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解+析易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 答案 B4.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解+析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A考点整合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )2.三角函数的常用结论(1)y＝A sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.(2)y＝A cos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝A tan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的定义【例1】(1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.解+析 (1)法一由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13，∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝13(k ∈Z ).当cos α＝1－sin 2α＝223时，cos β＝－223，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－79. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时，cos β＝223，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79.综上可知，cos(α－β)＝－79. 法二由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z )， ∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α， cos β＝cos[(2k ＋1)π－α]＝－cos α，k ∈Z .当sin α＝13时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 答案 (1)－79 (2)1825探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.【训练1】 (1)(2018·潍坊三模)在直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π，则sin(π－α)＝( ) A.12 B.32 C.－12D.－32(2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解+析 (1)∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π，且|OP |＝1.∴由三角函数定义，知sin α＝cos 2π3＝－12.因此sin(π－α)＝sin α＝－12.(2)设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数的定义得yx <x <y ，所以－1<x <0，0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. 答案 (1)C (2)C 热点二三角函数的图象考法1 三角函数的图象变换【例2－1】 (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y ＝f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称 C.关于直线x ＝π12对称 D.关于直线x ＝－π12对称解+析 (1)因为y ＝sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1，故只需将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象. (2)由题意，T ＝π，ω＝2.又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象关于y 轴对称.∴φ＋2π3＝k π＋π2，k ∈Z .由|φ|<π2，取φ＝－π6，因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，代入检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，A 正确.答案 (1)B (2)A探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2 由函数的图象特征求解+析式【例2－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解+析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)(2018·济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22 D.32解+析 (1)由题意知A ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，因为当x ＝5π12时取得最大值2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|<π2，得φ＝－π3.因此函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知，A ＝1，T ＝π，则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，φ＝π3. 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，则x 1＋x 2＝π6，因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案 (1)B (2)D探究提高已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解+析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解+析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知 A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解+析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 热点三三角函数的性质考法1 三角函数性质【例3－1】 (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性.解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 考法2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可. 所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (2018·湖南师大附中质检)已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx ，2)(ω>0)，函数f (x )＝m·n ＋3，若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，求函数g (x )的值域.解 (1)f (x )＝m·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知，最小正周期T ＝π.∴ω＝1，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，求得f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象. 然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，由π4≤x ≤π2，知5π4≤4x ＋π4≤9π4.∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22. 故函数g (x )的值域是[－2，1].1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解+析式 (1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2. (2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT . (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解.(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程； (2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (一角一函数)的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π解+析 f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 C2.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解+析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A3.(2018·湖南六校联考)定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解+析 f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π，k ∈Z ，则φmin ＝23π. 答案 C4.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2解+析依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.答案 C5.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解+析把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.答案 A 二、填空题6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解+析由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.答案－π67.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，其中|PQ |＝2 5.则f (x )的解+析式为________.解+析由题图可知A ＝2，P (x 1，－2)，Q (x 2，2)，所以|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（－2－2）2＝（x 1－x 2）2＋42＝2 5.整理得|x 1－x 2|＝2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝4，即2πω＝4，解得ω＝π2.又函数图象过点(0，－3)，所以2sin φ＝－3，即sin φ＝－32.又|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π38.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解+析由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23.答案 23 三、解答题9.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.10.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π，k ∈Z ， ∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.2 5解+析因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32.所以AB ＝4 2. 答案 A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝________.解+析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.答案 310103.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.考点整合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a . 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等. (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一三角恒等变换及应用【例1】 (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2018·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.13 B.－13 C.3 D.－3(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.解+析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，又x ∈(0，π)，则tan x ＝2，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. 因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)A (2)π3热点二正弦定理与余弦定理考法1 利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】 (2018·潍坊一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0. (1)求B ；(2)若b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，求△ABC 的面积.解 (1)由已知及正弦定理得(sin A ＋2sin C )cos B ＋sin B cos A ＝0， (sin A cos B ＋sin B cos A )＋2sin C cos B ＝0， sin(A ＋B )＋2sin C cos B ＝0，又sin(A ＋B )＝sin C ，且C ∈(0，π)，sin C ≠0， ∴cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝23π. (2)由余弦定理，得9＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴a 2＋c 2＋ac ＝9，则(a ＋c )2－ac ＝9. ∵a ＋b ＋c ＝3＋23，∴a ＋c ＝23， ∴ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝334”，试求a ＋c 的值. 解由S △ABC ＝12ac ·sin B ＝334， ∴12ac ·32＝334，则ac ＝3.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋ac ＝9＋3＝12，故a ＋c ＝2 3.【迁移探究2】在第(2)问中，保留条件b ＝3，删去“条件△ABC 的周长为3＋23”，试求△ABC 面积的最大值.解由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，则9＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，所以ac ≤9(当且仅当a ＝c ＝3时，取等号)，故S △ABC ＝12ac sin B ≤12×9sin 2π3＝934，所以△ABC 面积的最大值为934.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517及B 为三角形一内角，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.考法2 应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】 (2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米.A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为( ) A.210(6＋2)米 B.1406米 C.2102米D.20(6－2)米解+析由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420(米).在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC .可得CH ＝AC ·sin ∠CAH sin ∠AHC ＝1406(米).答案 B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解+析由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). 答案 100 6热点三与解三角形有关的创新交汇问题【例3】 (2018·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. 解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ，所以b ＝3a ，故b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12. 由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练4】已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314，在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72，在△ABD 中，由余弦定理得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，∴AD ＝1292.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89B.79C.－79D.－89解+析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案 B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34πB.π3C.π4D.π6解+析由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2＝sin A .在△ABC 中，A ＝π4. 答案 C3.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解+析因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .由余弦定理a 2＋b 2－c2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C .所以在△ABC 中，C ＝π4. 答案 C4.(2018·合肥质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A.4πB.8πC.9πD.36π解+析由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C ＝6，R ＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2BD.B ＝2A解+析等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . 答案 A 二、填空题6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解+析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12. 答案－127.(2018·东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，则25sin α－7tan 2α的值为________.解+析由题意知tan α＝3a 4a ＝34，sin α＝3a 5|a |＝－35. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247， ∴25sin α－7tan 2α＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－7×247＝－39. 答案－398.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.解+析由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sinC ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝82bc ＝32，所以bc ＝833.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案 233 三、解答题9.(2018·济南二模)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AB ＝23，AM→＝MC →.(1)求BM 的长；(2)设D 是平面ABC 内一动点，且满足∠BDM ＝2π3，求BD ＋12MD 的取值范围. 解 (1)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，代入数据，得cos C ＝－12. ∵AM→＝MC →， ∴CM ＝MA ＝12AC ＝1. 在△CBM 中，由余弦定理知： BM 2＝CM 2＋CB 2－2CM ·CB ·cos C ＝7，所以BM ＝7.(2)设∠MBD ＝θ，则∠DMB ＝π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.在△BDM 中，由正弦定理知： BD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝MD sin θ＝BM sin 2π3＝273. ∴BD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，MD ＝273sin θ，∴BD ＋12MD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋73sin θ＝73(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 故BD ＋12MD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，7.10.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.11.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝3sin(2 018π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x －cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2BD ＝2，求cos C . 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1 ＝32sin 2x －12(1＋cos 2x )＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)f (A )＝32⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0<A <π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6.由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin B ⇒sin B ＝22，B ＝π4或B ＝3π4(舍去)，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin π3sin π4－cos π3cos π4＝6－24.规范答题示范——三角函数及解三角形解答题【典例】 (12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A . (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长. [信息提取]❶看到△ABC 的面积为a 23sin A ，想到三角形的面积公式，利用正弦定理进行转化； ❷看到sin B sin C 和6cos B cos C ＝1，想到两角和的余弦公式. [规范解答][高考状元满分心得]❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出12ac sin B ＝a 23sin A 就有分，第(2)问中求出cos B cos C －sin B sin C ＝－12就有分.❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A ；第(2)问由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9.❸计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos B cos C －sin B sin C ＝－12化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分. [解题程序]第一步：由面积公式，建立边角关系；第二步：利用正弦定理，将边统一为角的边，求sin B sin C 的值；第三步：利用条件与(1)的结论，求得cos(B ＋C )，进而求角A ；第四步：由余弦定理与面积公式，求bc 及b ＋c ，得到△ABC 的周长；第五步：检验易错易混，规范解题步骤，得出结论.【巩固提升】 (2018·郑州质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a sin A －b sin B ＝(3a －c )sin C ，a ∶b ＝2∶3.。

考向16 图文转换-备战2023年高考语文一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)

备战2023年高考语文一轮复习考点微专题考向16 图文转换1．（2022·浙江卷）阅读下面的图文，根据要求完成题目。

赣南脐橙、柞水木耳、五常大米……这些耳熟能详的土特产，如今都有一个共同的身份——地理标志产品。

“地理标志，就是地理名称加上商品名称，强调的是产品的原产地。

”法律工作者告诉记者，“地理标志是促进区域特色经济发展的有效载体，是推进乡村振兴的有力支撑。

”地理标志注册为集体商标或证明商标后，只要满足特定的条件，谁都可以申请使用。

有学者指出：“在我国，地理标志是与‘三农’联系极为密切的知识产权标识。

”我国地方名优特产数不胜数，地理标志打响了特色产品的品牌。

很多地理标志产品获得消费者认可，成为市场的“通行证”，展现了良好的竞争力。

蓬勃发展的地理标志产品带动了上下游产业发展。

综合图文材料，从带动经济发展的角度简述“地理标志”的作用。

要求：语言简明、准确。

【答案】①惠及的市场主体数量多；②带动的产业产值高；③打响了特色产品的品牌，带动上下游产业发展；④促进区域特色经济发展，推进乡村振兴。

【解析】本题考查学生语言表达之概括要点的能力。

依据“地理标志是促进区域特色经济发展的有效载体，是推进乡村振兴的有力支撑”可概括为：促进区域特色经济发展，推进乡村振兴。

依据“地理标志打响了特色产品的品牌……蓬勃发展的地理标志产品带动了上下游产业发展”可概括为：打响了特色产品的品牌，带动上下游产业发展。

图表1是“地理标志使用情况统计”，依据“2482”“6381”“14315”等数字的比较可概括为：惠及的市场主体数量多。

图表2是“投入资金与相关产业的产值”，通过“1.2”“40”“210”等数字的比较可概括为：带动的产业产值高。

2．（2020·浙江卷）阅读下面宣传抗疫防疫的图片，根据要求完成题目。

（摘编自《文汇报》）（1）为图1或图2拟标题。

不得照抄图片中的原文，不超过10个字。

选择图（），标题：________（2）分别简要评价图1、图2的创意。

高考高分突破复习：专题整合教学课件9

[复习对策] 本专题讲述了近代列强侵略中国和中国军民维护国家主权的斗争、近代以来中国人民抗争探索、求民主的历程。本专题的内容属于高频考点，特别是近代的几个不平等条约的内容和抗日战争的战役等。根据新修订的考纲和新的高中历史教学大纲，本专题的内容在考试中可能会有所突出。同时要注意对不同历史阶段的特征的掌握和判断。
高考高分突破复习：专题整合3
高考高分突破复习：专题整合3
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专题整合(四)
[综合探究] 一、列强侵华阶段及对中国的影响 1. 在工业革命背景下，为了打开中国市场、掠夺原料，发动两次鸦片战争 (1840 ～
1860年)，中国逐渐成为资本主义世界商品市场和原料产地。 (1)政治：中国开始沦为半殖民地半封建社会；救亡图存、民族独立成为中国人民共同任务和神圣职责。 (2)经济：自然经济逐渐解体，中国经济结构发生变动；洋务经济、民族资本主义经济等出现。 (3)思想：出现向西方学习的新思潮。林则徐、魏源的“师夷长技以制夷”；洋务运动的“中体西用”；早期维新思想等。 (4)外交：清王朝被迫打开国门。屈辱外交和由“朝贡外交”向近代外交的转变并存。
高考高分突破复习：专题整合3
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2.第二次工业革命背景下，为了实现资本输出、瓜分世界殖民地的目的，日本发动甲午战争，实现了资本输出的要求(允许在通商口岸投资设厂)，列强掀起瓜分中国的狂潮，进而为镇压义和团运动，八国联军发动侵华战争。清政府完全沦为列强统治中国的“工具”。 (1)政治：民族危机加深，救亡图存；进行维新变法、辛亥革命等政治民主化的探索。 (2)经济：严重阻碍了民族资本主义经济发展；自然经济进一步瓦解；实业救国成为两大社会思潮之一。 (3)思想：推动维新思想、资产阶级革命思想、民主与科学及马克思主义思想传播等。 (4)外交：中外反动势力勾结，清政府成为列强侵华的工具。

高考高分突破复习：专题整合16

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