最新2.1.1-合情推理-课件教学讲义PPT
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课件2：2.1.1合情推理
(2)b2k－1＝___2_____(用k表示)．
8．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前4项， 并归纳出该数列的通项公式．
答案：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2
9．在平面内有 n(n∈N*，n ≥ 3)条直线，其中任意两条
不平行，任意三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 f(n) 个 平 面 区 域 ， 则 f (5) 的 值 是 _________ ， f (n) 的 表 达 式 是
内切球的半径是高的 .
4．_归__纳__类__比___和__类__比__推__理__都是根据已有的事实，经过____联__想____、 ____观__察____、___分__析_____、___比__较_____，再进行__归__纳__推__理__，然后提出猜想 的推理，把它们统称为合情推理．
自测自评
1．根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想 第n个图中有__n_2_－__n_＋__1__个点．
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四
体的下列性质，你认为比较恰当的是( D )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分 割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
8．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前4项， 并归纳出该数列的通项公式．
答案：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2
9．在平面内有 n(n∈N*，n ≥ 3)条直线，其中任意两条
不平行，任意三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 f(n) 个 平 面 区 域 ， 则 f (5) 的 值 是 _________ ， f (n) 的 表 达 式 是
内切球的半径是高的 .
4．_归__纳__类__比___和__类__比__推__理__都是根据已有的事实，经过____联__想____、 ____观__察____、___分__析_____、___比__较_____，再进行__归__纳__推__理__，然后提出猜想 的推理，把它们统称为合情推理．
自测自评
1．根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想 第n个图中有__n_2_－__n_＋__1__个点．
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四
体的下列性质，你认为比较恰当的是( D )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分 割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
课件6：2.1.1 合情推理
(2)分成两列数，奇数位的数：32,16，( )，4,2.偶数位的 数：31,26，( )，16,11，所以括号中的数依次是 8,21.
2．观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<54，1＋212＋312＋412 <78，…，由此可以归纳出的一般结论是__________.
【答案】1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112<2n2＋n 1(n∈N*) 【解析】不等式的左边是i12的前 n＋1 项和，右边的分母是 2n， 分子是 2n＋1，故一般性的结论是 1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112 <2n2＋n 1(n∈N*)．
2.1.1 合情推理
新知导学
1．归纳推理 由某类事物的_部__分___对__象__具有某些特征，推出该类事物的 __全__部__对__象__都具有这些特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 _一__般__结__论___的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳 推理是由___部__分___到__整__体___、由__个__别___到__一__般___的推理． 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁 都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为 __归__纳__推__理__．
新知导学
3．类比推理 由 两 类 对 象 具 有 _某__些__类__似__特__征___ 和 其 中 一 类 对 象 的 __某__些__已__知__特__征__，推出另一类对象也具有_这__些__特__征___的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊__到__特__殊__ 的推理．
5．归纳推理是由部分到_整__体___，由具体到_抽__象___，由特 殊到_一__般___，从个别事实中概括出_一__般__结__论___的思维模式． 类比推理是在__两__类__不__同__的事物之间进行对比，找出若干相同 或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相__同__或__相__似___
2．观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<54，1＋212＋312＋412 <78，…，由此可以归纳出的一般结论是__________.
【答案】1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112<2n2＋n 1(n∈N*) 【解析】不等式的左边是i12的前 n＋1 项和，右边的分母是 2n， 分子是 2n＋1，故一般性的结论是 1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112 <2n2＋n 1(n∈N*)．
2.1.1 合情推理
新知导学
1．归纳推理 由某类事物的_部__分___对__象__具有某些特征，推出该类事物的 __全__部__对__象__都具有这些特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 _一__般__结__论___的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳 推理是由___部__分___到__整__体___、由__个__别___到__一__般___的推理． 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁 都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为 __归__纳__推__理__．
新知导学
3．类比推理 由 两 类 对 象 具 有 _某__些__类__似__特__征___ 和 其 中 一 类 对 象 的 __某__些__已__知__特__征__，推出另一类对象也具有_这__些__特__征___的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊__到__特__殊__ 的推理．
5．归纳推理是由部分到_整__体___，由具体到_抽__象___，由特 殊到_一__般___，从个别事实中概括出_一__般__结__论___的思维模式． 类比推理是在__两__类__不__同__的事物之间进行对比，找出若干相同 或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相__同__或__相__似___
人教版选修2-2《2.1.1合情推理》课件(共23张PPT)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体86Fra bibliotek12五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
7.利用等差数列性质类比等比数列性质
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
18 =7+11, …，
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
2.1.1合情推理
9
9
A.28
B.32
3
9
C.11
D.48
第28页
答案 B
第29页
2．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律排列，那 么第2 016颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 C．白色可能性大
B．黑色 D．黑色可能性大
第30页
答案 A
第31页
3．古希腊人常用小石子在沙摊上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过上图(1)中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，
第24页
思考题3
观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<53，1＋
1 22
＋312＋412<74，…，则可归纳出：________．
第25页
【答案】 (1)1＋212＋312＋412＋…＋n12<2n－n 1
第26页
课后巩固
第27页
1．数列12，35，151，270，…中的第五项为( )
第5页
第6页
第7页
第8页
第9页
第10页
题型一 归纳推理在数列中的应用 例1 (1)已知数列{an}，满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1， 2，3，…)． ①求a2，a3，a4，a5； ②归纳猜想通项公式an.
第11页
【解析】 ①当n＝1时，知a1＝1， 由an＋1＝2an＋1，得a2＝3， a3＝7，a4＝15，a5＝31. ②由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1. 可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
第14页
思考题1
(1)若将本例中的an＋1＝2an＋1改为an＋1＝
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1.如图，在平行四边形 ABCD 中，有
AC 2 BD2 2 AB2 AD2
那么，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，有
AC12 BD12 CA12 DB12 4( AB2 AD2 AA12 )
D1
C1
D A
C B
A1 D
A
B1
C
33
B
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
R ________________ .
3V S1 S2 S3 S4 B
O
O D
C
46
练习
(直击高考：09浙江文第16题)
设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4，S8 S4，
S12 S8，S16 S12成等差数列.类比以上结论：
设等比数列bn的前n项积为Tn ,
则T4，____,
_____,
6
佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
2、类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）
AC 2 BD2 2 AB2 AD2
那么，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，有
AC12 BD12 CA12 DB12 4( AB2 AD2 AA12 )
D1
C1
D A
C B
A1 D
A
B1
C
33
B
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
R ________________ .
3V S1 S2 S3 S4 B
O
O D
C
46
练习
(直击高考：09浙江文第16题)
设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4，S8 S4，
S12 S8，S16 S12成等差数列.类比以上结论：
设等比数列bn的前n项积为Tn ,
则T4，____,
_____,
6
佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
2、类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）
新课标高中数学A版必修2-2 2.1.1合情推理 优质课件 .ppt
类 比n 1维 球 的 情 形,从 中 获
得 启 发 和 联 想.
这 种 由 两 类 对 象 具 有 某些 类
似 特 征 和 其 中 一 类 对 象的 某
些 已 知 特 征,推 出 另 一 类 对 象
也 具 有 这 些 特 征 的 推 理称 为
类比推理 简称类比.简言之,
类 比 推 理 是 由 特 殊 到 特殊 的
用符号13表示,共移动了1次.
29
3把上面两个金属片从2号针移到3号针.
30
31
32
33
ห้องสมุดไป่ตู้
34
18
解 1两个实数经过加法运算或乘法运算后,所
得的结果仍然是一个实数.
19
3从逆运算角度考虑,二者都有逆运算,加法的逆
运算是减法,乘法的逆运算是除法,这就使得方程
ax 0
ax 1a 0
都有唯一解
x a
x 1 a
20
21
22
23
24
25
26
27
28
解 当n 1时,只需把金属片从一号针移到3号针,
1
2
3
4
5
2.1.1 合情推理
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
表 21
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦非直径中
点的连线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等;
与圆心距离不等的两弦不等,
距圆心较近的弦较长.
以点x0,y0 为圆心,r为半
径的圆的方程为x x0 2
y y0 2 r2.
得 启 发 和 联 想.
这 种 由 两 类 对 象 具 有 某些 类
似 特 征 和 其 中 一 类 对 象的 某
些 已 知 特 征,推 出 另 一 类 对 象
也 具 有 这 些 特 征 的 推 理称 为
类比推理 简称类比.简言之,
类 比 推 理 是 由 特 殊 到 特殊 的
用符号13表示,共移动了1次.
29
3把上面两个金属片从2号针移到3号针.
30
31
32
33
ห้องสมุดไป่ตู้
34
18
解 1两个实数经过加法运算或乘法运算后,所
得的结果仍然是一个实数.
19
3从逆运算角度考虑,二者都有逆运算,加法的逆
运算是减法,乘法的逆运算是除法,这就使得方程
ax 0
ax 1a 0
都有唯一解
x a
x 1 a
20
21
22
23
24
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解 当n 1时,只需把金属片从一号针移到3号针,
1
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2.1.1 合情推理
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表 21
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦非直径中
点的连线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等;
与圆心距离不等的两弦不等,
距圆心较近的弦较长.
以点x0,y0 为圆心,r为半
径的圆的方程为x x0 2
y y0 2 r2.
数学：2.1.1《合情推理与演绎推理-合情推理》PPT课件
第八页，编辑于星期日：十二点 一分。
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和( 简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然 数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中 国的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。
即:偶数＝奇质数＋奇质数
第五页，编辑于星期日：十二点 一分。
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和( 简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然 数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中 国的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。
即:偶数＝奇质数＋奇质数
第五页，编辑于星期日：十二点 一分。
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
《2.1.1 合情推理》PPT课件(安徽省市级优课)
答：C60分子中有90条棱．
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
“世界末日”的传说．
在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放 着三根宝石针，据说印度教的主神梵天在创造世界时，在 其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金 片．每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律， 不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移 动一片，且不论在那根针上“，较小的金片只能放在较大的 金片上．当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的 那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临．
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
an
1 n
.
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
应用示例：
例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予 对发现C60有重大贡献的三位科学 家．C60是有60 个C原子组成的分子， 它结构为简单多面体形状．这个多面 体有60个顶点，各面的形状只有五边 形或六边形两种．其中五边形和六边 形的面各有12个和20个．
由此猜想，n为任何正整数时 f(n)=n2+n+41都是质数
n=40呢？
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
“世界末日”的传说．
在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放 着三根宝石针，据说印度教的主神梵天在创造世界时，在 其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金 片．每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律， 不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移 动一片，且不论在那根针上“，较小的金片只能放在较大的 金片上．当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的 那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临．
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
an
1 n
.
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
应用示例：
例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予 对发现C60有重大贡献的三位科学 家．C60是有60 个C原子组成的分子， 它结构为简单多面体形状．这个多面 体有60个顶点，各面的形状只有五边 形或六边形两种．其中五边形和六边 形的面各有12个和20个．
由此猜想，n为任何正整数时 f(n)=n2+n+41都是质数
n=40呢？
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
课件5：2.1.1 合情推理
(2)归纳推理的步骤 ①归纳对有限资料进行观察、分析，发现某些相同性质．一 般地，如果归纳的个别情况越多越具有代表性，那么推广的 一般性命题就越可能为真． ②猜想：在以上基础上提出带有规律性的结论． ③检验：检验猜想．
2．类比推理 (1)类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性． ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一 个明确的命题． (2)类比推理的特点 ①类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研 究中的事物的属性，以旧认识为基础，类比出新结果．
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理
●三维目标 1．知识与技能 了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步 骤，能利用归纳进行简单的推理应用．
2．过程与方法
通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的获得过程，了 解归纳推理的含义．让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的 过程，体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论，培 养学生归纳推理的思维方式．
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，得 3
f(0)＋f(1)＝30＋1
3＋31＋1
3
＝ 33，
f(－2)＋f(3)＝3－2＋1
3＋33＋1
＝ 3
3 3.
归纳猜想一般性结论为
f(－x)＋f(x＋1)＝
3 3
证明如下：
f(
－
x)
＋
f(x
＋
1)
＝
1 3－x＋
3
＋
1 3x＋1＋
3
＝
3x 1＋ 3·3x
＋
1 3x＋1＋
＝ 3
3＋3·33xx＋1＋3x＋1＋1
算上具有相似性．等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开
2.1.1合情推理课件
解：猜想：sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34. 证明：∵sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)
＝sin2θ＋ 23cos θ－12sin θ2＋sin θ 23cos θ－12sin θ
＝sin2θ＋
3 2 cos
θ－12sin
θ
3 2 cos
含义 __分__析__、__比__较__、_联__想___，再进行__归__纳__、__类__比__，然后 提出_猜__想___的推理，我们把它们统称为合情推理
过程
从具体问题出发
→
观察、分析 比较、联想
→
归纳、类比
→ 提出猜想
题点知识巩固
知识点一 归纳推理 1．(2019·湖南邵东月考)设 f0(x)＝cos x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)
2.1.1 合情推理
基础知识梳理
1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的部__分__对__象__具有 由两类对象具有某些_类__似___
某些特征，推出该类事物的
定义
__全__部__对__象__都具有这些特征 的推理，或者由_个__别__事___实__
特征和其中一类对象的某些 __已__知__特__征__，推出另一类对
θ＋12sin
θ Βιβλιοθήκη ＝sin2θ＋34cos2θ－14sin2θ＝34.
∴等式成立．
在△AHD 中，∠DAH＝90°，AO⊥DH， 有 AH2＝OH·DH. S2△ABC＝12BC·AH2＝14BC2·AH2， S△BCO·S△BCD＝12BC·OH·12BC·DH＝14BC2·OH·DH， ∴S2△ABC＝S△BCO·S△BCD，A 正确．
课件4：2.1.1 合情推理
点评：以上归纳推出一般性结论的方法称作不完 全归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定正 确，必须通过证明才能最后得出正确的结论．
命题方向：归纳推理在几何问题中的应用
例2：数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱 数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
【解析】仔细观察，通过几何图形的构造特征，找出 三者之间的关系． 解：各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示.
所以a33＝a6×5＋3＝a3＝3，故选A. 【答案】A
2．由170>58，191>180，1235>291，…若 a>b>0，m>0，则ba＋ ＋mm
与ba之间的大小关系为
()
A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定
【解析】∵170＝58＋＋22>58，191＝180＋＋11>180， 1235＝291＋＋44>291，…都成立， ∴猜想：若 a>b>0，m>0，则ab＋＋mm>ba，下面证明 ∵ba＋＋mm－ba＝ab＋aam(a－＋amb)－bm＝ma((aa＋－mb))>0， ∴ba＋＋mm>ba，故应选 B.
多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 正方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
面数(F) 4 5 5 6 6 8 7 7 9
顶点数(V) 4 5 6 6 8 6 10 10 9
棱数(E) 6 8 9 10 12 12 15 15 16
观察其数字特征：
4＋4－6＝2；
5＋5－8＝2；
5＋6－9＝2; 6＋6－10＝2；
个别事实 概括出 一般结论 的推理，称为归纳推理 (简称归纳)．简言之，归纳推理是由 部分 到 整体、由 个别 到一般 的推理．归纳推理包括 不完全归纳法 和 完全归纳法．
2.1.1合情推理课件人教新课标
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
归纳推理
定义
特征
由某类事物的_部__分__对__象__具有某些特征， 归纳推理是由
推出该类事物的__全__部__对__象__都具有这些 _部__分__到__整__体___、
特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 由_个__别__到__一__般___
方法二：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5 ＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5 ＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项， 4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋ 5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．类比推理的特点及适用前提 (1)类比推理的特点 ①类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，估计 正在研究的事物的属性，提出新问题，作出新发现． ②类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功 能．
数学 选修2-2
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
合情推理
1．合情推理的含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_视__察___、 _分__析____、_比__较___、___联__想_，再进行__归__纳___、_类__比___，然后提 出__猜__想___的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．合情推理的过程
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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-方程 --.-------------------------------------------------------
-
--------.
利用圆的性质类比得出求的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
-Ｆ共１６个计数符号，这些符号与十进制
的数的对应关系如下表；
十六进位 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
十进位
０１２３４５ ６ ７
十六进位 ８ ９ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
十进位
８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ）
Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
2.1.1-合情推理-课件
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然 数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
2
1
3
费马猜想
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537, 都是质数
猜想：22n 1是质数.
半个世纪之后，欧拉发现：
225 1 4294967297 641 6700417
不是质数，从而推翻了费马的猜想
练习：计算机中常用的十六进位制是逢１
６进１的计算制，采用数字０-９和字母Ａ
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0)2 = r2
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且a n +1
=
an 1 + an
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式
.
答案：an=1/n
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
ห้องสมุดไป่ตู้
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
我们把前面所进行的推理过程概括为：
从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想
→归纳、类比→ 提出猜想
可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类 比，然后 提出猜想的推理，我们把它们统称为 合情推理.
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.
这种由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出在另一类 对象也具有这些特征的推理, 称为类比推 理.(简称;类比) 类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发 现的功能.
例2：类比平面内直角三角形的勾股定理 ，试给出空间中四面体性质的猜想．
A
河内塔（Tower of Hanoi）
例3.传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套 在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规 则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡 ”的作用.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 64 个圆环从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?把n个圆环从1号针移到3号针最少需要移动多少次 ？
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝1 第1个圆环从1到
3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n ＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
练习2:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1: 与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述 两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然 为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更 一般的命题,而已知命题应成为所推广命题 的一个特例,推广的命题为设圆---的---方--程---为--①----------(-x----a-)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 --b-≠---d--)-,--则--由---①---式--减---去--②---式---可--得---上--述---两---圆--的---对---称--轴--
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
子宫腺肌病
子宫腺肌病（adenomyosis，ADM)是指 异位内膜浸润正常的子宫肌层，周围平 滑肌细胞增生包裹异位的内膜上皮和基
2
1
3
设 an为把n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时, a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时, a2＝3 前1个圆环从1到2;
猜想:a64=264-1
第2个圆环从1到3;
n＝3时，a3=7
前1个圆环从2到3. 前2个圆环从1到2;
猜想:an=2n-1
n=4时，a4=15
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
-
--------.
利用圆的性质类比得出求的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
-Ｆ共１６个计数符号，这些符号与十进制
的数的对应关系如下表；
十六进位 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
十进位
０１２３４５ ６ ７
十六进位 ８ ９ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
十进位
８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ）
Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
2.1.1-合情推理-课件
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然 数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
2
1
3
费马猜想
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537, 都是质数
猜想：22n 1是质数.
半个世纪之后，欧拉发现：
225 1 4294967297 641 6700417
不是质数，从而推翻了费马的猜想
练习：计算机中常用的十六进位制是逢１
６进１的计算制，采用数字０-９和字母Ａ
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0)2 = r2
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且a n +1
=
an 1 + an
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式
.
答案：an=1/n
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
ห้องสมุดไป่ตู้
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
我们把前面所进行的推理过程概括为：
从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想
→归纳、类比→ 提出猜想
可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类 比，然后 提出猜想的推理，我们把它们统称为 合情推理.
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.
这种由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出在另一类 对象也具有这些特征的推理, 称为类比推 理.(简称;类比) 类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发 现的功能.
例2：类比平面内直角三角形的勾股定理 ，试给出空间中四面体性质的猜想．
A
河内塔（Tower of Hanoi）
例3.传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套 在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规 则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡 ”的作用.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 64 个圆环从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?把n个圆环从1号针移到3号针最少需要移动多少次 ？
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝1 第1个圆环从1到
3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n ＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
练习2:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1: 与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述 两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然 为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更 一般的命题,而已知命题应成为所推广命题 的一个特例,推广的命题为设圆---的---方--程---为--①----------(-x----a-)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 --b-≠---d--)-,--则--由---①---式--减---去--②---式---可--得---上--述---两---圆--的---对---称--轴--
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
子宫腺肌病
子宫腺肌病（adenomyosis，ADM)是指 异位内膜浸润正常的子宫肌层，周围平 滑肌细胞增生包裹异位的内膜上皮和基
2
1
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设 an为把n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时, a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时, a2＝3 前1个圆环从1到2;
猜想:a64=264-1
第2个圆环从1到3;
n＝3时，a3=7
前1个圆环从2到3. 前2个圆环从1到2;
猜想:an=2n-1
n=4时，a4=15
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.