八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析

初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

思路：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

证明AC CE ⊥，BD DF ⊥ 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中 ∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL)∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =在ACF ∆与BDE ∆中 ∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2.如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

思路：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。

也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。

证明：延长AD 交BC 于F 在ABD ∆与FBD ∆中 90ABD FBD BD BDADB FDB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩ ∴ABD FBD ∆≅∆(ASA ∴2DFB ∠=∠又1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。

以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的边，故只要证明它们全等即可。

证明：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点在ABE ∆与CBF ∆中 ∴ABE CBF ∆≅∆(SAS) ∴AE CF =。

思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明：连接ACAB //CD ，AD //BC ∴12∠=∠，34∠=∠ 在ABC ∆与CDA ∆中 ∴ABC CDA ∆≅∆(ASA) ∴AB CD =。

思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。

求证：BP 为MBN ∠的平分线。

思路：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明，故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。

证明：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于FPD PE =，PE PF =PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F ∴BP 为MBN ∠的平分线。

思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =。

思路：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。

因此，延长AE 至F ，使EF AE =。

证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF 在ABE ∆与FDE ∆中∴ABE FDE ∆≅∆(SAS)ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠ 又ADB BAD ∠=∠ AB DF =，AB CD =在ADF ∆与ADC ∆中 ∴ADF ADC ∆≅∆(SAS)又2AF AE = ∴2AC AE =。

思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：AB AC PB PC ->-。

原图 法一图 法二图思路：欲证AB AC PB PC ->-，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。

由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC -。

而构造AB AC -可以采用“截长”和“补短”两种方法。

证明：法一：在AB 上截取AN AC =，连接PN 在APN ∆与APC ∆中 ∴APN APC ∆≅∆(SAS)在BPN ∆中，PB PN BN -<∴-<-PB PC AB AC ，即AB －AC>PB －PC 。

法二：延长AC 至M ，使AM AB =，连接PM 在ABP ∆与AMP ∆中∴ABP AMP ∆≅∆(SAS)在PCM ∆中，CM PM PC >- ∴AB AC PB PC ->-。

思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。

具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。

我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA = B. 4AB =，3BC =，30A ∠=C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =D. 90C ∠=，6AB =3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( )A. DAE CBE ∠=∠B. CE DE =C. DEA ∆不全等于CBE ∆D. EAB ∆是等腰三角形 5. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=，则D ∠等于( ) A. 67 B. 46 C. 23 D. 无法确定 二、填空题：6. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且:2:3CD AD =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；7. 如图，已知AB DC =，AD BC =，,E F 是BD 上的两点，且BE DF =，若100AEB ∠=，30ADB ∠=，则BCF ∠=____________；8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；9. 如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若10AB =，则BDE ∆的周长等于____________；10. 如图，点,,,D E F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且AE CF =，若10BD =，2BF =，则EF =___________；三、解答题： 11. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。

求AQN ∠的度数。

12. 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。

求证：BF CE =。

同步练习的答案一、选择题： 1. A 2. C3. B4. C5. C 二、填空题：6. 47. 70 8. 909. 1010. 6三、解答题：11. 解：ABC ∆为等边三角形∴AB BC =，60ABC C ∠=∠= 在ABM ∆与BCN ∆中 ∴ABM BCN ∆≅∆(SAS)∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。

12. 证明：AE CD ⊥，BF CD ⊥ 在ACE ∆与CBF ∆中 ∴ACE CBF ∆≅∆(AAS) ∴BF CE =。