管理运筹学最短路实例演示文稿
[管理学]最短路问题
![[管理学]最短路问题](https://img.taocdn.com/s3/m/53ce6a346c175f0e7cd1376c.png)
最短路的子路也是最短路。
思想：将D=（V，A，W）中vs到所有其它顶点的最短
路按其路长从小到大排列为： u0≤ u1 ≤ u2 ≤…≤ un
u0表示vs到自身的长度，相应最短路记为： P0，P1，P2，…，Pn，P1一定只有一条弧。 记X 0 v s , X 0 V \ X 0 , 则
例 用Dijkstra算法求前面例子中从v1到各点的最短路。
v2
6
1 2 6
v5
4 3 10 2
2
v9
6
4
3
v1
1
3
v3
2
v8
v4
10
v6
v7
解：u1=0，u2=6，u3=3，u4=1，u5=u6=u7=u8=u9=+ ，
j=1 （j=2，3，…，9）
X0={v1} ，X0={v2，v3，…，v9}
。设
步骤2 若m+1=n-1，结束。若m+1<n-1，置m=m+1，转步骤1
v2
1
2 5 3 -4
v3
2 3 l(v1)=0, l(vj)=1 (j=2,3,4,5)
v4
u1
(1)
v1
u2 u3
( 2) (1) ( 2) (1)
v5
u 2 w22 1, u 2 w23 3, u5 w54 6, u3 w35 1, u 2 w22 1, u3
uj(m) =
算法步骤：
步骤0 令 l(v1)=0,l(vj)=1(2 j n); m=1,u1(m)=0，uj(m)=w1j (2 j n)。
uk (m) + wkj 步骤1 对于一切2 j n，计算 min 1 k n
运筹学课件 最短路、最大流、邮路
最短路径问题的应用
例 设备更新问题
把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新 设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在 第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。 路径的权数为购买和维修费用。 弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。 从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i
1 1 2 3 4 5 2 16 3 22 16
（使用寿命为j-i年） 具体权数计算结果如下：
5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22
4 30 22 17
通过一个网络的最短路径
例 设备更新问题 ：
2 16 30 22 41 4 23
最大流问题
两个重要结论： 1、任何一个可行流的流量都不会超过任一截集的容量。 2、若对于一个可行流f *，网络中有一个截集（ V1*，V1*）， 使v（ f *）=C(V1*，V1 *)，则f *必是最大流，而（ V1*， V1 *）必是所有截集中容量最小的一个，即最小截集。
定理：可行流f *是最大流，当且仅当不存在关于f *的增广链。 于是有如下结论：最大流量最小截量定理：任一个网络中，从vs 到vt的最大流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。
管理运筹学 第7章 最短路实例
8
§4 最大流问题
• 最大流问题：给一个带收发点的网络，其每条弧的赋权称之为容量， 在不超过每条弧的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。 一、最大流的数学模型 例6 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地 运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径 的变化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一样的。cij的 单位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地 v7运送石 油，问每小时能运送多少加仑石油？
2 0 0
2 0 2 1
3 v6 4
3 01
2
v7
3 5
3 1 v4
第五次迭代：选择路为v1 v2 v3 v5 v7 。弧（ v2 , v3 ）的顺流容 量为2，决定了pf=2，改进的网络流量图如下图：
1 v2 0 5 2 3 0 0 2 3 v5 2 0 0 0
管 理 运 筹 学
15
20
v1 1
3
(a)
图11-12
管 理 运
(b)
筹 学
(c)
5
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。
2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条 以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即 为最小生成树，否则返回第1步。
§2 最短路问题
例 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要 决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支 付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备， 可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更新设 备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。 已知：设备每年年初的价格表
运筹学论文最短路问题
运筹学论文——旅游路线最短问题摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜欢旅游。
而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题随之出现，如何决策成为一道难题。
然而，如果运用运筹学方法来解决这一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。
本文以旅游路线最短问题为列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。
关键词：最短路 0-1规划约束条件提出问题:从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。
各城市之间的航线距离如下表：问题分析：1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用。
这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。
2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个城市是不连接的。
这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0。
就如同下图3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。
LINGO解法：为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，将其标为1）重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明1 2 3 4 5 6假设：设变量x11。
如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x11=0，则表示城市i与城市j不相连。
特别说明：xij和xji是同一变量，都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。
这里取其中xij (i<j)的变量。
模型建立：由于这是一个最短路线的问题，且变量已经设好。
《管理运筹学》案例演示(动态规划)
x1
[
]
第一季度生产量加库存量要满足本季度需求量， 又不能超过第一到第四季度的总需求： 最高生产量为6个单位：
2 ≤ x1 + s1 ≤11 0 ≤ x1 ≤ 6
f1 ( s1 )
x1
0 1 2
21
Байду номын сангаас
3
21.5
4
22
5
6
f1 ( s1 )
∗ x1
s1
0
20.5 21.5 20.5
5
第四步：最佳生产决策:第一季度生产5单位产品，期末库存量为 3单位；第二季度不生产，期末库存量为零；第三季度生产6单位 产品，期末库存量为4单位；第四季度不安排生产。
8 100 75 53
A B C
问如何确定三个项目计划的投资额，才能使8千万元的资金投 资后的利润最大。 解： 阶段变量k ( k =1,2, 3 )：每投资一个项目作为一个阶段； 状态变量sk ：可以对第k个项目投资的资金数（即投资 第k个项目前的资金数）； 决策变量xk：第k 个项目的投资， 0≤xk≤sk；
11 10.5 8 8 8 8 5
6 5 0 0 0 0 0
第三步：第二到第四季度的最佳生产决策； 第二到第四季度的最低生产成本：
f2 (s2 ) = m c2( x2 , s2 ) + f3 (s3 ) in
x2
[
]
约束条件： 由于第一季度期初库存s1= 0，而最高生产量x1= 6 ,市场需求量d1=2，所以，第二季度期初的库存量应为： 第二季度生产量加库存量要满足本季度需求量， 又不能超过第二到第四季度的总需求： 最高生产量为6个单位：
该季度生产量不能超过6个单位：
运筹学——.图与网络分析-最短路课件
运筹学——.图与网络分析-最短路
v2 (4) 5 v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
① ②
64
v 3(6)
7 v 5 (8) 6
1
v7
③
④
4）接着往下考察，有四条路可走：(v2,v4), (v2,v5).
可选择的最短路为
(v3,v4), (v3,v5).
m k 2 , ik 4 2 n ,k 5 3 ,{ k 4 3 } 5m 9 ,8 , i 1 , n 1 } 0 { 3 8
(v5,v6), (v5,v7 ).
m k 2 ,i k 4 3 n ,k 4 5 ,k { 6 5 } 7 m 9 ,1 i ,1 n ,1 0 } 3 { 4 9
① 给(v2,v4) 划成粗线。
② 给 v 4 标号（9）。
③ 划第5个弧。
运筹学——.图与网络分析-最短路
v 2 ( 4 ) 5 v 4(9 ) 9 v 6 (13 )
运筹学——.图与网络分析-最短路
引言
随着科学技术的进步，特别是电子计算机 技术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展， 应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问 题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目 和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到 工程技术人员和经营管理人员的重视。
运筹学——.图与网络分析-最短路
树图的各条边称为树枝假定各边均有权重一般图g2含有多个部分树其中树枝总长最小的部分树称为该图的最小部分树也称最小支撑树?定理1图中任一个点i若j是与i相邻点中距离最近的则边ij一定必含在该图的最小部分树内
第6章 图与网络分析
本章内容重点 图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流
运筹学最短路
附件2《运筹学》最短路、最小费用最大流经典作品关于钢管订购和运输的优化模型队员：陈显健陈瑜斌陈振松2007年6月5日摘 要： 本文首先运用图论知识中的最短路算法求出i S 到j A 的最优路径。
然后将模型转化为最小费用最大流的网络优化问题，从而求出近似最优解。
在分析出求解该网络优化模型的解法后，运用Lingo 软件包求出了该问题的近似最优解。
对问题一而言，求出了较优的订购和运输计划（见表三），其最小费用为1291630万元。
对于第二个问题而言，可得出钢厂6S 的钢管销价的变化对购运计划和总费用的影响最大；钢管厂1S 的钢管产量的上限的变化对总费用的影响最大，钢管厂3S 的产量上限的变化对购运计划的影响最大。
对问题三，给出了一般解，求出了较优的订购和运输计划（见表四），其最小费用为1396099万元，最后对模型进行了综合评价并提出了改进方向。
关键词：网络流 最小费用最大流一、 问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道，如图一所示,经筛选后可以生产这种主管道的钢厂有721,,,S S S 。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位km ）。
为了方便，1km 主管道称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。
钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大生产数量为i s 个单位，钢厂出厂销价为i p 万元，如下表：表一1单位钢管的铁路运价如下表：（表二）1000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。
公路运输费用为1单位管道每公里0.1万元（不足整公里的按整公里计算）。
管道可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521A A A →→→ ，而是管道全线）。
要求：（1） 请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小，并给出总费用。
运筹学及其应用10.2 最短路问题
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 ∞,1
11,4
∞,1
v8
18
v2 5,3 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
19
v2 5,3 1
9
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
10
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
11
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
运筹学 PPT课件 第五章 图与网络分析-最短路
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围
一种隐阶段的动态规划方法 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上节点的 临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一个新的永久标 记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij0，第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因此最多有
d
(0) 65
}
min{0 ,2 9,6 3, , 0, 1}
9 取自第3列
v1 v2 v3 v4 v5 v6
0 2 6
2
0
3
8
9
D(0) L 6 3 0 5 3
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 16
mkin{d1(k0)
d
} (0)
k6
（第1行+第6列）
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 15
mkin{d1(k0)
d
(0) k5
}
（第1行+第5列）
min{d1(10)
d (0) 15
,
d (0) 12
d (0) 25
,
d (0) 13
d (0) 35
,
d (0) 14
d
(0) 45
,
d (0) 15
d (0) 55
,
d (0) 16
min{d1(10)
d (0) 16
,
d (0) 12
d
(0) 26
,
d (0) 13
运筹学最短路邮递员问题PPT课件
从一点到任意点的最短路
• 木器厂有六个车间，办事员经常 要到各个车间了解生产进度。从 办公室到各车间的路线由图1给出。
找出点1（办公室）到其它各点 （车间）的最短路
11
27
2
2
1 5 3 5 55 7
3
1
4
3
1
6
7
5
12
2
权wij(dij)
2
距离、价格 2
15
3
点（vi）
边eij或记为（vi，vj） 13
3
5
3
3 0 v1
v2
3
v6
2.5
2
53
1
2
v3
4 3
4
v7 2
v4
v9
4 v8
41
v5
3
5
3
3 0 v1
v2
3
v6
2.5
2
53
1
2
v3
4 3
4
v7 2
v4
v9
4 v8
42
6 v5
3
5
3
v2
3
6
3
v6
2.5
0
v1
2
53
1
2
v3
4 3
4
v7 2
v4
v9
4 v8
43
6 v5
3
5
3
v2
3
6
3
v6
2.5
最短路问题不仅可以求解交通图中两点之间的最短距离，实际 中很多问题也可变为最短路问题加以求解。例如设备更新问题，厂 区合理布局问题等。兹举一例：
例1（设备更新问题）某企业使用一台设备，在每年年底，企业 都要决策下年度是购买一台新设备呢？还是继续使用这台设备。若 购买新的，就要支付一笔购置费；如果使用旧设备，只要支付维修 费，而维修费随着设备的使用年限延长而增加。现根据以往统计资 料已经估算出设备在各年初的价格和不同使用年限的修理费用，分 别如表1、表2所示。
运筹学-最短路问题[课件参考]
![运筹学-最短路问题[课件参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/199eaa4c5727a5e9846a6140.png)
Page 10
1、最短路算法基于以下原理：
一个最优策略的任一子策略也是最优策略.
若P是从vs到vt间的最短路, vi是P中的一个点,则vs到vi的最
短路就是从vs 沿P到vi的那条路。 v2
v4
v1
v3
v5
v1 →v2 →v3一定是v1 →v3的最短路，
v2 →v3 →v4也一定是v2 →v4的最短路。
2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
T (v j ) min[T (v j ) , P(vi ) wi j ]
3.比较与vi相邻的所有具有T标号的节点，把最小者改为P 标号，即： P(vk ) min[T (vi )]
精选课件
Chapter8 图与网络优化
本章主要内容：
§8.1 图的基本概念 §8.2 树 §8.3 最短路问题 §8.4 网络最大流问题 §8.5 最小费用最大流问题 §8.6 中国邮递员问题
精选课件
Page 3
§8.3 最短路问题
The Shortest-Path Problem
精选课件
§8.3 最短路问题
Page 17
解 :(1)首先给v1以P标号，给其余所有点T 标号。
P(v1) 0,T (vi ) (i 2, 3, , 8)，(v1) 0;
(2) T (v2 ) min{T (v2 ), P(v1 ) w12 } min{ , 0 3} 3
T (v4 ) min{T (v4 ), P(v1 ) w14 } min{ , 0 7} 7
精选课件
§8.3 最短路问题
运筹学最短路邮递员问题PPT课件
•
新的T（vj）=min{老的T（vj），p（vi）+ ωij }
• 若T（vj）= p（vi）+ ωij ，则记k（vj ）=vi（前点标记）;
• 3°找出具有最小T标号的点，将其标号改为p标号。若vt 已获得p
标号，则已找到最短路，由k（vt）反向追踪，就可找出vs 到vt 的最
短路径，p（vt）就是vs 到vt 的最短距离。否则，转2°。
p（v2）
=3 3
p（v1） v1
p（v=30）
=4
6
v2
51 1
v4
7 4
v5
v3 3 2
5
v7
26 v6 9 15
v8
T（v4）=min{6,4+1}=5, k（v4 ）=v3
T（v6）=min{7,4+2}=6, k（v6 ）=v3
目前，点v4 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v4）=5；
向继续前进，则最先到达终点vt 的流所走过的路径一定是最短的。
为了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表
示vs到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，
表示vs到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下：
• 1°标p（vs）=0，其余点标T（vi）=+∞;
• 2°由刚刚获得p标号的vi 点出发，改善它的相邻点vj 的T标号,即
对于点v2 ：d（v2）=min｛16+31,22+23,30+18,41｝=41， v对2→于v点6 v；1 ：d（v1）=min｛16+41,22+31,30+23,41+18,59｝
试确定一个五年内的设备更新计划，使五年内总支出最小。
运筹学最短路问题及程序
运筹学最短路问题----------关于旅游路线最短及程序摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜欢旅游。
而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题随之出现，如何决策成为一道难题。
然而，如果运用运筹学方法来解决这一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。
本文以旅游路线最短问题为列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。
关键词：最短路 0-1规划约束条件提出问题:从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。
各城市之间的航线距离如下表：重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明重庆0 1640 1500 662 2650 649北京1640 0 1200 1887 1010 2266杭州1500 1200 0 1230 2091 2089桂林662 1887 1230 0 2822 859哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494昆明649 2266 2089 859 3494 0问题分析：1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用。
这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。
2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个城市是不连接的。
这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0。
就如同下图3. 因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。
解法：为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，将其标为1）重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明123456假设：设变量x11。
《管理运筹学》演示(图论)
v3 (v2 ,1)
检查 vs 相邻点 v1 和 v2 。 v2点，fs2 = cs2 =3，不满足标号条件；v1点，fs1 < cs1 , v1点标号为（ vs , l(v1) ）, l(v1) =min[ l(vs) ,( cs1 - fs1 )]= min[+ , 5-1] = 4； 检查 v1 相邻点 v3 和 v2 。 v3点，f13 = c13 =2，不满足标号条件； v2点，f21=1> 0 , v2点标号为（ -v1 , l(v2) ）, l(v2) =min[ l(v1) , f21]= min[4 , 1] = 1； 检查 v2 相邻点 v3 和 v4 。v3点，f32=1> 0 , v3点标号为（ -v2 , l(v3) ）, l(v3) =min[ l(v2) , f32]= min[1 , 1]=1 ； v4点，f24 < c24 =1，v4点标号为（ v2 , 1 ） ；
,
最大流量 v(f ) = 5
最小费用最大流问题
例：求下列网络最小费用最大流。弧旁数字为( bij , cij ) 步骤：
v1
(1,7)
vt
取 f ( 0 ) ＝0为初始可行流； 构造赋权有向图w( f ( 0 ))，
vs
解：
v1
0 0
v2
0
0
v3
vt
0
bij wij bij wij
v8
步 骤：
给 vs点以 P 标号，P(vs) = 0，其余各点给 T 标号，
T(vs) = ＋ ；
若 vs点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 vj：
( vi , vj )属于A(或[vi , vj ] 属于E )，且vj 为 T 标号。对 vj 的T 标号进行如下的更改：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
我们把例6的数据代入以上线性规划模型，用“管理运筹 学软件”，马上得到以下的结果：f12=5，f14=5，f23=2， f25=3，f43=2，f46=1，f47=2，f35=2，f36=2，f57=5，f67=3。最 优值（最大流量）=10。
§4 最大流问题
二、最大流问题网络图论的解法
对网络上弧的容量的表示作改进。为省去弧的方向，如下图: (a)和
设弧(vi,vj)上流量为fij，网络上的总的流量为F，则有：
目 标 函 数 ： m ax F = f12 f14 约 束 条 件 ： f12 f23 f25
f14 f43 f46 f47 f23 f43 f35 f36 f25 f35 f57 f36 f46 f67 f57 f67 f47 f12 f14
“管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
§4，其每条弧的赋权称之为容量， 在不超过每条弧的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。
一、最大流的数学模型
例6 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地
运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径
35
8
4
v6 (b) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
35 4
v6 (c) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
4 v6 (d) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
v6 (e) v5
图11-13
v2 1 v3
3
7
v1 3
v7 2
v4
3
v6 (f) v5
§3 最小生成树问题
v1
v2
v3
v4
v5
v6
(b)
v8 v7
图11-11
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
图11-11中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不 是树， (c)因为不连通所以也不是树。
§3 最小生成树问题
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图11-12中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
59
（V01,s）
41
22
30
23
(30,1)
16
V2
16 v3 17
（16,1） (22,1)
30
v4 17 (41,1)18 23 31 v5
v6 (53,3) (53,4)
41
§3 最小生成树问题
• 树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
例5、某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机联网，这个网络的 可能联通的途径如下图，图中v1,…,v7 表示7个学院办公室，请设计一 个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
图11-14
v2 1 v3
34
7
v1 3
v7 2
v4
10 3
5
8
v6 4
v5
解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。
(b)、(c)和(d)的意义相同。
cij
vi （a）
vj
cij
0
vi （b）
vj
cij
vi （cji）（c）
vj
cij
cji
vi
（d）
vj
用以上方法对例6的图的容量标号作改进，得下图
0 v2 3 2
0 v5 5 0
fij cij , i 1, 2 , , 6; j 1, 2 , 7 fij 0, i 1, 2, , 6; j 1, 2, 7
§4 最大流问题
在这个线性规划模型中，其约束条件中的前6个方程表示 了网络中的流量必须满足守恒条件，发点的流出量必须等于 收点的总流入量；其余的点称之为中间点，它的总流入量必 须等于总流出量。其后面几个约束条件表示对每一条弧 (vi,vj)的流量fij要满足流量的可行条件，应小于等于弧(vi,vj) 的容量cij，并大于等于零，即0≤fij≤ cij。我们把满足守恒 条件及流量可行条件的一组网络流 {fij}称之为可行流， （即线性规划的可行解），可行流中一组流量最大（也即发 出点总流出量最大）的称之为最大流（即线性规划的最优 解）。
的变化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一样的。cij的 单位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地 v7运送石 油，问每小时能运送多少加仑石油？
v2
3
v5 5
6 v1
22
v3
2
v6 4
v7
6
31
2
v4
图11-26
§4 最大流问题
我们可以为此例题建立线性规划数学模型：
v6
6 59 41 31 23 18
§2 最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
30
最终得到下图，可知，v1到v6的距离是5341，最短路径有两条： v1 v3 v6和 v1 v4 v6
以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即
为最小生成树，否则返回第1步。
§3 最小生成树问题
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 1 v3
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
v1
3
34 7 v7 2
v4
10
35 4
8
v6 (a) v5
管理运筹学最短路实例演示文 稿
§2 最短路问题
解： 将问题转化为最短路问题，如下图： 用vi表示“第i年年初购进一台新设备”,弧（vi,vj）表示第i年年初购进 的设备一直使用到第j年年初。
v1
v2
v3
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
1
16
22
2
16
3
4
5
6
v4
v5
4
5
30
41
22
30
17
23
17