第二章-赋范线性空间
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*（5）逆算子定理 ：E、E1 都是 Banach 空间，T:E E1
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
定理（范数等价判别定理）在线性空间 E 中，两种范数
x与 1
x
2等价的 k1 0,k2 0,
对于x E ，都有
（2）(x y) Z x ( y Z) （3）“零元素”0 E,有 x 0 x （4）“负元素” x E,有 x (x) 0
（5） (x) ()x
（6）1 x x, 0 x 0
（7） ( )x x x
（8） (x y) x y
1
x p ( xi p ) p ，则(l p , x p )是赋范线性空间
i 1
p 1/ p
距离 (x, y) x y xi yi ，
i1
特别的， l — 表示一切有界数列 x (x1, x2, , xn, ) 的
全体，按通常定义下的“加法”“数乘”运算是线性空间。
f sup f (x) sup x 1。
x 1
x 1
② 已知 Rn，设 c (c1,c2, ,cn ) Rn 为固定向量，
例：① 设 A是 m n阶矩阵，则T : xRn AxRm是
有界线性算子
②
T
d dt
:
x(t) C1[a,b]
x(t)
f
[a, b] 是无界线性算子
（4）可逆算子：设算子T : D(T) N(T)，若存在算子T 1,使
T 1 : N (T ) N (T 1)
且对于x D(T ), 当Tx y N(T )时,有T 1y x ，则称 T 为
R1 中连续函数 f (x) 。
（3）有界算子 定义 若 M 0, 对于x D(T ) , 都有，
Tx M x
则称 T 是有界算子。
若 T 既是线性、又是有界算子，称 T 为有界线性算子
判别定理 设 T 是线性算子，则 T 是有界算子
T 将 D(T) 中的任一有界集映射为有界集。
x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的
即若 xn x, yn y , n xn yn x y, nxn x
3）范数的等价性
定义
设线性空间 E 中定义了两种范数
x和 1
x 2
如果由 xn 1 0 xn 2 0 ，称 x 1比 x 2更强；
lim
n
xn x
0
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim
n
xn
x
(强)。
2）性质 设 E 是赋范线性空间,{xn},{yn} E, {n} K（数域）
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即Tx x ,T 是连续泛函
(E, ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
§2.2 按范数收敛
赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由
范数导出的距离 (x, y) x y 之下来讨论，就可以得
到相应的结论。
1） 定义 设 E 是赋范线性空间，点列 xn及x E ，如果
例3 Pn (x)——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法”“数乘”运算下是线性空间。
例4 Qn (x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法”“数乘”运算下不是线性空间。
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。 若xE 按规一则定 实数 x 0，且满足下列三条(范数公理)
②
x 1
b a
x(t)
dt ，则(C,
x
1 )是赋范线性空间。
例3
L2 [a, b] 是线性空间，若定义
1
x
b
(a
x(t) 2 dt)2 ，则(L2,
x
)是赋范线性空间。
1
距离 (x, y) x y b x(t) y(t) 2 dt 2 a
例 4 l p (P 1) 是线性空间，若定义
k1
x 2
x 1 k2
x 2。
证：
§2.3 有限维赋范线性空间
有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单。
1) 定义 设 E 是赋范线性空间。若存在 n 个线性无关的
元素 e1,e2, ,en E ，使得x E ，有唯一表达式
n
x x1e1 x2e2 xnen xiei i1
§2.4 线性算子与线性泛函
映射：集合 集合的对应关系；
算子：空间 空间的映射，记为 T，
定义域记作 D(T），值域记作 N(T）
算子通常指：赋范线性空间 赋范线性空间的映射
泛函： 赋范线性空间 数域的映射。
最感兴趣，也是最简单的算子是：保持两种代数运 算的算子——线性算子。
1）线性算子（或线性泛函）的几个概念
验证得知 满足距离的三条公理，因此，(E, )在范数意
义下（以后均指这种情况）是距离空间 (E, ) ，称为由范
数导出的距离空间。
注意： 距离空间 赋范线性空间 。
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间；
② (x, y) (x y,0)；
③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 (E, ) 也是(E, )。
②
x
max 1in
xi
，则(R n ,
x
)是赋范线性空间。
n
③
x 1
xi ，则(Rn, x 1 )是赋范线性空间。
i 1
例2 C[a,b]是线性空间，若
定义
① x max x(t) ，则 (C, x )是赋范线性空间。 t[ a ,b ] 距离 (x, y) x y max x(t) y(t) t[ a ,b ]
② 集合{T T是E E1的有界线性算子} 称为有界线性 算子空间，记作
B(E E1)
若在上述空间中引入线性运算：
(T1 T2 )x T1x T2x,
(T )x (Tx)
其中x D(T1) D(T2) E, K 。则（E E1) ，B(E E1) 称 为线性空间，因此可以定义范数。
3）常见赋范线性空间
例 1 在xn ), y ( y1, y2, , yn ) R n
n
定义 ①
x 2
xi 2 ，则(Rn, x 2 )是赋范线性空间。
i 1
n
距离 (x, y) x y (xi yi )2 i 1
例如：C1[a,b]（一阶连续导函数全体）中，T
d dt
D ，则
d dt
[k1 x(t )
k2 y(t)]
k1
d dt
x(t)
k2
d dt
y(t)
（2）连续算子 若xn, x D(T ) ，当 xn x(n ) 时，Txn Tx ，称
T 为连续算子。
例如：范数Tx x 是连续泛函；
在 B(E E1) 中定义范数
Tx
T sup
x0
x
sup Tx sup Tx （可证明）
x 1
x 1
则 B(E E1) 为赋范线性空间。
特别的，若 E 为赋范线性空间，而 E1 为 Banach 空间
B(E E1) 也为 Banach 空间。
2）线性算子（或线性泛函）的性质——有界性和连续性
则称 E 为有限维（n 维）赋范线性空间。称{e1,e2, ,en}
为 E 的基（底），而称{x1, x2, , xn}为 E 在该基下的坐标。
2）性质 除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋 范线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列）。 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构（有相同的 代数运算性质）。
（1）正定性： x 0,当且仅当x 0时, x 0 （2）齐次性： x x （3）三角不等式x, y E, 有 x y x y x y
则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
(E, )或 E 。
（2）(E, )与 (E, ) 之间的关系 若在(E, )中，按范数定义距离，即 x, y E, (x, y) x y ，
§2.1 定义和举例
1）定义（线性空间）设 E 是非空集合，K 是实（或复） 数域。在 E 中定义两种运算
加法：x, y E, 存在唯一 z E, 记作 z x y
数乘：x E, k, 存在唯一 E, 记作 x
且满足八条运算规律：
（1） x y y x
定义：设 E、E1 是赋范线性空间，T : D(T) E N(T) E1。 （1）线性算子：若x, y D(T), K(数域)，有
T (x y) Tx Ty
T ( x) Tx
即 T(x y) Tx Ty
称 T 为 D(T)上的线性算子。特别的，T 0 0 T 0 0。
可逆算子，而T 1称为 T 的逆。
例如 设 A是 n 阶可逆方阵，则算子
T : x Rn y Ax Rn
的逆算子为 T 1 : y Rn x A1y Rn 。
（5） 线性算子空间
定义：设 E、E1 是同一数域 K 上的赋范线性空间，则
① 集合{T T是E E1的线性算子} 称为线性算子空间， 记作 （E E1)
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间）。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1 Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
例2 C[a,b]、 L[a,b] （在[a,b]上可积分函数全体），在 通常意义下的“加法”“数乘”运算下是线性空间。
若定义 x sup xi ，则(l, x )是赋范线性空间。 1i
注：由于(E, )在 (x, y) x y 定义下也是 (E, ) ， 所以在(E, )中可类似定义——邻域、开集、闭集、极 限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的结论： 完备性、可分性、紧性等。
4）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间(E, )按范数导出的距离空间
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
定理（范数等价判别定理）在线性空间 E 中，两种范数
x与 1
x
2等价的 k1 0,k2 0,
对于x E ，都有
（2）(x y) Z x ( y Z) （3）“零元素”0 E,有 x 0 x （4）“负元素” x E,有 x (x) 0
（5） (x) ()x
（6）1 x x, 0 x 0
（7） ( )x x x
（8） (x y) x y
1
x p ( xi p ) p ，则(l p , x p )是赋范线性空间
i 1
p 1/ p
距离 (x, y) x y xi yi ，
i1
特别的， l — 表示一切有界数列 x (x1, x2, , xn, ) 的
全体，按通常定义下的“加法”“数乘”运算是线性空间。
f sup f (x) sup x 1。
x 1
x 1
② 已知 Rn，设 c (c1,c2, ,cn ) Rn 为固定向量，
例：① 设 A是 m n阶矩阵，则T : xRn AxRm是
有界线性算子
②
T
d dt
:
x(t) C1[a,b]
x(t)
f
[a, b] 是无界线性算子
（4）可逆算子：设算子T : D(T) N(T)，若存在算子T 1,使
T 1 : N (T ) N (T 1)
且对于x D(T ), 当Tx y N(T )时,有T 1y x ，则称 T 为
R1 中连续函数 f (x) 。
（3）有界算子 定义 若 M 0, 对于x D(T ) , 都有，
Tx M x
则称 T 是有界算子。
若 T 既是线性、又是有界算子，称 T 为有界线性算子
判别定理 设 T 是线性算子，则 T 是有界算子
T 将 D(T) 中的任一有界集映射为有界集。
x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的
即若 xn x, yn y , n xn yn x y, nxn x
3）范数的等价性
定义
设线性空间 E 中定义了两种范数
x和 1
x 2
如果由 xn 1 0 xn 2 0 ，称 x 1比 x 2更强；
lim
n
xn x
0
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim
n
xn
x
(强)。
2）性质 设 E 是赋范线性空间,{xn},{yn} E, {n} K（数域）
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即Tx x ,T 是连续泛函
(E, ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
§2.2 按范数收敛
赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由
范数导出的距离 (x, y) x y 之下来讨论，就可以得
到相应的结论。
1） 定义 设 E 是赋范线性空间，点列 xn及x E ，如果
例3 Pn (x)——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法”“数乘”运算下是线性空间。
例4 Qn (x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法”“数乘”运算下不是线性空间。
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。 若xE 按规一则定 实数 x 0，且满足下列三条(范数公理)
②
x 1
b a
x(t)
dt ，则(C,
x
1 )是赋范线性空间。
例3
L2 [a, b] 是线性空间，若定义
1
x
b
(a
x(t) 2 dt)2 ，则(L2,
x
)是赋范线性空间。
1
距离 (x, y) x y b x(t) y(t) 2 dt 2 a
例 4 l p (P 1) 是线性空间，若定义
k1
x 2
x 1 k2
x 2。
证：
§2.3 有限维赋范线性空间
有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单。
1) 定义 设 E 是赋范线性空间。若存在 n 个线性无关的
元素 e1,e2, ,en E ，使得x E ，有唯一表达式
n
x x1e1 x2e2 xnen xiei i1
§2.4 线性算子与线性泛函
映射：集合 集合的对应关系；
算子：空间 空间的映射，记为 T，
定义域记作 D(T），值域记作 N(T）
算子通常指：赋范线性空间 赋范线性空间的映射
泛函： 赋范线性空间 数域的映射。
最感兴趣，也是最简单的算子是：保持两种代数运 算的算子——线性算子。
1）线性算子（或线性泛函）的几个概念
验证得知 满足距离的三条公理，因此，(E, )在范数意
义下（以后均指这种情况）是距离空间 (E, ) ，称为由范
数导出的距离空间。
注意： 距离空间 赋范线性空间 。
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间；
② (x, y) (x y,0)；
③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 (E, ) 也是(E, )。
②
x
max 1in
xi
，则(R n ,
x
)是赋范线性空间。
n
③
x 1
xi ，则(Rn, x 1 )是赋范线性空间。
i 1
例2 C[a,b]是线性空间，若
定义
① x max x(t) ，则 (C, x )是赋范线性空间。 t[ a ,b ] 距离 (x, y) x y max x(t) y(t) t[ a ,b ]
② 集合{T T是E E1的有界线性算子} 称为有界线性 算子空间，记作
B(E E1)
若在上述空间中引入线性运算：
(T1 T2 )x T1x T2x,
(T )x (Tx)
其中x D(T1) D(T2) E, K 。则（E E1) ，B(E E1) 称 为线性空间，因此可以定义范数。
3）常见赋范线性空间
例 1 在xn ), y ( y1, y2, , yn ) R n
n
定义 ①
x 2
xi 2 ，则(Rn, x 2 )是赋范线性空间。
i 1
n
距离 (x, y) x y (xi yi )2 i 1
例如：C1[a,b]（一阶连续导函数全体）中，T
d dt
D ，则
d dt
[k1 x(t )
k2 y(t)]
k1
d dt
x(t)
k2
d dt
y(t)
（2）连续算子 若xn, x D(T ) ，当 xn x(n ) 时，Txn Tx ，称
T 为连续算子。
例如：范数Tx x 是连续泛函；
在 B(E E1) 中定义范数
Tx
T sup
x0
x
sup Tx sup Tx （可证明）
x 1
x 1
则 B(E E1) 为赋范线性空间。
特别的，若 E 为赋范线性空间，而 E1 为 Banach 空间
B(E E1) 也为 Banach 空间。
2）线性算子（或线性泛函）的性质——有界性和连续性
则称 E 为有限维（n 维）赋范线性空间。称{e1,e2, ,en}
为 E 的基（底），而称{x1, x2, , xn}为 E 在该基下的坐标。
2）性质 除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋 范线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列）。 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构（有相同的 代数运算性质）。
（1）正定性： x 0,当且仅当x 0时, x 0 （2）齐次性： x x （3）三角不等式x, y E, 有 x y x y x y
则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
(E, )或 E 。
（2）(E, )与 (E, ) 之间的关系 若在(E, )中，按范数定义距离，即 x, y E, (x, y) x y ，
§2.1 定义和举例
1）定义（线性空间）设 E 是非空集合，K 是实（或复） 数域。在 E 中定义两种运算
加法：x, y E, 存在唯一 z E, 记作 z x y
数乘：x E, k, 存在唯一 E, 记作 x
且满足八条运算规律：
（1） x y y x
定义：设 E、E1 是赋范线性空间，T : D(T) E N(T) E1。 （1）线性算子：若x, y D(T), K(数域)，有
T (x y) Tx Ty
T ( x) Tx
即 T(x y) Tx Ty
称 T 为 D(T)上的线性算子。特别的，T 0 0 T 0 0。
可逆算子，而T 1称为 T 的逆。
例如 设 A是 n 阶可逆方阵，则算子
T : x Rn y Ax Rn
的逆算子为 T 1 : y Rn x A1y Rn 。
（5） 线性算子空间
定义：设 E、E1 是同一数域 K 上的赋范线性空间，则
① 集合{T T是E E1的线性算子} 称为线性算子空间， 记作 （E E1)
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间）。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1 Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
例2 C[a,b]、 L[a,b] （在[a,b]上可积分函数全体），在 通常意义下的“加法”“数乘”运算下是线性空间。
若定义 x sup xi ，则(l, x )是赋范线性空间。 1i
注：由于(E, )在 (x, y) x y 定义下也是 (E, ) ， 所以在(E, )中可类似定义——邻域、开集、闭集、极 限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的结论： 完备性、可分性、紧性等。
4）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间(E, )按范数导出的距离空间