八下第一章《三角形证明》培优提高

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2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练( 含答案)

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练（含答案）一、单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．16C ．24D ．32 2．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别为R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，则下列四个结论：①PA 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△CSP ，其中结论正确的的序号为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 3．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（）A ．()20182(3),0-⨯B ．()20180,2(3)-⨯B ．C ．()20192(3),0⨯D ．()20190,2(3)-⨯4．如图，直线l ：y =，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…按此作法继续下去，则点A 2015的坐标为( )A ．（0，42015）B ．（0，42014）C ．（0，32015）D ．（0，32014） 5．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（）A ．3B ．23C ．4D ．32 6．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（）A ．5B ．8C ．254D ．2587．如图, 在△DAE 中, ∠DAE ＝40°, B 、C 两点在直线DE 上，且∠BAE ＝∠BEA ，∠CAD ＝∠CDA ，则∠BAC 的大小是（）A．100°B．90°C．80°D．120°8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．49．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC 的面积为（）A．203B．253C．303D．40310．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0），有一动点P在直线AB上，△APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝_____°．12．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．14．已知：四边形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =90°，三角形ABC 的面积为1，则线段AC 的长度是___________.15．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________ 16．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是AB 的中点，点M 在CB 的延长线上，点N 在AC 上，且满足∠MPN=120º．已知△ABC 的周长为12，设m=2AC-CM-CN ，若关于x 的方程53mx m x n -=-的解是正数，则n 的取值范围是__________17．已知在△ABC 中,两边AB 、AC 的中垂线，分别交BC 于E 、G ．若BC ＝12，EG ＝2，则△AEG 的周长是________．18．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．19．已知等边三角形ABC 的边长为6，有从点A 出发每秒1个单位且垂直于AC 的直线m 交三角形的边于P 和Q 两点且由A 向C 平移，点G 从点C 出发每秒4个单位沿C →B →P →Q →C 路线运动，如果直线m 和点G 同时出发，则点G 回到点C 的时间为_________．20．如图，过边长为1的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为______.三、解答题21．如图，在已知ABC △中，AB AC =，点D 在BC 上，过D 点的直线分别交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE CF =．求证：DE DF =．22．如图所示，点O 是线段AC 的中点，OB AC ⊥，9OA =.（1）如图1，若30ABO ∠=︒，求证ABC ∆是等边三角形；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D 在射线AC 上，点D 在点C 右侧，且BDQ ∆是等边三角形，QC 的延长线交直线OB 于点P ，求PC 的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M 在线段BC 上，OMN ∆是等边三角形，且点M 沿着线段BC 从点B 运动到点C ，点N 随之运动，求点N 的运动路径的长度. 23．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).24．已知：点A 在射线CE 上，C D ∠=∠．（1）如图1，若//,AC BD 求证：//AD BC ．（2）如图2，若,BD BC BD ⊥与CE 交于点,G 请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作//DF BC 交射线CE 于点,F 当8,DFE DAE ∠=∠BAC BAD ∠=∠时，直接写出BAD ∠的度数为25．如图，ABC ∆中，90,5,4ACB AB BC ︒∠===，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A C B A －－－运动（回到点A 停止运动），设运动时间为t 秒．（1）当点P 在BC 上时，且满足PA PB =时，求出此时t 的值；（2）当点P 在AB 上时，求出t 为何值时，ACP ∆为以AC 为腰的等腰三角形．26．如图1，在平面直角坐标系中，已知A （a ，b ），且a 、b 满足22+1b a a =-+-，（1）求A 点的坐标及线段OA 的长度；（2）点P 为x 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点的坐标；（3）如图2，若B （1，0），C （0，－3），试确定∠ACO+∠BCO 的值是否发生变化，若不变，求其值；若变化，请求出变化范围.27．如图，∠AOB=115°，∠EOF =155°，OA 平分∠EOC ，OB 平分∠DOF ，（1）求∠AOE+∠FOB 度数；（2）求∠COD 度数。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明能力提升( 解析版)

第一章三角形的证明卷I（选择题）一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）1.如图，已知AB // CD，OM是∠BOF的平分线，∠2=70∘，则∠1的度数为( )A.140∘B.130∘C.125∘D.100∘2.等腰三角形的一个角是80∘，则它顶角的度数是（）A.80∘或20∘B.80∘C.80∘或50∘D.20∘3.用反证法证明“△ABC中，如果AB≠AC，那么∠B≠∠C”时，第一步是( )A.假设AB=ACB.假设∠B=∠CC.假设AB≠ACD.假设AB≠AC4.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√5，则BC的长为( )A.√3−1B.√3+1C.√5−1D.√5+15.图中，最外面是第1个等边三角形，边长为1，记周长为l1，然后以中心为顶点构造第2个等边三角形，使其底边与第1个等边三角形底边重合，记其周长为l2；若继续构造下去，则第n个等边三角形的周长l n为（）A.(13)n−1B.(13)n−2C.3⋅(12)n−2D.3⋅(12)n−1 6.如图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15∘后得到△AB 1C 1，若AC ＝2，则图中阴影部分的面积为（）A.2√33B.√36C.√3D.3√3卷II （非选择题）二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）7.直角三角形中两个锐角的差为20∘，则两个锐角的度数分别是________．8.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB =8cm ，AC =6cm ，S △ABD =12，则 S △ACD =________．9.如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A ＝60∘，∠ACF ＝48∘，则∠ABC 的度数为＝________．10.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C 处．若AE=√3，则BC的长是________．11.如图，某汽车从A处出发准备开往正北方向M处，但是由于AM之间道路正在整修，所以需先到B处，再到M处，若B在A的北偏东25∘方向上，汽车到B处发现，此时正好BM=BA，则汽车要想到达M处，此时应沿北偏西________的方向行驶．12.如图，在直角坐标系中，ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0, 8)，B(−6, 8)，C(−6, 0)，D(0, 0)，现有动点P在线段CB上运动，当△ADP为等腰三角形时，P点坐标为________．三、解答题（本题共计11小题，共计84分）13.（6分）如图，在△ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，DE⊥CB于E，∠B=55∘，求∠CDE的度数．14.（6分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB边的垂直平分线MN交AC于点D，求△BCD的周长．15.（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30∘，∠DAB＝45∘．求证：△ADC是等腰三角形．BC．16.（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=12求证：AB平分∠EAD．17.(6分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使AP＝AP′．（2）如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使BP＝CP′．18.(8分)如图，已知∠BAC＝120∘，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D，（1）求∠ADB的度数；（2）若AD＝2，求BC的长．19.（8分）如图，D为等边△ABC边BC上一点，DE⊥AB于E，若BD:CD＝2:1，DE＝2√3，求AE．20.(8分)如图：△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB．（1）求证：∠BAC＝2∠EDB；（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．21.(9分)如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．求证：（1）∠BAC=2∠BEC；（2）∠CAE+∠BEC=90∘．22.（9分）我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．AB，求∠APB的度应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，已知PA=PB且PD=12数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．23.（12分）感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180∘，∠B=90∘，易知：DB=DC．探究：如图②，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B=45∘，∠C=135∘，试说明：DB与DC的数量关系，并说明原因．应用：如图③，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180∘，∠ABD<90∘，DB与DC的上述关系还成立吗？并说明原因．参考答案与试题解析第一章三角形的证明一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）1.【答案】A【解答】解：∵AB // CD，∠2=70∘，∴∠BOM=∠2=70∘，∵OM是∠BOF的平分线，∴∠BOF=2∠BOM=140∘，∵AB // CD，∴∠1=∠BOF=140∘．故选A．2.【答案】A【解答】(180∘−80∘)=50∘；解：分两种情况讨论：①当80∘的角为顶角时，底角为12②当80∘角为底角时，另一底角也为80∘，顶角为20∘；综上所述：等腰三角形的一个角是80∘，则它顶角的度数是80∘或20∘；故选：A．3.【答案】B【解答】解：用反证法证明“△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C“第一步应是假设∠B=∠C，故选B.4.【答案】D【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=√5，在Rt△ADC中，DC=√AD2−AC2=√(√5)2−22=1；∴BC=√5+1．故选D．5.【答案】B【解答】由已知得：第1个等边三角形的周长为：1+1+1＝3=(13)1−2，第2个等边三角形的周长为：13+13+13=1=(13)2−2，第3个等边三角形的周长为：19+19+19=13=(13)3−2，…，所以第n个等边三角形的周长l n为：(13)n−2．6.【答案】A【解答】∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15∘后得到△AB′C′，∵∠CAC′＝15∘，∴∠C′AB＝∠CAB−∠CAC′＝45∘−15∘＝30∘，AC′＝AC＝2，∴阴影部分的面积=12×2×tan30∘×2=2√33，二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）7.【答案】55∘、35∘【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x−20∘，则x+x−20∘=90∘，解得，x=55∘，x−20∘=35∘故答案为：55∘、35∘．8.【答案】9cm2【解答】解：过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是角平分线，∴DE=DF，∵S△ABD=12AB⋅DE，∴12=12×8DE，解得DE=3(cm)，∴DF=3cm，∴S△ACD=12AC⋅DF=12×6×3=9(cm2)，故答案为：9cm2．9.【答案】48∘【解答】∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60∘，∴∠ABC+∠ACB＝120∘，∵∠ACF＝48∘，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∵∠ACF＝48∘，∴3∠FCE ＝120∘−48∘＝72∘，∴∠FCE ＝24∘，∴∠ABC ＝48∘，10.【答案】√3【解答】∵AB =AC ，∠A =36∘，∴∠B =∠ACB =180∘−36∘2=72∘，∵将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处，∴AE =CE ，∠A =∠ECA =36∘，∴∠BCE =∠BCD −∠ECD =72∘−36∘=36∘，∴∠BEC =180∘−∠B −∠BCE =180∘−72∘−36∘=72∘， ∴∠BEC =∠B,∴BC =CE.∵AE =√3，∴BC =CE =AE =√3.故答案为：√3.11.【答案】25∘【解答】解：∵MB =BA ，∴∠M =∠A =25∘，∴∠1=∠M =25∘，故答案为：25∘．12.【答案】(−6, 4)，(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)【解答】解：如图，当AP=PD时，点P在AD的垂直平分线上，∴P(−6, 4)，当AP=AD=8时，BP=√AP2−AB2=2√7，当DP=AD=8时，PC=2√7，∴P(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)，∴P点坐标为(−6, 4)，(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)．故答案为：(−6, 4)，(−6, 2√7)，(−6, 8−2√7)．三、解答题（本题共计11小题，共计84分）13.【答案】解：∵AC=BC，CD为AB边上的中线，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90∘，∴∠CDE+∠BDE=90∘，∵DE⊥CB，∴∠B+∠BDE=90∘，∴∠CDE=∠B=55∘．【解答】解：∵AC=BC，CD为AB边上的中线，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90∘，∴∠CDE+∠BDE=90∘，∵DE⊥CB，∴∠B+∠BDE=90∘，∴∠CDE=∠B=55∘．14.【答案】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，∵AB=AC，AB+BC=13，∴△BCD的周长为13．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，∵AB=AC，AB+BC=13，∴△BCD的周长为13．15.【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30∘，∵∠C+∠BAC+∠B＝180∘，∴∠BAC＝180∘−30∘−30∘＝120∘，∵∠DAB＝45∘，∴∠DAC＝∠BAC−∠DAB＝120∘−45∘＝75∘；∵∠DAB＝45∘，∠B＝30∘∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75∘，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30∘，∵∠C+∠BAC+∠B＝180∘，∴∠BAC＝180∘−30∘−30∘＝120∘，∵∠DAB＝45∘，∴∠DAC＝∠BAC−∠DAB＝120∘−45∘＝75∘；∵∠DAB＝45∘，∠B＝30∘∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75∘，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．16.【答案】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BC，AD⊥BC，∴BD=12BC，∵BE=12∴BD＝BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BC，AD⊥BC，∴BD=12BC，∵BE=12∴BD＝BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．17.【答案】如图①，点P′为所求作的图形，理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P′，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠HCB，∴∠ABP′＝∠ACP，∵AB＝AC，∠BAP′＝∠CAP，∴△ABP′≅△ACP，∴AP′＝AP，如图②，点P′为所求作的图形，理由：同（1）的方法即可得出，BP＝CP′．【解答】如图①，点P′为所求作的图形，理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P′，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠HCB，∴∠ABP′＝∠ACP，∵AB＝AC，∠BAP′＝∠CAP，∴△ABP′≅△ACP，∴AP′＝AP，如图②，点P′为所求作的图形，理由：同（1）的方法即可得出，BP＝CP′．18.【答案】∵∠BAC＝120∘，AB＝AC，(180∘−∠BAC)＝30∘，∴∠B＝∠C=12∵AC的垂直平分线DE，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30∘，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60∘．∵∠B＝30∘，∠ADB＝60∘，∴∠BAD＝90∘，∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵DC＝AD＝2，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6．【解答】∵∠BAC＝120∘，AB＝AC，(180∘−∠BAC)＝30∘，∴∠B＝∠C=12∵AC的垂直平分线DE，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30∘，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60∘．∵∠B＝30∘，∠ADB＝60∘，∴∠BAD＝90∘，∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵DC＝AD＝2，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6．19.【答案】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60∘，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90∘，∴∠BDE＝30∘，∴BD＝2BE，在Rt△BDE中，设BE＝x，则BD＝2x，∵DE＝2√3，由勾股定理得：(2x)2−x2＝(2√3)2，解得：x＝2，所以BE＝2，BD＝4，∵BD:CD＝2:1，∴CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6，∵AE＝AB−BE∴AE＝6−2＝4．【解答】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60∘，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90∘，∴∠BDE＝30∘，∴BD＝2BE，在Rt△BDE中，设BE＝x，则BD＝2x，∵DE＝2√3，由勾股定理得：(2x)2−x2＝(2√3)2，解得：x＝2，所以BE＝2，BD＝4，∵BD:CD＝2:1，∴CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6，∵AE＝AB−BE∴AE＝6−2＝4．20.【答案】∵AB＝AC，D为BC边的中点∠BAC ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∴∠B+∠BAD＝90∘∵DE⊥AB∴∠B+∠EDB＝90∘∠BAC∴∠EDB=∠BAD=12即∠BAC＝2∠EDB∵AB＝AC＝6，DE＝2=6∴S△ABD=6×2×12∵D为BC边的中点∴S△ADC＝S△ADB＝6∴S△ABC＝12【解答】∵AB＝AC，D为BC边的中点∠BAC ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∴∠B+∠BAD＝90∘∵DE⊥AB∴∠B+∠EDB＝90∘∠BAC∴∠EDB=∠BAD=12即∠BAC＝2∠EDB∵AB＝AC＝6，DE＝2∴S△ABD=6×2×12=6∵D为BC边的中点∴S△ADC＝S△ADB＝6∴S△ABC＝1221.【答案】解：（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD=12∠ACD=12(∠BAC+∠ABC)，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC，∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+12∠ABC，∴∠BEC+12∠ABC=12(∠BAC+∠ABC)∴∠BEC=12∠BAC，即∠BAC=2∠BEC；（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，∴EG=EM∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA∴EN=EM∴EG=EN∴AE平分∠CAN∴∠CAE=12∠CAN=12(180∘−∠BAC)，∴∠CAE+∠BEC=12(180∘−∠BAC)+12∠BAC=90∘．【解答】解：（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD=12∠ACD=12(∠BAC+∠ABC)，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC，∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+12∠ABC，∴∠BEC+12∠ABC=12(∠BAC+∠ABC)∴∠BEC=12∠BAC，即∠BAC=2∠BEC；（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，∴EG=EM∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA∴EN=EM∴EG=EN∴AE平分∠CAN∴∠CAE=12∠CAN=12(180∘−∠BAC)，∴∠CAE+∠BEC=12(180∘−∠BAC)+12∠BAC=90∘．22.【答案】解：应用：因为PA =PB ，由PD =12AB ，得PD =BD ，∴∠APD =45∘，故∠APB =90∘；探究：∵BC =5，AB =3，∴AC =√BC 2−AB 2=√52−32=4，①若PB =PC ，设PA =x ，则x 2+32=(4−x)2， ∴x =78，即PA =78，②若PA =PC ，则PA =2，③若PA =PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能成立．故PA =2或78．【解答】解：应用：因为PA =PB ，由PD =12AB ，得PD =BD ，∴∠APD =45∘，故∠APB =90∘；探究：∵BC =5，AB =3，∴AC =√BC 2−AB 2=√52−32=4，①若PB =PC ，设PA =x ，则x 2+32=(4−x)2， ∴x =78，即PA =78，②若PA =PC ，则PA =2，③若PA =PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能成立．故PA =2或78．23.【答案】解：探究：DC =DB ，理由如下：在图②中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE =DF ．∵∠DCA =135∘，∴∠DCF =180∘−∠DCA =45∘=∠B ．在△DCF 和△DBE 中，{∠F =∠DEB =90∘∠DCF =∠BDF =DE，∴△DCF ≅△DBE(AAS)，∴DC =DB ．应用：结论仍成立，理由如下：在图③中，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ， ∵DA 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， ∴DM =DN ．∵∠B +∠ACD =180∘，∠ACD +∠NCD =180∘， ∴∠B =∠NCD ．在△NCD 和△MBD 中，{∠N =∠BMD∠NCD =∠B DN =DM，∴△NCD ≅△MBD ，∴DC =DB ．【解答】解：探究：DC =DB ，理由如下：在图②中，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE =DF ．∵∠DCA =135∘，∴∠DCF =180∘−∠DCA =45∘=∠B ．在△DCF 和△DBE 中，{∠F =∠DEB =90∘∠DCF =∠BDF =DE，∴△DCF ≅△DBE(AAS)，∴DC =DB ．应用：结论仍成立，理由如下：在图③中，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ， ∵DA 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， ∴DM =DN ．∵∠B +∠ACD =180∘，∠ACD +∠NCD =180∘， ∴∠B =∠NCD ．在△NCD 和△MBD 中，{∠N =∠BMD∠NCD =∠B DN =DM，∴△NCD ≅△MBD ， ∴DC =DB ．。

北师大初二数学8年级下册第1章(三角形的证明)1.4角平分线同步提升训练(含解析)

北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步提升训练（附答案）1．如图，已知△ABC的面积是30，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的周长是（）A．30B．25C．20D．152．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（）处．A．一B．二C．三D．四3．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（）A．15B．12C．10D．144．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1B．1.5C．2D．2.55．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝11，AB＝6，DE＝2，则AC ＝（）A．7B．6C．5D．46．如图，在△ABC中，BD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝4，BC＝6，DF＝2，则AE的长为（）A．3B．C．D．7．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝3，则△BCE的面积等于（）A．11B．8C．12D．38．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P（A、P、C 三点不共线），记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（）A．S1+S3＝S2+S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S4＝S2+S3D．S1＝S39．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（）A．25B．5.5C．7.5D．12.510．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三个角的平分线的交点．上述结论中，正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．12．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD ＝8，则四边形ABCD的面积是．13．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是．14．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝70°，则∠BOC＝．15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为 cm2．16．如图，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ABC和∠BAC的角平分线的交点是点D，则△ABD 的面积为．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为．18．如图，BH是钝角三角形ABC的高，AD是角平分线，且2∠C＝90°﹣∠ABH，若CD＝4，△ABC的面积为12，则AD＝．19．如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM＝MP＝6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是．20．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B 作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，，连接BE，，则CE ＝．21．如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E．（1）若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；（2）直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．24．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．25．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．26．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．参考答案1．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OD⊥BC于D，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，∵△ABC的面积是30，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴S△ABC＝×（AB+BC+AC）×3＝30，∴AB+BC+AC＝20，即△ABC的周长是20，故选：C．2．解：∵度假村到三条公路的距离相等，∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，∵△ABC的三条角平分线相交于一点，∴度假村可供选择的位置有一处，故选：A．3．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：∵BD是AC边上的高，∴ED⊥AC，又∵AE平分∠CAB，DE＝3，∴EF＝3，∵AB＝8，∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．故选：B．4．解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝AD＝2，故选：C．5．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝2，∵S△ADC+S△ABD＝S△ABC，∴×2×AC+×2×6＝11，∴AC＝5．故选：C．6．解：如图所示，过D作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∵AE⊥BC，∴BC×AE＝AB×DF+BC×DH，即6AE＝4×2+6×2，∴AE＝，故选：C．7．解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE＝3，∴EF＝DE＝3，∴△BCE的面积S＝＝，故选：C．8．解：四边形ABCD，四个内角平分线交于一点P，则P是该四边形内切圆的圆心，如图，可将四边形分成8个三角形，面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d，则S1＝a+d，S2＝a+b，S3＝b+c，S4＝c+d，∴S1+S3＝a+b+c+d＝S2+S4，故选：A．9．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S Rt△ADF＝S Rt△ADH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S Rt△DEF＝S Rt△DGH，∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，∴35+S Rt△DEF＝60﹣S Rt△DGH，∴S Rt△DEF＝．故选：D．10．解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．12．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DE+BC•CD，＝×12×8+×18×8，＝120．故答案为：120．13．解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，∴PA＝PE＝PD，∵AD＝10，∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，故答案为：5．14．解：∵在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∴O为△ABC的三内角平分线的交点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∴∠OBC+∠OCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，故答案为：125°．15．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，∴PF＝PG＝PE＝3，∵S△BPC＝7.5，∴BC•3＝7.5，解得BC＝5，∵△ABC的周长为14cm，∴AB+AC+BC＝14，∴AB+AC＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP＝（AB+AC﹣BC）×3＝×（9﹣5）×3＝6（cm2）．故答案为：6．16．解：连接CD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，由勾股定理得，AB＝，∵点D是∠ABC和∠BAC的角平分线的交点，DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，∴DE＝DF＝DG，×AB×DE+×AC×DF+×BC×DG＝×AC×BC，即×10×DE+×6×DF+×8×DG＝×6×8，解得，DE＝2，∴△ABD的面积＝×10×2＝10，故答案为：10．17．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．18．解：∵BH为△ABC的高，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH＝90°﹣∠ABH，而2∠C＝90°﹣∠ABH，∴∠BAH＝2∠C，∵∠BAH＝∠C+∠ABC，∴∠ABC＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，∵AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，∵△ABC的面积为12，∴×AD×BC＝12，即×AD×8＝12，∴AD＝3．故答案为3．19．解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，∴∠AOP＝∠AOB＝30°，∴∠DPO＝60°，∵PM＝DM＝6，∴∠MDP＝∠DPM＝60°，∵∠PDO＝90°，∴∠ODM＝30°＝∠AOP，∴OM＝DM＝6，∴OP＝12，∴PD＝OP＝6，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值＝PD＝6，故答案为：6．20．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，∵S△BCE＝•EC•BF＝，∴×2m×m＝，∴m＝或﹣（舍弃），∴CE＝2m＝5，故答案为5．21．解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝75°，∴∠ACB＝50°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝25°，∵∠B＝75°，CD⊥AB，∴∠BCD＝15°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝25°﹣15°＝10°，即∠DCE的度数是10°；（2）∠DCE＝（∠B﹣∠A），理由：∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，CE平分∠ACB，∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°﹣∠B，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠A﹣∠B﹣90°+∠B＝（∠B﹣∠A），即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．22．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．23．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDF均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．24．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．25．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，∵BP平分∠ABC，∴PH＝PQ＝8，即点P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：∵PC平分∠ACE，∴PD＝PQ，而PH＝PQ，∴PD＝PH，∴点P在∠HAC的平分线上．26．解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．。

(完整版)北师大版八年级下册《三角形证明》培优提高

(完满版)北师大版八年级下册?三角形证明?培优提高三角形的证明单元检测卷9．以以下图，在△ABC 中，AB=AC ，D、E 是△ABC 内两点， AD 均分∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，假设 BE=6，DE=2，那么 BC 的长度是〔〕A． 6 B． 8 C． 9 D． 10 1．〔4 分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是 80°，那么它顶角的度数是〔〕A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20°10．〔4 分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，2．〔4 分〕以下命题的抗命题是真命题的是〔〕以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，A．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．假设 a=6，那么 |a|=|b|再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交3．△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边 BC=4 cm ，最长边 AB 的长是于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，那么以下说法中正确的个A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm数是〔〕4．〔4 分〕如图， AE=CF ，∠AFD= ∠CEB，那么增加下① AD 是∠BAC 的均分线；②∠ADC=60 °；③点 D 在 AB 的列一个条件后，仍无法判断△ADF ≌△CBE 的是〔〕中垂线上；④ S△DAC：S△ABC=1：3．A．∠A=∠C B．A D=CB C．BE=DF D．AD∥BC5．〔4 分〕如图，在△ABC 中，∠B=30 °，BC 的垂直均分线交 AB 于 E，垂足为 D．假设 ED=5，那么 CE 的长为〔〕A．10 B．8 C．5 D．6.如图，D 为△ABC 内一点，CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A= ∠ABE ．假设 AC=5 ，BC=3，那么 BD 的长为〔〕A．1 B．2 C．3 D．412．〔4 分〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A〔0，2〕，B 〔0，6〕，动点 C 在直线 y=x 上．假设以 A、B、C 三点为极点的三角形是等腰三角形，那么点 C 的个数是〔〕A． B． C．2 D．17．〔4 分〕如图， AB=AC ，BE ⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于 A．2 B．3 C．4 D．5点 F，BE、CF 订交于点 D，那么①△ABE ≌△ACF ；13．〔4 分〕如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 ，F 是 AB 边上的中点，②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的均分线上．以上点 D，E 分别在 AC，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE，DF，EF．在此运结论正确的选项是〔〕动变化的过程中，以下结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形 CDFE 不能能为正方形，A．① B．② C．①② D．①②③③ DE 长度的最小值为 4；8．〔4 分〕以以下图， AB ⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，④四边形 CDFE 的面积保持不变；∠BAE= ∠DEC=60 °，AB=3 ，CE=4，那么 AD 等于〔〕⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是〔〕A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤A．10 B．12 C．24 D．48二、填空题〔每题 4 分，共 24 分〕214．〔4 分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°时〞，第一应假设这个三角形中 ___．15．〔4 分〕假设〔 a﹣1〕2+|b﹣2|=0，那么以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 _ ．16．〔4 分〕如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直均分线，交 AC于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE=20 °，那么∠C= _________ ．24．〔10 分〕如图，把一个直角三角形 ACB 〔∠ACB=90 °〕绕着极点 B 顺时针旋转 60°，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E的地址． F，G 分别是 BD，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．〔1〕求证： CF=DG ；〔2〕求出∠FHG 的度数．25．〔10 分〕：如图，△ABC 中，∠ABC=45 °，DH垂直均分 BC 交 AB 于点 D，BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC于 E，与 CD 订交于点 F．〔1〕求证： BF=AC ；17．〔4 分〕如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF，DE 过点 I，且DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm，那么 DE 等于 _________ ．〔2〕求证：．18．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿五、解答题〔每题 12 分.共 24 分〕与蚊子相对的点 A 处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m．26．〔12 分〕如图，在△ABC 中，D 是 BC 是中点，过点 D的直线 GF 交 AC 于点 F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，19．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC 边上的点，CD=1 ，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 EDE⊥DF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF．处，假设点 P 是直线 AD 上的动点，那么△PEB 的周长的最小值是．〔1〕求证： BG=CF ；〔2〕求证： EG=EF ；三、解答题〔每题 7 分，共 14 分〕〔3〕请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．20．〔7 分〕如图，C 是 AB 的中点，AD=BE ， 27．〔12 分〕△ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点〔不与 B、C 重合〕，以 AD 为一边向 AD 的左侧作△ADE ，使 AD=AE ，CD=CE ．求证：∠A=∠B．21．〔7 分〕如图，两条公路 OA 和∠DAE= ∠BAC ，过点 E 作 BC 的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE．〔1〕如图 1，假设∠BAC= ∠DAE=60 °，那么△BEF 是 _________ 三角形；OB 订交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，〔2〕假设∠BAC= ∠DAE ≠60°使货站 P 到两条公路 OA 、OB 的距离相等，且到两工厂 C、①如图 2，当点 D 在线段 BC 上搬动，判断△BEF 的形状并证明；D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的地址．四、解答题〔每②当点 D 在线段 BC 的延长线上搬动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并小题 10 分，共 40 分〕画出相应的图形．22．〔10 分〕在四边形 ABCD 中， AB ∥CD，∠D=90 °，∠DCA=30 °，CA 均分∠DCB ，AD=4cm ，求 AB 的长度？23．〔10 分〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 均分∠CAB ，交 CB 于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．〔1〕求证：△ACD ≌△AED ；〔2〕假设∠B=30°，CD=1 ，求 BD 的长．3命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假要点是要熟悉课本中的北师大版八年级下册?第 1 章三角3．〔4 分〕△ABC 中，∠A ：∠B：∠C=1：2：3，最小边 BC=4 cm，最长边 AB形的证明?2021年单元检测卷 A〔一〕的长是〔〕A．5cm B．6cm C．7cm D．参照答案与试题解析考点：含 30 度角的直角三角形．解析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角一、选择题〔每题 4 分，共 48 分〕的一半．1．〔4 分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是 80°，那么它顶角的度数是〔〕解答：解：依照三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20°边是斜边的一半，得最长边是最小边的 2 倍，即 8，应选 D．谈论：此题主若是运用了直角三角形中角 30°所对的直角边是斜边的一半．考点：等腰三角形的性质．专题：分类谈论． 4．〔4 分〕〔2021?安顺〕如图， AE=CF ，∠AFD= ∠CEB，那么增加以下一个解析：分 80°角是顶角与底角两种情况谈论求解．条件后，仍无法判断△ADF ≌△CBE 的是〔〕解答：解：① 80°角是顶角时，三角形的顶角为 80°，② 80°角是底角时，顶角为 180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80°或 20°．应选 B．谈论：此题观察了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况谈论求解．A．∠A=∠C B．A D=CB C．BE=DF D．2．〔4 分〕以下命题的抗命题是真命题的是〔〕A．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．假设 a=6，那么 |a|=|b|考点：全等三角形的判断．解析：求出 AF=CE ，再依照全等三角形的判判定理判断即可．考点：命题与定理．解答：解：∵AE=CF ，解析：先写出每个命题的抗命题，再进行判断即可．∴AE+EF=CF+EF ，解答：解；A ．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0：若是 a+b＞0，那么 a＞0，b＞0，是假命题；∴AF=CE ，B．直角都相等的抗命题是相等的角是直角，是假命题； A、∵在△ADF 和△CBE 中C．两直线平行，同位角相等的抗命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．假设 a=6，那么|a|=|b|的抗命题是假设 |a|=|b|，那么 a=6，是假命题．应选： C．谈论：此题观察了命题与定理，两个命题中，若是第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕，正确，故本选项错误；又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互抗命题．其中一个命题称为另一个命题的抗命题．正确的B、依照 AD=CB ，AF=CE ，∠AFD= ∠CEB 不能够推出△ADF ≌△CBE，错误，故4C、∵在△ADF 和△CBE 中6．〔4 分〕〔2021?邯郸一模〕如图，D 为△ABC 内一点，CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A= ∠ABE ．假设 AC=5 ，BC=3 ，那么 BD 的长为〔〕∴△ADF ≌△CBE 〔SAS〕，正确，故本选项错误；D、∵AD ∥BC，∴∠A= ∠C，∵在△ADF 和△CBE 中A． B． C．2 D．考点：等腰三角形的判断与性质．∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕，正确，故本选项错误；应选 B．解析：由条件判断△BEC 的等腰三角形，且 BC=CE ；由等角同等边判断 AE=BE ，那么易谈论：此题观察了平行线性质，全等三角形的判断的应用，注意：全等三角形的判判定理有 SAS，﹣AB SC A〕．，AAS ，解答：解：如图，∵CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，SSS．∴BC=CE ．又∵∠A= ∠ABE ，5．〔4 分〕〔2021?河池〕如图，在△ABC 中，∠B=30 °，BC 的垂直均分线交 AB 于E，垂足为 D．假设 ED=5，那么 CE 的长为〔〕∴AE=BE ．∴BD= BE= AE= 〔AC﹣BC〕．∵AC=5，BC=3，∴BD= 〔5﹣3〕=1．A．10 B．8 C．5 D．应选 D．考点：线段垂直均分线的性质；含 30 度角的直角三角形．谈论：此题观察了等腰三角形的判断与性质．注意等腰三角形“三合一〞性质的运用．解析：依照线段垂直均分线性质得出 BE=CE，依照含 30 度角的直角三角形性质求出 BE 的长，即可求出 CE 长．解答：解：∵DE 是线段 BC 的垂直均分线，7．〔4 分〕如图，AB=AC ，BE⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于点 F，BE、CF 订交于点 D，那么①△ABE ≌△ACF ；②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的均分线上．以上∴BE=CE，∠BDE=90 °〔线段垂直均分线的性质〕，∵∠B=30 °，结论正确的选项是〔〕∴BE=2DE=2 ×5=10〔直角三角形的性质〕，∴CE=BE=10 ．应选 A ．谈论：此题观察了含 30 度角的直角三角形性质和线段垂直均分线性质的应用，要点是获取 BE=CE 和求出 BE 长，题目比较典型，难度适中．5A．① B．② C．①② D．①②③考点：全等三角形的判断与性质；角均分线的性质．专题：老例题型．解析：从条件进行解析，第一可得△ABE ≌△ACF 获取角相等和边相等，运用这些结论，进而获取更多的结论，最好运用消除法对各个选项进行考据进而确定最后答案．解答：解：∵BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F∴∠AEB= ∠AFC=90 °，∵AB=AC ，∠A=∠A，A．10 B．12 C．24 D．∴△ABE ≌△ACF 〔①正确〕∴AE=AF ，∴BF=CE，考点：勾股定理；含 30 度角的直角三角形．∵BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，∠BDF= ∠CDE，解析：此题主要观察勾股定理运用，解答时要灵便运用直角三角形的性质．解答：解：∵AB ⊥BC，DC⊥BC，∠BAE= ∠DEC=60 °∴△BDF ≌△CDE〔②正确〕∴DF=DE ，∴∠AEB= ∠CDE=30 °连接 AD ，∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE=6 ，DE=8又∵∠AED=90 °依照勾股定理∴AD=10 ．应选 A ．∵AE=AF ，DE=DF ，AD=AD ，谈论：解决此类题目的要点是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余， 30°所对的直角边∴△AED ≌△AFD ，的性质．∴∠FAD= ∠EAD ，即点 D 在∠BAC 的均分线上〔③正确〕9．〔4 分〕以以下图，在△ABC 中，AB=AC ，D、E 是△ABC 内两点， AD 均分应选 D．∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，假设 BE=6，DE=2，那么 BC 的长度是〔〕谈论：此题观察了角均分线的性质及全等三角形的判断方法等知识点，要修业生要灵便运用，做题时要由易到难，不重不漏．8．〔4 分〕以以下图， AB ⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，∠BAE= ∠DEC=60 °，AB=3 ，CE=4，那么 AD 等于〔〕A．6 B．8 C．9 D．6的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，那么以下说法中正考点：等边三角形的判断与性质；等腰三角形的性质．确的个数是〔〕解析：作出辅助线后依照等腰三角形的性质得出 BE=6，DE=2 ，进而得出△BEM 为等边三角形，△EFD 为等边三① AD 是∠BAC 的均分线；②∠ADC=60 °；③点 D 在 AB 的中垂线上；④ S△DAC：角形，进而得出 BN 的长，进而求出答案．S=1：3．△ABC解答：解：延长 ED 交 BC 于 M ，延长 AD 交 BC 于 N，作 DF∥BC，∵AB=AC ，AD 均分∠BAC ，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC= ∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，A．1 B．2 C．3 D．∵BE=6，DE=2，∴DM=4 ，∵△BEM 为等边三角形，考点：角均分线的性质；线段垂直均分线的性质；作图—根本作图．∴∠EMB=60 °，专题：压轴题．解析：①依照作图的过程能够判断 AD 是∠BAC 的角均分线；∵AN⊥BC，∴∠DNM=90 °，②利用角均分线的定义能够推知∠CAD=30 °，那么由直角三角形的性质来求∠ADC∴∠NDM=30 °，③利用等角同等边能够证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一〞的性∴NM=2 ，中垂线上；∴BN=4，④利用 30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角解答：解：①依照作图的过程可知， AD 是∠BAC 的均分线．∴BC=2BN=8 ，应选 B．故①正确；②如图，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30 °，∴∠CAB=60 °．又∵AD 是∠BAC 的均分线，∴∠1=∠2= ∠CAB=30 °，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60 °．谈论：此题主要观察了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出 MN 的长是解决问题的要点．故②正确；10．〔4 分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC 中，∠C=90 °，∠B=30°，以 A 为圆心，③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD ，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN∴点 D 在 AB 的中垂线上．故③正确；7④∵如图，在直角△ACD 中，∠2=30°，考点：等腰三角形的判断；坐标与图形性质．专题：压轴题．∴CD= AD ，解析：依照线段垂直均分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AB 的垂直均分线与直求出 AB 的长，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为点∴BC=CD+BD= AD+AD= AD ，S△DAC = AC ?CD= AC ?AD．的距离可知以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图， AB 的垂直均分线与直线 y=x 订交于点 C1，∴S△ABC= AC ?BC= AC? AD= AC ?AD ，∵A〔0，2〕，B〔0，6〕，∴AB=6 ﹣2=4，∴S△DAC：S△ABC= AC ?AD ： AC ?AD=1 ：3．以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为 C2，C3，故④正确．∵OB=6，综上所述，正确的结论是：①②③④，共有 4 个．∴点 B 到直线 y=x 的距离为 6× =3 ，应选 D．∵3 ＞4，∴以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 没有交点，因此，点 C 的个数是 1+2=3 ．应选 B．谈论：此题观察了角均分线的性质、线段垂直均分线的性质以及作图﹣根本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判断与性质．12．〔4 分〕〔2021?龙岩〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A〔0，2〕，B〔0，6〕，动点 C 在直线 y=x 上．假设以 A、B、C 三点为极点的三角形是等腰三角形，那么点 C的个数是〔〕谈论：此题观察了等腰三角形的判断，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思13．〔4 分〕〔2021?重庆〕如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 ，F 是 AB边上的中点，点 D，E 分别在 AC ，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，以下结论：A．2 B．3 C．4 D．5①△DFE 是等腰直角三角形；8②四边形 CDFE 不能能为正方形，因此④正确．由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当 DE 最小时， DF 也最小；③ DE 长度的最小值为 4；④四边形 CDFE 的面积保持不变；即当 DF⊥AC 时， DE 最小，此时 DF= BC=4．⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是〔〕∴DE= DF=4 ；因此③错误．当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小．此时 S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8；因此⑤正确．应选 B．A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤考点：正方形的判断；全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题；动点型．解析：解此题的要点在于判断△DEF 可否为等腰直角三角形，作老例辅助线连接 CF，由 SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，进而可证∠DFE=90 °，DF=EF．因此△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；谈论：此题观察知识点很多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采判断③，⑤比较麻烦，由于△DEF 是等腰直角三角形 DE= DF，当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， DE此题难度稍稍降低一些．取最小值 4 ，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形 CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．二、填空题〔每题 4 分，共 24 分〕解答：解：连接 CF；14．〔4 分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°时〞，第一应∵△ABC 是等腰直角三角形，假设这个三角形中每一个内角都大于 60°．∴∠FCB=∠A=45 °，CF=AF=FB ；∵AD=CE ，考点：反证法．∴△ADF ≌△CEF；解析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．∴EF=DF，∠CFE=∠AFD ；解答：解：依照反证法的步骤，第一步应假设结论的反面建立，即三角形的每一个内角∵∠AFD+ ∠CFD=90 °，故答案为：每一个内角都大于 60°．谈论：此题主要观察了反证法，反证法的步骤是：〔1〕假设结论不能立；〔2〕从假设出∴∠CFE+∠CFD= ∠EFD=90 °，∴△EDF 是等腰直角三角形．建立，那么结论建立．在假设结论不能马上要注意考虑结论的反面所有可能的情况因此①正确．定一种就可以了，若是有多种情况，那么必定一一否认．当 D、E 分别为 AC、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形．因此②错误． 215．〔4 分〕〔2021?雅安〕假设〔 a﹣1〕 +|b﹣2|=0，那么以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为5 ．∵△ADF ≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF ∴S 四边形CEFD=S△AFC，9考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类谈论． 17．〔4 分〕如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF，DE 过点 I，且解析：先依照非负数的性质列式求出 a、b 再分情况谈论求解即可．DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm，那么 DE 等于 3cm ．解答：解：依照题意得， a﹣1=0，b﹣2=0，解得 a=1，b=2，①假设 a=1 是腰长，那么底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2，∵1+1=2，∴不能够组成三角形，②假设 a=2 是腰长，那么底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1，能组成三角形，考点：等腰三角形的判断与性质；平行线的性质．周长=2+2+1=5 ．解析：由 BI、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点 I，且 DE∥BC，易得△BDI 与△E故答案为： 5．得答案．谈论：此题观察了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要谈论求．解答：解：∵BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF ，∴∠ABI= ∠CBI ，∠ECI=∠ICF，16．〔4 分〕如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直均分线，交 AC ∵DE∥BC，于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE=20 °，那么∠C= 35°．∴∠DIB= ∠CBI ，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI= ∠DIB ，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm ，EI=CE=5cm ，∴DE=DI ﹣EI=3 〔cm〕．故答案为： 3cm．谈论：此题观察了等腰三角形的性质与判断以及平行线的性质．注意由角均分线与平行考点：线段垂直均分线的性质． 18．〔4 分〕〔2021?东营〕如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为 1m，在容解析：由 DE 是 AC 的垂直均分线，依照线段垂直均分线的性质，可得 AE=CE ，又由在 Rt器△内AB壁C离中容，器∠底部A B C =09. 30m°，的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点 A 处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m〔容器∠BAE=20 °，即可求得∠C 的度数．解答：解：∵DE 是 AC 的垂直均分线，厚度忽略不计〕．∴AE=CE ，∴∠C=∠CAE ，∵在 Rt△ABE 中，∠ABC=90 °，∠BAE=20 °，∴∠AEC=70 °，∴∠C+∠CAE=70 °，∴∠C=35°．故答案为： 35°．谈论：此题观察了线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10考点：平面张开 -最短路径问题．专题：压轴题．解析：将容器侧面张开，建立 A 关于 EF 的对称点 A ′，依照两点之间线段最短可知 A′B 的长度即为所求．解答：解：如图：∵高为，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点 A 处，∴A′，，考点：轴对称 -最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换〔折叠问题〕．∴将容器侧面张开，作 A 关于 EF 的对称点 A ′，连接 A ′B，那么 A′B 即为最短距离，专题：压轴题．解析：连接 CE，交 AD 于 M ，依照折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP A′B=的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出 BC 和 BE 长，解答：=〔m〕．故答案为：．解：连接 CE，交 AD 于 M ，∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，∴∠ACD= ∠AED=90 °，AC=AE ，∠CAD= ∠EAD ，∴AD 垂直均分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称， CD=DE=1 ，∴当P和D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+∵∠DEA=90 °，谈论：此题观察了平面张开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形张开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题∴的∠DEB=90 °，要点．同时也观察了同学们的创立性思想能力．∵∠B=60 °，DE=1 ，∴BE= ，BD= ， 19．〔4分〕〔2021?资阳〕如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC边上的点， CD=1 ，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，假设即 BC=1+ ，点 P 是直线 AD 上的动点，那么△PEB 的周长的最小值是 1+ ．∴△PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1+ + =1+ ，故答案为： 1+ ．11谈论：此题观察了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，要点是求出 P 点的地址，题目比较好，难度适中．三、解答题〔每题 7 分，共 14 分〕20．〔7 分〕〔2021?常州〕如图， C 是 AB 的中点， AD=BE ，CD=CE ．求证：∠A= ∠B．考点：作图—应用与设计作图．解析：依照点 P 到∠AOB 两边距离相等，到点 C、D 的距离也相等，点 P 既在∠AOB 的直均分线上，即∠AOB 的角均分线和 CD 垂直均分线的交点处即为点 P．解答：解：以以下图：作 CD 的垂直均分线，∠AOB 的角均分线的交点 P 即为所求．考点：全等三角形的判断与性质．专题：证明题；压轴题．解析：依照中点定义求出 AC=BC ，尔后利用“SSS〞证明△ACD 和△BCE 全等，再依照全等三角形对应角相等证明即可．解答：证明：∵C 是 AB 的中点，∴AC=BC ，谈论：此题主要观察了线段的垂直均分线和角均分线的作法．这些根本作图要熟练掌握在△ACD 和△BCE 中，，四、解答题〔每题 10 分，共 40 分〕22．〔10 分〕〔2021 ?攀枝花模拟〕在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90 °，∠DCA=30 °，∴△ACD ≌△BCE〔SSS〕， CA 均分∠DCB ，AD=4cm ，∴∠A= ∠B．求 AB 的长度？谈论：此题观察了全等三角形的判断与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．21．〔7 分〕〔2021?兰州〕如图，两条公路 OA 和 OB 订交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等，且到两工厂 C、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的地址．〔要求：不写作法，保存作图印迹，写出结论〕考点：勾股定理；等腰三角形的判断与性质；含 30 度角的直角三角形．专题：压轴题．解析：过 B 作 BE⊥AC ，由 AD=4m 和∠D=90 °，∠DCA=30 °，能够求出 AC 的长，依照12以及等腰三角形的性质即可求出 AD 的长．解析：〔1〕依照角均分线性质求出 CD=DE ，依照 HL 定理求出另三角形全等即可；解答：解：∵∠D=90 °，∠DCA=30 °，AD=4cm ，〔2〕求出∠DEB=90 °，DE=1 ，依照含 30 度角的直角三角形性质求出即可．解答：〔1〕证明：∵AD 均分∠CAB ，DE⊥AB ，∠C=90°，∴AC=2AD=8cm ，∵CA 均分∠DCB ，AB ∥CD，∴CD=ED ，∠DEA= ∠C=90°，∴∠CAB= ∠ACB=30 °，∵在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中∴AB=BC ，过 B 作 BE⊥AC ，∴Rt△ACD ≌Rt△AED 〔HL 〕；∴AE= AC=4cm ，〔2〕解：∵DC=DE=1 ，DE⊥AB ，∴cos∠EAB= = ，∴∠DEB=90 °，∵∠B=30 °，∴ cm．∴BD=2DE=2 ．谈论：此题观察了全等三角形的判断，角均分线性质，含 30 度角的直角三角形性质的应点到角两边的距离相等．24．〔10 分〕〔2021?大庆〕如图，把一个直角三角形 ACB 〔∠ACB=90 °〕绕着极点B 顺时针旋转 60°，使得点C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的地址．F，G 分别是 BD ，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．谈论：此题观察了平行线的性质、角均分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的要点是作高线构造〔直1〕角求三证角：形，CF=DG ；利用锐角三角函数求出 AB 的长．〔2〕求出∠FHG 的度数．23．〔10 分〕〔2021?温州〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 均分∠CAB ，交 CB于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．〔1〕求证：△ACD ≌△AED ；〔2〕假设∠B=30°，CD=1 ，求 BD 的长．考点：全等三角形的判断与性质．解析：〔1〕在△CBF 和△DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角〔2〕依照全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF= ∠CBF=60 °，进而求解．考点：全等三角形的判断与性质；角均分线的性质；含 30 度角的直角三角形．解答：〔1〕证明：∵在△CBF 和△DBG 中，13∴△BDF ≌△CDA ，，∴BF=AC ．〔2〕由〔 1〕得 BF=AC ，∴△CBF≌△DBG 〔SAS〕，∴CF=DG ；∵BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC ，〔2〕解：∵△CBF≌△DBG ，∴在△ABE 和△CBE 中，，∴∠BCF= ∠BDG ，又∵∠CFB= ∠DFH，∴△ABE ≌△CBE 〔ASA 〕，∴∠DHF= ∠CBF=60 °，∴CE=AE= AC= BF．∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180 °﹣60°=120°．谈论：此题观察了全等三角形的判断与性质，正确证明三角形全等是要点．谈论：此题主要观察了全等三角形的判断及性质以及线段垂直均分线的性质等问题，应五、解答题〔每题 12 分.共 24 分〕25．〔10 分〕：如图，△ABC 中，∠ABC=45 °，DH 垂直均分 BC 交 AB 于点D，BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 订交于点 F． 26．〔12 分〕如图，在△ABC 中，D 是 BC 是中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于点〔1〕求证： BF=AC ；F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，DE⊥DF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF．〔1〕求证： BG=CF ；〔2〕求证：．〔2〕求证： EG=EF；〔3〕请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判断与性质；线段垂直均分线的性质．专题：证明题．解析：〔1〕由 ASA 证△BDF ≌△CDA ，进而可得出第〔 1〕问的结论；考点：全等三角形的判断与性质；等腰三角形的判断与性质．〔2〕在△ABC 中由垂直均分线可得 AB=BC ，即点 E 是 AC 的中点，再结合第一问的分结析论：即可〔求1解〕．求出∠C=∠GBD ，BD=DC ，依照 ASA 证出△CFD ≌△BGD 即可．解答：证明：〔1〕∵DH 垂直均分 BC，且∠ABC=45 °，〔2〕依照全等得出 GD=DF ，依照线段垂直均分线性质得出即可．∴BD=DC ，且∠BDC=90 °，〔3〕依照全等得出 BG=CF ，依照三角形三边关系定理求出即可．解答：〔1〕证明：∵BG∥AC，∵∠A+ ∠ABF=90 °，∠A+ ∠ACD=90 °，∴∠ABF= ∠ACD ，∴∠C=∠GBD ，14∵D 是 BC 是中点，∴BD=DC ，在△CFD 和△BGD 中∴△CFD≌△BGD ，∴BG=CF ．〔2〕证明：∵△CFD≌△BGD ，考点：等腰三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的判断．解析：〔1〕依照题意推出△AED 和△ABC 为等边三角形，尔后经过求证△EAB ≌△DA∴DG=DF ，∵DE⊥GF，即可推出△EFB 为等边三角形，〔2〕①依照〔 1〕的推理依照，即可推出△EFB意画出图形，尔后依照平行线的性质，经过求证△EAB ≌△DAC ，推出等量关系∴EG=EF．三角形．〔3〕BE+CF ＞EF，解答：解：〔1〕∵AB=AC ，AD=AE ，∠BAC= ∠DAE=60 °，证明：∵△CFD≌△BGD ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴CF=BG ，∴∠C=∠ABC=60 °，∠EAB= ∠DAC ，在△BGE 中，BG+BE ＞EG，∴△EAB ≌△DAC ，∵EF=EG，∴∠EBA= ∠C=60°，∴BG+CF ＞EF．∵EF∥BC，谈论：此题观察了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，线段垂直均分线性质，三角形三边关系定理的应∴用∠，EFB=∠ABC=60 °，主要观察学生的推理能力．∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA=60 °，∴△EFB 为等边三角形，27．〔12 分〕△ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点〔不与 B、C 重合〕，以 AD 为一边向 AD 的左侧作△ADE ，使 AD=AE ，∠DAE= ∠BAC ，过点 E 作 BC 〔2〕①△BEF 为等腰三角形，的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE．∵AB=AC ，AD=AE ，∠BAC= ∠DAE ，〔1〕如图 1，假设∠BAC= ∠DAE=60 °，那么△BEF 是等边三角形；∴△AED 和△ABC 为等腰三角形，〔2〕假设∠BAC= ∠DAE ≠60°∴∠C=∠ABC ，∠EAB= ∠DAC ，①如图 2，当点 D 在线段 BC 上搬动，判断△BEF 的形状并证明；∴△EAB ≌△DAC ，②当点 D 在线段 BC 的延长线上搬动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并∴∠EBA= ∠C，画出相应的图形．∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC ，∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA ，∴△EFB 为等腰三角形，。

初二-第01讲-三角形的证明(培优)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-三角形的证明授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质；②掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理；③掌握各种思想的运用。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。

即等边对等角。

（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

即三线合一。

（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

体系搭建2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

即等角对等边。

（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。

8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。

9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

北师大版八年级数学下册第第一章《三角形的证明》培优过关训练试卷

北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》培优过关训练试卷一、单选题1．等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（）A ．30°B ．40°C ．60°D ．120°2．在下列四个条件：①222AB BC AC +=，②90A B ∠=︒-∠，③12A B C ∠=∠=∠，④5:::3:2A B C ∠∠∠=中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（）．A ．①③B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3．如图，DE 是AC 的垂直平分线，CE =5，△BDC 的周长为15，则△ABC 的周长是（）A ．15B ．20C ．25D ．304．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm5．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（）A ．30°B ．32°C ．36°D ．42°6．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC PE =7．如图，△ABC 是等边三角形，AQ = PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR =PS ，则四个结论：①点P 在∠A 的平分线上；②AS=AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP ，正确的结论是（）．A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．③④ 8．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形9．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，△ABD 与△ACE 都是等边三角形，AB ≠AC ，下列四个结论，①BE=CD ；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO ；④若∠BAC=90°，且DA ∥BC ，则BC ⊥CE ．其中正确的个数有（）A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 11．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．12．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．13．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．14．如图，已知ABC 的周长是8，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且3OD =，ABC的面积是______．15．如图，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =.若点P '是ABC 外的一点，且P AB PAC '≌△△，则APB ∠的度数为_____．16．如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________17．若ABC 的三边长是a 、b 、c ，且222a b c ab bc ac +=++＋，则这个三角形形状是_________角形．三、解答题18．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，CBE 45∠=︒，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ，若AB 13,BC 10==，求AF 的长度．19．如图，点A 、B 、C 的坐标分别是()1,3A -、()5,1B -、()0,1C ．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）点P 是x 轴上的一动点，求出使得PA PB +的值最小时点P 的坐标．20．如图，AD 是ABC 的高，AD 垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ．()1求证：1B AED 2∠∠=． ()2若DE 1=，求AB 的长．21．如图，BD //GE ，150AFG ∠=∠=︒，AQ 平分FAC ∠，交BD 的延长线于点Q ，交DE 于点H ，15Q ∠=︒，求CAQ ∠的度数．22．在ABC 中，AB AC =，在ABC 的外部作等边三角形ACD △，E 为AC 的中点，连接DE 并延长交BC 于点F ，连接BD ．（1）如图1，若100BAC ∠=︒，求ABD ∠和BDF ∠的度数；（2）如图2，ACB ∠的平分线交AB 于点M ，交EF 于点N ，连接BN ．①补全图2；②若BN DN =，求证：MB MN =．23．已知：如图，BD 为ABC △的角平分线，且BD BC =，E 为BD 延长线上的一点，BE BA =，过E 作EF AB ⊥，F 为垂足．求证：（1）AD AE EC ==．（2）2BA BC BF +=．24．如图①，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图①中的三角板OMN 摆放成如图②所示的位置，使一边OM 在∠BOC 的内部，当OM 平分∠BOC 时，∠BO N= ；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO 的延长线OP （如图③所示），试说明射线OP 是∠AOC 的平分线；（3）将图①中的三角板OMN 摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC 与∠AOM 之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）参考答案1．A解：∵等腰三角形中，一个内角为120°，而三内角的和为180°，∴该内角为顶角，设顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则有∠B=∠C ，∵∠A=120°，∴∠B=∠C=()1180-1202︒︒=30°，故选：A ．2．D①．222AB BC AC +=，由勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故①能确定． ②．∵90A B ∠=︒-∠，即90A B ∠+∠=︒，∴180()90C A B ∠=︒-∠+∠=︒．∴ABC 是直角三角形，故②能确定． ③．∵12A B C ∠=∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒， ∴2180C ∠=︒，即90C ∠=︒．∴ABC 是直角三角形，故③能确定．④．5:::3:2A B C ∠∠∠=，设5A x ∠=，则3B x ∠=，2C x ∠=，∵180A B C ∠+∠+∠=︒，即532180x x x ++=︒，解得18x =︒，∴51890A ∠=⨯︒=︒，∴ABC 是直角三角形，故④能确定．故选：D ．3．C 解： DE 是AC 的垂直平分线，5CE =，,5DA DC AE CE ∴===，10AC ∴=，15BDC C BD BC DC =++=，15BD AD BC AB BC ∴++=+=，151025.ABC C AB BC AC ∴=++=+=4．B如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ， ∴OM ＝OE ＝3cm ，∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴ON ＝OE ＝3cm ，∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，即AB 与CD 之间的距离是6cm ，5．B由题意得：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，∵DM 垂直平分AB ，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C ＝84°，∴∠A=32︒，6．D∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ， ∴PC=PD ，故A 选项正确；∵∠ODP=∠OCP=90︒，又∵OP=OP ，PC=PD ，∴Rt △OPC ≌Rt △OPD ，∴OC=OD ，故B 选项正确；∵△OPC ≌△OPD ，∴CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；∵∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，∴△DPE ≌△CPF ，∴PE=PF ，∵PF>PC ，∴PE>PC ，故D 选项错误；故选：D ．7．A解：∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR=PS ， ∴P 在∠A 的平分线上，∴①正确；由①可知，PB=PC ，∠B=∠C ，PS=PR ，∴△BPR ≌△CPS ，∴CS=BR∴AS=AR ，②正确；∵AQ=PQ ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，③正确；由③得，△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，又由②可知，④△BRP ≌△QSP ，④也正确 ∵①②③④都正确，8．D解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b ，a=c ，b=c ，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形；故选：D ．9．A解：由题意得，当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，∴AD =AE =3，∵BC ∥OM ，∴∠DOA =∠B ，∵A 为OB 中点，∴AB =AO ，在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，10．C解：设CD 与AB 交于点F∵ABD △与AEC 都是等边三角形 ∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60° ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC 即∠DAC=∠EAB∴DAC BAE ≌△△∴BE CD =，①正确；∵DAC BAE ≌△△∴∠ADO=∠ABO∵∠AFD=∠BFO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确； ∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC ≠∠AEB ∴∠BDA-∠ADC ≠∠CEA-∠AEB ∴BDO CEO ∠≠∠，③错误； ∵//DA BC∴∠DAC+∠BCA=180°∵∠DAB=60°，90BAC ︒∠=∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴BC CE ⊥，④正确11．4.解：如图，延长BE ，交AC 于G ，AD 平分∠BAC ，,GAE BAE ∴∠=∠,BE AD ⊥90AEG AEB ∴∠=∠=︒，,AGB ABG ∴∠=∠6AG AB ∴==，,GE BE = 14AC =，8CG ∴=，,AGB C CBG ∠=∠+∠2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠3,ABC C ∠=∠32,C C CBG ∴∠=∠+∠,C CBG ∴∠=∠8BG CG ∴==， 1 4.2BE BG ∴== 12．25°∵90,50ACB B ︒︒∠=∠=，∴∠A=40°， ∵BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，∴∠E=∠B=50°，∵//CE AB ，∴∠ADE=∠E=50°，∴∠BDC=∠EDC=（180°-50°）÷2=65°，∴∠ACD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°，13．6解：连接AE ，∵ AB=AC ，∠A=120︒ ，∴ ∠B=∠C=()1180120302︒-︒=︒， ∵ED 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∠EAD=30︒ ，∵BE=3，∴DE=1322BE = ∴2233BD BE DE =-= ∴AB=AC=2BD=33，∵ ∠A=120︒ ，∴ ∠EAC=90︒ ， ∴22366CE AC AE =+==，故答案为：6．14．12解：连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵OB ， OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，∴OE=OD=3，OF=OD=3，∵△ABC 的周长是8，∴AB+BC+AC=8，∴△ABC 的面积S=S △ABO +S △BCO +S △ACO =12×AB ×OE+12×BC ×OD+12×AC ×OF =12×AB ×3+12×BC ×3+12×AC ×3 =12×3×（AB+BC+AC ） =12×3×8=12，15．150°连接PP ′，∵P AB PAC '≌△△，∴PA ＝P ′A=6，∠P ′AB ＝∠PAC ，BP ′=CP=10，∴∠P ′AP ＝∠BAC ＝60°，∴△APP ′为等边三角形，∴PP ′＝AP ＝AP ′＝6，又∵8PB =，∴PP ′2＋BP 2＝BP ′2，∴△BPP ′为直角三角形，且∠BPP ′＝90°∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，16．110°或80°∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝40°，∴∠B ＝∠C=40°∴∠BAC ＝100°，①AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝40°，∴∠DAE ＝100°，此时，点D 与点B 重合，不符合题意舍去，②AD ＝ED 时，∠DAE ＝∠DEA ，∴∠DAE ＝12（180°−40°）＝70°， ∴∠BAD ＝∠BAC −∠DAE ＝100°−70°＝30°，∴∠BDA ＝180°−∠B −∠BAD ＝110°，③当AE ＝DE 时，∠DAE ＝∠ADE ＝40°，∴∠BAD ＝100°−40°＝60°，∴∠BDA ＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，17．等边∵222a b c ab bc ac ++=++，∴222222222a b c ab bc ac ++=++，∴2222222220a b c ab bc ac ++---=，∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，∵222()0,()0,()0a b a c b c -≥-≥-≥，∴222()0,()0,()0a b a c b c -=-=-=，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形，18．7AF =解：AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=，10BC =，5BD ∴=，Rt ABD 中，13AB =，222213512AD AB BD ∴=-=-=，Rt BDF 中，45CBE ∠=，BDF ∴是等腰直角三角形，5DF BD ∴==，1257AF AD DF ∴=-=-=．19．解：（1）直角三角形，理由如下如下图所示，用长方形DEOF 将△ABC 框住，∵()1,3A -、()5,1B -、()0,1C∴AF=1，DE=OF=3，DF=OE=BC=5，BE=1，OC=1∴AD=DF －AF=4，DB=DE －BE=2，FC=OF －OC=2∴AB 2= AD 2＋DB 2=20，AC 2= AF 2＋FC 2=5，BC 2=25∴AB 2＋AC 2= BC 2∴△ABC 为直角三角形；（2）作点B 关于x 轴的对称点B '，连接AB '交x 轴于点P ，如下图所示由轴对称性质可得，BP=B P '，点B '的坐标为（-5，-1）∴此时PA PB +=PA B P +'=AB '，根据两点之间线段最短，此时PA PB +最小设直线AB '的解析式为y=kx ＋b将点A 和点B '的坐标分别代入，得153k b k b-=-+⎧⎨=-+⎩ 解得：14k b =⎧⎨=⎩∴直线AB '的解析式为y=x ＋4将y=0代入y=x ＋4中，得x ＋4=0解得：x=-4∴点P 的坐标为（-4，0）．20．解：（1）EF 是AD 的中垂线，90AH DH AHE DHE ∠∠∴===︒，，在AEH △和DEH △中，AH DH AHE DHE EH EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AHE ∴≌()H D E SAS ，AEH DEH AE DE ∠∠∴==，， AD 是ABC 的高，//EF BC ∴，AEH B ∠∠∴=，12B AED ∠∠∴=；（2）由（1）得：//EF BC AE DE =，，HED EDB ∠∠∴=，又12AEH HED B AED ∠∠∠∠==，， B EDB ∴∠=∠，BE DE ∴=，22212AB BE DE ∴===⨯=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质和判定等知识．21．解：∵∠EHQ 是△DHQ 的外角，∴∠EHQ ＝∠1+∠Q ＝65°，∵BD ∥GE ，∴∠E ＝∠1＝50°，∵∠AFG ＝∠1＝50°，∴∠E ＝∠AFG ，∴DE ∥AF ，∴∠FAQ ＝∠EHQ ＝65° ，∵AQ 平分∠FAC ，∴ ∠CAQ ＝∠FAQ ＝65°．22．（1）∵AB AC =，ACD △为等边三角形，∴AB AD =，ABD ADB ∠=∠，60ADC DAC ∠=∠=︒，∵100BAC ∠=︒，∴160DAB DAC BAC ∠=∠+∠=︒，∴()180160210ABD ADB ∠=∠=︒-︒÷=︒，又∵E 为AC 的中点， ∴由“三线合一”知，1302ADE ADC ∠=∠=︒， ∴301020BDF ADE ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）①如图所示：利用尺规作图的方法得到CP ，交AB 于点M ，交EF 于点N ；②如图所示，连接AN ，∵CM 平分ACB ∠，∴设ACM BCM α∠=∠=，∵AB AC =，∴2ABC ACB α∠=∠=，在等边三角形ACD ∆中，∵E 为AC 的中点，∴DN AC ⊥，∴NA NC =，∴NAC NCA α∠=∠=，∴60DAN α∠=︒+，在ABN ∆和ADN ∆中，AB AD BN DN AN AN =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABN ADN SSS ∆∆≌，∴30ABN ADN ∠=∠=︒，60BAN DAN α∠=∠=︒+，∴602BAC α∠=︒+，在ABC ∆中，180BAC ACB ABC ∠+∠+∠=︒，∴60222180ααα︒+++=︒，∴20α=︒，∴10NBC ABC ABN ∠=∠-∠=︒，∴30MNB NBC NCB ∠=∠+∠=︒，∴MNB MBN ∠=∠，∴MB MN =．23．解：证明：（1）∵BD 为ABC 的角平分线，∴ABD CBD ∠=∠，∴在ABD 和EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ≌()EBC SAS ，∴BCE BDA ∠=∠，∵BCE BCD DCE ∠=∠+∠，BDA DAE BEA ∠=∠+∠，BCD BEA ∠=∠，∴DCE DAE ∠=∠，∴ACE 为等腰三角形，∴AE EC =，∵ABD ≌EBC ，∴AD EC =，∴AD EC AE ==．（2）过点E 作EG BC ⊥于点G ，∵E 是BD 上的点，EF AB ⊥，EG BC ⊥，∴EF EG =，∵在Rt BEG 和Rt BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt BEG ≌()Rt BEF HL ，∴BG BF =，∵在Rt CEG 和Rt AFE 中，EF EG AE CE =⎧⎨=⎩， Rt CEG ≌Rt AFE ，∴AF CG =，∴BA BC BF FA BG CG +=++-，BF BG BF =+=∠，∴2BA BC BF +=．24．(1)根据角平分线的定义与角的和差关系计算；(2)计算出∠AOP 的度数，再根据角平分线的定义判断；(3)根据∠AOC ，∠AON ，∠NOC ，∠MON ，∠AOM 的和差关系即可得到∠NOC 与∠AOM 之间的数量关系．解：(1)如图②，∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，又∵OM 平分∠BOC ，∴∠BOM=30°，又∵∠NOM=90°，∴∠BOM=90°﹣30°=60°，故答案为60°；(2)如图③，∵∠AOP=∠BOM=60°，∠AOC=120°，∴∠AOP=12∠AOC ， ∴射线OP 是∠AOC 的平分线；(3)如图④，∵∠AOC=120°，∴∠AON=120°﹣∠NOC ，∵∠MON=90°，∴∠AON=90°﹣∠AOM ，∴120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM，即∠NOC﹣∠AOM=30°．。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题(附答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题（附答案）1．如图，DE ∥GF ，A 在DE 上，C 在GF 上△ABC 为等边三角形，其中∠EAC ＝80°，则∠BCG 度数为（）A ．20°B ．10°C ．25°D ．30°2．如图，已知∠COB =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =200，则∠AOB =（）A ．400B ．600C ．1200D ．13503．如图，等腰三角形ABC 的周长为21，底边BC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（）A ．13B ．14C ．15D ．164．如图，在ABC ∆中，AB ，AC 的垂直平分线DF ，EG 交于点M ，点F ，G 在BC 上.若46GAF ∠=︒，则M ∠的度数为( )A ．67°B ．65°C ．55°D ．45°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则P 点到AB 的距离为( )A．1 B．2 C．3 D．46．在△ABC中，AB=AC，∠C=75°，则∠A的度数是（）A．30°B．50°C．75°D．150°7．等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（）A．120°B．150°C．60°D．90°8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AC=4，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点D，则D到AB的距离为（）A．2B．4C．43D．239．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P若点P的坐标为（﹣2a，4a﹣6），则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣210．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A ．10-15 B ．10-5C ．5-5D ．20-10 11．如图，直线12l l ∕∕，点A 在直线2l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12,l l 于点,C B ，连接,AC BC . 若54ABC ∠=︒，则1∠的度数为____________.12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是 13．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，若BC=5cm,则BD+DE=______.14．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________15．如图所示，点O 是直线AB 上的点，OC 平分∠AOD ，∠BOD=40°，则∠AOC=________ °．16．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，BC ＝4cm ，AB ＝_____cm ．17．在Rt △ABC 中，∠C=900 ,∠B=600 ,BC=2㎝，则AB=______㎝.18．如图，在ABC ∆中，060A ∠=，D 为ABC ∆内一点，且030DBC DCB ∠=∠=，长CD 交AB 于点E ，延长BD 交AC 于点F ，过点D 作DH BC ⊥于点H ，当82DF DE +=时，DH =_________．19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若△ABC 的周长为36，BC ＝13则△BCD 周长为_______.20．如图，已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=40，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，AD ：DC=5：3，则D 点到AB 的距离是_____．21．如图，四边形ABCD 中，2,60,13,3AB AD A BC CD ==∠=︒==.(1)求ADC ∠的度数;(2)求四边形ABCD 的面积= . (第二问直接写答案)22．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =∠C =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠DEC =______°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变______（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以，请说明理由．23．已知a ，b 满足|a ﹣7|+5b -+（c ﹣42）2＝0．（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．24．如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥CD 交BC 的延长线于点F ，连接CD ．（1）求证：DE ＝CF ；（2）求EF 的长．25．在ABC ∆中，已知A α∠=.（1）如图1，ABC ACB ∠∠、的平分线相交于点D ．①当80α=o 时，BDC ∠度数= 度（直接写出结果）；②BDC ∠的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若ABC ∠的平分线与ACE ∠角平分线交于点F ,求BFC ∠的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将FBC ∆以直线BC 为对称轴翻折得到GBC ∆，GBC ∠的角平分线与GCB ∠的角平分线交于点M （如图3），求BMC ∠的度数（用含α的代数式表示）．26．已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（I）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE=CN；②求CN的长；（II）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长。

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升测试( 含答案)

15．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为_____．
16．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．
22．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD平分∠ABC．
（1）如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD，这个性质是；
（2）问题解决：如图，求证：AD=CD；
（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角时，点A的坐标为________________.
18．如图，直线直线于点，点、点是直线上的点，作直线且，作直线于点，在射线上取一点，使，的延长线交直线于点．若，则 ___________ .
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；
（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若⊙O的半径为2．求阴影部分的面积．

八下第一章《三角形的证明》培优提高

八下第一章《三角形的证明》培优提高三角形是初中数学学科的重要内容之一、通过学习三角形的性质和证明方法，可以培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力，并提高分析问题和解决问题的能力。

本文将以第一章《三角形的证明》为基础，结合典型例题和解题思路，进行培优提高的讲解。

在初中数学中，三角形是我们最常见的形状之一，它由三条线段组成，分别称为三边。

三角形的三个内角之和为180度。

在本章中，我们将重点学习三角形的性质以及用于证明的方法。

一、中线的性质我们首先来介绍一个重要的三角形性质，中线的性质。

在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段，这条线段称为中线。

中线有以下两个重要性质：1、三角形中线长度相等三角形的三条中线的长度相等，即AM=BM=CM，其中M是对边中点。

2、三角形中线互相平分三角形的三条中线互相平分，即AM=BM=CM。

掌握了中线的性质后，我们来看一道例题。

【例题】如图，三角形ABC的顶点A到对边BC的中点M和中线AD有重叠的部分，求证：∠B=∠C。

【解题思路】因为M是BC的中点，所以连接AM。

又因为M是AD的中点，所以AM是中线。

由中线的性质可知，AM=CM，并且∠MAC=∠MCA。

结合这两个条件，我们得到AM=CM，∠MAC=∠MCA，于是得证，∠B=∠C。

二、角平分线的性质了解了中线的性质后，我们接着介绍角平分线的性质。

在任意三角形中，连接一个顶点与对边夹角的平分线，这条线段称为角平分线。

角平分线有以下两个重要性质：1、角平分线分割对边成比例角平分线把对边分割成相等或成比例的线段，即$\frac{{BD}}{{DC}}=\frac{{AB}}{{AC}}$。

2、角平分线与对边垂直角平分线与对边垂直，即∠BAD=∠CAD。

掌握了角平分线的性质后，我们来看一道例题。

【例题】如图，三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，分别连AD，求证：∠BAD=∠CAD。

【解题思路】连接AD，AD是角A的平分线，所以AD与BC垂直，由角平分线的性质可知∠BAD=∠CAD，于是得证，证毕。

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷【附答案】

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。

北师大版八年级数学下册-第一章-三角形的证明(提高)

第一章三角形的证明一、八条基本事实1.两点确定一条直线；2.两点之间直线最短；3.同一平面内, 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4、同位角相等, 两直线平行；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；8、三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；二、平行线的判定和性质判定: 内错角相等, 两直线平行；同旁内角互补, 两直线平行；性质：两直线平行, 同位角相等；两直线平行, 内错角相等；两直线平行, 同旁内角互补.三、全等三角形判定定理:1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)性质:全等三角形对应边相等, 对应角相等。

三角形全等常用来证明线段或角相等。

例: 如图, △ABC中, AC=BC, ∠ACB=90º, 点D在AC上, 点E在BC延长线上, CD=CE, BD的延长线交AE于点F, 连CF.（1）证明: ；（2）证明: .练习:1.在四边形ABCD中, AC=AB, DC=DB, ∠CAB=60°, ∠CDB=120°, E是AC上一点, F是AB延长线上一点, 且CE=BF．（1）求证: DE=DF；（2）若G在AB上且∠EDG=60°, 求证CE+BG=EG；2.如图, 在△ABC中, AB=AC.D是AB上一点, E是AC延长线上一点, 且CE=BD, 连结DE交BC 于F。

猜想DF与EF的大小关系并请证明你的猜想。

3.如图, RT△ABC中, ∠ACB=90º, △ABC的角平分线AD.BE相交于点P, 过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F, 交AC于点H.的度数；（1）求APB（2）证明: .四、等腰三角形1.性质定理: 等腰三角形有两边相等；(定义)定理: 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

北师大初二数学8年级下册第1章(三角形的证明)优生辅导训练题(解析版)

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》优生辅导训练题（附答案）1．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）A．140°或44°或80°B．20°或80°C．44°或80°D．140°2．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则图中等腰三角形的个数是（）A．3B．4C．5D．63．在三角形的内部，到三边距离相等的点是三角形的三条（）A．中线的交点B．角平分线的交点C．高的交点D．以上都不对4．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的底角一定是锐角．②等腰三角形的角平分线、中线和高是同一条线段．③等腰三角形两腰上的高相等．④等腰三角形两腰上的中线相等．A．0个B．1个C．2个D．3个5．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点6．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等7．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍8．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD 的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．610．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（）A．7B．8C．9D．1011．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④13．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为（）A．3s B．4s C．4.5s D．5s14．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交边AB于点E，若BC＝6厘米，AB＝8厘米，则△EBC的周长为 cm．15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝10，BC＝4，则△BCE的周长为．16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为．17．在△ABC中，∠BAC＝115°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为．18．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为．19．如图，在面积为6的等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，E，F是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是．20．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H，∠CAD＝30°，若AC＝4，则点H到BC的距离是．21．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝ °．22．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．23．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝．24．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC 度；（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝．（用含α的式子表示）26．已知：如图，△ABC中，P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，连接AP和AQ，且BP＝PQ＝QC．求∠C的度数．证明：∵P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，∴PA＝，QC＝QA． ∵BP＝PQ＝QC，∴在△APQ中，PQ＝（等量代换）∴△APQ是三角形．∴∠AQP＝60°，∵在△AQC中，QC＝QA，∴∠C＝∠ ．又∵∠AQP是△AQC的外角，∴∠AQP＝∠ +∠ ＝60°．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠C＝．27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长．28．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．（1）求∠CEF的度数；（2）求证：△EFG是等腰三角形．29．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．30．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB 的中点，连接MC，MD．（1）求证：MC＝MD；（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．31．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B →C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）求出发2秒后，PQ的长；（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．32．在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．（1）若AB＝AC，∠BAC＝120°，求证BM＝MN＝NC；（2）由（1）可知△AMN是三角形；（3）去掉（1）中的“∠BAC＝120°”的条件，其他不变，判断△AMN的形状，并证明你的结论；（4）当∠B与∠C满足怎样的数量关系时，△AMN是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．参考答案1．解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，解得x＝44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，解得x＝50°，所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，解得x＝20°，所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故选：A．2．解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠ABC＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，∴∠AED＝∠ADE，∴△AED是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∠EDB＝∠EBD＝36°，∴△ABD，△BDE都是等腰三角形，∵∠C＝∠BDC＝72°，∴△BDC是等腰三角形，∴等腰三角形有5个，故选：C．3．解：在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点，故选：B．4．解：①等腰三角形的底角一定是锐角是正确的；②等腰三角形的角平分线、中线和高不一定是同一条线段，原来的说法错误；③等腰三角形两腰上的高相等是正确的；④等腰三角形两腰上的中线相等是正确的．故正确的有3个．故选：D．5．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．6．解：A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；故选：D．7．解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误；B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确；C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故D正确，故选：A．8．解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDH＝90°，∴∠A+∠DCA＝90°，∠ABE+∠BHD＝90°，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∠CHE+∠HCE＝90°，∴∠A＝∠BHD＝∠CHE，故选：B．9．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．10．解：①以AB为底边，符合点C的有5个；②以AB为腰，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：C．11．解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故选：D．12．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD∠FAD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE2+DF2＝AF2+DE2，∴④正确；在△AEO和△AFO中，，∴△AE0≌△AF0（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴③正确．综上，可得正确的是：②③④．故选：D．13．解：设当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为t秒，∵∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ，∴20﹣3t＝2t，解得t＝4，故选：B．14．解：∵DE是边AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14（厘米），故答案为：14．15．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BCE的周长＝EB+EC+BC＝EA+EC+BC＝AC+BC＝14，故答案为：14．16．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝11，故答案为：11．17．解：∵∠BAC＝115°，∴∠B+∠C＝180°﹣115°＝65°，∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴EA＝EB，GA＝GC，∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝65°，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝50°，故答案为：50°．18．解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE又∠A＝30°，AC＝6可得DE＝AE∴DE＝（6﹣DE）则DE＝2．故答案为2．19．解：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴BD＝DC，∵S△EFC＝EF•CD，S△EFB＝EF•BD，∴S△EFC＝S△EFB，∴S阴影＝S△ABD＝S△ABC，∵S△ABC＝6，∴S阴影＝3．故答案为：3．20．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠HBD+∠BHD＝90°，∵∠CAD＝30°，AC＝4，∴CD＝AC＝2，∵BE⊥AC，∴∠HBD+∠C＝90°，∴∠BHD＝∠C，∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，在△BDH和△ADC中，，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴HD＝CD＝2，故点H到BC的距离是2．故答案为2．21．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A＝50°，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15．22．解：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE＝CE．∵△EDC的周长为24，∴ED+DC+EC＝24，①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）＝（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）﹣DE＝12，∴BE+BD﹣DE＝12，②∵BE＝CE，BD＝DC，∴①﹣②得，DE＝6．故答案为：6．23．解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC＝45°，AB∥DC，∠ADC＝90°，∵∠CAE＝15°，∴∠E＝∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，∴AE＝2AD＝8．故答案为8．24．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．25．解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BAC＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，∴△DAE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，故答案为：25；（2）连接CE，∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝90°﹣，∴∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝90°，∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．故答案为：α﹣90°．26．证明：∵P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，∴PA＝BP，QC＝QA．（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）∵BP＝PQ＝QC，∴在△APQ中，PQ＝PA＝QA（等量代换）∴△APQ是等边三角形．∴∠AQP＝60°，∵在△AQC中，QC＝QA，∴∠C＝∠QAC．又∵∠AQP是△AQC的外角，∴∠AQP＝∠C+∠QAC＝60°．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠C＝30°．故答案为：BP，（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），PA＝QA，等边，QAC，C，QAC，30°．27．（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，在△DBC和△ECA中，∵∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD＝CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12cm．∴BD＝6cm．28．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠CEF＝（180°﹣48°）＝66°；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠GFE＝∠C'EF，∴GE＝GF，即△EFG是等腰三角形．29．解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．30．（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，∴MC＝AB，MD＝AB，∴MC＝MD；（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，∵△MCD是等边三角形，∴∠DMC＝60°，∴∠BMC+∠AMD＝120°，∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，∴∠BAO+∠ABO＝60°，∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．31．（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝2（cm）；（2）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．32．（1）证明：连接AM、AN，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵ME是线段AB的垂直平分线，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，同理，NA＝NC，∴∠NAC＝∠C＝30°，∴∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，∴△AMN为等边三角形，∴AM＝MN＝AN，∴BM＝MN＝NC；（2）解：由（1）可知△AMN是等边三角形，故答案为：等边；（3）解：△AMN是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠MAB＝∠B，∠AMN＝∠B+∠MAB，∠NAC＝∠C，∠ANM＝∠C+∠NAC，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；（4）解：当∠B＝∠C时，AM＝AN；当2∠B+∠C＝90°时，∠MAC＝90°，∴NF∥MA，∵CF＝FA，∴CN＝CM，∴NA＝CM＝MN，同理，当∠B+2∠C＝90°时，MA＝MN，综上所述，当∠B＝∠C、2∠B+∠C＝90°、∠B+2∠C＝90°时，△AMN是等腰三角形．。

三角形证明培优教案

三角形证明培优教案引言：三角形作为几何学中的基础形状之一，具有广泛的应用。

在学习三角形的过程中，学生不仅需要掌握基本的定义和性质，还需要学会用证明的方法来分析和解决相关的问题。

本教案将介绍一种培优的教学方法，帮助学生在三角形证明方面有更好的理解和应用。

一、教学目标：1. 理解与应用三角形的基本定义和性质；2. 学会运用证明的方法来解决三角形相关的问题；3. 培养学生的逻辑思维和分析能力。

二、教学准备：1. 教师准备白板、黑板、彩色粉笔等教学工具；2. 学生准备三角板、直尺、铅笔等绘图工具。

三、教学过程：1. 导入：通过简单的问题引导学生思考，例如，给定一个三边长分别为3、4、5的三角形，如何证明它是一个直角三角形？2. 讲解基本概念：教师讲解三角形的基本定义和性质，例如，三角形的内角和为180度、三边长的关系等。

3. 示范证明：教师示范如何进行三角形的证明，例如，用割尺法证明两边长相等的三角形的两个对应角也相等。

4. 练习演练：学生根据教师给出的问题，分组进行证明练习，例如，证明等腰三角形的底角相等、证明相似三角形的对应边成比例等。

5. 精讲难点：教师针对学生在练习中出现的问题和难点进行详细讲解和解答。

6. 拓展拔高：给学生一些拓展题目，鼓励他们用自己的思维进行证明，例如，证明平行四边形的对角线相等、证明正方形的对角线互相垂直等。

7. 总结归纳：教师引导学生总结和归纳三角形证明的思路和方法，强调重要的定理和技巧。

8. 课堂评价：教师设计相关的评价方式，例如，学生进行小组展示和讲解自己的证明过程。

9. 课后作业：布置相应的作业，要求学生进行更多的证明练习，加深对概念和定理的理解和掌握。

四、教学小结：通过本教案的教学，学生可以有效地掌握三角形证明的方法和技巧，提高解决三角形问题的能力。

同时，培养学生的逻辑思维和分析能力，为今后更深入的几何学习打下坚实的基础。

五、教学反思：在教学过程中，应注重培养学生的动手操作能力，教师可多使用教具和实物来辅助教学。

八下第一章《三角形证明》培优提高精品

八下第一章《三角形证明》培优提高一、选择题：1、已知△ABC中，A B＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC 的腰和底边长分别为( )A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm2、（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使BA B．C．D．4、和△AED的面积分别B．5.5 C．7D．3.5（选择4）（选择6）（选择7）（选择9）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对9、（2012•三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10、（2012•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC 于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A．16 B．15 C．14 D．13（选择10）（选择11）11、（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．D．3二、填空题：1、如图,△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,∠A＝30°,BD＝1.5cm，则AD=cm．（填空1）（填空4）（填空6）（填空7）2、在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，AB＝6cm，则BC＝cm．3、等边△ABC的周长为12cm，则它的面积为cm2．4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝.5、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是.6、（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．7、（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．8、在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度数为．9、（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．10、（2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=．（填空10）（填空11）（填空12）11、（2012•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是．12、（2012•黔西南州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．13、（2012•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长14、（2012•黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形．15、（2012•佳木斯）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为．三、解答题：1、．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=•AC，•延长BE交AC于F，AF 与EF相等吗？为什么？D A B C2、已知：如图1-9，△ABD 和△BEC 均为等边三角形，M 、N 分别为AE 和DC•的中点，那么△BMN 是等边三角形吗？说明理由．3、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC ，AD 是△ABC 的角平分线，若BD=1，求DC 的长.4、（2012•遵义）如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．（1）当∠BQD=30°时，求AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．5、（：如图1-11，△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上的任意一点，选择一点D ，•使△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，那么△CMN•是等边三角形吗？为什么？6、已知：如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．7、如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F，那么PD+PE 与CF相等吗？8、（2012•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．9、如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、•AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．。

2020-2021学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练

2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练（附答案）1．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°2．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A．三角形的高线B．边的中垂线C．三角形的中线D．三角形的角平分线3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD4．如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（）A．60°B．75°C．90°D．105°5．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（）A．αB．αC．αD．α7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为．10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA全等．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．（1）求证：△BDF是等边三角形；（2）若移动点D使EF∥AB时，求AD的长．12．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．13．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD 交AC于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）求证：AD∥BC．14．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．15．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．17．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE 交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．18．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．21．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．参考答案1．解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．2．解：三角形的中线平分三角形的面积，故选：C．3．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD＝∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF＝∠CHE，∴∠CEH＝∠CHE∴CH＝CE＝EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE＝∠BAE，又∵∠ACB＝∠AFE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE＝EF，∠CEA＝∠AEF，AC＝AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选：D．4．解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴AC＝2DE＝，∵AB＝2，AC＝1，∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴∠DCE＝60°，∵DE＝CE，∴∠CDE＝60°，∴∠CDE+∠BCD＝90°，故选：C．5．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，解得x＝17，此时三边长7cm、7cm、17cm，∵7+7＜17∴此三角形不成立；若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得7+x+x＝31，解得x＝12，此时三边长7cm、12cm、12cm．答：该等腰三角形的腰长为12cm．故选：D．6．解：根据题意：在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C∵AE＝AD∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC化简可得：∠α＝2∠EDC∴∠EDC＝α．故选：A．7．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，A正确，不符合题意；BD＝CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∵∠EAD＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选：D．8．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．9．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．10．解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒），故答案为：0，2，6，8．11．（1）证明：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝90°，∵∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°＝∠B，∴DF＝BF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵EF∥AB，DE⊥AB，∴EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∵∠EDF＝30°，∴DF＝2EF，DE＝EF，设EF＝x，则DE＝x，DF＝2x，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵△BDF是等边三角形，∴DF＝BF＝BD＝2x，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣2x，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，∴AD＝DE，即2﹣2x＝•x，解得：x＝，∴AD＝2﹣2×＝．12．证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．13．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，∴DM＝DN＝DK，∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠GAD＝∠DAC，∴AD平分∠GAC．（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠GAD＝∠ABC，∴AD∥BC．14．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝DE＝AC，∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．15．解：（1）成立．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）成立．理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF＝BF，由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC，∵BD＝BC，∴BD＝AE．16．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．（2）∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG．∴AE＝GC＝8．∵GC＝2BG，∴BG＝4．∴BC＝12．∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．18．（1）证明：连接ME、MD，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵M是BC的中点，∴DM＝BC，同理可得EM＝BC，∴DM＝EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵BC＝10，ED＝6，∴DM＝BC＝5，DN＝DE＝3，由（1）可知∠MND＝90°，∴MN＝＝＝4，∴S△MDE＝DE•MN＝×6×4＝12．19．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．20．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．21．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°．。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的有关证明单元培优测试题1(附答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的有关证明单元培优测试题1（附答案）1．下列条件不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形B．三个外角都相等的三角形C．有两个角相等的等腰三角形D．有一个角是60°的等腰三角形2．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．135°B．150°C．270°D．90°3．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E是边AB上两点,且CE所在直线垂直平分线段AD,CD平分∠BCE,AC=5cm,则BD的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，则∠AEC的度数为( )A．60°B．62°C．64°D．66°5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AC＝6，则AB的长是( )A．8 B．10 C．12 D．不能确定6．如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°7．若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（）A ．4cm 2B ．33cm 2C ．23cm 2D ．3 cm 2 8．等腰三角形周长为 24，其中一条边长为 6，则一个腰长是_____________- .9．如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于__________．10．如图，一条船从A 处出发，以15里/小时的速度向正北方向航行，10个小时到达B 处，从A 、B 望灯塔，得∠NAC=37°，∠NBC=74°，则B 到灯塔C 的距离是_____里．11．在△ABC 中，AB=2，AC=2,∠B=30º，则 ∠BAC 的度数是_________．12．等腰△ABC 的顶角∠A=48°，则其一腰上的高与底边的夹角为________°. 13．已知，直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =20°，在直线AC 上找一点 P ，使△ABP 是等腰三角形，则∠APB 的度数为_____．14．如图，已知ABC V 的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =，ABC V 的面积是__________．15．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_____．16．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．（1）如图CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长.（2）求∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的度数.17．如图，已知△ABC（1）用直尺和圆规作△ABC的边BC上的高AD，并在线段AD上找一点E，使E到AB的距离等于ED（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=AC=5，BC=6，求出ED的长。

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八年级下册第一章《三角形证明》培优提高(郑学专用)
一、选择题：
1、已知△ABC中，A B＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为( )
A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm
2、（2015•郴州）如图，在Rt△ACB中，△ACB=90°，△A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则△ADB′等于（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3、（2014•广州）在Rt△ABC中，△C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）
A
A．
B．C．D．
4、（2015•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF△AB，垂足为F，DE=DG，△ADG 和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）
A．11B．5.5C．7D．3.5
（选择4）（选择6）（选择7）（选择9）
5、（2013•广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=1
2
BC，则△ABC底角为（）
A．45°B．75°C．45°或75°D．60°
6、（2015•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E 是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．23；B．2；C．43；D．4
7、（2015•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3B．2C．3D．1
8、（2015•攀枝）已知x，y满足|x-4|+8
y =0，以x，y为边长的等腰三角形周长是（）
A．20或16 B．20 C．16D．以上答案均不对
9、（2015•三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10、（2015•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）
A．16B．15C．14D．13
11、（2015•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）
A．2 B．23C．3D．3
12、（2015•芜湖）如图，在△ABC中AD△BC，CE△AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）
A.1B．2C．3D．4
13、（2015•深圳）如图，已知：△MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）
A．6B．12C．32D．64
二、填空题：
1、如图,△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,∠A＝30°,BD＝1.5cm，则AD= cm．
（填空1）（填空4）（填空6）（填空7）
2、在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，AB＝6cm，则BC＝cm．
3、等边△ABC的周长为12cm，则它的面积为cm2．
4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝.
5、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是.
6、（2015•泰安）如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若△F=30°，DE=1，则BE的长是．
7、（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是△ABC和△ACB的角平分线，且PD△AB，PE△AC，则△PDE的周长是cm．
8、在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度数为．
9、（2015•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．
10、（2015•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．
（填空10）（填空11）（填空12）
11、（2015•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是．
12、（2015•黔西南州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．
13、（2015•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长
14、（2015•黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形．
15、（2015•佳木斯）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为（3种）
16、（2015•十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为．
17、直角坐标系内有两点A(-1，1)、B(2，3)，若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是________
三、解答题：
1、（2015•铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且△BAC=90°，
△DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．
2、已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．
3、已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．求证：AD＝BE．
4、已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C(点A、B都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．你知道线段AD、DE、BE的关系吗？证明你的结论。

5、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，
使C点与AB边上的一点D重合．
(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；
(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．
6、如图，在△ABD和△ACD中，已知AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD是∠BAC的平分线．
7、如图，在△ABD和△ACE中，有四个等式：①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE．以其中
．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。

已知：
求证： .
证明：
8、（2015•温州）如图，在△ABC中，△C=90°，AD平分△CAB，交CB于点D，过点D作DE△AB于点E．
（1）求证：△ACD△△AED；
（2）若△B=30°，CD=1，求BD的长．
9、已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．
10、（2015•沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE△AC于点E，AD△BC于点D，△BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
11、（2015•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C 运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
12、（2015•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
13、（2015•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF△AD，△A=△EDF=90°，△C=45°，△E=60°，量得DE=8，试求BD的长．
14、(2014年河南省)（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①△AEB的度数为60°；
②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断△AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且△BPD=90°，请直接写出点A 到BP的距离．。