2013年安徽省中考数学试卷及答案解析

2013年安徽省初中毕业学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分150分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题,选对得4分,不选、选错或选出的代号超过一个的(不论是否写在括号内)一律得0分.
1.-2的倒数是()
A.-1
2B.1
2
C.2
D.-2
2.用科学记数法表示537万正确的是()
A.537×104
B.5.37×105
C.5.37×106
D.0.537×107
3.如图所示的几何体为圆台,其主(正)视图正确的是()
4.下列运算正确的是()
A.2x+3y=5xy
B.5m2·m3=5m5
C.(a-b)2=a2-b2
D.m2·m3=m6
5.已知不等式组{x-3>0,
x+1≥0.
其解集在数轴上表示正确的是()
6.如图,AB∥CD,∠A+∠E=75°,则∠C为()
A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
7.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困
难学生389元,今年上半年发放了438元.设每半年
．．．
发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是()
A.438(1+x)2=389
B.389(1+x)2=438
C.389(1+2x)=438
D.438(1+2x)=389
8.如图,随机闭合开关K1,K2,K3中的两个,则能让两盏灯泡同时
．．
发光的概率为()
A.1
6B.1
3
C.1
2
D.2
3
9.图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是()
图1图2
A.当x=3时,EC<EM
B.当y=9时,EC>EM
C.当x增大时,EC·CF的值增大
D.当y增大时,BE·DF的值不变
10.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点.在以下判断中,不正确
．．．
的是()
A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形
B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC
C.当PO⊥AC时,∠ACP=30°
D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.若√1-3x在实数范围内有意义,则x的取值范围是.
12.因式分解:x2y-y=.
13.如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中
点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=2,则S1+S2=.
14.已知矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2.将该纸片折叠成一个平面图形,折痕EF不经过A点(E,F是该矩形边界上的点),折叠后点A落在点A'处,给出以下判断:
①当四边形A'CDF为正方形时,EF=√2;②当EF=√2时,四边形A'CDF为正方形;
③当EF=√5时,四边形BA'CD为等腰梯形;④当四边形BA'CD为等腰梯形时,EF=√5.
其中正确的是(把所有正确结论的序号都填在横线上).
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:2sin30°+(-1)2-|2-√2|.
16.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,已知A(-3,-3),B(-2,-1),C(-1,-2)是直角坐标平面上三点.
(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;
(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标.若将点B2向上平移h个单位,使其落在△A1B1C1内部,指出h的取值范围.
18.我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2),图(3),…
(1)观察以上图形并完成下表:
图形的名称基本图的个数特征点的个数
图(1)17
图(2)212
图(3)317
图(4)4
………
猜想:在图(n)中,特征点的个数为(用n表示);
(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则
x1=;图(2013)的对称中心的横坐标为.
图(n)
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡角α=60°.汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角β=45°.若原坡长AB=20m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)
20.某校为了进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元,购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多,多出的部分能购买25副乒乓球拍.
(1)若每副乒乓球拍的价格为x元,请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用;
(2)若购买的两种球拍数一样,求x.
六、(本题满分12分)
21.某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平,随机抽取了50名工人加工的零件进行检测,统计出他们各自加工的合格品数是1到8这八个整数.现提供统计图的部分信息如图,请解答下列问题:
(1)根据统计图,求这50名工人加工出的合格品数的中位数;
(2)写出这50名工人加工出合格品数的众数的可能取值;
(3)厂方认定,工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3件为技能合格,否则,将接受技能再培训.已知该厂有同类工人400名,请估计该厂将接受技能再培训的人数.
七、(本题满分12分)
22.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x 天销售的相关信息如下表所示.
销售量p(件) p=50-x
销售单价q(元/件)
当1≤x ≤20时,q=30+12x;
当21≤x ≤40时,q=20+525
x
.
(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件? (2)求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式; (3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?
八、(本题满分14分)
23.我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1,四边形ABCD 即为“准等腰梯形”.其中∠B=∠C.
(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可);
(2)如图2,在“准等腰梯形”ABCD 中,∠B=∠C,E 为边BC 上一点,若AB ∥DE,AE ∥DC.求证:AB DC =BE EC
; (3)在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中,∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E,若EB=EC,请问当点E 在四边形ABCD 内部时(即图3所示情形),四边形ABCD
是不是“准等腰梯形”,为什么?若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由)
图1图2图3
答案全解全析：
1.A ∵-2×(-1
2)=1,∴-2的倒数是-1
2
.
2.C 537万=5 370 000=5.37×106,故选C.
评析此题主要考查了科学记数法的定义.
3.A 从这个几何体正面看,是上宽下窄的梯形,故选A.
4.B A项: 2x与3y不是同类项,不能合并,故本选项错误;
B项: 5m2·m3=5m5,故本选项正确;
C项:(a-b)2=a2-2ab+b2,故本选项错误;
D项:m2·m3= m5, 故本选项错误.故选B.
5.D 解不等式x-3>0得x>3,解不等式x+1≥0得x≥-1,
∴原不等式组的解集为x>3,在数轴上表示大于3的任何实数.故选D.
6.C 如图所示,设AB与CE交于点F.∵AB∥CD,∴∠EFB=∠C,
又∵∠EFB=∠A+∠E=75°,∴∠C=75°,故选C.
7.B 依题意,得389(1+x)2=438,故选B.
8.B 画出树状图.
任意闭合其中两个开关的情况共有6种,其中能使两盏灯泡同时发光的情况有2种,故概率.
是1
3
9.D ∵反比例函数图象过(3,3),
,
∴y=9
x
∵△AEF是等腰直角三角形,
∴△EBC、△CDF都是等腰直角三角形,
A项:在矩形ABCD中,BC=3时,CD=3,此时矩形ABCD是边长为3的正方形,∴当x=3时,EC=EM=3√2,故本选项错误;
B项:∵当y=9时,x=1,∴EC=√2,CF=9√2,
∴EM=5√2,即EC<EM,故本选项错误;
C项:∵EC·CF=√2x·√2y=2xy=18,值不变,故本选项错误;
D项:∵BE·DF=xy=9,值不变,故本选项正确.
故选D.
评析此题主要考查了矩形、等腰直角三角形、反比例函数的性质,是综合性较强的题. 10.C A项:∵弦PB是☉O的直径时最长,此时∠BCP=∠BAP=90°,
∴∠ACP=∠CAP=30°,∴△APC是等腰三角形,故本选项正确;
B项:若点P与点B不重合,
当△APC是等腰三角形时,△PBA≌△PBC,
∴∠BAP=∠BCP=90°,∠BPA=∠BPC,
∴PB是☉O的直径,
又∵∠BPA=∠BPC且AP=CP,
∴PB⊥AC,即PO⊥AC,
若点P与点B重合,
由于△ABC是等边三角形,∴BO⊥AC,即PO⊥AC,
故本选项正确;
C项:当点P与点B重合时满足PO⊥AC,但此时∠ACP=60°,故本选项错误; D项:当∠ACP=30°时,则∠BCP或∠PBC=90°,
∴△BPC一定是直角三角形,故本选项正确.故选C.
11.答案x≤1
3
.
解析∵1-3x≥0,∴x≤1
3
12.答案y(x+1)(x-1)
解析x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1).
13.答案8
解析∵P为平行四边形ABCD边AD上一点,
∴△PDC、△PAB的面积之和与△PBC的面积相等,
又∵E、F分别为PB、PC的中点,
∴△PEF∽△PBC且相似比为1∶2,
∴△PBC的面积是△PEF面积的四倍,∴S1+S2=4S=8.
评析此题考查了平行四边形的性质、中位线的性质、相似三角形的性质.
14.答案①③④
解析①当四边形A'CDF为正方形时,如图1所示,A'是BC的中点,F是AD的中点,因此点E 与点B重合,此时EF=√2,故①正确;②当EF=√2时,除①这种情况外,还有其他情况,如图2所示,四边形A'CDF不一定为正方形,故②错误;③当EF=√5时,如图3所示,EF与BD重合,四边形BA'CD为等腰梯形,故③正确;④当四边形BA'CD为等腰梯形时,只有一种情况,即EF 与BD重合,EF=√5,故④正确.故填①③④.
图1
图2
图3
评析此题既考查学生的动手操作能力,又考查学生的推理能力.
+1+√2-2=√2.(8分)
15.解析原式=2×1
2
评析此题主要考查了特殊角的三角函数值、乘方、绝对值,属基础题.
16.解析由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-1(a≠0).
∵函数图象经过原点(0,0),
∴a·(0-1)2-1=0,∴a=1.
∴该函数的解析式为y=(x-1)2-1(或y=x2-2x).(8分)
17.解析(1)如图所示.(4分)
(2)点B 2的坐标为(2,-1);(6分) h 的取值范围为2<h<3.5.(8分) 18.解析 (1)22;5n+2.(4分) (2)√3;2 013√3.(8分) 19.解析 作AF⊥BC 于F. 在Rt△ABF 中,∠ABF=∠α=60°, AF=AB·sin 60°=20×√3
2=10√3(m).(5分)
在Rt△AEF 中,∵∠β=45°,∴AF=EF.(7分) 于是AE=√AF 2+EF 2=10√6(m). 即坡长AE 为10√6 m.(10分) 20.解析 (1)(4 000+25x)元.(2分)
(2)每副乒乓球拍的价格为x 元,则每副羽毛球拍的价格为(x+20)元. 由题意得
2 000x
=
2 000+25x x+20
,
解得x 1=40,x 2=-40.
经检验x 1,x 2都是原方程的根.(8分)
但x>0,∴x=40.即每副乒乓球拍的价格为40元.(10分)
评析 由题意找出等量关系,把有关量用含有未知数的代数式表示,列出方程是解题的关键所在,本题属于基础题.
21.解析 (1)∵把合格品数从小到大排列,第25,26个数都是4,∴中位数为4.(4分)
(2)众数的可能值为4,5,6.(7分)
(3)这50名工人中,合格品数低于3件的有8人.
因为400×8
50=64,所以该厂约有64人将接受技能再培训.(12分)
评析 本题是统计的频数分布直方图问题,解题时要能从所给的统计图中获取有用的信息,难度较小.
22.解析 (1)当1≤x≤20时,令30+1
2x=35,得x=10;
当21≤x≤40时,令20+
525x
=35,得x=35.
即第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件.(4分) (2)当1≤x≤20时,y=(30+1
2x -20)(50-x)=-1
2x 2
+15x+500, 当21≤x≤40时,y=(20+
525x -20)(50-x)=
26 250x
-525.
∴y={-1
2x 2+15x +500 (1≤x ≤20),26 250x
-525 (21≤x ≤40).(8分)
(3)当1≤x≤20时,y=-1
2x 2
+15x+500=-1
2(x-15)2
+612.5. ∵-1
2
<0,∴当x=15时,y=-1
2
x 2
+15x+500有最大值y 1,且y 1=612.5.
当21≤x≤40时,∵26 250>0,∴26 250x
随着x 的增大而减小,∴当x=21时,y=
26 250x
-525最大.
于是,当x=21时,y=
26 250x
-525有最大值y 2,且y 2=26 25021
-525=725.
∵y 1<y 2.∴这40天中第21天该网店获得的利润最大,最大利润为725元 .(12分) 评析 此题难点是第(3)问要分别在不同范围内计算函数的最大值,然后再比较这两个最大值,取其中较大的.
23.解析 (1)如图所示:(画出其中一种即可)
(2)证明:∵AE∥CD,∴∠AEB=∠C,
又∵AB∥ED,∴∠B=∠DEC,∴△ABE∽△DEC.
∴AE
CD =BE EC
.
又∠B=∠C,∴∠B=∠AEB,∴AB=AE.
故AB
CD =BE
EC
.(6分)
(3)是.理由如下:过E点分别作EF⊥AB,EG⊥AD,EH⊥CD,垂足分别为F,G,H(如图).
∵AE平分∠BAD,∴EF=EG,
又∵DE平分∠ADC,∴EG=EH,∴EF=EH,
又∵EB=EC,∴Rt△BFE≌Rt△CHE,∴∠3=∠4,
又∵EB=EC,∴∠1=∠2,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠DCB.
又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行于BC,∴四边形ABCD为“准等腰梯形”.
当点E不在四边形ABCD内部时,有两种情况:
当点E在四边形ABCD的边BC上时,如图①所示,四边形ABCD为“准等腰梯形”;
当点E在四边形ABCD的外部时,如图②所示,四边形ABCD仍为“准等腰梯形”.
图①图②。