张宇高数笔记

第一章节 极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。

②它的极限存在且唯一。

③它是有界的。

（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡） ④它有保号性。

数列极限存在的解题手段： ①夹逼法。

②定积分定义法。

③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。

（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x n −A |<k|x n−1−A|，其中0<k <1 ④对于未给出递推式的数列求极限：根据题设条件得出x n+1和x n 的递推关系，然后用③的方法。

⑤充分运用题目中给出的函数关系式：（1）x n+1=f(x n )，f (ξ)=ξ；则x n+1−x n =f (x n )−f(x n−1)，|x n+1−ξ|=|f (x n )−f (ξ)| （2）任何|f ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|f (x 1)−f (x 2)|≤k|x 1−x 2| （3）若知f(x)的单调性，可把x n+1和x n 的大小判断转化为对f (x n+1)和f(x n )的判断。

（4）若给出x n+1=f(x n )，f ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:|x n+1−x 0|=|f (x n )−f (x 0)|=|f′(ξ)(x n −x 0)|≤A|(x n −x 0)|压缩映象 ⑥对于累加型数列x n =∑f(n,k)n k=1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。

函数极限存在（设为A ），则： ①左右极限都为A 。

（证明题证极限存在的思路） ②唯一性、有界性、保号性。

③∀ε>0,∃δ>0,当0<|x −x 0|<δ时，有|f (x )−A |<ε此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。

重要结论与具体解题技巧：①闭区间上连续的函数必有界；开区间上连续的函数，两端点极限都存在才有界。

②无穷项相加的放缩：n ×u min ≤∑u i ≤n i=1 n ×u max 有限项相加（且u i ≥0）的放缩：1×u max ≤∑u i ≤n i=1 n ×u max ③诸如1x 2之类的形式难以处理，想到用倒代换。

④见根号，有理化。

⑤分子分母都有不少幂次方，上下同除最大因子。

（当x<0时，用t=-x 替换）形如a x +b x 、e a +e b的指数相加，则提取最大因子。

⑥积分求导时，记得对积分限中的x 也要求一次导。

⑦x 出现在指数上，想到两种思路： （1） 对于1∞型：limu v =e lim (u−1)v（2） 用e 、ln 置换掉指数，并想办法凑出e x −1～x 的形式来化简。

⑧看到高斯函数[·]，想到夹逼；想到从左右两边分别趋近。

⑨两个连续函数加、减、乘、复合都连续。

除不一定，要看分母有没有为0的点。

连续函数和间断函数加减后一定间断，乘除则不一定。

⑩极限可拆的前提是拆开后的极限都存在。

⑪两坨相加的东西难以化简，可以用其中一个除另一个再取极限，如果结果是0或∞，说明其中一个是高阶无穷小，直接扔掉。

⑫判断函数分段点时，尽量先把函数写出分段函数形式，不易出错。

无穷小的运算规则：①有限个无穷小的和、乘积是无穷小。

（无穷个则不一定） ②有界函数乘无穷小为无穷小。

③加减时，低阶吸收高阶；乘法时，阶数累加。

泰勒公式：f (x )=∑f n (x 0)n!i n=0(x −x 0)n +R n (x)本章难题：例2.5、例2.11、例2.28、习2.8、习2.14（2）、源1.3、源1.6、源1.8、源1.12、源1.15、源1.41、源1.46、源1.82、源1.89、源1.92、源1.105第二章节：导数基础知识：①导数定义中增量的广义化：limu→0f (x 0+u )−f(x 0)u，这里的u 可以取任何表达式。

注意，u 需要从双向都能→0，若单向趋近，则只能得出单向导数。

② y =f (x )，反函数x =φ(y )，则dxdy =1y′；d 2xdy 2=−y′′y′3 ③可微的判别：作极限limΔx→0Δy−dy Δx，若极限等于0，则y =f (x )在点x 0处可微。

其中增量Δy = f (x 0+Δx )−f(x 0)，微分（线性增量）dy = f′(x 0)Δx 由于事实上，Δy =dy +o (Δx )，故dy 又被称为Δy 的“线性主部”。

④斜渐近线：limx→∞f(x)x=k 1，lim x→∞[f (x )−k 1x]=b 1，则y =k 1x +b 1⑤凹函数的另一种定义：f[λx 1+(1−λ)x 2]<λf (x 1)+(1−λ)f(x 2)，0<λ<1 ⑥曲率及曲率半径：k =|y′′|[1+(y′)2]32；R =1k=[1+(y′)2]32|y′′|；曲率圆心：α=x −y ′[1+(y′)2]y′′；β=y +1+(y′)2y′′⑦内外可导⇒复合可导；但复合可（不可）导⇏内外可（不可）导。

解题技巧：①证明题中牢记导数的定义，尤其是遇到抽象函数时，首选构造导数的定义。

②求导题中牢记导数的定义：（1）间断点处必须用导数的定义求导。

（2）用求导公式过于复杂，用定义法往往简单。

（3）当x,y 用参数方程表示时，导数的定义式写成limΔx→0ΔyΔx，转化为Δt ，如例3.20③导数类题目要时刻谨记函数是否连续，不连续就不能往里代。

题目中若给出存在二阶导数f′′(0)，则f(x)在0处连续，f′(x)在0处连续，但是f′′(x)在0处不一定连续！此时如果要求f′′(0)，只能在f′(x)的基础上用定义法求，不能使用求导公式。

④高阶导数常用处理方法： （1）多项式分母因式分解法。

（2）莱布尼兹公式法。

（3）先求出一阶导，有时还要求二阶导，然后让他们与多项式相乘，构造等式。

（4）展开式的唯一性法。

⑤判断极值点和拐点时，不要忘了第二充分条件，利用f ′′(x 0)和f′′′(x 0)来判断。

拐点第二充分条件：f ′′(x 0)=0，f ′′′(x 0)≠0。

⑥求斜渐近线时，别忘了x →+∞和x →−∞两种情况，可能有两条！第三章节：中值定理基础知识：①费马定理：极值不在区间端点取到，则f ′(x )=0必在区间内部取到。

②拉格朗日增量形式：f (b )−f (a )=f ′[a +θ(b −a )](b −a)，其中0<θ<1 ③拉格朗日余项：f n+1(ξ)(n+1)!(x −x 0)n+1 ④佩亚诺余项：o((x −x 0)n ) ⑤常用函数求导模型：（1）f ′(x )+g (x )f (x )=0原函数⇒ F (x )=e ∫g (x )dx f(x)，例如：f′(x )−λf (x )=0原函数⇒ F (x )=e −λx f(x)；f ′′(x )+g (x )f′(x )=0原函数⇒ F (x )=e ∫g (x )dx f′(x) （2）f (x )g ′′(x )−g (x )f ′′(x)=0原函数⇒ F (x )=f (x )g ′(x )−g (x )f′(x )原函数⇒ F (x )=g(x)f(x) （3）f (x )+f ′′(x )=0原函数⇒ F (x )=f 2(x )+[f′(x)]2（4）f (x )−f ′′(x )=0原函数⇒ F (x )=e x [f (x )−f ′(x )]原函数⇒ F (x )=−f (x )e x（5）f (x )f ′′(x )−[f ′(x )]2=0原函数⇒ F (x )=f ′(x )f (x )原函数⇒ F (x )=lnf(x)牢记：找母亲不行就找外婆，往已知条件上靠。

解题技巧：①使用拉格朗日中值定理的情况：（1）需要寻找f (x )和f′(x )的关系，尤其是已知特定点的函数值f(x 0)=a（2）时常需要在区间(a,b)内再进行划分(a,ξ)、(ξ,b)；特别地，当题干中的(a,b)在式子中高度对称时，往往取ξ=a+b 2②使用泰勒展开的情况：（1）要求的为高阶导数。

（2）给出了f′(x )、f′′(x )等的取值范围。

（3）当题干中的(a,b)在式子中高度对称时，展开点往往取x =a+b 2（4）别的方法都行不通，泰勒展开试试。

③柯西中值定理的两种题型： （1）单中值型：证明af (b )−bf(a)a−b=f (ξ)−ξf′(ξ)解：f(b)b −f(a)a 1b −1a=f (ξ)−ξf′(ξ)，则F (x )=f (x )x，g (x )=1x ，F (b )−F(a)g (b )−g(a)=F′(ξ)g′(ξ)（2）双中值型：证明f′(η)tana+b 2=f′(ξ)sinηcosξ解：f′(ξ)cosξf′(η)sinη=tana+b 2，则g (x )=sinx ，ℎ(x )=−cosx ，f′(ξ)g′(ξ)f′(η)ℎ′(η)=f (b )−f(a)g (b )−g(a)f (b )−f(a)ℎ(b )−ℎ(a)第四章节：微分不等式罗尔原话：若f n (x )=0至多有k 个根，则f (x )=0至多有k+n 个根。

实根定理：实系数奇次方程至少有一个实根。

基本不等式：21a +1b ≤√ab ≤a +b 2≤√a 2+b 22第五章节：积分不定积分：①求不定积分一定不要忘记常数C 。

②原函数存在定理：含有第一类间断点、无穷间断点的函数必没有原函数。

仅含有振荡间断点的函数有原函数。

③有关原函数各种定理的证明，马上想到导数的定义。

④子孙三代的奇偶性、周期性： （1）一切函数求导后奇偶性改变。

（2）f (x )为奇无条件→∫f (t )dt x a 为偶；f (x )为偶∫f (u )du 0a → ∫f (t )dt xa 为奇。

（3）∫f (t )dt xa 周期为T ∫f (x )dx=0T0← f (x )周期为T 无条件→ f′(t )周期为T（4）推论：若奇函数f (x )为周期函数，则∫f (x )dx =0T⑤常用手段：（1）对根号内进行变形后，三角换元。

（2）代换不掉的根号整体换元。

（3）分母幂次过高，倒代换。

（4）a x 、e x 、lnx 、arcsinx 、arctanx 等常常被直接代换，甚至考虑整个式子代换。

（5）幂函数与三角函数相乘，优先考虑分部积分。

（6）有理函数：(ax +b )→Aax+b ；(ax +b)2→Aax+b +B(ax+b)2；px 2+qx +r →Ax+Bpx 2+qx+r （7）分母有e −x 、e 3−x 之类的，利用e −x ·e x =1上下同乘化为正。