D112对坐标曲线积分24946

文言文各种句式详解
2对坐标曲线积分24946
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y L
设一质点受如下变力作用
A
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y ))O
B x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
:xx2yy2z12, 从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程
x co t,ys sit,n z 2 c t o sti ( s t : n 2 π 0 )
2π
I 0 [(2 cto ) (sit)n
z
( 2 2 cto ss ti )c n tos
(c t s o t ) is ( n t c st ) i o ] d t n s
0 l P [x (s )y ( ,s )d d x s ] Q [x (s )y ( ,s )d d ] s y d s
l P [ x ( s )y ( ,s )c ]o Q [ x s ( s )y ( ,s )c ]o d ss 0 P ( x ,y ) co Q ( x s ,y ) co d ss L
3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 L i(i 1 , ,k ),
则 P (x,y)d x Q (x,y)d y L k P(x,y)dxQ (x,y)dy i1Li
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! • 定积分是第二类曲线积分的特例.
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理: 设 P (x ,y ),Q (x ,y )在有向光滑弧 L 上有定义且
连续,
L
的参数方程为
x y
(t) (t)
t: ,则曲线积分
存在, 且有
L P (x,y)d x Q (x,y)d y P[(t) , (t)](t) Q [(t) ,(t)](t)dt
3. 计算
• 对有向光滑弧 L:yx((tt)), t:
L P (x,y)d x Q (x,y)d y
P [( t),( t)] (t) Q [( t),( t)] (t) d t • 对有向光滑弧 L :y ( x ),x :a b
L P (x,y)d x Q (x,y)d y
a b P [x ,(x ) ]Q [x ,(x )](x) d x
Ads At ds
例6. 设 M maP 2 xQ 2,P (x,y),Q (x,y)在L上连
续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
LPdxQdyMs 证: LPdxQdy L P c o Q sc od s
LP co s Q co s d s
设 A ( P ,Q ) ,t (c ,c o o )ss
a
0 dx 0
L
a
例3. 计算 2xydxx2dy,其中L为 y L
B(1,1)
(1) 抛物线 L:yx2,x:0 1; x y 2
(2) 抛物线 L:xy2,y:0 1;
y x2
(3) 有向折线 L:O A A.B O
A(1,0) x
解: (1) 原式
1
(
0
2x x2x22x)dx 4
因为L 为光滑弧 , 所以 (t)连续 n
l i0 m i1P[(i),(i) ](i)ti
P[(t) , (t)](t)dt 同理可证 LQ(x,y)dyQ [(t) , (t)](t)dt
特别是, 如果 L 的方程为 y(x )x ,:a b ,则
L P (x ,y )a b d x P [Q x,( x,(y x))d y ]Q [x,(x)](x)dx
类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
PdxQ dyRdz
P c o Q s c o R s co d ss
令 A (P ,Q ,R ),d s (x d ,d y ,d z )
t (c,c oo s ,cso ) s
Ads Atds
记 A 在 t 上的投影为 A t
(2) AB.
O
试求力场对质点所作的功.
A x
y
解:
(1)
W
Fds ydxxdyzdz Γ
2π(R2k2t)dt 2π(πk2R2) 0
(2) 的参数方程为 x R ,y 0 ,z t ,t : 0 2 π k
2πk
W
Fds
ydx xdy zdz AB
0
t dt
2π2k2
例5. 求I ( z y ) d x ( x z ) d y ( x y ) d z ,其中
2π(14co2ts)dt2π 0
O y
x
三、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
x x ( s ) , y y ( s )( 0 s l )
已知L切向量的方向余弦为 cosdx,cosdy
则两类曲线积分有如下联系
ds
ds
L P (x ,y )d x Q (x ,y )dy
1x3 dx 1
0
(2) 原式
1
(
2y2y2yy4)dy 5
1y4dy 1
0
0
(3)
原式
2xydxx2dy 2xydxx2dy
OA
AB
1
0 d y 1 0
例4. 设在力场 F (y, x,z)作用下, 质点由 A(R,0,0)
沿 移动到 B (R,0,2πk)其, 中 为
z
( 1 ) x R c t , y o R s t s , z i k t n ; B
二者夹角为
L At ds LA cosdsMs
说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
例7.将积分 P (x,y)dxQ (x,y)dy化为对弧长的积 L
分, 其中L 沿上半圆周 x2y22x0从 O (0 ,0 )到 B (2 ,0)
解： y
2xx2,dy
1x dx 2xx2
y
ds 1y2dx 1 dx 2xx2
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧 L i(i 1 , ,k )
k
LP (x,y)dxQ (x,y)dy i1LiP(x,y)dxQ (x,y)dy
(2) L－ 表示 L 的反向弧
L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y L P (x ,y)d x Q (x ,y)d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
O
A(a,0)x
恒指向原点,
此质点由点
A(a,0)沿椭圆
x2 a2
y2 b2
1
沿逆时针移动到B(0,b),求力F 所作的功.
提示: O M (x,y),F k(x,y) 思考: 若题中F 的方向
n
LP(x,y)dxl i0m k 1P(k,k) 称xk为,对 x 的曲线积分;
n
LQ(x,y)dyl i0m k 1Q(k,k)称yk为,对 y 的曲线积分.
若记 ds(x d ,d y), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
证明: 下面先证
LP(x,y)dxP[(t) , (t)](t)dt
n
根据定义 LP(x,y)dxl i0m i1P(i,i)xi
设分点 x i 对应参数 t i , 点 (i,i)对应参数 i , 由于
xixixi 1(ti)(ti 1 )(i) ti
n
LP(x,y)dxl i0 m i1P[(i),(i)](i)ti
A (1 , 1 )到 B (1 ,1 )的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L:A O OB y x
A:O y x ,x :1 0
O :y B x , x :0 1
O
x y x
x y d x x y d x x y d x
L
AO OB
A(1,1)
0
x(
x)dx
1
A ax
解: (1) 取L的参数方程为 x a ct ,y o a s s t ,i t : 0 n π
则
y2dx πa2 sin2 t ( asit)n dt
L
0
2a3 π2sin3tdt 2a3 2 1 4 a3
0
3
3
(2) 取 L 的方程为 y 0 ,x :a a ,则
y2dx
O
Bx
cos dx 2xx2, cos dy 1x
ds
ds
LP (x,y)dxQ (x,y)dy
L P ( x ,y )2xx2 Q ( x ,y ) (1x)d s
内容小结
1. 定义
2. 性质
P (x,y)d x Q (x,y)d y
L
n
l i0 k m 1 P (k , k) x k Q (k , k) y k
n
W lim 0k1
P ( ξ k ,η k) Δ x k Q ( ξ k ,η k) Δ y k
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F(k,k)
L
M ykk B
Mxkk1
A
O
x
2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y ))
x
xdx 2 1x32dx4
1
0
0
5
解法2 取 y 为参数, 则 L:xy2, y:1 1
xydx1y2y(y2)dy2 1y4dy4
L
1
1
5
例2. 计算 y2dx, 其中 L 为 L (1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向;
y
B a O
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
4. 两类曲线积分的联系
LPdxQdy L P c o Q sc o d s s
PdxQ dyRdz
P co Q s co R s co d ss
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思考与练习
y
1. 设一个质点在 M(x,y)处受 B(0,b)
M(x, y)
力F 的作用, F 的大小与M 到原
F
原点 O 的距离成正比, F 的方向
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim
0
k 1
P (k,k ) x k Q (k ,k ) y k
记作
L P (x,y)d x Q (x,y)d y
都存在, 则称此极限为函数 F(x,y) 在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中, P(x,y), Q(x,y)称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (x d ,d y ,d z ) F ( x , y , z ) ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ))
F d s P ( x , y , z ) d x Q ( x , y , z ) d y R ( x , y , z ) d z
解决办法: “大化小”
F
A
WFAc Bos
B FAB
“常代变” “近似和” “取极限”
1) “大化
小”.
把L分成 n 个小弧段,F 沿Mk1Mk
所做的功为 Wk, 则
y
F(k,k)
n
W Wk
L
M ykk
Mxkk1
B
k1
A
2) “常代变”
O
x
有向小弧段 Mk1Mk 用有向线段 Mk1Mk ( xk, yk)
x(t) • 对空间有向光滑弧 : y(t), t:
z (t)
P ( x ,y , P z [ ) d x (t )Q ,( ( x t, )y ,, z ) (d t)y ]R (t( )x ,y ,z ) d z Q [( t),( t), ( t)] (t) R [( t),( t) , ( t)] (t)dt
x(t) 对空间光滑曲线弧 : y(t) t:, 类似有
z (t)
P ( x ,y ,z ) d x Q ( x ,y ,z ) d y R ( x ,y ,z ) d z
P [(t) ,(t), (t)] (t)
(t)
(t)
例1. 计算 xydx, 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
近似代替, 在 Mk1Mk 上任取一点 (k,k),则有
W k F (k, k)M k 1 M k
P (k ,k ) Δ x k Q (k ,k ) Δ y k
3) “近似和” n W P ( k , k ) x k Q ( ξ k , k ) y k k 1
4) “取极限”