几何应用(1-41)

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江苏省天一中学届高三数学二轮复习解析几何应用题

06
解析几何应用题的重要性和发展趋势
未来展望：未来的解析几何应用题将更加注重创新和探究，需要学生具备更强的数学素养和创新能力。
重要性：解析几何应用题是数学中的重要题型，能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
发展趋势：随着科技的进步和数学教育的改革，解析几何应用题将更加注重实际应用和跨学科的综合问题。
特点：解析几何应用题通常涉及较为复杂的几何图形和数量关系，需要学生具备较高的数学建模能力和思维逻辑能力。同时，这类题目通常与实际生活问题密切相关，能够帮助学生理解数学在解决实际问题中的应用。
解析几何应用题的解题思路
理解题意：仔细阅读题目，明确题目要求和条件
建立模型：根据题意，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题
注意事项：注意定值问题的特点和难点，结合题目要求选择合适的解题方法
04
读题审题，理解题意
仔细阅读题目，确保理解题意
找出关键信息，明确解题方向
结合图形，将文字信息转化为数学语言
避免因理解错误而导致的解题失误
建立坐标系，确定变量和参数
单击此处添加标题
单击此处添加标题
单击此处添加标题
单击此处添加标题
运用解析几何知识解决问题
运用知识：运用解析几何的知识，如直线、圆、椭圆、双曲线等，进行计算和分析。
理解问题：仔细阅读题目，明确问题的要求和条件，理解问题的本质。
建立模型：根据问题的描述，选择合适的坐标系，建立数学模型，将问题转化为数学表达式。
求解问题：通过计算和推理，得出问题的解，并给出合理的解释和结论。
解析几何知识运用：运用解析几何的知识，对数学模型进行分析和求解
结论检验：对求解结果进行检验，确保符合实际情况
解析几何应用题在高考中的地位和作用

画法几何习题集答案

b’ p’ o’ n1’’
a’
c’
4’
m’
a c
po
4 m
n1 b
• 做法：
2’ • 延长 ac .34交
于m,求出 m’,
延长2‘1’交点
3’ 为o’,p,’ 在ab
求出p,bc利用
3 定比性求出o, 连接po交21
于n,求出n’,连
2
接mn,m’n’.
42 已知直线AB平行于平面CDE求直线的正面投影
b’ 55mm
高度差
a’
水平投影
a
水平投影
b
12判别下列各直线的空间位置，并注明反映实际长度的投影
g’
d’
f’
a’
b’
e’
c’
h’
c
a
b
e
f
d
g (h)
直线 AB CD
空间位水平线侧平线
置
实长投 ab
影
c’’d’’
EF GH
正平线铅垂线
e’f’ g’h’
13 判别CDE 三点是否在直线AB上
• 1、在正立面上分别连接m’c’交点 p’,n’a’交点q’,,n’b’ 交点r’.如图所示
• 2、做出三个点的水平投影p,q,r
• 3、连接mp,nq,nr
• 4、做a’ ,b’,c’对应的水平投影a,b,c，并连接。
26 在∆ ABC内任作一条正平线和一条水平线
b’
n’ a’
m’ c’
20mm b1 X2
67用换面法确定两交错直线间的距离返回做出投影
c’ n’
b’
a’ m’
X
X1
a

专题41 几何问题(1)之动点问题【热点专题】

第七部分几何图形综合
专题41 几何问题（1）之动点问题
数学
题型精讲
题型一：圆背景下的动态探究题【例 1】（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 3m 的筒车⊙O 按逆时针方向
每分钟转圈，筒车与水面分别交于点 A、B 筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间．
PQ PQ2．在
Rt△POQ 中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．由四边形 OPCQ 的面积 S＝S△POQ+S△PCQ
可得出答案．
题型二：四边形动点探究【例 3】（2021·山东中考真题）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上一点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 落在 F 处，连接 BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点 H，与 AE，CD 分别相交于点 G，M，连接 HC （1）求证：AG＝GH；（2）若 AB＝3，BE＝1，求点 D 到直线 BH 的距离；（3）当点 E 在 BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？
【分析】（1）如图 1 中，连接 OA．求出∠AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问题．（2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，过点 P 作 PD⊥OC 于 D，解直角三角形求出 CD 即可．（3）如图 3 中，连接 OP，解直角三角形求出∠POM，∠COM，可得∠POH 的度数即可解决问题．
【例 2】（2020•苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT 是∠MON 的平分线，A 是射线 OM 上一点，OA＝8cm．动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 Q 从点 O 出发，也以 1cm/s 的速度沿 ON 竖直向上作匀速运动．连接 PQ，交 OT 于点 B．经过 O、P、Q 三点作圆，交 OT 于点 C，连接 PC、 QC．设运动时间为 t（s），其中 0＜t＜8．（1）求 OP+OQ 的值；（2）是否存在实数 t，使得线段 OB 的长度最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．（3）求四边形 OPCQ 的面积．

41几何图形初步-江西省南昌市第二中学七年级数学上册课件(共55张PPT)

A
B
C
D
新知讲解 “坚”在下，“就”在后，“胜”和“利”在哪里？
坚持就是
“胜”在上，“利”在前.
胜一个多面体的展开图中，在同一直线上的相邻
利
的三个线框中，首尾两个线框是立体图形中相对的
两个面.
练习1如图是一个立方体纸盒的展开图，使展开图沿虚线折叠成正
方体后相对面上的两个数互为相反数，求：a=
例题2 画如图所示物体的俯视图，正确的是
例题3如图，是一个几何体从正面、左面、上面看得到的平面图形，下
列说法错误的是 ( )
A．这是一个棱锥
B．这个几何体有4个面
C．这个几何体有5个顶点
D．这个几何体有8条
练习1 图中三视图对应的正三棱柱是（）
练习2 （1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图 2的方
几何世界欢迎你
几何图形初步
几何图形直线、射线、线段
生活中的立体图形立体图形探究三视图展开图
三线认识点线面的计数问题
两个公理线段计算问题
角
角的认识
观察与思考
问题1 说一说下面这些几何图形有什么共同特点？
这些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.
做一做
1. 图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来.
二立体图形的展开图新知讲解将一个正方体的表面沿某些棱剪开,能展成哪些平面图形？
友情提示：沿着棱剪展开后是一个平面图形
正方体的展开图新知讲解
1
2
34
5
6
7
8
9
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11
思考：这些正方体展开的展开图有没有什么规律？哪几号展开图可以分为一类，为什么？

几何著名定理及其应用

几何著名定理及其应用1、勾股定理〔毕达哥拉斯定理〕2、射影定理〔欧几里得定理〕3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2：1的两局部4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足不L,那么AH=2OL9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。

10、〔九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆〕三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线〔欧拉线〕上12、库立奇*大上定理：〔圆内接四边形的九点圆〕圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、〔内心〕三角形的三条内角平分线交于一点 ,内切圆的半径公式：$r=sqrt{[(s-a)(s-b)(s-c)]/s}$s为三角形周长的一半14、〔旁心〕三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：〔巴布斯定理〕设三角形ABC的边BC的中点为P,那么有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n ,那么有$nxxAB^2+mxxAC^2=(m+n)AP^2+(mn)/(m+n)BC^2$17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n〔值不为1〕的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆 ,那么有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$,推广对于一般的四边形ABCD ,那么有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,那么△DEF是正三角形,21、爱尔可斯定理1：假设△ABC和三角形△都是正三角形,那么由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

第10讲勾股定理逆定理及简单应用(3种题型)(原卷版)-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假精

第10讲勾股定理逆定理及简单应用（3种题型）1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．二．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．勾股定理的逆定理1．（2022秋•句容市期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝7，b＝24，c＝252．（2022秋•阜宁县期末）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a2＝1，b2＝2，c2＝3B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：53．（2022秋•大丰区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．4．（2022秋•南通期末）下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，85．（2022秋•玄武区期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P 都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．（2022秋•兴化市期末）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为．7．（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为cm．8．（2022秋•邗江区期末）如图所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求：（1）BD的长；（2）△ABC的面积．9．（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．二．勾股数10．（2022秋•泰兴市期末）下列四组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5B．32，42，52C．3，4，5D．11．（2022秋•宿豫区期中）下列各组数中不是勾股数的是（）A．3，4，5B．4，5，6C．6，8，10D．11，60，6112．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝．（提示：5＝，13＝，…）13．（2022秋•铜山区期中）若m、n为整数，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．请你证明a、b、c为勾股数．14．（2022秋•工业园区校级期中）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n 为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组，；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．15．（2022秋•盱眙县期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．16．（2022秋•高邮市期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4＝，12＝，24＝……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为、；（3）用所学知识加以说明．17．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝，弦＝，则据此规律第四组勾股数是．（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．18．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）请你写出另外两组勾股数：6，，；7，，；（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；②请你任选其中一个法则证明它的正确性．三．勾股定理的应用19．（2022秋•句容市期末）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高尺．20．（2022秋•无锡期末）如图，长为2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m，则梯子顶端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m21．（2022秋•广陵区校级期末）一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长a的取值范围是cm．22．（2022秋•江都区期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．23．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）24．（2022秋•徐州期末）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？25．（2022秋•常州期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．26．（2022秋•建邺区期末）如图，点A处的居民楼与马路相距14m，当居民楼与马路上行驶的汽车距离小于50m时就会受到噪声污染，若汽车以15m/s的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪声污染？27．（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝m，BC＝m，CD＝m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送m．28．（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．29．（2022秋•亭湖区期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？一．选择题1．（2023•广陵区一模）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．2．（2022秋•如皋市校级期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．2，4，5B．4，5，6C．6，12，13D．9，12，153．（2022秋•相城区校级月考）如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．AD为△ABC的角平分线，CD的长度为（）A．2B．C．3D．4．（2022秋•邗江区期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．0.3，0.4，0.5B．8，15，17C．D．3，4，45．（2022秋•句容市期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件能判断△ABC 不是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5D．a＝9，b＝23，c＝256．（2021秋•泗阳县期中）下列各组数中，哪一组是勾股数（）A．1，1，2B．6，8，10C．32，42，52D．7，12，15二．填空题7．（2022秋•天宁区校级期中）【教材例题】判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：a＝13，b＝14，c＝15．解：因为132+142＝169+196＝365，152＝225．所以132+142≠152，根据，这个三角形不是直角三角形．8．（2022秋•沭阳县期中）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，则这个三角形的面积为．9．（2022秋•秦淮区校级月考）若三角形三边满足a：b：c＝3：4：5，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为．10．（2022秋•江阴市期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长？”．根据题意求出绳索的长为尺．11．（2022秋•梁溪区校级期中）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人从出发到相遇用了x个单位时间．根据勾股定理可列得方程为．12．（2022秋•句容市期末）已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为．13．（2022秋•金湖县期中）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点，则△ABC的外角∠ACD等于°．14．（2022秋•连云港期中）如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为．（不用化简）15．（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；…照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为．16．（2022秋•新吴区期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目的大致意思是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都是1尺（1尺＝10寸），则AB的长是几寸？若设图中单扇门的宽AD＝x寸，则可列方程为：．三．解答题17．（2022秋•赣榆区校级月考）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于C，点A到地面的距离AE＝1.5m（AE＝CD），当他从A处摆动到A'处时，A'B＝AB，若A'B⊥AB，作A'F⊥BD，垂足为F．求A′到BD的距离A'F．18．（2022秋•泗洪县期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺）将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索OB的长度．18．（2022秋•涟水县期中）八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．20．（2022秋•鼓楼区期中）如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，已知AB＝2.5m，AC＝2m．求BC的长．21．（2022秋•江都区期中）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．22．（2022秋•涟水县期中）如图，已知CD⊥AB，垂足为D，BD＝1，CD＝2，AD＝4．求证：∠ACB＝90°．23．（2021秋•句容市期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．24．（2020秋•盱眙县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4＝，弦5＝；当勾为5时，股12＝，弦13＝；当勾为7时，股24＝，弦25＝．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？25．（2022秋•鼓楼区期中）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣12n B勾股数组Ⅰ/8勾股数组Ⅱ35/26．（2022秋•苏州期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．27．（2022秋•梁溪区期中）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？28．（2021秋•江都区校级月考）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．（1）请把下列三组勾股数补充完整：①，8，10 ②5，，13 ③8，15，．（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．29．（2021秋•东台市月考）一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？30．（2022秋•姑苏区校级期中）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判断△ACM的形状，并说明理由；（2）求公路AB的长．31．（2022秋•镇江期中）国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（CD）35米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面30米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面10米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头项正上方（AB∥CD），且显示距离地面25米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程．32．（2022秋•高新区校级月考）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20kn，停靠站A、B之间的距离为25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？33．（2022秋•连云港期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的AC上，这时点B到墙底端C的距离BC为0.7米．（1）求AC的值；（2）如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．34．（2022秋•玄武区期中）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．（1）求证：∠C＝90°；（2）求AD和BD的长．35．（2022秋•东海县期中）在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？一．选择题1．下列各组数不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，12．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m3．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．16米B．20米C．24米D．25米4．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.555．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（）A．15尺B．24尺C．25尺D．28尺二．填空题6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是．7．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的中线为．8．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为尺．9．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）10．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．11．已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC边上的中线AD＝3，则AC＝．12．（2021秋•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝°（点A，B，P 是网格线交点）．13．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为米．三．解答题14．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．15．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．16．如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．17．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AC上一点，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．18．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．19．如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．20．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出四边形ABCD的周长．你同意小明的说法吗？若同意，请求出四边形ABCD的周长；若不同意，请说明理由．21．阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米2．求这块地草坪绿化的价钱．。

7.5广义积分(1-41)

dx
3
3
dx ( x - 1) 4 ( x - 1)2 - 1
2 3
( x - 1)4 x 2 - 2 x
2
x -1 sec t
2
4 sec t tan t 3 2

sect tan t
dt cos3 tdt
2 3
1 3 (1 - sin t )d (sin t ) sin t - sin t 3

; x0 t 0
常义积分

dx (1 x )
2 n 1 2

2
se c2 t
0
se c2 n1 t 0
dt cos2 n-1 tdt
0
2
( 2n - 2)(2n - 4) 2 1 ( 2n - 1)(2n - 3)3
例
解

求
3

dx ( x - 1) 4 x 2 - 2 x

arctan x -[ x
1 x ] ( )dx 1 - 2 2 4 1 x 1 x 1 x(1 x )
dx
1
x 1 2 [ln x - ln(1 x )] 1 ln 2 4 4 2 1 x
1 1 ln1 - ln ln 2 4 4 2 2
0
x2 ) d ( 1 2 x2 2 2 0 1 ( ) 2
1 ( - ) 2 2 4 8
例求

1 2
dx x ( x 1)

解
1 1 1 ( - 2 )dx 2 x 1 x ( x 1) 1 x 1 x 1 [ ln( x 1) - ln x - ] 1 x 1 1 (ln(1 ) - ) 1 0 - (ln 2 - 1) x x 1 - ln 2

工程光学习题1

(n 1)
习题1-8 如图1-6所示，光线芯的折射率为n1，包层的折射率为n2，光纤所在介质的折射率为n0，求光纤的数值孔径。
n2 sin I m n1 n0 sin I1 n1 cos I m n n
2 1 2 2
习题1-9 有一直角棱镜如图1-16所示，其折射率为n。问光线以多大的孔径角入射时，正好能够经其斜面全反射后出射。如果棱镜用冕牌玻璃K9制造，计算该孔径角的值。
• 2.已知真空中的光速，求光在水（n=1.333 ）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（ n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的光速。 c 3 10 c v n • 答：根据 v ，分别代入数字得： n n m / s 3 10 v • （1）在水中（注意单位） 1.333 2.2510 m / s • （2）在冕牌玻璃中 • （3）在火石玻璃中 • （4）在加拿大树胶中 • （5）在金刚石中
L d lF
300m m d L lF f 3 lF
h1 f tanu h1 2 h2 tanu h2 2 lF h1 tanu1 f1 h h d tanu 1 1 2
1 1 2 l l r (1) 0, l l l , l 50m m

无限远轴上物点的共轭像点正好位于 r / 2处； (2) 0.1, l 550mm, l 55m m； (3) 0.2, l 300mm, l 60m m；
(1) l 时， 0； (2) l 1000mm时， 0.429 ； (3) l 100mm时， 1.5； (4) l 0时，l 0，物和像都位于折射球面的顶点， 0； (5) l 100mm时， 0.75； (6) l 150mm时， 0.667 ； (7) l 200mm时， 0.6；

一年级下册数学应用题100道,题型经典

一年级下册数学应用题100道,题型经典人教版一年级下册数学应用题1、同学们要做10个灯笼,已做好8个，还要做多少个？2、从花上飞走了6只蝴蝶，又飞走了5只，两次飞走了多少只？3、飞机场上有15架飞机，飞走了3架，现在机场上有飞机多少架？4、小苹种7盆红花，又种了同样多的黄花，两种花共多少盆？5、学校原有5瓶胶水，又买回9瓶，现在有多少瓶？6、小强家有10个苹果，吃了7个，还有多少个？7、汽车总站有13辆汽车，开走了3辆，还有几辆？8、小朋友做剪纸，用了8张红纸，又用了同样多的黄纸，他们用了多少张纸？9、马场上有9匹马，又来了5匹，现在马场上有多少匹？10、商店有15把扇，卖去5把，目前有几何把？11、学校有兰花和菊花共15盆，兰花有6盆，菊花有几盆？12、小青两次画了17个，第一次画了9个，第二次画了多少个？13、小红家有苹果和梨子共13个，苹果有4个，梨子有几何个？14、学校要把12箱文具送给山区小学，已送去7 箱，还要送几箱？15、家有11棵白菜，吃了5棵，还有几棵？16、一条马路两旁各种上48棵树，一共种树多少棵？17、从车场开走8辆汽车，还剩24辆，车场原来有几何汽车？18、从车场开走8辆大汽车，又开走同样多的小汽车，两次开走几何辆汽车？19、学校体育室有6个足球，又买来20个，现在有多少个？20、学雷锋小组上午修了8张椅，下午修了9张，一天修了多少张椅？21、明明上午算了12道数学题，下午算了8道，上午比下午多算多少道题？22、图书室里有20个女同学，有10个男同学，男同砚比女同砚少几何个？人教版一年级下册数学使用题23、动物园里有大猴20只，有小猴30只，小猴比大猴多多少只？24、学校有10个足球，16个篮球，足球比篮球少几何个？25、花园里有兰花40盆，菊花60盆，兰花再种多少盆就和菊花同样多？26、妈妈买红扣子18个，白扣子10个，黑扣子8个。

（1）红扣子比白扣子多多少个？（2）黑扣子比白扣子少多少个？27、小华做了20个封，小亮比小华多做6个，小亮做了几何个？28、有两层书架，第一层有16本书，第二层比第一层多8本，第二层有多少本？29、妈妈买苹果6个，买梨子比苹果多4个，买梨子几何个？30、豢养组有30只公鸡，母鸡比公鸡多48只，有母鸡多少只？31、四年级有84人去郊游，五年级比四年级多去8人，五年级有多少人去郊游？32、小合唱队有28个女同学，男同学比女同学少4个，男同学有几个？33、小华野生32只白羊，黑羊比白羊少12只，养黑羊几何只？34、同学们参加劳动，摘黄瓜40筐，摘的白瓜比黄瓜少18筐，摘白瓜几何筐？35、小明拍皮球，第一次拍35下，第二次比第一次少拍7下，第二次拍多少下？36、小英做红星30个，做的黄星比红星少12个，做黄星多少个？37、学校买回白粉笔37盒，彩色粉笔8盒，买回粉笔共几何盒？38、学校买回白色、彩色粉笔共45盒，其中彩色粉笔8盒，买回白粉笔多少盒？39、学校买回白粉笔37盒，彩色粉笔8盒，彩色粉笔比白粉笔少几何盒？40、学校买回彩色粉笔8盒，买回的白粉笔比彩色粉笔多29盒，买回白粉笔几何盒？41、学校买回白粉笔37盒，买回的彩色粉笔比白粉笔少29盒，买回彩色粉笔多少盒？42、果园里有荔枝树35棵，龙眼树26棵。

人教版(B版)高中数学选择性必修第1册 41 抛物线的几何性质

) +

，
Hale Waihona Puke 例3 已知抛物线的顶点在原点，焦点(−，)，设点 (，)
到抛物线上的点的距离的最小值为()，求() 的表达式.
解依题意，抛物线的方程为 = −. 设，是抛物
线上任意一点，则 = − ，由题意可知：
=
( − ) + =
（2）指出抛物线C是否具有对称性；
答：因为如果 (，)是方程 = 的一组解，则不
难看出， (， − )也是方程的解，这说明抛物线关于
轴对称；又因为 (−，) ，(−， − )不一定是方
程的解，这就说明抛物线不关于轴对称，也不关于
原点对称. 这也可从图中看出来.
尝试与发现
离心率与①所表示的抛物线是相同的，但是：
如图所示，② = − ( > ) 所表示的
抛物线中， ≤ ，除顶点外，抛物线上的其
余点都在轴的左侧，抛物线的开口向左
（或朝左），抛物线关于轴对称；
如图所示，③ = > 所表示的抛物
线中， ≥ ，除顶点外，抛物线上的其余点
当 ≤ −时，的最小值为 − − .
当 > − 时，的最小值为 .
综上 = ൝ − − ， ≤ −，
，
> −.
求定点到曲线任意一点的距离的最值问题的一般步骤：
1. 设曲线上任意一点的坐标，；
2. 写出的距离表达式，通过任意一点，满足
= ( > )①
（3）顶点是对称轴与曲线的交点
由（2）可知，抛物线 = 的对称轴为
轴与抛物线相交于原点 (0，0) . 因此，称原

41-截面的几何参数解析

yC
i1 2
Ai
i1
0 2 7 0 1 0 3 5 0 1 0 3 1 5 0 1 0 3
将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。
以形心为坐标原点，设Oyz坐标系，y、z 轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理（必要时用转轴定理）确定各个简单图形对y、z轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的 Iy、Iz 和Iyz。
A
例1：试求匀质槽形钢板的
形心。
y
A
y
y
解：由对称性可知 xc 0
o
A 1 A 2 1 3 0 0 3c 02 m 0y1=y2=15cm
A3102020c0m 2 y35cm
3
yc
i1
3
A
i y ci Ai
3001522005=12.5cm 3002200
i1
30cm
10cm x
（2）负面积法解：由对称性可知
❖3、截面对形心轴的静矩为零
❖4、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴
例3 求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
h
2
a
y
h 2
b
解： S y
b(ha) 2
(
h 2
2
a)
a
b h2
a2
2 4
§4.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。
y
I
2dA
A
——图形对 O 点的极惯性矩
I I b2A
y1
yc
I I a2A
z1
zc

经管6_1,2,3几何应用

弧长元素(弧微分) :
y
ds(d x)2(d y)2 1y2dx
yf(x)
ds
d 0 s 1 y 2 d x 0
1 y 2 0 , d 0 x o a xxdxb x
积分下限一定小于积分上限
因此所求弧长
b
s
a
1y2 dx b 1f2(x)dx
a
29
例1
计算曲线 y ln 1 x ( 2 )上（ 0 从， 0 ）到（点 1 ， l点 3 n ) 24
2、在 a,b内任取一个典型小区间x,xdx
作代表，然后求出所求量 u在这个小区间上相应
部分量的近似值，即 duf(x)dx
称其为所求量u的积分元素。（是关键一步） 3、以所求量 u的元素 f (x)dx为被积表达式，在
b
a,b上作定积分，即得 ua f (x)dx
这就是所求量 u的定积分表达式。
以上方法称为定积分的元素法（或微元法）
39
第三节
第六章
A M0
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. o
注：曲线 yf(x)在 a,b 上光滑(证明略)
Mi
B Mn x
f (x) 在 a,b 上连续。
28
一、曲线弧由直角坐标方程给出: y f(x )( a x b )
用元素法：
1）取 x 为积分变量， xa,b
2）在 a,b 上任取一个小区间 x,xdx相应的
射线 ,围成的曲边扇形的面积 .
在区间[,]上任取小区间 [,d]
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA1()2d
2
d
所求曲边扇形的面积为
r()
A122()d

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt

C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)，故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58，所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合应用[培优课]
题型一平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C，又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14，所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a，由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b，所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc，当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415，所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.

补充第1章例题与习题

补充例题与习题【例1-3】如图1—19a 所示刚架。

在B 处受一水平力刚架自重不计，尺寸如图所示。

试分别用几何法与解析法求解刚架在固定铰链A 和活动铰链D 处的约束反力。

【解】(1)几何法以刚架为研究对象，取出分离体。

画出主动力FP 和约束反力FND(垂直于支承面，沿DC 方向)，FP 与FND 相交于c 点；根据三力平衡汇交定理，FNA 的作用线必通过C 点，如图l-19b 所示。

最后作力多边形求未知力F ND 和F NA 。

选力比例尺1cm=10kN ，任取一点a ，从a 作FP 的平行线段ab ，并取ab=FP ，再从a 和b 分别作FNA 和FND 的平行线相交于C ，于是得到封闭的力三角形abc ，如图1．19c 所示。

根据力多边形法则，按各力矢量首尾相接的顺序，得出FNA 和FND 的指向。

量出FNA 和FND 的长度经比例尺换算得(2)解析法以刚架为研究对象，画出受力图如图1-19b 所示。

b)选坐标系xAy 。

列平衡方程︒==565.26)8/4(arctg α由式(1-8)得 36.22565.26cos /==P NA F F KN 由式(1-9)得 kN F F NA ND 10565.26sin 36.22sin =⨯==α解得：均为正值，表示所假设的方向与实际指向相同。

【例1-4】增力机构如图1—20a 所示，已知活塞D 上受到液压力F P =300N ，通过连杆BC 压紧工件。

当压紧平衡时，杆AB 、BC 与水平线的夹角均为α=8°。

不计各杆自重和接触处的摩擦，试求工件受到的压力。

【解】根据作用力与反作用力定律，工件所受的压力可通过求工件对压块的反力F Q 而得到，因已知力F P 作用在活塞上，而活塞杆与压块间有一根二力杆相联系，所以必须分别研究活塞BD 和压块C 的平衡才能解决问题。

图1-20增力机构受力分析(1)取活塞杆BD为研究对象作用在活塞上的力有液压力F P和二力杆AB、BC的约束反力沿着各自杆的中心线，其指向假设如图1-20b所示。

高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时空间

第一章空间向量与立体几何
空间向量的应用用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时空间中的夹角问题
学习目标
素养要求
1．理解异面直线所成角、直线与平面所成角、二直观想象、抽象数学
面角的定义
2．能够用向量法解决线线、线面、二面角的计算直观想象、数学运算问题
|自学导引|
空间三种角的向量求法
角的分类
利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3)求平面的法向量 n．
(4)计算：设线面角为 θ，则 sin θ＝|cos〈n，m〉|＝|nn11|·|nn22|．
2．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝ CD＝CB＝2，∠ABC＝60°，在矩形 ACFE 中，AE ＝2，BF＝2 2．
(1)求证：BC⊥平面 ACFE； (2)求直线 BD 与平面 BEF 所成角的正弦值．
(1)证明：在梯形 ABCD 中 AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝60°， ∴四边形 ABCD 是等腰梯形，∠ADC＝120°． ∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°． ∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°． ∴AC⊥BC．又∵在矩形 ACFE 中，CF＝AE＝2， BF＝2 2，CB＝2，∴CB⊥CF．又∵AC∩CF＝C，∴BC⊥平面 ACFE．
则 B(0，0，0)，C(0，6，0)，A(0，0，6)，D(－2 7，6，0)，
E(－ 7，3，3)，B→E＝(－ 7，3，3)，C→D＝(－2 7，0，0)，
∴cos〈B→E，C→D〉＝
→→ BE·CD →→
＝
57．
|BE||CD|
∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 57．

小学奥数教程之-图形的分割与拼接 (41) (含答案)

本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)： ⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O⑵ 过O 点任作一条直线AB ，直线AB 将长方形平均分割成两块．可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【答案】⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O知识点拨例题精讲4-2-3.图形的分割与拼接⑵ 过O 点任作一条直线AB ，直线AB 将长方形平均分割成两块．用线段平分长方形的分法有无穷多种。

一元二次方程50道题

一元二次方程50道题一、基础形式类（1 - 10题）1. 解方程x^2+3x + 2 = 0。

这个方程就像是一个小迷宫，我们得找到让这个等式成立的x的值哦。

2. 求解方程x^2-5x + 6 = 0。

这就好比是给x找一个合适的家，让这个等式舒舒服服的。

3. 解一元二次方程x^2+x - 6 = 0。

这个方程像是一个小谜题，x是那个神秘的答案呢。

4. 求方程x^2-3x - 4 = 0的解。

感觉就像在数字的森林里找宝藏，宝藏就是x的值。

5. 解方程x^2+2x - 3 = 0。

这个方程是一个等待我们破解的小密码，密码就是x 的正确数值。

6. 求解x^2-4x + 3 = 0。

这就像是一场数字的捉迷藏，x躲在某个地方，我们要把它找出来。

7. 解一元二次方程x^2+4x + 3 = 0。

这个方程像是一个数字的小盒子，我们要打开它找到x。

8. 求方程x^2-2x - 8 = 0的解。

就像是在数字的海洋里捞针，针就是x的值。

9. 解方程x^2+5x - 14 = 0。

这个方程是一个数字的小挑战，看我们能不能征服它找到x。

10. 求解x^2-6x + 8 = 0。

这就像给x安排一个合适的位置，让这个等式完美成立。

二、含系数类（11 - 20题）11. 解2x^2+3x - 2 = 0。

这个方程里2就像是x的一个小跟班，我们要一起找到合适的x。

12. 求解3x^2-5x + 2 = 0。

3在这儿可有点小威风，不过我们可不怕，照样能找到x。

13. 解一元二次方程 - x^2+2x + 3 = 0。

这个负号就像个小捣蛋鬼，但我们能搞定它找到x。

14. 求方程4x^2-4x + 1 = 0的解。

4这个家伙让方程看起来有点复杂，不过没关系。

15. 解方程 - 2x^2-3x + 1 = 0。

这个负2就像个小乌云，我们要拨开乌云见x。

16. 求解5x^2+2x - 3 = 0。

5在这里就像个大力士，不过我们要指挥它来找到x。