9下-§3.4 圆周角与圆心角的关系(3)--圆内接四边形性质(2021年)
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圆周角和圆心角的关系内接四边形、相交弦2 课件.ppt
A
OB
DC
E
6、试判断下列图形有无外接圆： （1）平行四边形 （2）菱形 （3）梯形 （4）正方形
O C
4、⊙O1与⊙O2都经过A、B两点,经过 A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交 于点D,经过B的直线EF交⊙O1于点E,交 ⊙O2于点F，求证：CE∥DF
D A C
O1
O2
E
B
F
变式图
CA
F
B
D
E
A
E
C
B FD
5、四边形ABCD内接于圆，AC平分 ∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E， 若AC=EC，求证：AD=EB
运用一：
半圆或直径所对圆周角都相等，都等于90°（直角）． 反过来，90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O 上任意一点（除点A、B），那么， ∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想 看，∠ACB会是怎么样的角？
∵AB=180°，∴ ∠ACB= 1 AB =90°.
PC2=PA·PB
C OP B
D
１、已知：如图，AP=3cm，PB=5cm， CP=2.5cm， 求CD的长。
解：由相交弦定理得
PA·PB=PC·PD ·
故 3×5=2.5×PD PD=6（cm）
D
O
A
P
B
C
CD=6+2.5=8.5(cm)
答:CD=8.5cm。
在__如__图，在中：B⌒若C上∠取A=一72点0，D,则连结B⌒BCD的、度C数D为，
证明：连结AD、BC
P B
∵A=C
D=B
D
∴APD∽CPB
∴
PA PD PC PB
OB
DC
E
6、试判断下列图形有无外接圆： （1）平行四边形 （2）菱形 （3）梯形 （4）正方形
O C
4、⊙O1与⊙O2都经过A、B两点,经过 A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交 于点D,经过B的直线EF交⊙O1于点E,交 ⊙O2于点F，求证：CE∥DF
D A C
O1
O2
E
B
F
变式图
CA
F
B
D
E
A
E
C
B FD
5、四边形ABCD内接于圆，AC平分 ∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E， 若AC=EC，求证：AD=EB
运用一：
半圆或直径所对圆周角都相等，都等于90°（直角）． 反过来，90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O 上任意一点（除点A、B），那么， ∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想 看，∠ACB会是怎么样的角？
∵AB=180°，∴ ∠ACB= 1 AB =90°.
PC2=PA·PB
C OP B
D
１、已知：如图，AP=3cm，PB=5cm， CP=2.5cm， 求CD的长。
解：由相交弦定理得
PA·PB=PC·PD ·
故 3×5=2.5×PD PD=6（cm）
D
O
A
P
B
C
CD=6+2.5=8.5(cm)
答:CD=8.5cm。
在__如__图，在中：B⌒若C上∠取A=一72点0，D,则连结B⌒BCD的、度C数D为，
证明：连结AD、BC
P B
∵A=C
D=B
D
∴APD∽CPB
∴
PA PD PC PB
《圆——圆周角和圆心角的关系》数学教学PPT课件(6篇)
谢谢观看！
第三章 圆
圆周角和圆心角的关系
第1课时
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
知识点1 圆周角的定义
1.如图,∠BAC是圆周角的是 ( B )
综合能力提升练
拓展探究突破练
-17-
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-18-
知识点2 圆周角定理
-19-
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-20-
知识点3 圆周角定理的推论1
5.(柳州中考)如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是 ( D )
A.∠B
B.∠C
C.∠DEB
D.∠D
6.(赤峰中考)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,D是☉O上一点.若∠ADC=30°,
学生练习2 课本83页随堂练习第1题、第2题、第3题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
课堂小结：
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、概念：圆周角，圆内接四边形，四边形的外接圆．
2、圆周角的定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
3、圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
4.如图,A,B,C是半径为6的☉O上的三个点,且∠BAC=45°,求弦BC的长.
解:连接 OB,OC.
北师大版初中数学9年级下册3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系-优课件
BAC1BOC 2
推导与验证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC1BOC 2
n圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
OO
O
B
D
BAD1BOD 2
B
C
C
D
D
BAC BADDAC
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
边形ABCD的对角线.
D
(1)完成下列填空： ∠1=∠4 . ∠2=∠8 . ∠3=∠6 . ∠5=∠7 .
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四 边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
推论2：等弧所对的圆周角相等
当堂训练
第三 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角和圆心角的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
关系”.（难点）
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （× ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= 166°．
推导与验证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC1BOC 2
n圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
OO
O
B
D
BAD1BOD 2
B
C
C
D
D
BAC BADDAC
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
边形ABCD的对角线.
D
(1)完成下列填空： ∠1=∠4 . ∠2=∠8 . ∠3=∠6 . ∠5=∠7 .
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四 边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
推论2：等弧所对的圆周角相等
当堂训练
第三 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角和圆心角的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
关系”.（难点）
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （× ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= 166°．
9下-§3.4 圆周角和圆心角的关系(2)(2021年)
E
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥
AC，可证DE⊥OC，即可知OD的长即为点O到直线DE的距离
B
C
O
答案： （1） 证明：连接 CD， ∵BC 是圆的直径， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB， 又∵AC=BC， ∴AD=BD， 即点 D 是 AB 的中点； （2） 证明：连接 OD， ∵AD=BD，OB=OC，
∴ CD =BD， ∴CD=BD． 在直角△BDC 中，BC=10， CD2 BD2 BC 2 ，
∴BD=CD= 5 2 ； （2）如图②，连接 OB，OD． ∵AD 平分∠CAB，且∠CAB=60°， ∴∠DAB= 1 ∠CAB=30°，
2 ∴∠DOB=2∠DAB=60°． 又∵OB=OD， ∴△OBD 是等边三角形， ∴BD=OB=OD． ∵⊙O 的直径为 10，则 OB=5， ∴BD=5． 四悟：本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质，此题利用了 圆的定义、有一个内角为60度的等腰三角形为等边三角形.
O
圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；
D
3.推论2：
圆内接四边形的对角互补；
二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）
1.直角与直径的关系：
直径所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
2.同弧或等弧所对的圆周角相等；
三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）
【典例】已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长； （2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥
AC，可证DE⊥OC，即可知OD的长即为点O到直线DE的距离
B
C
O
答案： （1） 证明：连接 CD， ∵BC 是圆的直径， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB， 又∵AC=BC， ∴AD=BD， 即点 D 是 AB 的中点； （2） 证明：连接 OD， ∵AD=BD，OB=OC，
∴ CD =BD， ∴CD=BD． 在直角△BDC 中，BC=10， CD2 BD2 BC 2 ，
∴BD=CD= 5 2 ； （2）如图②，连接 OB，OD． ∵AD 平分∠CAB，且∠CAB=60°， ∴∠DAB= 1 ∠CAB=30°，
2 ∴∠DOB=2∠DAB=60°． 又∵OB=OD， ∴△OBD 是等边三角形， ∴BD=OB=OD． ∵⊙O 的直径为 10，则 OB=5， ∴BD=5． 四悟：本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质，此题利用了 圆的定义、有一个内角为60度的等腰三角形为等边三角形.
O
圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；
D
3.推论2：
圆内接四边形的对角互补；
二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）
1.直角与直径的关系：
直径所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
2.同弧或等弧所对的圆周角相等；
三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）
【典例】已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长； （2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
北师大版九年级数学下册：3.4 圆周角和圆心角的关系 课件(共41张PPT)
【预习任务检测】
1．圆周角的定义：顶点在 上，两边分别与圆
的
角叫做圆周角。
2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度 数的 。
3. 同弧或等弧所对的圆周角
。
4. 下列图形中的角是不是圆周角？是的划“√”，不是的
划“×”。
第5题
（ ）（ ）（ ）（ ） （ ）
5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则
B.130°
C.120°
D.110°
A
O B
C
4.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=46°，则∠OBC= 。
5.如图，点B、C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角 ∠BAC等于（ ）
A.60° B.50° C.40° D.30°
A
O
B C
6、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
即∠ABC = 1∠AOC. 你能写出这个命题吗?
2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:转化为1的情况 过点B作直径BD.由1可得:
本题考查了圆周角定理，平行线的判定， 垂径定理，弧长的计算
解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C， ∴∠C=∠D， ∴CB∥PD；
（2015•大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，
AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．
（1）证明：AB=CD； （2）证明：DP•BD=AD•BC； （2）证明：BD2=AB2+AD•BC．
北师大版九年级下册数学：3.4圆周角和圆心角的关系第二课时圆的内接四边形课件(共19张PPT)
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠DAB+∠BCD=180° ∴∠BCD=180°-40°=140°
（圆内接四边形的对角互补）
小结：
本节课你学到了什么？
1、推论： 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
2、推论： 圆内接四边形的对角互补
3、方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验证 ——严密证明”三个基本环节.
∵ 弦BC是直径 ，
∴ ∠A＝90 °
。
90°的圆周角所对的弦是_直__径____。
∵ ∠A＝90 ° ，
∴ 弦BC是直径
。
巩固练习
1、小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆 形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？ 为什么？
2、如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点， ∠B=30°，求AC的长.
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠A:∠C=4:5
∴ C5180100
9
即∠C的度Байду номын сангаас为100°.
2、如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和
∠C的度数.
解：∵∠BOD=80°
∴DAB1BOD 40
2
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
解： ∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10
∴ AC1AB5
2
探究新知二 （1）在图3-19，图3-20，两个四边形ABCD有什么共
同的特点？
圆内接四边形定义： 四个顶点都在圆上 ，这样的四边形叫做圆内接四
边形；这个圆叫做四边形的外接圆。
∴∠DAB+∠BCD=180° ∴∠BCD=180°-40°=140°
（圆内接四边形的对角互补）
小结：
本节课你学到了什么？
1、推论： 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
2、推论： 圆内接四边形的对角互补
3、方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验证 ——严密证明”三个基本环节.
∵ 弦BC是直径 ，
∴ ∠A＝90 °
。
90°的圆周角所对的弦是_直__径____。
∵ ∠A＝90 ° ，
∴ 弦BC是直径
。
巩固练习
1、小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆 形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？ 为什么？
2、如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点， ∠B=30°，求AC的长.
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠A:∠C=4:5
∴ C5180100
9
即∠C的度Байду номын сангаас为100°.
2、如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和
∠C的度数.
解：∵∠BOD=80°
∴DAB1BOD 40
2
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
解： ∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10
∴ AC1AB5
2
探究新知二 （1）在图3-19，图3-20，两个四边形ABCD有什么共
同的特点？
圆内接四边形定义： 四个顶点都在圆上 ，这样的四边形叫做圆内接四
边形；这个圆叫做四边形的外接圆。
九年级数学下册 第3章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 3.4.2 圆周角和圆心角的关系课件 北师
北师大版九年级下册数学
3.4.2圆周角和圆心角的关系
情境导入
圆周角:顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个
交点,像这样的角,叫做圆周角.
B
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
A C
A C
●O
●O B
B B
A
●O
C
A C
●O
本节目标
1.掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题. 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力. 3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节， 获得正确的学习方式.
(2)OC与BD的位置关系是_平___行_______; (3)若OC=2cm,则BD=__4____cm.
D C A O1 O B
随堂检测
5.如图，AE是⊙O的直径, △ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高. 求证：AB·AC=AE·AD.
证明：连接EC.因为∠ADB=∠ACE=90°，
∠AEC=∠ABD, 故△ACE∽ △ADB, 所以 AC AD .
典例精析
例1.如图,AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD
的大小有什么关系?为什么?
解析：BD=CD；
A
理由：如图，Байду номын сангаас接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
●O
即AD⊥BC. 又∵AC=AB，∴BD=CD.
C
D
B
典例精析
例2.如图，⊙O中,D，E分别是AB和AC 的中点, DE分别交AB和AC于点M， N；求证:△AMN是等腰三角形.
A B
M
PO
3.4.2圆周角和圆心角的关系
情境导入
圆周角:顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个
交点,像这样的角,叫做圆周角.
B
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
A C
A C
●O
●O B
B B
A
●O
C
A C
●O
本节目标
1.掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题. 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力. 3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节， 获得正确的学习方式.
(2)OC与BD的位置关系是_平___行_______; (3)若OC=2cm,则BD=__4____cm.
D C A O1 O B
随堂检测
5.如图，AE是⊙O的直径, △ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高. 求证：AB·AC=AE·AD.
证明：连接EC.因为∠ADB=∠ACE=90°，
∠AEC=∠ABD, 故△ACE∽ △ADB, 所以 AC AD .
典例精析
例1.如图,AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD
的大小有什么关系?为什么?
解析：BD=CD；
A
理由：如图，Байду номын сангаас接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
●O
即AD⊥BC. 又∵AC=AB，∴BD=CD.
C
D
B
典例精析
例2.如图，⊙O中,D，E分别是AB和AC 的中点, DE分别交AB和AC于点M， N；求证:△AMN是等腰三角形.
A B
M
PO
3.4 圆周角与圆心角的关系(3)--圆内接四边形性质
9下-§3.4 圆周角与圆心角的关系（3）－圆内接四边形性质课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.圆内接四边形的定义：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作圆内接四边形. 2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角相等，并且任何一个外角都等于它的内对角.二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.圆内接四边形的判定：内对角互补的四边形是圆内接四边形. 2. 重要结论：（1）同边同侧的三角形，若公共边所对的两个角相等，则这两个三角形有公共的外接圆. （2）如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）【典例】已知：如图5，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC 的外接圆交于点D.求证：DB=DC.一读：关键词：A 、B 、C 、D 四点共圆.二联：重要结论：圆内接四边形的对角相等，并且任何一个外角都等于它的内对角.三解：证明：∵ AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC=∠DAE ∵ 四边形ABCD 内接于圆， ∴∠DCB=∠DAE∵ 圆周角∠DBC 和∠DAC 所对的弧都是CD ，图1E图2图5∴∠DBC=∠DAC ∴∠DBC=∠DCB ∴ DB=DC ．四悟：圆内接四边形重要结论的应用.四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）1、如图6，⊙O1与⊙O2都经过A,B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙O1交于点C,与⊙O2 交于点D ，经过点B 的直线EF 与⊙O1交于点E,与⊙O2交与点F. 求证：CE//DF.核思点拨:A 、B 是两圆的交点，是两个圆内接四边形的公共边，结合圆内接四边形性质可求证. 答案：证明：连接AB∵四边形ABEC 是⊙O1的内接四边形。
∴∠BAD=∠E.∵四边形ADFB 是⊙O2的内接四边形。
新北师大版九年级数学下册《三章 圆 4 圆周角和圆心角的关系 圆的内接四边形》课件_19
圆上,那么这个四边形就叫做圆内接四边形,这 个圆叫做这个四边形的外接圆.
4、 圆内接四边形的性质的认识
1.如图：圆内接四边形ABCD中。
∵ 弧BCD和弧BAD所对的
圆心角的和是周角.
A
∴∠A＋∠C＝ 180°
同理∠ABC＋∠ADC＝180° B
D O
C
2、圆内接四边形的性质：
圆周角定理推论3：圆的内接四边形的 对角互补．
圆周角定理：圆周角度数等于它所对弧上的圆心角 度数的一半。
3.圆周角定理的推论1：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等．
问题讨论
问题1、如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗?
∠BAC =90º
问题2、如图2，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O
证明：连接AD.
A E
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°，
B
DC
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ∴ ⌒BD= D⌒E （同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。
问题3、观察下图，发现了什么？
D
A
D
D
A
A
O
O
O
B
C
B
B
C
C
定义：如果一个四边形的四个顶点都在同一个
D
E
A
推论4：圆内接四边形的一个外角等
于它的内对角。
O
B
C
随堂练习 A
1、如图，四边形ABCD为⊙O的 内接四边形，已知∠BOD=100°,
则∠BAD= 50º ,∠BCD=130º
4、 圆内接四边形的性质的认识
1.如图：圆内接四边形ABCD中。
∵ 弧BCD和弧BAD所对的
圆心角的和是周角.
A
∴∠A＋∠C＝ 180°
同理∠ABC＋∠ADC＝180° B
D O
C
2、圆内接四边形的性质：
圆周角定理推论3：圆的内接四边形的 对角互补．
圆周角定理：圆周角度数等于它所对弧上的圆心角 度数的一半。
3.圆周角定理的推论1：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等．
问题讨论
问题1、如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗?
∠BAC =90º
问题2、如图2，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O
证明：连接AD.
A E
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°，
B
DC
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ∴ ⌒BD= D⌒E （同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。
问题3、观察下图，发现了什么？
D
A
D
D
A
A
O
O
O
B
C
B
B
C
C
定义：如果一个四边形的四个顶点都在同一个
D
E
A
推论4：圆内接四边形的一个外角等
于它的内对角。
O
B
C
随堂练习 A
1、如图，四边形ABCD为⊙O的 内接四边形，已知∠BOD=100°,
则∠BAD= 50º ,∠BCD=130º
初中数学北师大版九年级下册《3.4.1 圆周角和圆心角的关系》课件
A B
C
●O
●O
●O
C C
探索2:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即ACB 1 AOB. 2
A B
●O
C
A B
●O
C
A B
●O C
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
已知：如图，∠ACB是 A⌒B所对的圆周角，∠AOB是
，
求证： ACB 1 AOB. 2
A⌒B所对的圆心角
3.4 圆周角和圆心 角的关系（1）
知识回顾
1.圆心角顶的点在定圆义心?的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系? 如图：∠AOB 弧AB的度数.
探索1:
A
A
O.
A.
.
.
O
O
OБайду номын сангаас
B
CB
CB
CB
C
顶点在圆心
圆心角
圆周角
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？
归纳总结
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交 点的角叫做圆周角.
练习巩固
1.如图，哪个角与∠BAC相等，你还能找到那些相等的角？
解：∠BAC=∠BDC; ∠ADB=∠ACB; ∠CAD=∠CBD; ∠ABD=∠ACD.
A
D
C B
练习巩固
2.如图，OA、OB、OC都是⊙O的直径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB
与∠BAC的大小有什么关系，为什么？
解：∠BAC= 2∠ACB，理由如下: 1 1 AOB, 2
必做题：课本 习题3.4 第2题； 选做题：课本 习题3.4 第4题.
新北师大版九年级数学下册《三章圆4圆周角和圆心角的关系圆的内接四边形》教案_5
活动内容 4：
如图，∠ DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠ A 与∠ DCE 的大小有什么关系？
处理方式： 让学生自主经历猜想， 实验验证， 严密证明三个环
节，多媒体展示过程 .
解：∠ A= ∠CDE ．
∵四边形 ABCD是圆内接四边形，
∴∠ A+ ∠BCD =180°．（圆内角四边形的对角互补）
∵∠ A: ∠ C=4:5 ，
∴C
5 180
100 ．
9
即∠ C 的度数为 100°.
2. 如图，在 ⊙O 中，∠ BOD=80°，求∠ A 和∠ C 的度数 . 解：∵∠ BOD =80°，
第 2题
∴ DAB
1 BOD
40 ．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
2
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
4 题图
处理方式： 学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况，学生根
据答案进行纠错．
设计意图： 在题目的设计上，我尽量的遵循由易到难、层次分明的原则．
通过这 3 个题
目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维
.
六、布置作业，落实目标
课本 习题 P84 习题 3. 5 第 2， 3 题．
据答案进行纠错．
设计意图： 在学习了推论 “直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径 . ”
立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用， 目的的增加学生对这两个推论的熟练程度， 并
学习灵活应用这两个推论解决问题 . 第 1 题是实际问题，具有现实生活的实际意义，用利于
提高学生应用数学解决实际问题的能力 .
∠BAC ）
3.4圆周角和圆心角的关系-ppt
自检互评 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E,点P在⊙O上，∠1=∠C。 （1）求证：CB∥PD （2）若BC=3，sinP=0.6，求⊙O的直径。
点O在∠BAC 外部
分别测量图中BC弧所对的圆周角BAC和圆心角∠AOC的 度数，我们能发现什么结论？
1.首先考虑特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC) 上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系.
A
∵OA=OB
C
∴∠ABC=∠BAO,
●O
又 ∵∠AOC=∠BAO+∠ABC, B
复习回顾
1、请说说我们是如何给圆心 角下定义的？ 顶点在圆心的角叫圆心角。
2、你能找出下面图形中的圆心角吗？
×
√
×
×
3.3 圆周角和圆心角的关系
3.在射门游戏中，球员射中球门的难易与 他所处的位置B对球门的张角（∠ABC） 有关，如图，当他站在B,D,E的位置射球时 ，对球门AC的大小相等吗？
B
（2）角的两边都与圆相交的角是 A
圆周角吗？
圆周角的特征： （1）角的顶点在圆上， （2）两边在圆内的部分是圆的两条弦
·
O C
1.判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
图1 图2 图3
2.如图，A,B,C,D,E,是圆上的五个点，则图 中共有____4______个圆周角，分别是
_∠__B_A_C_,∠_A_B_D_，_∠__A_C_E_，_∠_B_D. E,∠CED
A C D
O B
A
C
O
B ①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同
样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。
圆周角与圆心角的位置关系 (共17张ppt)九年级数学北师大版下册
E
D
C
O
A
B
F
课题：3.4圆周角和圆心角关系
第二课时
学习目标
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.
2.能够说出并掌握圆周角和直径的关系；圆内接四边形的概念及
性质并学会运用.
复习回顾
圆周角定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
复习回顾
已知⊙O如图所示，请直接说出图中∠BAC的度数
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补）
∵∠BCD+∠DCE=180°
∴∠A=∠DCE （等量代换）
推论4：圆内接四边形的任一外角等于它的内对角
C
课堂小结
本节课我们学习了哪些定理？
圆周角定理
一般
特殊
圆周角定理的推论
圆周角的度数等于它所对弧上
的圆心角度数的一半
∵∠B+∠BCD+∠D+∠DBA=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
C
B
此四边形对角互补
探索新知2
问题3：如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间
有的关系还成立吗？为什么？
D
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD
∵∠1=2∠BAD，∠2=2∠BCD，
O
C
B
O
C
练习一
• 1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半
圆形。下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个
是半圆形？为什么？
√
判断依据：90°的圆周角所对的弦是直径
D
C
O
A
B
F
课题：3.4圆周角和圆心角关系
第二课时
学习目标
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.
2.能够说出并掌握圆周角和直径的关系；圆内接四边形的概念及
性质并学会运用.
复习回顾
圆周角定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等.
复习回顾
已知⊙O如图所示，请直接说出图中∠BAC的度数
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补）
∵∠BCD+∠DCE=180°
∴∠A=∠DCE （等量代换）
推论4：圆内接四边形的任一外角等于它的内对角
C
课堂小结
本节课我们学习了哪些定理？
圆周角定理
一般
特殊
圆周角定理的推论
圆周角的度数等于它所对弧上
的圆心角度数的一半
∵∠B+∠BCD+∠D+∠DBA=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
C
B
此四边形对角互补
探索新知2
问题3：如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间
有的关系还成立吗？为什么？
D
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD
∵∠1=2∠BAD，∠2=2∠BCD，
O
C
B
O
C
练习一
• 1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半
圆形。下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个
是半圆形？为什么？
√
判断依据：90°的圆周角所对的弦是直径
北师大版数学九年级下册《圆周角和圆心角的关系》圆(第3课时)
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 分析：由圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆
的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得 四边形ABCD的四个内角都是直角，即可判定四 边形ABCD一定是矩形. 解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的 圆心，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴四边形ABCD一定是矩形. 故选B.
3 下列命题中，不正确的是( C ) A．矩形有一个外接圆 B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧 C．菱形有一个外接圆 D．任何一个三角形都有一个外接圆
知1－导
(1)如图1，A，B，C，D是⊙O上的四点，
AC为⊙O的直径， ∠ BAD与∠ BCD
之间有什么关系？为什么？
图1
(2)如图2，点C的位置发生了变化，
知2－讲
∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠BAD＝∠E. 又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形， ∴∠BAD＋∠F＝180°.∴∠E＋∠F＝180°.∴CE∥DF.
又∵CD∥EF，
∴四边形CEFD是平行四边形． (2)由(C1)E得：D四F边形CEFD是平行四边形，∴CE＝DF.
又∵⊙O1和⊙O2是两个等圆，
知2－讲
知2－讲
导引：(1)已知CD∥EF，需证CE∥DF；连接AB，由圆内接
四边形的性质，知：∠BAD＝∠E，∠BAD＋∠F＝
180°，可得∠E＋∠F＝180°，进而可得CE∥DF，
由此得证．(2)由四边形CEFD是平行四边CE形，D得FCE＝
DF.由于⊙O1和⊙O2是两个等圆，因此
.
解：(1)连接AB，如图.
则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. (2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内
的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得 四边形ABCD的四个内角都是直角，即可判定四 边形ABCD一定是矩形. 解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的 圆心，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴四边形ABCD一定是矩形. 故选B.
3 下列命题中，不正确的是( C ) A．矩形有一个外接圆 B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧 C．菱形有一个外接圆 D．任何一个三角形都有一个外接圆
知1－导
(1)如图1，A，B，C，D是⊙O上的四点，
AC为⊙O的直径， ∠ BAD与∠ BCD
之间有什么关系？为什么？
图1
(2)如图2，点C的位置发生了变化，
知2－讲
∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠BAD＝∠E. 又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形， ∴∠BAD＋∠F＝180°.∴∠E＋∠F＝180°.∴CE∥DF.
又∵CD∥EF，
∴四边形CEFD是平行四边形． (2)由(C1)E得：D四F边形CEFD是平行四边形，∴CE＝DF.
又∵⊙O1和⊙O2是两个等圆，
知2－讲
知2－讲
导引：(1)已知CD∥EF，需证CE∥DF；连接AB，由圆内接
四边形的性质，知：∠BAD＝∠E，∠BAD＋∠F＝
180°，可得∠E＋∠F＝180°，进而可得CE∥DF，
由此得证．(2)由四边形CEFD是平行四边CE形，D得FCE＝
DF.由于⊙O1和⊙O2是两个等圆，因此
.
解：(1)连接AB，如图.
则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. (2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内
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三解：证明：∵ AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC=∠DAE ∵ 四边形 ABCD 内接于圆， ∴∠DCB=∠DAE
B
C
图5
∵ 圆周角∠DBC 和∠DAC 所对的弧都是 CD，
∴∠DBC=∠DAC ∴∠DBC=∠DCB
∴ DB=DC．
1
2021 年
四悟：圆内接四边形重要结论的应用.
四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）
1、如图 6，⊙O1 与⊙O2 都经过 A,B 两点，经过点 A 的直线 CD 与⊙O1 交于点 C,与⊙O2
交于点 D，经过点 B 的直线 EF 与⊙O1 交于点 E,与⊙O2 交与点 F. 求证：CE//DF.
D A
核思点拨:A、B是两圆的交点，是两个圆内接四边形的公共边，结合 C
圆内接四边形性质可求证.
三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）
【典例】已知：如图 5，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC 的外接圆交于点 D.
求证：DB=DC. E
一读：关键词：A、B、C、D四点共圆.
D
二联：重要结论：圆内接四边形的对角相等，并且任何一个外角都等 A
于它的内对角.
而∠A与∠QFA也互余.
∴∠A=∠QFC.
∴∠A=∠QPC.
∴A,B,P,Q四点共圆.
2
P Q
核思点拨:（1）对角互补的四边形是圆内接四边形.
A
F
B
（2）如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个
图7
顶点共圆.
答案：证明：连接PQ，在四边形QFPC中，
∵FP⊥BC ， FQ⊥AC，
∴∠FQA=∠FPC=90º.
∴Q,F,P,C四点共圆.
∴∠QFC=∠QPC.
又∵CF⊥AB
∴∠QFC与∠QFA互余.
2021 年
9下-§3.4 圆周角与圆心角的关系（3）－圆内接四边形性质 课题组
一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）
1.圆内接四边形的定义： 如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作圆内接四边形.
2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角相等，并且任何一个外角都等于它的内对角.
O1
答案：证明：连接 AB
E
B
O2
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵四边形 ABEC 是⊙O1 的内接四边形。
图6
∴∠BAD=∠E.
∵四边形 ADFB 是⊙O2 的内接四边形。
∴∠BAD+∠F=180°
∴∠E+∠F=180°
∴CE//DF .
C
2、如图 7，CF 是△ABC 的 AB 边上的高，FP⊥BC,FQ⊥AC. 求证：A,B,P,Q 四点共圆.
A D
D A
O
B
C
O
B
C
E
图1
图2
二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）
1.圆内接四边形的判定： 内对角互补的四边形是圆内接四边形. 2. 重要结论： （1）同边同侧的三角形，若公共边所对的两个角相等，则这两个三角形有公共的外接圆. （2）如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.