第六章_曲线拟合的最小二乘法
2.6-曲线拟合的最小二乘法
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由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是
较大的误差，此时要求近似函数P(x)过全部已知点，
相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合理。 对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，只要求总体上
尽可能小，即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体 趋势，在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。
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问题
数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本 初等函数及其他特殊函数；(连续情形)
当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集
的区间上用公式给出函数的简单表达式.(离散情形)
这些都涉及到在已知区间上用简单函数逼近已 知复杂函数或未知函数的问题，这就是函数逼
近问题
插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x) 与 f (x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效
(1
,n
)
a1
(
f
,
1
)
(n
,
n
)
an
( f ,n )
称为法方程. 但是0 (x), ,n (x)在C[a, b]上线性无关，
不能保证其系数矩阵非奇异.
例如，0 sin x,1 sin 2x, x [0, 2 ], xk k , k 0,1, 2.
G
(0 ,0 )
(1
,
t 9 10 11 12 13 14 15 16
y 10.0 10.2 10.3 10.4 10.5 10.5 10.5 10.6
0
0
2
2
0
5
8
0
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计算方法(6)第六章 最小二乘法与曲线拟合
定理2（充分条件） 设函数
z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 )
的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又 令
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0,
f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ,
定理6.1
设n元实函数f ( x1 , x 2 ,, x n )在点p0 (a1 , a 2 ,, a n )的某个 邻域内连续，且有一阶 及二阶连续的偏导数， 如果 f （ 1 ） x k 0
p0
P P 2 f 2 f 2 ( 2)矩阵 x 2 P x 2 x n P 2 2 f f 2 x 2 x n P x n P 是正(负)定矩阵，则f (a1 , a 2 ,, a n )是n元实函数f ( x1 , x 2 ,, x n )
（2）拟合法
根据问题的不同，有时要用插值技术来解决，有时则 应该采用拟合的方法才合理。
（1）插值法的基本思想
已知数据表
x0 x1 … xn f(xi) f(x0) f(x1) … f(xn)
xi
求一个经验函数y=φ(x)，使φ(xi)=f(xi), i=0,1,…n. 插值的任务就是由已知的观测点(xi,yi)为物理量(未知量),建立 一个简单的、连续的解析模型φ(x) ，以便能根据该模型推测 该物理量在非观测点处的特性。 y ● ● y1 y0 o x0 x1 x2 ● ●
2 i =0
● ●
n
●
(xn ,yn)
y= φ(x)
(x2 ,y2)
●
(x0 ,y0) o x0
曲线拟合 最小二乘法
曲线拟合最小二乘法
曲线拟合是指通过已知数据点来推导出一条函数曲线，使得该曲线尽
可能地贴近这些数据点。
而最小二乘法（Least Squares Method）是求解
这种拟合问题的一种常用方法。
最小二乘法的核心思想是尽量减小误差平方和。
假设已知的数据点为$(x_i, y_i)$，曲线函数为 $y=f(x)$，我们希望找到一组参数 $\theta$，使得 $f(x_i;\theta)$ 与 $y_i$ 的差距最小，即：
$$\min_{\theta}\sum_{i=1}^n [y_i - f(x_i;\theta)]^2$$。
这个式子被称为目标函数，也叫做残差平方和（RSS）。
通过对目标
函数进行求导，可以得到最优参数 $\theta^*$ 的解析解：
$$\theta^* = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T
\mathbf{y}$$。
其中，$\mathbf{X}$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，每一行代表一
个数据点的特征向量，$p$ 是曲线函数的参数个数。
$\mathbf{y}$ 是一
个 $n \times 1$ 的列向量，代表数据点的真实输出值。
最小二乘法在实际应用中有很广泛的应用。
例如，可以用它来构建多
项式回归模型、高斯过程回归模型等。
此外，在机器学习领域，最小二乘
法也被用于求解线性回归模型、岭回归模型等。
曲线拟合的最小二乘法实验
Lab04．曲线拟合的最小二乘法实验【实验目的和要求】1．让学生体验曲线拟合的最小二乘法，加深对曲线拟合的最小二乘法的理解；2．掌握函数ployfit和函数lsqcurvefit功能和使用方法，分别用这两个函数进行多项式拟合和非多项式拟合。
【实验内容】1．在Matlab命令窗口，用help命令查询函数polyfit和函数lsqcurvefit 功能和使用方法。
2．用多项式y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0，1)均匀分布随机数，或用randn产生N(0，1)均匀分布随机数)，然后对xi和添加了随机干扰的yi用Matlab提供的函数ployfit用3次多项式拟合，将结果与原系数比较。
再作2或4次多项式拟合，分析所得结果。
3．用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。
对于下面的一组t，v数据，用Matlab提供的函数lsqcurvefit确定V0和τ。
t(秒) 0.5 1 2 3 4 5 7 9v(伏) 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 【实验仪器与软件】1．CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年月日问题及算法分析：1、利用help命令，在MATLAB中查找polyfit和lsqcurvefit函数的用法。
2、在一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)上，对yi上添加随机干扰，运用多项式拟合函数，对数据进行拟合（分别用2次，3次，4次拟合），分析拟合的效果。
3、根据t和V的关系画散点图，再根据给定的函数运用最小二乘拟合函数，确定其相应参数。
第一题：（1）>> help polyfitPOLYFIT Fit polynomial to data.P = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) ofdegree N that fits the data Y best in a least-squares sense. P is arow vector of length N+1 containing the polynomial coefficients indescending powers, P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).[P,S] = POLYFIT(X,Y,N) returns the polynomial coefficients P and astructure S for use with POLYVAL to obtain error estimates forpredictions. S contains fields for the triangular factor (R) from a QRdecomposition of the Vandermonde matrix of X, the degrees of freedom(df), and the norm of the residuals (normr). If the data Y are random,an estimate of the covariance matrix of P is(Rinv*Rinv')*normr^2/df,where Rinv is the inverse of R.[P,S,MU] = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial inXHAT = (X-MU(1))/MU(2) where MU(1) = MEAN(X) and MU(2) = STD(X). Thiscentering and scaling transformation improves the numerical propertiesof both the polynomial and the fitting algorithm.Warning messages result if N is >= length(X), if X has repeated, ornearly repeated, points, or if X might need centering and scaling.Class support for inputs X,Y:float: double, singleSee also poly, polyval, roots.Reference page in Help browserdoc polyfit>>（2）>> help lsqcurvefitLSQCURVEFIT solves non-linear least squares problems.LSQCURVEFIT attempts to solve problems of the form:min sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2} where X, XDATA, YDATA and the valuesX returned by FUN can be vectors ormatrices.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA) starts at X0 and finds coefficients Xto best fit the nonlinear functions in FUN to the data YDATA (in theleast-squares sense). FUN accepts inputs X and XDATA and returns avector (or matrix) of function values F, where F is the same size asYDATA, evaluated at X and XDATA. NOTE: FUN should returnFUN(X,XDATA)and not the sum-of-squares sum((FUN(X,XDATA)-YDATA).^2).((FUN(X,XDATA)-YDATA) is squared and summed implicitly in thealgorithm.)X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB) defines a set of lower andupper bounds on the design variables, X, so that the solution is in therange LB <= X <= UB. Use empty matrices for LB and UB if no boundsexist. Set LB(i) = -Inf if X(i) is unbounded below; set UB(i) = Inf ifX(i) is unbounded above.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS) minimizes with thedefault parameters replaced by values in the structure OPTIONS, anargument created with the OPTIMSET function. See OPTIMSET for details.Used options are Display, TolX, TolFun, DerivativeCheck, Diagnostics,FunValCheck, Jacobian, JacobMult, JacobPattern, LineSearchType,LevenbergMarquardt, MaxFunEvals, MaxIter, DiffMinChange andDiffMaxChange, LargeScale, MaxPCGIter, PrecondBandWidth, TolPCG,OutputFcn, and TypicalX. Use the Jacobian option to specify that FUNalso returns a second output argument J that is the Jacobian matrix atthe point X. If FUN returns a vector F of m components when X has length n, then J is an m-by-n matrix where J(i,j) is the partialderivative of F(i) with respect to x(j). (Note that the Jacobian J isthe transpose of the gradient of F.)[X,RESNORM]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returns the valueof thesquared 2-norm of the residual at X: sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2}.[X,RESNORM,RESIDUAL]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,...) returns the value of residual,FUN(X,XDATA)-YDATA, at the solution X.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returnsan EXITFLAG that describes the exit condition of LSQCURVEFIT. Possiblevalues of EXITFLAG and the corresponding exit conditions are1 LSQCURVEFIT converged to a solution X.2 Change in X smaller than the specified tolerance.3 Change in the residual smaller than the specified tolerance.4 Magnitude of search direction smaller than the specified tolerance.0 Maximum number of function evaluations or of iterations reached.-1 Algorithm terminated by the output function.-2 Bounds are inconsistent.-4 Line search cannot sufficiently decrease the residual alongthecurrent search direction.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA ,...)returns a structure OUTPUT with the number of iterations taken inOUTPUT.iterations, the number of function evaluations inOUTPUT.funcCount,the algorithm used in OUTPUT.algorithm, the number of CG iterations (ifused) in OUTPUT.cgiterations, the first-order optimality (if used)inOUTPUT.firstorderopt, and the exit message in OUTPUT.message.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDAT A,YDATA,...)returns the set of Lagrangian multipliers, LAMBDA, at the solution:LAMBDA.lower for LB and LAMBDA.upper for UB.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA,JACOBIAN]=LSQCURVEFIT(FU N,X0,XDATA,YDATA,...)returns the Jacobian of FUN at X.ExamplesFUN can be specified using @:xdata = [5;4;6]; % example xdataydata = 3*sin([5;4;6])+6; % example ydatax = lsqcurvefit(@myfun, [2 7], xdata, ydata)where myfun is a MATLAB function such as:function F = myfun(x,xdata)F = x(1)*sin(xdata)+x(2);FUN can also be an anonymous function:x = lsqcurvefit(@(x,xdata) x(1)*sin(xdata)+x(2),[2 7],xdata,ydata)If FUN is parameterized, you can use anonymous functions to capture theproblem-dependent parameters. Suppose you want to solve the curve-fittingproblem given in the function myfun, which is parameterized by its secondargument c. Here myfun is an M-file function such asfunction F = myfun(x,xdata,c)F = x(1)*exp(c*xdata)+x(2);To solve the curve-fitting problem for a specific value of c, first assignthe value to c. Then create a two-argument anonymous function that capturesthat value of c and calls myfun with three arguments. Finally, pass thisanonymous function to LSQCURVEFIT:xdata = [3; 1; 4]; % example xdataydata = 6*exp(-1.5*xdata)+3; % example ydatac = -1.5; % define parameterx = lsqcurvefit(@(x,xdata) myfun(x,xdata,c),[5;1],xdata,ydata) See also optimset, lsqnonlin, fsolve, @, inline.Reference page in Help browserdoc lsqcurvefit>>第二题：1 三次线性拟合clear allx=0:0.5:5;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,3);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =1.0121 -6.1033 5.1933 -2.4782② 二次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,2);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =23.9982 -232.0179 367.9756③ 四次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for j=1:length(y)y1(j)=y1(j)+rand;enda=polyfit(x,y1,4);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =-0.0001 1.0038 -6.0561 5.2890 -2.8249 >>第三题：1 拟合曲线为：f(x)=定义函数：function f=fun(a,x)f=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);主程序：clear allclcx=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];y=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];a0=[1 1 1];a=lsqcurvefit('fun',a0,x,y);y1=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);plot(x,y,'r*',x,y1,'b')V1=a(2)tei=1/a(3)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.。
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜）1 目的用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）一组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。
（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊）2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平方和（Q）最小。
式（1）3 拟合方程的计算公式与推导当Q最小时，；得到式（2）、式（3）：式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：式（4）式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a：斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即：截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）4 相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
相关系数r xy取值在-1到1之间。
r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为无相关。
(式（7）5 临界相关系数的意义5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜）1 目的用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）一组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。
（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊）2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平方和（Q）最小。
式（1）3 拟合方程的计算公式与推导当Q最小时，；得到式（2）、式（3）：式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：式（4）式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a：斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即：截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）4 相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
相关系数r xy取值在-1到1之间。
r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为无相关。
(式（7）5 临界相关系数的意义5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。
曲线最小二乘法拟合
最小二乘法拟合曲线算法1、概述给定数据点P(x i ,y i )，其中i=1,2,…,n 。
求近似曲线y= φ(x)。
并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。
近似曲线在点pi 处的偏差δi = φ(x i )-y ，i=1,2,...,n 。
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，这种方法为最小二乘法，偏差平方和公式为：min σ2 = (φ(x i −y i ))2ni =1n i =12、推导过程1）设拟合多项式为：y = a 0+ a 1x +⋯+a k x k2）各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方如下:R 2= [y i −(a 0+ a 1x +⋯+a k x k )]2ni =13）多项式系数为学习对象，为了求得符合条件的系数值，对上面等式的a i 分别求导，得：−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k =0ni=1−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x =0ni=1……−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k =0ni=14）将等式移项化简，得：a 0+ a 1x +⋯+a k x k = y i ni =1n i =1a 0+ a 1x +⋯+a k x k x = y i x ni =1n i =1……a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k = y i x k ni =1n i =15）依上式得矩阵为：x i0 ni=1⋯x i kni=1⋮⋱⋮x i k ni=1⋯x i2kni=1a0⋮a k=y i x i0ni=1⋮y i x i kni=1上边等式左边为1+K阶对称矩阵，解此矩阵方程即可得到曲线系数a k6）对于AX=B，A为对称矩阵，对称矩阵可以分解为一个下三角矩阵、一个上三角矩阵（下三角矩阵的转置）和一个对角线矩阵相乘。
即A=LDL T所以AX=LDL T X=B，令DL T X=Y -> LY=B，其中L为下三角矩阵，且已知，可求出Y。
曲线拟合的最小二乘法
一、曲线拟合是什么？曲线拟合也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。
设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必满足插值原则。
这时没必要取φ(xi) = yi, 而要使i=φ(xi)yi 总体上尽可能地小。
这种构造近似函数的方法称为曲线拟合,称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。
如下为一个曲线拟合示意图。
清楚什么是曲线拟合之后，我们还需要了解一个概念——残差。
曲线拟合不要求近似曲线严格过所有的数据点，但使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到总体上尽可能地小。
若令（1-1）则为残向量（残差）。
“使（1-1）尽可能地小”有不同的准则（1）残差最大值最小（2）残差绝对值和最小（绝对值的计算比较麻烦）（3）残差平方和最小（即最小二乘原则。
计算比较方便，对异常值非常敏感，并且得到的估计量具有优良特性。
）二、最小二乘法是什么？个人粗俗理解：按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
百度百科：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
三、求解最小二乘法（包含数学推导过程）我们以最简单的线性模型来解释最小二乘法。
什么是线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。
回归分析中，n个自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为一/多元线性回归分析。
第六章 数据拟合和习题
7、用最小二乘原理求一个形如 y Ae B x 的经验公式,使与数据
x
y
相拟合。
1 60
2 30
3 20
4 15
解：令： u ln y ln A Bx a bx ，计算表：
26
i x y u xx xu
1 1 60 4.094345 1 4.094345
xx
1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61 4.00 4.41
xy
2.38 2.685 3.008 3.315 3.645 3.99 4.32 4.641
∑
14.00
15.82
24.92
27.993
8
8a0 14a1 15.82 法方程组： 14a0 24.92a1 27.993
n
n
m
( x) yi
2
（1）
取最小值。
3
称符合这样条件的 y gm x 称为实验数据 xi , yi
i 0,1,, n 的经验公式（经验方程） ．
为得到经验方程，设： gm x a0 a1x ... am xm ，代入
Q a0 , a1 ,..., am a0 a1 xi ... a x yi
3 3.9 5 50 80 110
求运动方程 s a bt 。
解：作计算表格
编号 1 2 3 4 5 6 求和
t
s tt ts
0
0 0 0
0.9
10 9
1.9
30 57
3
50 9 150
3.9
80 15.21 312
5
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。
都对应于xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然N<m 时，参数不能确定。
y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆 动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。
为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。
最小二乘法拟合原理
最小二乘法拟合原理最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的线性回归分析方法，用于拟合数据点到一个理论模型的直线或曲线的原理。
它的目标是通过最小化实际数据点与拟合曲线之间的垂直距离（也称为残差）的平方和来找到最佳的拟合曲线。
假设我们有一个包含n个数据点的数据集，其中每个数据点的坐标可以表示为（xi，yi）。
我们希望找到一个模型y=f(x,θ)，其中x是自变量，θ是模型的参数，使得对于每个数据点，模型预测的y值与实际的观测值之间的差异最小化。
yi = yi_true + ei以线性回归为例，模型可以表示为y=θ0+θ1x，其中θ0和θ1是要估计的参数。
我们的目标是找到最佳的θ0和θ1，使得所有数据点的残差平方和最小。
残差可以定义为：ei = yi - (θ0 + θ1xi)为了最小化残差平方和，我们需要对残差平方和进行求导，并令导数等于零。
这样一来，我们就能得到使得残差平方和最小的参数估计值。
对于线性回归而言，最小二乘法的公式可以写为：θ1 = (sum(xi - x_mean)(yi - y_mean))/(sum(xi - x_mean)^2)θ0 = y_mea n - θ1x_mean其中，x_mean和y_mean分别是自变量和因变量的均值。
需要注意的是，最小二乘法只是一种估计参数的方法，它没有办法告诉我们模型是否真实有效。
为了评估拟合效果，我们还需要使用一些指标，如决定系数（coefficient of determination），来评估拟合曲线与数据之间的拟合程度。
总结起来，最小二乘法是一种通过最小化实际数据点与拟合曲线之间的垂直距离的平方和来找到最佳的拟合曲线的方法。
它的原理建立在数据具有随机误差，且服从独立同分布的正态分布的假设上。
通过最小二乘法，我们可以估计出模型的参数，以及评估拟合程度，从而对数据进行分析、预测与优化。
在线曲线拟合(最小二乘法)
在线曲线拟合(最小二乘法)一、简介在线曲线拟合，也被称为最小二乘法，是一种常用的数学优化技术，主要用于数据分析和预测。
通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差，找到最佳拟合曲线的参数。
这种方法在各个领域都有广泛的应用，例如经济预测、科学实验数据分析、金融市场分析等。
二、基本原理在线曲线拟合的基本原理是通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差和，找到最佳拟合曲线的参数。
具体来说，假设我们有一组数据点（x1, y1）, (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们要找到一条曲线y = f(x)，使得这些数据点与曲线之间的偏差最小。
偏差通常用平方差来度量，即∑(yi - f(xi))^2。
我们的目标是找到一组参数，使得这个偏差最小。
三、实现步骤在线曲线拟合的实现步骤如下：1. 收集数据：首先需要收集用于拟合的数据。
这些数据通常是一组观测值，可以是一维或多维的。
2. 设定模型：选择一个合适的数学模型，用于描述数据的内在规律。
模型通常是一条曲线，可以是一次函数、二次函数、指数函数等。
3. 计算偏差：计算每个数据点到拟合曲线的偏差，通常用平方差来度量。
偏差的计算方法取决于所选择的模型和数据点的具体形式。
4. 最小化偏差：通过迭代或优化算法，找到一组参数，使得偏差最小。
这一步通常需要使用数学优化技术，例如梯度下降法、牛顿法等。
5. 评估拟合效果：最后，需要对拟合结果进行评估。
可以通过计算残差、R方值等指标来衡量拟合效果的好坏。
如果拟合效果不理想，可能需要重新设定模型或收集更多的数据。
四、应用示例在线曲线拟合的应用非常广泛，下面举一个简单的例子来说明其应用。
假设我们有一组销售数据，想要通过这些数据来预测未来的销售趋势。
我们可以选择一条线性模型y = ax + b，其中a 和b 是待求解的参数。
通过最小化预测值与实际观测值之间的平方差和，我们可以找到最佳拟合曲线的参数a 和b。
最后，我们可以用这些参数来预测未来的销售趋势。
最小二乘法的曲线拟合问题
量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是 y 的误差。设 x 和 y 的
函数关系由理论公式
y＝f（x；c1，c2，……cm）
（3-3-1）
给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（xi，yi）
i＝1，2，……，N。都对应于 xy 平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确
曲线拟合（5）
最小二乘法的曲线拟合问题 ——曲线拟合（5）
目录
1 绪论………………………..……………………………….………………………….1 1.1 课题研究的背景和方法………………………………………………………………1
2 曲线拟合……………………………….…………………………………...1 2.1 曲线拟合………………………………………………………...…………………….1 2.2 常用函数………………………………………………………...…………………….1
根据式（3-3-8）的要求，应有
a 0 i N 1 y i a 0 a 1 x i 2 a a ˆ 2 i N 1 y i a ˆ 0 a ˆ 1 x i 0 , a 1 i N 1 y i a 0 a 1 x i 2 a a ˆ 2 i N 1 y i a ˆ 0 a ˆ 1 x i 0 .
在 X 上满足 Haar 条件，此时(3.1.5)的解存在唯
从而得到最小二乘拟合曲线
可以证明对
，有
(3.1.6)
曲线拟合（5）
故(3.1.6)得到的 均方误差为
即为所求的最小二乘解.它的平方误差为 (3.1.7)
在最小二乘逼近中，若取
，则
，表示为
(3.1.8)
曲线拟合的最小二乘法原理及实现
曲线拟合的最小二乘法原理及实现任务名称简介在数据处理和统计分析中，曲线拟合是一种常见的技术，旨在通过数学函数找到最佳拟合曲线，以尽可能准确地描述给定数据集的变化趋势。
在曲线拟合的过程中，最小二乘法是一种常用的数学方法，用于选择最佳拟合曲线。
本文将详细介绍最小二乘法的原理和实现方法。
最小二乘法原理最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。
其基本原理是将数据集中的每个数据点与拟合曲线上对应点的差值进行平方，然后将所有差值的平方相加，得到误差平方和。
最小二乘法的目标是通过调整拟合曲线的参数，使得误差平方和达到最小值。
假设我们有一个包含n个数据点的数据集，每个数据点的横坐标为x，纵坐标为y。
我们希望找到一个拟合曲线，可以通过曲线上的点与数据点的差值来评估拟合效果。
拟合曲线的一般形式可以表示为：y = f(x, β)其中，β为拟合曲线的参数，f为拟合曲线的函数。
最小二乘法的基本思想是选择适当的参数β，使得误差平方和最小化。
误差平方和可以表示为：S(β) = Σ(y - f(x, β))^2其中，Σ表示求和操作，拟合曲线上的点的横坐标为x，纵坐标为f(x, β)。
为了找到误差平方和的最小值，我们需要对参数β进行求解。
最常用的方法是对参数β求导数，令导数为0，从而得到参数的估计值。
求解得到的参数估计值就是使得误差平方和最小化的参数。
最小二乘法实现步骤最小二乘法的实现可以分为以下几个步骤：1.确定拟合曲线的函数形式。
根据数据的特点和拟合的需求，选择合适的拟合曲线函数，例如线性函数、多项式函数等。
2.建立误差函数。
根据选择的拟合曲线函数，建立误差函数，即每个数据点与拟合曲线上对应点的差值的平方。
3.求解参数估计值。
对误差函数求导数，并令导数为0，求解得到参数的估计值。
4.进行拟合曲线的评估。
通过计算误差平方和等指标来评估拟合曲线的质量，可以使用残差平方和、R方值等指标。
5.优化拟合结果（可选）。
根据评估的结果，如有必要可以调整拟合曲线的参数或选择其他拟合曲线函数，以得到更好的拟合效果。
计算机算法复习题及答案(前三章)
计算机算法复习题及答案（前三章）第一章1、什么是绝对误差？什么是相对误差？答：绝对误差等于准确值与近似值差的绝对值。
相对误差是近似数的误差与准确值的比值。
2、什么是绝对误差限？什么是相对误差限？答：绝对误差限为绝对误差的“上界”相对误差限为相对误差绝对值的“上界”3、有效数字与绝对误差限有何关系？有效数字与相对误差限有何关系？答：（绝对）若近似值的绝对误差限是某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字一共有几位。
则称近似值有n位有效数字。
（相对）设近似值=±0.···×有n位有效数字，≠0,则真相对误差限为×设近似值=±0.···×的相对误差限为×，≠0,则它有n位有效数字。
4、例1.11、例1.12、例1.15、例1.16.例1.11.设x=4.26972，那么取2位，=4.3,有效数字为2位取3位，=4.27,有效数字为3位取4位，=4.270,有效数字为4位取5位，=4.2697,有效数字为5位例1.12，若=3587.64是x的具有6位有效数字的近似值，则误差限是|-x|≤×=×若=0.0023156是x的具有5位有效数字的近似值，则误差限是|-x|≤×≤×例1.15，若=2.72来表示e的具有3位有效数字的近似值，则相对误差限是=×=×例1.16要使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？由定理1.1，≤×.由于=4.4···，已知=4,故只要取n=4，就有≤0.125×=0.1%只要对的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小于0.1%。
此时由开方表得≈4.472 5、课本13~14页习题1、2、3、4.习题1：下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们是具有几位有效数字的近似数，并确定＋＋和的误差限答：=1.1021，5位，=0.031，2位，=385.6，4位|＋＋|-|＋＋|≤|-|＋|-|＋|-|＝×＋×＋×＝0.5055 η()≈||η（）＋|η（）|＝1.1021××＋0.031××＝0.00055105＋0.00000155＝0.0005526η（）≈||η（）＋||η() ＝0.001708255＋0.21308256 ＝0.2148习题2.已测得某场地长L 的值为=110m ，宽d 的值为=80m,已知|L-|≤0.2m ，|d-|≤0.1m ，试求面积S=Ld 的绝对误差限和相对误差限。
曲线拟合 最小二乘法
曲线拟合的线性最小二乘法拟合是已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。
线性最小二乘法曲线拟合问题的提法是，已知一组（二维）数据，即平面上的n 个点(,),i i x y 1,2,,i n =⋅⋅⋅，i x 互不相同，寻求一个函数（曲线）()y f x =，使()f x 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的最好。
线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，基本思路是，令1122()()()(),m m f x a r x a r x a r x =++⋅⋅⋅+其中：()k r x 是事先选定的一组线性无关的函数；k a 是待定系数(1,2,,;k m =⋅⋅⋅)m n <。
拟合准则是使(1,2,,)i y i n =⋅⋅⋅与()i f x 的距离i δ的平方和最小，称为最小二乘准则。
1.系数k a 的确定 记[]221211(,,,)()nnm i i i i i J a a a f x y δ====-∑∑为求12,,,m a a a ⋅⋅⋅使J 达到最小，只需利用极值的必要条件0jJa ∂=∂(1,2,,)j m =⋅⋅⋅，得到关于12,,,m a a a ⋅⋅⋅的线性方程组11()[()]0,1,2,,n mjik kiii k r x a r x y j m ==-==∑∑，即111[()()](),1,2,,.m n nkjikijiik i i a r x r x r x y j m =====∑∑∑ （1.1）记1111()()()()m n m n n mr x r x R r x r x ⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ [][]TT1212,,,,,,,m n A a a a Y y y y =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅方程（1.1）可表为T T .R RA R Y = （1.2） 当{}12(),(),,()m r x r x r x ⋅⋅⋅线性无关时，R 列满秩，T R R 可逆，于是方程组（1.2）有唯一解()1TT .A R R R Y -=2.函数()k r x 的选取面对一组数据(,),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅，用线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的也是关键的一步是恰当地选取12(),(),,()m r x r x r x ⋅⋅⋅。
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(k , j ) k ( xi ) j ( xi ),
i 0
n
(k , b) k ( xi ) yi
i 0
n
Remark
1.同一问题可以有不同的拟合曲线，通常根据均方误
差 和最大偏差 max ( xi ) yi 1i N [ ( xi ) yi ]
2.最小二乘解的存在唯一性
引理1：设n元实函数f(x1,x2,…,xn)在点P0(a1,a2,…,an) 的某个邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，如 f 果 0 ( k 1,2, , n) (1) x
k
(2)矩阵
2 f x12 P 0 2 f M x2 x1 P0 2 f xn x1 P 0
N 2 i 1
的大小来衡量拟合曲线的优劣。均方误差和最大偏差
较小的拟合曲线为较优的拟合曲线。
2.在解决实际问题时，有时通过观察选择多个函数类
型进行计算、分析、比较，最终获得较好的数学模型； 有时把经验公式作为数学模型，只是用最小二乘法来 确定公式中的待定常数。
Remark
3.当拟合曲线(x)中的待定常数是线性形式时，可直
得正则方程组为：
5.0 0.284929 0.284929 a 3.305214 b 0.314887 1.056242
解得： a 0.688617
b 0.483880
1 则： p 1.452186 e bp 0.702684 a 1.452186 则拟合方程为： r 1 0.702684 cos
yi
4
的有一定的偏差.
5 25.7 6 25.3 7 24.3
ti
实测 y i
0 27.0
(1 , 0 ) ti 28,
i 0 7
7
i 0 7
(0 , 1 ) ti 28, (1 , 1 ) ti 140,
2 i 0 7 i 0 7
7
(0 , f ) yi 208.5, (1 , f ) yi ti 717.0
如果试图插值，即 ( xi ) yi (i 0,1, 2,, n) 则得到关于未知数
c0 , c1 ,, cm的线性方程组
c00 ( x0 ) c11 ( x0 ) cmm ( x0 ) y0 c (x ) c (x ) c (x ) y 0 0 1 1 1 1 m m 1 1 c00 ( xn ) c11 ( xn ) cmm ( xn ) yn
接根据矛盾方程组得到正则方程组而求解。当待定常 数不是线性形式时，则应该先将待定常数线性化，再 根据矛盾方程组写出正则方程组而求解。
y aebx 例1： ln y ln a bx u ln y, A ln a, B b u A Bx 1 1 y 例2： a bx a bx y 1 u a bx u y
( xi ) yi
i 0
n
2
最小做为确定参数的方法称为最小二乘法。
§2 线性代数方程组的最小二乘解
设线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a N 1 x1 a N 2 x2 a Nn xn bN
第六章 曲线拟合的最小二乘法
§6.1 引言
§6.2 线性代数方程组的最小二乘解
§6.3 曲线最小二乘拟合
§1 引言
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都 “很好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要 失败。另外，插值所需的数据往往来源于观察测量， 本身有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误 差的点，势必使插值结果更加不准确。 如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插 值多项式的次数过高而效果不理想。 从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近 似表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基 本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟 合问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本 章介绍用最小二乘法求拟合曲线。
或写为
a x
j 1 ij
n
j
bi
其矩阵形式为 当方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于 rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（N>n），我 们寻求其最小二乘意义下的解。
( j 1,2,, N ) Ax b
1.最小二乘原则
由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而 寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。 n 令 i aij x j bi (i 1,2,, N ) 称 i 为偏差。 工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组， 实际中需要寻求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的 N 绝对值之和 i 尽可能地小。为了便于分析
i 1
j 1
计算和应用，常采用使偏差的平方和 达到最小值，这一条件称为最小二乘原则。
Q aij x j bi i 1 i 1 j 1
N N n 2 i 2
按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,…,xn的 一组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。 符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。 把Q看成是n个自变量x1,x2,…,xn的二次函数， 记为Q＝f(x1,x2,…,xn)，因此，求矛盾方程组的 最小二乘解就是求二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)的 最小值点。 问题：二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)是否存在最小 值？若最小值存在，如何求出该最小值点？
i 0
i 0
代入方程组得
8c0 28c1 208.5 28c0 140c1 717
解此方程组，得到
c0 27.125, c1 0.3036
这样便得到所求拟合曲线为
y f (t ) 27.125 0.3036t
由上式算出的函数值 f ( t i ) 与实测 现列表比较如下：
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y f (t ).
解 首先确定 f (t ) 的类型.
如图，在坐标纸上画出这些点，经观察可以认为
y
y=f (t)服从线性关系。
y c00 (t ) c11 (t )
27
26
0 (t ) 1 1 (t ) t
建立法方程组
引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组Ax=b 是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有唯一解。
定理：设矛盾方程组的系数矩阵的秩为n，则二次 函数 2 N n Q f ( x1 , x2 , , xn ) aij x j bi i 1 j 1 T T 一定存在最小值，且最小值点为方程组 A Ax A b 的解。
T A Ax A b
T
Remark1：线性方程组 程组。
称为正则方
3.最小二乘法解矛盾方程组
计算步骤：
（1）判断方程组的秩是否满足rankA=n？
（2）写出正则方程组；
（3）求解正则方程组，其解就是矛盾方程组 的最小二乘解。
§3 曲线最小二乘拟合
设曲线拟合模型为
( x) c00 ( x) c11 ( x) cmm ( x)(m n)
引理2：设非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩阵 A=(aij)N×n，若rankA=n，则
(1)矩阵ATA是对称正定矩阵； T T (2)n阶线性方程组A Ax A b 有唯一的解。 证明：（1）矩阵ATA显然是对称矩阵。 设齐次线性方程组 Ax 0 因为rankA=n，故齐次方程组有唯一零解。 因此，对于任意的 x 0，有Ax 0 ，从而 T T T ( Ax ) ( Ax ) x ( A A) x 0 故矩阵ATA是对称正定矩阵。 (2)因为矩阵ATA是正定矩阵，故rank(ATA)=n，从 T T 而线性方程组 A Ax A b 有唯一的解。 证毕
解:变形为: 1 1 e cos , 则有如下数据
r
p
p
1 y r
Hale Waihona Puke 0.370370 0.669131
0.50000 0.390731
0.621118
0.83333
0.980392
t cos
0.121869 -0.309017 -0.587785
记
a
1 e ,b ，得拟合模型：a p p
例1. 对彗星1968Tentax的移动在某极坐标系下有如 下表所示的观察数据，假设忽略来自行星的干扰,坐 r 标应满足： 1 e p 其中：p为参数，e为偏心率, cos
试用最小二乘法拟合p和e。
r
2.70 480
2.00 670
1.61 830
1.20 1080
1.02 1260
曲线拟合问题的关键：
选择合适的曲线类型：根据问题的物理规律或数 据特点，选择合适函数空间 0 ( x),1 ( x),, m ( x) ，则拟合曲线可以表示为
( x) c00 ( x) c11 ( x) cmm ( x)(m n)
在曲线类型中选择“最好”曲线：即确定拟合曲 线的系数。其误差的度量形式很多，选用使
例2：为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验： 经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚 度,得到一组试验数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 顺序编号 i 0 1 2 3 4 5 6 7 时间 t i (小时) 刀具厚度 yi (毫米) 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3