质点系的动能定理

d rC MC d δW FR
则刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又由角 1转到角 2时， 力系所作的功为
C2
W12
C1
F d r M
R C
1
2
C
d
注意：以上结论也适用于作一般运动的刚体，基点也可以是 刚体上任意一点（不一定取在质心）。
[例1] 质量为m = 10 kg的物体，放在倾角为 = 30º的斜面上， 用刚度系数为 k = 100 N/m 的弹簧系住，如图示。斜面与物体 间的动摩擦系数为f = 0.2，试求物体由弹簧原长位置 M0 沿斜面 运动到 M1 时，作用于物体上的各力在路程 s = 0.5 m 上的功及 合力的功。
四．几种常见力的功 1．重力的功 取 z 轴铅垂向上，则：
Fx 0, Fy 0, Fz mg
W12 ( mg )dz mg ( z1 z2 )
z1 z2
对于质点系，重力作功为
W12 Wi12 mi g ( zi1 zi 2 ) Mg ( zC1 zC 2 )
质点和质点系的动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动
T 1 m v2 2
动能是一个瞬时的、与速度方向无关的正标量，具有与功
相同的量纲，单位也是焦耳（J）。 1 二．质点系的动能 T mi vi 2 2 对任一质点系，若记 vi′为第 i 个质点相对质心的速度，则
可证明有
1 1 2 T MvC mi vi '2 2 2
柯尼希定理
三．刚体的动能
1．平动刚体
2．定轴转动刚体 3．平面运动刚体
1 1 1 2 2 2 T mi vi ( mi )vC M vC 2 2 2 1 1 1 T mi vi 2 ( mi ri 2 ) 2 J z 2 2 2 2
记刚体平面运动某瞬时的速度瞬心为P，质心为C，则
故质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置 重心Βιβλιοθήκη Baidu高度差的乘积，而与各质点的运动路径无关。
2．弹性力的功 设弹簧原长为l0，在弹性极限内，弹簧的刚度系数为k（使弹簧
发生单位变形所需的力，单位：N/m），变形后长为r，沿矢径
的单位矢量为
er r / r 则 F k (r l0 )er
M2
W
M1
F d r
在直角坐标系中，知
F Fx i Fy j Fz k
dr dx i dy j dz k
变力 F 在曲线路程 M1M 2中作功为
W
M2 M1
F d r F dx F dy F dz
x y z M1
M2
三．合力的功
W
§ 13-1 一．恒力的功
力的功
W F S FS cos
力的功是代数量。
时，正功； 时，功为零； 时，负功。 2
2
2
单位：焦耳（J）：1J = 1N 1m 二．变力的功 元功： δW F d r 变力 F 在曲线路程 M1M 2中作功为
z
1
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
如果刚体上作用的是力偶，则力偶所 作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶 对z 轴的矩。 若Mz = 常量， 则 W12 M z (2 1 )
4．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的 力（主矢）与力偶（主矩）作功之和。 首先可以证明，刚体上力系的全部力所作的元功之和为
1 1 2 T J P ( J C M d 2 ) 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 J C M (d ) J C M vC 2 2 2 2 即作平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心
转动的动能之和。
N
0.2 (10 9.8 0.866) 0.5 8.5J k 2 100 2 WF (1 2 ) (0 0.52 ) 12.5 J 2 2 合力的功为 W Wi 24.5 0 8.5 12.5 3.5J
§13-2
强弱的又一种度量。 一．质点的动能
3．定轴转动刚体上作用力的功
设刚体绕 z 轴转动，在其上M点作用有力F，则
δW F d r F Rd cos Ft Rd M z d
其中Ft 为力F 在作用点M处的轨迹切线上的投影。
于是力F 在刚体从角 1转到角 2过程中作的功为
W12
2
M d
M2
M1 M2
R dr (F F
1 M1 M2 1 2 M1
M2
2
Fn ) d r
M2 n
M1
F d r F d r F d r
M1
W1 W2 Wn
即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
解：我们取物体M为研究
对象，作用于M上的力有
重力 mg ，斜面法向反力 FN ，摩 擦 力 F′ 以及 弹簧 力F，各力所作的功为
WG mg s sin30o
(10 9.8) 0.5 0.5 24.5J o W F s f mg cos30 s WF 0 F
W12
M2 M1
F d r k ( r l )e
0 M1
M2
r
dr
r 1 1 er d r d r d(r r ) d(r 2 ) d r r 2r 2r r2 r2 k k 2 W12 k (r l0 )d r d(r l0 ) [(r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 ] 2 2 r1 r1 k 2 2 则 W ( 令：1 r1 l0 , 2 r2 l0 12 1 2 ) 2 故弹性力的功只与弹簧在初始和终了位置的变形有关，而与 力作用点的路径无关。