2019年全国初中数学联赛试题及详解

2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）
A ．1.
B ．2.
C ．3.
D ．4.
解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或 110
a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。

2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b =，9||6a b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）
A ．0.
B ．1.
C ．2.
D ．3.
解：由已知，6492(23)15121512c a b a b b b ==-=-≤，∴2c ≤.
3．若b a ,是两个正数，且
,0111=+-+-a
b b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423
a b <+≤. 解：当a b =时，可计算得23a b ==，从而43a b +=。

观察4个选项，只能选C. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）
A ．－13.
B ．－9.
C ．6.
D ． 0.
解：由已知：42x ax bx c +++一定能被231x x --整除。

∵4222(31)(310)[(333)(10)]x ax bx c x x x x a a b x a c +++=--+++++++++
∴(333)(10)0a b x a c +++++=，故3330213100
a b a b c a c ++=⎧⇒+-=-⎨++=⎩
5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )
A ．15°.
B ．20°.
C ．25°.
D ．30°.
解：如图，由已知，ADE 是正三角形。

作BF ∥DE 交
AC 于F ，则BD ＝EF ，从而EC ＝DE+BD ＝AB ＝BF ，DE ＝FC ，
又∠1＝∠2＝120○
，故ΔEDC ≌ΔFCB .故x θϕ+=. ∵∠CDB ＝2ϕ，∠BDE ＝120○
，∴40ϕ=，故 40x θ+= 由406020θϕθθ+=+=⇒=，得：20x =.
6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ D ）
A ．28062.
B ．28065.
C ．28067.
D ．28068.
解：将0，1，2，…，999这1000个自然数分为500个数组：（0，999）、（1，998）、
（2，997）、…、（499，500）.注意到：这500个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为9＋9＋9＝27，故0，1，2，…，999这1000个自然数各位数字之和等于2750013500⨯=.
于是，1000，1001，1002，…，1999这1000个自然数各位数字之和等于13500＋1000
＝14500.
从而1231999135001450028000a a a a +++
+=+=. 显然：20002001201068a a a +++=，故：123201028068a a a a +++=.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,
x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 。

解：22332222191913121
x y xy x y x y x y x y xy ⎧+-=⎧+=⎪⇒⇒+=⎨⎨+=++=⎪⎩⎩ 2．二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c =
19
． 解：如图，由已知可推得： 323OC c OA c AB c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，设12(,0),(,0)A x B x ，则12333x c x c ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由212199
x x c c c ==⇒=. 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB 10 解：见上图。

4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 15 个球.
解：先画一个“初始图”： ○ A B C D E ○ A B C D E ○
按照题目要求，逐一确定各个字母的颜色，得到：
○ ○ ○ ○ D ○ ○ ○ ○ ○ D ○
显然，D 应为黑色。

即：
○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○
再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：
○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○
第二试 （A ）
一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
222()()()26a b b c a c -+-+-= ①
令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.
于是，等式①变为222
()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②
由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1
m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533
c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313
c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点
D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交
BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.
由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.
又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.
又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.
N
C
A
三．（本题满分25分）已知二次函数2
y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .
（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.
（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.
解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-.
（1）由8c b a <<知8293,938,
a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.
又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.
(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.
由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-， 两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.
所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩
解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.
因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.
易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212
⨯-⨯=. 第二试 （B ）
一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足222
13a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①
令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.
于是，等式①变为222
()26m n m n +++=，即
2213m n mn ++= ②
由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1
m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533
c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313
c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.
第二试 （C ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．
解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有
p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①
（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．
（2）若1k >，则01>-k .
因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.
又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．
不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m -+=
， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m
-++=+．
又12x x p +=-，所以14k p mp m
--+=+，即 41)1(=-+
+m
k p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m
-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m -++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．
综上所述，1=k ．。