9圆周运动七大常考模型(解析版)

圆周运动七大常考模型

一水平面内圆盘模型的临界问题

1．与摩擦力有关的临界极值问题

物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．

(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝mv2

r，静摩擦力的方向一定指向圆心．

(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．

2．与弹力有关的临界极值问题

(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．

(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．

【例1】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是()

A．当ω>2Kg

3L时，A、B相对于转盘会滑动

B．当ω>Kg

2L，绳子一定有弹力

C．ω在Kg

2L<ω<

2Kg

3L范围内增大时，B所受摩擦力变大

D．ω在0<ω<2Kg

3L范围内增大时，A所受摩擦力一直变大

【答案】ABD

【解析】当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，

解得：ω＝2Kg

3L，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝m·2L·ω2，

解得ω＝Kg

2L，可知当ω>

Kg

2L时，绳子有弹力，B项正确；当ω>

Kg

2L时，B已达到最大静摩擦力，则

ω在Kg

2L<ω<

2Kg

3L范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<

2Kg

3L范围内，A相对转

盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以F f－F T＝mLω2，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．【变式1】(多选)(2019·重庆市江津中学月考)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距R A＝2R B.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是()

A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3

B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为a A∶a B＝2∶9

C．转速增加后滑块B先发生滑动D．转速增加后两滑块一起发生滑动

【答案】ABC

【解析】由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v＝ωr，r甲∶r乙＝3∶1，可得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，故A正确；滑块相对盘开始滑动前，根据加速度公式：a ＝Rω2，又R A∶R B＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B的向心加速度之比为a A∶a B＝2∶9，故B正确；滑块的最大静摩擦力分别为F f A＝μm A g，F f B＝μm B g，则最大静摩擦力之比为F f A∶F f B＝m A∶m B；转动中所受的静摩擦力之比为F f A′∶F f B′＝m A a A∶m B a B＝m A∶4.5m B，由上可得滑块B先达到最大静摩擦力而先开始滑动，故C正确，D错误．

【变式2】(多选)(2019·广东省惠州市第二次调研)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是()

A．此时绳子张力为3μmg B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内

C．此时圆盘的角速度为2μg

r D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动

【答案】AC

【解析】两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律

得：F T－μmg＝mω2r，F T＋μmg＝mω2·2r，解得：F T＝3μmg，ω＝2μg

r，故A、C正确，B错误．烧断细

绳瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误．

二竖直面内圆周运动的临界极值问题

1．竖直面内圆周运动两类模型

一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”．

2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法

最高点无支撑最高点有支撑

球—绳模型或单轨道模型

【例2】(多选)(2019·哈尔滨三中期中)如图所示，长为L的细绳一端拴一质量为m小球，另一端固定在O 点，绳的最大承受能力为11mg，在O点正下方O′点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O′为轴完成竖直面完整的圆周运动，则钉的位置到O点的距离为()

A．最小为

2

5L B．最小为

3

5L C．最大为

4

5L D．最大为

9

10L

【答案】BC

【解析】当小球恰好到达圆周运动的最高点时小球的转动半径为r，重力提供向心力，则有mg＝m

v2

r，根据机械能守恒定律可知，mg(L－2r)＝

1

2mv2，联立解得：r＝

2

5L，故钉的位置到O点的距离为L－

2

5L＝

3

5L；当小球转动时，恰好达到绳子的最大拉力时，即F＝11mg，此时一定处在最低点，设半径为R，则有：11mg－mg＝m

v20

R，根据机械能守恒定律可知，mgL＝

1

2mv20，联立解得：R＝

1

5L，故此时离最高点距离为

4

5L，则可知，距离最小为

3

5L，距离最大为

4

5L，故B、C正确，A、D错误．