函数与导数一轮复习
高三一轮复习-----函数与导数限时训练(共12份)
1 函数的概念和图象、函数 的表示方法、映射的概念一、填空题1．(2010·湖北武汉二中高三期中)函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是________．2．(2010·栟茶中学学情分析)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8 (x ≤1)x 2－6x ＋5(x >1)，g (x )＝ln x ，则f (x )与g (x )两函数的图像的交点个数为________．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧23x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．4．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一))某市出租车收费标准如下：起步价为8 元，起步里程为3 k m(不超过3 k m 按起步价付费)；超过3 k m 但不超过8 k m 时，超过 部分按每千米2.15元收费；超过8 k m 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘 坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了 ________ k m.5. 函数f ：x {1,2,3}→{1,2,3}满足f [f (x )]＝f (x )，则这样的函数共有________个．6. (2010·连云港模拟)对于函数f (x )，在使f (x )≥M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数f (x )的“下确界”，则函数f (x )＝x 2＋1(x ＋1)2的下确界为________．7．(2010·甘肃会宁四中高三期中)定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足 2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________． 二、解答题8．(经典题)求下列函数的定义域．(1)y ＝1x ln(x 2－3x ＋2＋4－3x －x 2)；(2)y ＝25－x 2＋lgcos x .9．若函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤12，3，求函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域．10．(2010·山东青岛质检题)已知函数f (x )的定义域为x ∈⎣⎡⎦⎤－12，32，求g (x )＝f (ax )＋f ⎝⎛⎭⎫x a (a ＞0)的定义域．1．求下列函数的值域．(1)y ＝2x 2＋4x －7x 2＋2x ＋3；(2)y ＝1＋x ＋1－x .2．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2，－1]，求实数a 的取值范围．2 函数的单调性一、填空题1．函数y ＝x ＋2x －2的单调区间是________，在该区间上是单调________．2．(2010·福建厦门模拟)函数y ＝(m －1)x ＋3在R 上是增函数，则m 的取值范围是 ________．3．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，则f (x )＝0的根最多有________个．4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上最大值为3，最小值为2，则m 的取值 范围为________．5．(2010·济宁调研)函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R)的最小值是________．6．函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是________．7．(2009·苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域 内是增函数，则实数m 的取值范围是________． 二、解答题8．已知函数f (x )＝x 2＋a x (a >0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．9．用函数单调性的定义证明：f (x )＝a x ＋a －x在(0，＋∞)上是增函数(这里a ＞0且a ≠1)．10．(2010·黑龙江双鸭山一中高三)讨论函数f(x)＝x＋ax(a＞0)的单调性．1．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．2．求函数f(x)＝的单调区间．3 函数的奇偶性与周期性一、填空题1．已知函数f(x)＝1＋me x－1是奇函数，则m的值为________．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.3．已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________.4．若f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＝________，b＝________.5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)＜0的解集是________．6．(2010·全国大联考三江苏卷)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，它在[0,2]上的图象是一条如图所示的线段，则不等式f(x)＋f(－x)>x的解集为________．二、解答题7．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．8．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，求f()的值．9．(南京市高三调研测试)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)的最小值为3，且当x≥0 时，f(x)＝3e x＋a(a为常数)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最大的整数m(m＞1)，使得存在实数t，对任意的x∈[1，m]，都有f(x＋t)≤3e x.1．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．(1)当a＝2时，解不等式f(x)－f(x－1)＞2x－1；(2)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由．2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间 [0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论．4 二次函数1.已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则f (－2)，f (0)与f (2)的大小关系是________．2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是_____________________． 3．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式．4.函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．5．(2009·天津高考改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________．6．已知f (x )＝x 2－2x ＋3，在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．7. (2009·福建高考改编)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集________是{1,4,16,64}(填“可以”“不可以”)．8．(2010·盐城模拟)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．9．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)·f (3)＞0， (1)若a ＝1，求f (2)的值；(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，且3＜x 1＋x 2＜5.5 指数函数一、填空题1．(2010·盐城中学高三上学期期中考试)函数y ＝a x ＋2－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (其坐标与a 无关)，则A 的坐标为________．2．(苏北四市高三联考)设方程2x ＋x ＝4的根为x 0，若x 0∈，则整数k ＝________.3．若x >0，则＝________.4．(2010·淮安市学科学习能力评价测试)已知，则a ，b ，c按从小到大顺序排列为________． 5．＝________.6．设f (x )＝4x 4x ＋2，则f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋f ⎝⎛⎭⎫311＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011＝________.7. (南京市高三调研测试)如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图象交于A 、B 两点，过 B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C .若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________． 二、解答题8．计算：(1) ；(2)⎝⎛⎭⎫142＋＋3＋23－2－(1.03)0·⎝⎛⎭⎫－623.9．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．10．(2010·银川一中月考)设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (1．(2010·广东东莞模拟)已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且 a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 2．已知，求的值．6 对数函数一、填空题1．(南通市调研考试)设x 0是方程8－x ＝lg x 的解，且x 0∈(k ，k ＋1)(k ∈Z)，则k ＝ ________.2．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23等于________．3．函数f (x )＝lg|x |的奇偶性是________单调减区间是________． 4．函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值为________．5．(2010·广东东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)3x (x ≤0)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝________.6．(盐城市调研考试)已知函数f (x )＝e －x ＋ln x (e 是自然对数的底数)，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0<x 2，则f (x 1)________f (x 2)(填“>”，“≥”，“<”，“≤”)． 7．已知2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________.二、解答题8．(原创题)已知函数f (x )＝在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求a 的取 值范围．9．(2010·山东德州模拟)已知函数f (x )＝1x －log 21＋x 1－x .(1)求f (x )的定义域； (2)判断并证明f (x )的奇偶性；(3)在(0,1)内，求使关系式f (x )>f ⎝⎛⎭⎫13成立的实数x 的取值范围．10．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)且log 2[f (x )]<f (1)．1．阅读下面一段材料，然后解答问题：对于任意实数x ，符号[x ]表示“不超过x 的最 大整数”，在数轴上，当x 是整数，[x ]就是x ，当x 不是整数时，[x ]是点x 左侧的第 一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯(Gauss)函数．如[－2]＝－2， [－1.5]＝－2，[2.5]＝2.求⎣⎡⎦⎤log 2 14＋⎣⎡⎦⎤log 2 13＋⎣⎡⎦⎤log 2 12＋[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋ [log 24]的值为________．2．(2010·全国大联考三江苏卷)已知f (x －1)＝log a x －1(a >1)，g (x )与f (x )的图象关于直线 x ＝1对称，求不等式2f (x )－g (x )＋1≤0的解集．7 幂函数一、填空题 1．若，则a 的取值范围是________．2．(2010·山东潍坊模拟)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则log 2f (2)＝________.3．当|x |≤1时，函数f (x )＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是________．4．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一))已知集合A ＝{x |x 2－2x <3}，集合B ＝ {x |x ≤2}，则A ∩B ＝________.5．(南通市调研考试)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.6．函数f (x )＝(x －1)log 23a －6x log 3a ＋x ＋1在区间[0,1]上恒为正值，实数a 的取值范围 是________．7．(苏州市高三教学调研测试)设函数f (x )＝ax 2＋x －a (x ∈[－1,1])的最大值为M (a )，则 对于一切a ∈[－1，1]，M (a )的最大值为________． 二、解答题8．如果函数y ＝2ax (x <0)的图象与函数y ＝a 2x ＋1(x <0)的图象有2个交点，求a 的取值 范围．9．已知幂函数y ＝ (m ∈Z)，在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式并讨论 单调性和奇偶性．10．(2010·盐城中学高三上学期期中考试)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b ＜1)， 在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f (x )＝g (x )x. (1)求a ，b 的值；(2)不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，求实数k 的范围；(3)方程f ()|2x－1|＋k ⎝⎛⎭⎫2|2x －1|－3＝0有三个不同的实数解，求实数k 的范围．1．(2010·全国大联考三江苏卷)设二次函数k (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且k (－1)＝0.对一切实数 x ，不等式x ≤k (x )≤12(x 2＋1)恒成立(a ≠0)．(1)求函数k (x )的表达式；(2)求证：＋＋…＋>2n n ＋2.2．已知函数f (x )＝(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在 区间[－1,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，说明理由．8 函数的图象1.为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象向________个单位长度．2．作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝(12)|x |；(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.3.函数y ＝1－1x －1的图象是________．4．函数f (x )＝x |x |·a x(a ＞1)图象的大致形状是________．5．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．6．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论： ①f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2＜f (x 1＋x 22)． 其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b (x ≤0)log c (x ＋19)(x ＞0)的图象如图，则a ＋b ＋c ＝ ________.8．(2010·南京金陵中学模拟)函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x＜0的解集为________．9．函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中点A (1,2)、B (3,0)，函数g (x )＝(x －1)·f (x )，则函数g (x )的最大值为________．10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围．9 函数与方程一、填空题1．(2010·海门中学高三调研)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零 点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 由小到大的顺序是________． 2．函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是________．3．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点为2，那么g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．4．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2) 内，则下一步可断定该根所在的区间为________．5．设函数f (x )＝则函数f (x )－14的零点是________．6. x 0是方程ax =log a x (0＜a ＜1)的解，则x 0,1，a 这三个数的大小关系是 .7．(南通市高三期末调研测试)设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x ，若函数 g (x )至少存在一个零点， 则实数m 的取值范围是________． 二、解答题8．已知函数f (x )＝2x ＋ln(1－x )，则方程f (x )＝0在(－2,1)内有没有实数解？说明理由．9．已知关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根分布在区间(－2,0)内，另一根分布在区间 (1,3)内，求实数a 的取值范围．10．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)．(1)已知f(1)＝－a 2.①若f(x)<1的解集为(0,3)，求f(x)的表达式；②若a>0，求证：函数f (x)在区间(0,2)内至少有一个零点．(2)已知a＝1，若x1，x2是函数f (x)的两个零点，且x1，x2∈(m，m＋1)，其中m∈R，求f (m)f (m＋1)的最大值．1．已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根．10 导数的概念与导数的运算一、填空题1．已知函数f (x )＝2x 2－1图象上一点(1,1)及邻近点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.2．曲线y ＝2x 3在x ＝1处的切线的斜率是________．3．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于________．4．(2009·江苏姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考)已知函数f (x )＝x ·e x ， 则f ′(0)＝________.5．(南通市高三调研考试)曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为________.6．(盐城市调研测试)设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的 斜率范围是[－1，3]，则点P 纵坐标的取值范围是________．7．(苏北四市高三第二次联考)已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 二、解答题8．求下列函数的导数：(1)f (x )＝x 2e x ；(2)f (x )＝(2x ＋1)ln x ；(3)f (x )＝sin x 2·cos x 2(1＋2x )．9．(2010·句容高级中学高三调研)已知函数f (x )＝x 2＋a ln x . (1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．10．(2010·金陵中学上学期期中卷)设函数f (x )＝p ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝2ex (p 是实数，e 是自然对数的底数)．(1)当p ＝2时，求与函数y ＝f (x )的图象在点A (1,0)处相切的切线方程； (2)若函数f (x )在其定义域内单调递增，求实数p 的取值范围；(3)若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)>g (x 0)成立，求实数p 的取值范围．1．(创新题)设点P 是曲线y ＝x 3－ 3x ＋2上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α， 则角α的取值范围是________．2．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．11 导数的应用一、填空题1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的 三角形面积为________．2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点， 则m 的取值范围是________．3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，则实数a 的取值范围为________．4．已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＞0，f ′(x )＞0，则函数y ＝xf (x )的递增区间是________．5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是________．6． (江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )<0恒成立，且f (4)＝1，若f (x ＋y )≤1，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值是________． 7．(江苏省高考命题研究专家原创卷)幂指函数y ＝f (x )g (x )在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，两边求导得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )g (x )⎣⎡⎦⎤g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x ).运用此方法 可以探求得知y ＝ (x >0)的一个单调递增区间为________．二、解答题8．(2010·东台中学高三诊断)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈 水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2， A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳 相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y m. (1)设∠CA 1O =θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长．9.(江苏省高考命题研究专家原创卷)一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？10．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知函数f(x)＝x2＋a ln x.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)＋2x在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．1．某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时．当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30 元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元．若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格．2．(2010·扬州中学上学期期中卷)已知函数f(x)＝ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设a>0，求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值；(3)某同学发现：总存在正实数a、b(a<b)，使a b＝b a，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围(不需要解答过程)．12 函数模型及其应用1．(2010·广东惠州一模)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的 乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但 为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用s 1、s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时 间，则下图与故事情节相吻合的是________．2．某电信公司推出手机收费两种方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一 个月的本地网内打出电话时间(分钟)与电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150 分钟时，这两种方式电话费相差________元．3．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．4．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为 ________台．5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v k m/s 和燃料质量M k g 、火箭(除燃 料外)的质量m k g 的关系是v ＝2 000ln( 1＋Mm )，当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 k m/s.6．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的 销售单价每涨1元，日销售量会减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为________元．7．(2009·盐城调研)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值V(美元) 与其重量ω(克拉)的平方成正比，若把一颗钻石切割成重量分别为m，n(m≥n)的两颗钻石，且价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%(切割中重量损耗不计)，则价值损失的百分率的最大值为________．二、解答题8．(2010·江苏通州市高三素质检测)某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元(1≤a≤3)的管理费，预计当每件商品的售价为x元(8≤x≤9)时，一年的销售量为(10－x)2万件．(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；(2)当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值M(a)．9．(2010·武进高级中学第一学期期中考试)季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式；(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q(t)＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N*试问该服装第几周每件销售利润L最大？10.(江苏省高考命题研究专家原创卷)如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，下底宽为2米，斜坡的倾角为α，坡面的长度为x米．(1)当倾角α=45°且灌溉渠的横截面面积大于5平方米时，求x的最小正整数值；(2)若斜坡坡面的长度为2米，则倾角α为何值时，灌溉渠的横截面面积最大？最大值是多少？1．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________．2．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元) 的关系如图所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？。
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
处的切线方程为y= x+b(其中a,b∈R,e是自然对数的底数),则
3
27e
f(x)在区间[-3,3]上的最大值为
,最小值为 0
解析:由 f(x)=
得 f′(x)=
- -
( )
=
依题可得f′(1)= = ,所以a=3.
故 f(x)=
.
考点二
利用导数解决函数的最值问题
[例4] (2024·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=xln x-a(x-1),求函
数f(x)在区间[1,e]上的最小值.
解:f(x)=xln x-a(x-1),则f′(x)=ln x+1-a,
①当ea-1≤1,即a≤1时,x∈[1,e],
则f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,
解得 a> 或 a<- .
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
利用导数解决函数的极值问题
角度一
根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)(2024·重庆检测)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)
的图象如图所示,则(
)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确;
因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,
可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值
点,所以B错误,C正确,D错误.故选AC.
由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数与函数的单调性》课件
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
恒有 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
结论 f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__增__ f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__减__ f(x)在区间(a，b)上是_常__数__函__数__
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
当 a＝1 时，f(x)＝x－ln x－1，则 f′(x)＝1－1x＝x－x 1(x>0)， 当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
知识梳理
2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 定义域 ； 第2步，求出导数f′(x)的 零点 ； 第 3 步 ， 用 f′(x) 的 零 点 将 f(x) 的 定 义 域 划 分 为 若 干 个 区 间 ， 列 表 给 出 f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
综上，当－2<a<0 时，g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞， 单调递增区间为12，－1a； 当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当 a<－2 时，g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增 区间为－1a，12.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数 为零的点和函数的间断点.
导数与函数的单调性课件高三数学一轮复习
｜解题技法｜ 讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上 讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进 行分类讨论.
目录
考向2 解不等式
A.（－∞，－2）∪（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（2，＋∞） D.（－1，2）
目录
答案 C
目录
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
目录
所以a＞－1. 即a的取值范围是（－1，＋∞）.
目录
（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有
（）
A.f（x）＝x4 C.f（x）＝xex
B.f（x）＝x－sin x D.f（x）＝ex－e－x－2x
目录
目录
2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是
.
解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），
∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
目录
02
目录
证明（判断）函数的单调性 【例1】 （1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g （x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
目录
目录
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：导数的概念及其意义、导数的运算
fx＋Δx－fx Δx .
知识梳理
2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0)) 处的切线的 斜率 ，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) .
知识梳理
3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝c(c为常数)
知识梳理
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x
1 f′(x)＝_x_ln__a_
1 f′(x)＝__x _
知识梳理
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； [f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝ cf′(x) .
教材改编题
1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则
√A.f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x
C.f′(x)＝ln3x3＋cos 2x
B.f′(x)＝3x＋2cos 2x D.f′(x)＝ln3x3－2cos 2x
因为函数f(x)＝3x＋sin 2x， 所以f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x.
对于
C，2sxin2
x′＝2sin
x′x2－2sin x4
xx2′＝2xcos
x－4sin x3
x，故
C
错误；
对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确.
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则
f′(2)等于
导数的计算(一轮复习)
5.曲线 y＝9x在点 M(3,3)处的切线方程是 x＋y－6＝0 . 解析 ∵y′＝－x92， ∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)， 即x＋y－6＝0.
12345
10.已知抛物线 y＝x2，求过点－12，－2且与抛物线相切的直线方程.
12345
2.已知 f(x)
解析
f(x)＝
x，得
f′(x)＝
1
-
x
1
2，
2
∴
f
8 =
1
-
8
1 2
2
2
8
12345
D.－1
3.(多选)下列结论正确的是
√A.若 y＝3，则 y′＝0 √C.若 y＝ x，则 y′＝21 x
B.若
y＝
1 ，则 x
y′＝－12
x
√D.若 y＝x，则 y′＝1
解析 只有B是错误的.
因为y
1 x
'
1
x2
'
1 2
3
x2
1 2x
x
12345
4.已知 f(x)＝ln x 且 f′(x0)＝x120，则 x0＝ 1 .
解析 因为f(x)＝ln x(x>0)， 所以 f′(x)＝1x， 所以 f′(x0)＝x10＝x120， 所以x0＝1.
一点的函数值
思考辨析 巩固知识
1.函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数.( √ )
2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
(√ ) 3.函数f(x)＝0没有导数.( × ) 4.直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.( × )
高三数学第一轮复习函数与导数
【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过 某点的切线问题中此点不一定是切点，此点也 可能不在曲线上，所以要先判断再去解决，切 忌盲目地认为给出点就是切点．
[关键要点点拨] 1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求 导的基本原则，求导时，不但要重视求导法 则的应用，而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用，在实施化简时，首先必须注意 变换的等价性，避免不必要的运算失误．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与 “过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f(x) 在点P(x0， y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜率为 k ＝ f′(x0) 的切线，是唯 一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指 切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是 切点，而且这样的直线可能有多条．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)若 f(x)＝xex，则 f′(1)＝ A．0 C．2e B．e D．e2 ( )
C [∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.]
2．曲线 y＝xln x 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实 数 a 的值为 A．2 1 C.2 B．－2 1 D．－2 ( )
1 1 (2)(2014· 乌鲁木齐诊断性测验)直线 y＝2x＋b 与曲线 y＝－2x＋ln x 相切，则 b 的值为 A．－2 1 C．－2 B．－1 D．1 ( )
B
1 设切点的坐标为a，－2a＋ln
a，依题意，对于曲线
1 y＝－2x
1 1 ＋ln x，有 y′＝－2＋x ， 1 1 1 所以－2＋a＝2，得 a＝1.
函数导数专题分析课件-2025届高三数学一轮复习
深度和广度。思维量加大，灵活，与其他知识的交汇，比如在不等式，数列，解析几何中的应
用，这就要求我们在复习中注重基础知识的理解和思维能力的培养。
（二）深入考查直观想象素养。 （三）扎实考查数学运算素养。
二、创设自然真实情境 助力应用能力考查 2023高考试题评价
（一）创设现实生活情境（二）设置科学研究情境（三）设计劳动生产情境
三、落实“四翼”考查要求 助力“双减”政策落地
（一）突出基础性要求。 （二）彰显综合性要求。
如新课标Ⅱ卷第22题和全国甲卷理科第21题，将导数和三角函数巧妙地结合起来， 通过对导函数的分析，考查函数的单调性、极值等相关问题，通过对导数、函数不 等式等知识，深入考查分类讨论的思想、转化与化归的数学思想。
高考导数知识点梳理
2022全国乙卷理21（2）、2022全国乙卷文20 （2）、2021全国新高考Ⅱ22（2）、2020全国Ⅲ 理20（2）、2020全国Ⅲ文21（2）、2020全国Ⅰ 文20（2）、2019全国Ⅰ文20（1）、2019全国Ⅰ 理20（2）、2019全国Ⅱ文21（2）、2018全国 Ⅱ21（2）、2018全国Ⅱ理21（2）、2021全国甲 理 21（2）、2021全国甲文21（2）共13次
2021新高考Ⅱ22（1）、2021甲卷文20（1）、 2021全国乙卷文21（1）、2019全国Ⅰ文20 （1）、2019全国Ⅲ理（20）、2020全国Ⅲ文20 （1）、2018全国Ⅰ理21（1）、2020全国Ⅱ文 21（2）共8次
2022全国乙卷文20（1）、2019全国Ⅱ文 21（1）、2018全国Ⅲ理21（2）、2018 全国Ⅰ文21（1）、2019全国Ⅲ文20 （2）、2019全国理20（2）共6次
单调性、不等式、构造函数 构造函数或利用不等式比较大小
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
专题 函数与导数(练习)
（新高考地区）2023届高三数学一轮复习 同步练习函数与导数____班____号 姓名_________一、选择题（1-6单选，7-8多选）1. 已知函数()f x 的导数为()f x ‘，且()()220sin f x x f x x '=++，则()'0f =A ．-2B ．-1C ．1D ．22.函数f (x )＝2|sinx |＋cos2x 在[－π2，π2]上的单调递增区间为 A ．[－π2，－π6]和[0，π6] B ．[－π6，0]和[π6，π2] C ．[－π2，－π6]和[π6，π2] D ．[－π6，π6] 3. 设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是A ．(]1,2B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(]0,34. 已知过点(),0A a 作曲线()1e x y x =-的切线有且仅有1条，则=aA ．3-B ．3C ．3-或1D ．3或15. 已知函数()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，（e 为自然对数的底数），则函数()()()211e =--⎡⎤⎣⎦F x f f x f x 的零点个数为A ．8B ．7C ．6D ．46. 设a ,b 都为正数,e 为自然对数的底数,若1a ae b ++ln b b <,则A .ab e >B .1a b e >＋C .ab e <D .1a b e <＋7.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是 A ． B ． C ． D ． 8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，121,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩,下列结论中正确的有A.函数()f x 在()6,5--上单调递增0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x '()00f =()cos ()sin 0f x x f x x '+<64f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.函数()f x 的图象与直线y x =有且仅有2个不同的交点C.若关于x 的方程2[()](1)()0()f x a f x a a -++=∈R 恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8D.记函数()f x 在[]()*21,2k k k -∈N 上的最大值为k a ，则数列{}n a 的前7项和为12764. 二、填空题9. 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________.10. 已知函数()ln 2f x x ax =--在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为___________.11.已知不等式e (3)20(1)+--<<x a x x a 恰有2个整数解，则a 的取值范围为___________.12．已知函数()()ln 1f x x x a x a =+-+，.a Z ∈若存在01x >，使得()00f x <，则实数a 的最小值为________．三、解答题13. 已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；(2)设2a ≤-，证明：对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-．14. 已知函数()()x f x e ln x m =-+．（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m 时，证明：()0f x >．15.已知函数()()2ln 21f x x ax a x =++++，其中a ∈R .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)设Z a ∈，若对任意的0x >，()0f x ≤恒成立，求a 的最大值.1ln22n++<17. 已知函数()()ln 1f x x =+，2()1g x x bx =++（b 为常数），()()()h x f x g x =-.(1)若存在过原点的直线与函数()f x ､()g x 的图象相切，求实数b 的值；(2)当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立，求M 的最大值；(3)若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点()1,0A x ､()2,0B x ，且120x x <<，求证：12'02x x h +⎛⎫< ⎪⎝⎭.。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.3 导数与函数的极值、最值
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.3 导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值f′(x)<0f′(x)>0都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点处的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧，右侧 ，则b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为 .f ′(x )>0f ′(x )<0极值点极值2.函数的最大(小)值(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上有最值的条件：如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大(小)值的步骤：①求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f (a )，f (b )常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.( )(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.( )(3)函数的极小值一定是函数的最小值.( )(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.( )√××√1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为√A.1B.2C.3D.4由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个.2.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是_____________ _____________.f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，43.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____.f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.第二部分命题点1 根据函数图象判断极值例1 (多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是A.当x ＝－1时，f (x )取得极小值B. f (x )在[－2,1]上单调递增C.当x ＝2时，f (x )取得极大值D. f (x )在[－1,2]上不具备单调性√√由导函数f′(x)的图象可知，当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝－1时，f′(x) ＝0；当－1<x<2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x＝2时，f′(x)＝0；当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝4时，f′(x)＝0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误.命题点2 求已知函数的极值例2 (2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值.因为f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x，若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值.当a>0时，f(x)无极值.命题点3 已知极值(点)求参数例3 (1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为√A.2B.4C.6D.2或6由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意.综上，c＝2.(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝e x－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为√由f(x)＝e x－ax2－2ax，得f′(x)＝e x－2ax－2a.因为函数f(x)＝e x－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝e x－2ax－2a有两个变号零点，当x>0时，g′(x)<0；当x<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为A.－1或3B.1或－3√C.3D.－1因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意.综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3.√∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，命题点1 不含参函数的最值例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为√f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x ＋1)·cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0,2π].又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，命题点2 含参函数的最值例5 已知函数f(x)＝－ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减.所以f(x)max＝f(a)＝－ln a；思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值1为_____.函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；综上，f(x)min＝1.(2)已知函数h(x)＝x－a ln x＋ (a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围.①当a＋1≤0，即a≤－1时，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，则h(x)在[1，e]上单调递增，故h(x)min＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；②当a＋1>0，即a>－1时，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以h(x)在(0，a＋1)上单调递减，在(a＋1，＋∞)上单调递增，若a＋1≤1，求得h(x)min>1，不合题意；若1<a＋1<e，即0<a<e－1，则h(x)在(1，a＋1)上单调递减，在(a＋1，e)上单调递增，故h(x)min＝h(a＋1)＝2＋a[1－ln(a＋1)]>2，不合题意；若a＋1≥e，即a≥e－1，则h(x)在[1，e]上单调递减，第三部分1.(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是A.f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点B.f′(x)在x＝－1处取得极小值C.f(x)在区间(－2,3)上单调递减D.f(x)在x＝0处的切线斜率小于0√√√根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；由f′(x)的图象易知B正确；根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确.√。
导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
高考数学一轮总复习函数与导数的关系
高考数学一轮总复习函数与导数的关系高考数学一轮总复习：函数与导数的关系函数与导数的关系在高考数学中占据着重要的地位。
函数的导数是描述函数变化规律的指标，通过对函数进行导数运算，我们可以更好地了解函数的性质与特点。
本文将系统地介绍函数与导数之间的关系，帮助大家全面认识和掌握这一知识点。
一、导数的定义与基本性质函数的导数是函数在某一点处的变化率。
用数学语言来描述，设函数f(x)在点x处连续，那么f(x)在点x处的导数可表示为f'(x)。
导数的定义如下：f'(x) = lim【(f(x+Δx) - f(x)) / Δx】，其中Δx ≠ 0。
导数的基本性质包括：1. 导数的存在性：导数存在的充要条件是函数在该点处连续。
2. 导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
3. 导数的物理意义：导数还可以表示函数的变化率，如时速表征位移的变化率。
4. 导数的计算法则：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数可以通过一定的计算法则求得。
二、函数与导数的关系函数与导数之间有以下几种常见的关系。
1. 导数与函数的单调性如果一个函数在某一区间上的导数恒大于零（或小于零），则该函数在该区间上是单调递增（或递减）的。
即导数的正负性可以刻画函数的单调性。
2. 导数与函数的极值点对于函数f(x)在点x_0处的导数f'(x_0)，有以下两种情况：- 若f'(x_0)=0，且在x_0的邻域内f'(x)由正数变为负数，那么f(x)在x_0处取得一个极大值；- 若f'(x_0)=0，且在x_0的邻域内f'(x)由负数变为正数，那么f(x)在x_0处取得一个极小值。
3. 导数与函数的凸凹性函数的凸凹性与导数的性质密切相关。
对于函数f(x)在区间(a, b)上具有二阶导数的情况，有以下几个性质：- 如果对任意的x∈(a,b)，有f''(x)>0，则f(x)在(a,b)上是凸函数；- 如果对任意的x∈(a,b)，有f''(x)<0，则f(x)在(a,b)上是凹函数；- 如果存在x_0∈(a,b)，使得f''(x_0)=0，那么在x_0处可能是拐点。
2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 导数与函数的单调性(精练：基础+重难点)
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第15练导数与函数的单调性（精练）一、解答题【A组在基础中考查功底】一、单选题A ．B ．C ．．【答案】A【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；【详解】解：由()f x 的图象可知，当(),0x ∈-∞时函数单调递增，则()f x '，故排除C 、D ；当()0,x ∈+∞时()f x 先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于0，最后小于B ；故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）若函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．),1-∞-C ．[)+∞D ．[1,-【答案】D【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可【详解】由ln 1a y x a x x=+⇒=+，因为函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，所以有0y '≥在[)1,+∞上恒成立，即10ax+≥在[1,+∞上恒成立，因为[)1,x ∞∈+，所以由100x a a ≥⇒+≥⇒≥，因为[)1,x ∞∈+，所以,1]x --∞-，于是有1a ≥-二、多选题f x为偶函数A．()f x为奇函数B．()f x的最小值为a C．()三、填空题四、解答题【B组在综合中考查能力】一、解答题二、单选题而函数()3g x a ax =-恒过点(3,0C 象应介于直线AC 与直线BC 之间（可以为直线又()1,1A ，()2,2ln 21B +，∴011312AC k -==--，0(2ln 3BC k -=三、填空题故1x =为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为(1)e g =-，故e,e m m -≤-∴≥，经验证，当e m =时，()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立,仅在1x =时取等号，适合题意，故实数m 的取值范围是[e,)+∞，故答案为：[e,)+∞【C 组在创新中考查思维】一、解答题令()0f x ¢>,解得()0,x ∈+∞;令()0f x '<,解得(),0x ∈-∞,所以()f x 的单调增区间为()0,∞+,单调减区间为(),0∞-,当1a <-时,令()0f x '=,解得:0x =或()ln 1x a =--,①当()ln 10a --=时,即2a =-,()()2e 10xf x '=-≥,所以()f x 在(),-∞+∞上单增.②当()ln 10a -->时,即2a <-,由()0f x ¢>解得:()()(),0ln 1,x a ∈-∞--+∞ ;由()0f x '<解得:()()0,ln 1x a ∈--,所以()f x 的单调增区间为()()(),0,ln 1,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()0,ln 1a --.③当()ln 10a --<时,即21a -<<-,由()0f x ¢>解得:()()(),ln 10,x a ∈-∞--+∞ ;由()0f x '<解得:()()ln 1,0x a ∈--,所以()f x 的单调增区间为()()(),ln 1,0,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()ln 1,0a --.综上:当1a ≥-时,()f x 的单调增区间为()0,∞+,单调减区间为(),0∞-;当21a -<<-时,()f x 的单调增区间为()()(),ln 1,0,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()ln 1,0a --;当2a =-时,()f x 在(),-∞+∞上单增;当2a <-时,()f x 的单调增区间为()()(),0,ln 1,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()0,ln 1a --.二、单选题三、多选题四、填空题。
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）一、单选题1．已知()()12222x x a a a a -++>++，则x 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0，2)D ．R 2．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为 A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]6,8 C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,103．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1- 4．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]1,1-是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5．函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()12,1f x f x y f x =+=-的图形关于()1,0对称，且()71f =- 则()2021f =（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数7．若函数()()ln 1x f x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（ ） A ．1e - B ．2e - C ．e D ．2-8．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---二、多选题9．已知函数()21e x x x f x +-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值B ．函数()f x 存在3个不同的零点C ．函数()f x 的最小值是e -D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5e f x =，则t 的最大值为2 10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且2()()(32)()x x f x x f x +'<+恒成立，则必有（ ）A ．()(3)181f f >B ．()()261f f <C ．()131162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()332f f <11．若曲线()20y ax a =≠与ln 1y x =+存在公共切线，则实数a 的可能取值是（ ）A ．－1B ．eC ．e 2D ．12 12．下列各式比较大小，正确的是（ ）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 三、填空题 13．已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 14．函数()()2ln 3x x f x x +=-的零点是__________． 15．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,m m x y x y x y ，则1ni i x ==∑___________.16．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2y x 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________.四、解答题17．已知函数()sin x f x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．18．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与空气污染指数()p x 的关系为：()()()()10244f x p x p x k x =-+<≤，其中空气污染指数()p x 与时刻x （小时）和1x 的算术平均数成反比，且比例系数为12，k 是与气象有关的参数，10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求空气污染指数()p x 的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数()f x 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．19．某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元，可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x 元(1≤x ≤50，x ∈N *)，则租出的车辆会相应减少4x 辆.（1）求该汽车租赁公司每天的收入y (元)关于x 的函数关系式；（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元?20．已知幂函数()223m m f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，1,2x ⎡⎤∈⎣⎦（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值.21．做出()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩的图象并求出其值域22．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个矩形花园，中间有三个完全一样 的矩形花坛，每个花坛的面积均为294平方米，花坛四周的过道宽度均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x 米，宽为y 米，整个矩形花园的面积为S 平方米.（1）试用x 、y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为多少平方米?参考答案1．B2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．B9．ACD10．BD11．ABC12．BC13．314．1.15．m16．①③④17．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min 22f x e -=- 18．(1)()21x p x x =+，(]0,24x ∈，()max 12p x =; (2)没有超标；19．（1）y=-40x 2+800x +60000(1≤x ≤50，x ∈N *)；（2）390元或400元或410元.20．（1）1m =；（2）116-. 21．[]4,-+∞.22．（1）312832S xy y x =+++；（2）矩形花坛的长为21米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为1250平方米。
导数与函数的极值最值课件-2025届高三数学一轮复习
解析 若在上无极值点，则在上单调，即或 恒成立. 当时， ，显然不满足题意； 当时，，则或 恒成立的充要条件是，即，解得 . 故实数的取值范围是 .
已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
列式
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解
A
；②函数在处取得极小值，在 处取得极大值；③函数在处取得极大值，在 处取得极小值；④函数的最小值为 .A.③ B.①② C.③④ D.④
解析 由的图象可得，当时，,单调递增；当 时，,单调递减；当时，, 单调递增. 由题意可得 ，所以①不正确. 由题意得函数在处取得极大值，在 处取得极小值，故②不正确，③正确. ,故④不正确.故选A.
验证
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性
1.（2024 · 北京质检）已知函数的导函数 的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( ) .
D
A.曲线在点 处的切线斜率小于零B.函数在区间 上单调递增C.函数在 处取得极大值D.函数在区间 内最多有两个零点
解析 （1）当时，，则 ， 令，解得 . 当时，，此时 单调递减； 当时，，此时 单调递增. 故函数在处取得极小值，极小值为 .（2）由题意知，函数的定义域为， ， 则方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根，
令，，则 ， 则当时，，当时， ， 则函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 因为，当时，，当时，，当 时， ， 所以实数的取值范围为, .
A. B. C. D.
解析 因为，所以，因为函数 既有极大值又有极小值，所以函数在上有两个变号零点，且 ，所以方程有两个不等的正根,，则即 ，即.故选 .
2025高考数学一轮复习导数与三角函数问题
(2)若 x∈0，π2，求证：当 a≤3 时.f(x)＋12x3＋3≥0.
令 h(x)＝f(x)＋12x3＋3， 则 h′(x)＝f′(x)＋32x2＝3sin x－ax＋23x2， ∵a≤3，∴h′(x)≥3sin x－3x＋32x2， 令 p(x)＝3sin x－3x＋32x2，则 p′(x)＝3cos x－3＋3x， 令 m(x)＝3cos x－3＋3x，则 m′(x)＝－3sin x＋3≥0， ∴m(x)在0，π2上单调递增，即 m(x)≥m(0)＝0，∴p′(x)≥0，
∴∃x0∈(0，π) ，使h′(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h′(x)>0，h(x)>h(0)＝0， g′(x)>0，∴g(x)在(0，x0)上单调递增，∴g(x)>g(0)＝0，不符合题意； 综上，a 的取值范围是13，＋∞.
规律方法
导数与三角函数问题的解法 (1)利用三角函数的有界性：在含参数的问题中，往往需要分类讨论， 若能有效地利用三角函数的有界性，则能快速找到分类讨论的依据， 从而实现问题的求解. (2)利用三角函数的周期性：涉及零点问题时，可根据三角函数的周期 性分段来研究. (3)利用分隔直线法：常见的一些不等式如：当 x∈0，π2时，sin x<x<tan x， ln(x＋1)≤x 等，可利用这些不等式放缩再解决问题.
②当 3a≥1，即 a≥31时，h′(x)≤0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减， ∴h(x)≤h(0)＝0，∴g′(x)≤0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴g(x)≤g(0)＝0，符合题意； ③当－1<3a<1，即－31<a<13时， 由h′(0)＝1－3a>0，h′(π)＝－1－3a<0，