CFD模拟数值的收敛性评价

数值的收敛性评价
3.1判断收敛的方法
判断计算是否收敛，没有一个通用的方法。

通过残差值判断的方法，对一些问题或许很有效，但在某些问题中往往会得出错误的结论。

因此，正确的做法是，不仅要通过残差值，也要通过检测所有相关变量的完整数据，以及检查流入与流出的物质和能量是否守恒的方法来判断计算是否收敛。

1.监测残差值。

在迭代计算过程中当各个物理变量的残差值都打到收敛标准是，计算就会发生收敛。

2.计算结果不再随着迭代的进行发生变化。

有时候，因为收敛标准设置的不合适，物理量的残差值在迭代计算过程中始终无法满足收敛标准。

但是，通过在迭代过程中检测某些代表性的流动变量，可能其值已经不再随着迭代的进行发生变化。

此时也可以认为计算收敛。

3.整个系统的质量，动量，能量都守恒。

检查流入和流出整个系统的质量，动量，能量是否守恒。

守恒，则计算收敛。

不平衡误差少于0.1%，也可以认为计算是收敛的。

3.2数值的事前和事后分析
数值解的数值分析主要包括两部分：解的事前和事后分析
解的事前分析一般是定性分析，格式精度和网络尺度选取的分析准则等，用以在开始计算前尽量保证计算条件的正确性，如网格质量和尺度建立的合理性等。

解的事后分析包括定性和定量的两方面。

定性分析如旋涡和分离的结构等，用来分析数值解现象的合理性，从而判断数值解是否存在错误；定量分析如收敛性分析和离散误差误差带确定等数值分析方法，这是对数值解某些能够通过数值方法确定的误差进行分析的方法，用以分析数值解的渐进特性和收敛特性。

数值解的事后分析中的定量分析对判断解的收敛性有明确的意义，目前主要通过网格收敛性和格式收敛性分析来研究数值解的特性，通过减小截断误差，数值解应该更接近于偏微分方程的解。

3.2.1网格收敛性分析
相同计算方法在不同网格上的解在收敛的情况下应该是相互接近的，否则表明在此网络系统下计算并没有收敛，如果计算结果是相互接近的，则可以通过不同网络截断误差之间的差别获取收敛解的数值误差带和数值截断误差的大小，这里的“网格”包括笛卡尔网络、非正交网络、傅里叶级数的模拟等。

首先，判断不同网络尺度上解是否已经收敛，因为分析没有收敛的解是没有意义的；再由不同网络尺度上的数值解定量化的给出离散误差的大小。

网格收敛性分析基于Richardson外差的方法，即网格上了离散解u认为是对解析解u exact的近似，由泰勒展开可以表示为：u=u exact+g1h+g2h3+g3h3+…
式中，h表示网格间距。

假设给定的计算方法具有p阶精度，则上式可以表示为：u=u exact+O(h p)
设细网格上的解为u1,粗网格上的解为u2，可以通过两个网格的计算值采用外推的方法估计精确解，以精细网格上的解为参照有：
对于细网格上的误差和粗网格的离散误差，不难推导具有下面的形式：
相应计算的误差带采用GCI（Grid Convergence Index）来表示，有下面的形式：
式中Fs表示安全系数，Fs越大精确解落在误差带中的可能性越大，但太大的Fs就失去了误差预测的意义。

格式收敛精度p是非常重要的参数，需要注意的是格式形式上的精度并不能代表实际的收敛精度，同时对于不同问题计算方法的收敛精度也并不一定相同。

因此需要考虑如何得到p的值，可以采用3个网格上的数据分析格式的精度。

设网格从3到1逐渐加密，若网格变化的系数r相同，则有：
若网格变化的系统不同，分为r12和r23则有：
在网格收敛性分析中另外有一项有意义的工作，就是通过分析和要求的精度确定网格变化的系数，设要求的误差区域大小为GCI*，需要确定网格变化系数r*，可以有公式：
依据上面的分析可以在细网格和粗网格上分别给出相应的误差带：
细网格上的误差带{u fine-GCI fine,GCI fine+u fine}
3.2.2格式收敛性分析
在相同网格系统下不同精度格式计算的结果在收敛的情况下应该是相互接近的，否则表明最少有一个格式在此网络系统下还没有收敛，如果计算结果是相互接近的，则可以通过不同格式截断误差之间的差别获取收敛解的数值误差带和数值截断误差的大小。

格式收敛性分析是指采用不同精度的格式在相同的网格上进行计算，获得关于解的收敛性和误差定量信息的方法，系统的格式收敛性分析在CFD误差估计中也较为常用，但初始的收敛性有时还需采用网格收敛来分析，不能单独形成一套完整的分析方法。

考虑两种计算方法的解分别为u1和u2，相对应的格式收敛精度分别为p1和p2.设p1>盘，则有误差公式：E=u1-u2
则解的误差带计算公式：GCI1=Fs|E|,安全系数Fs一般取1.25~3即可。

对应的误差带一般采用高阶格式的解给出：{u1-GCI1,GCI1+u1}
3.2.3总结
通过数值可靠性分析中的网格和格式收敛性分析可以看出：对于一个具体的CFD计算而言，残差收敛的数值解并不一定对应解的收敛；解收敛所需的网络系统随收敛精度的要求不同而不同；对于应用而言，网络收敛分析可以仅通过网格逐渐加密而完成，而格式收敛性分析，需要网格加密的配合才能完成，因此，网格收敛性分析在应用中，相对更方便。

3.3不收敛通常的解决方法
1.一般首先是改变初值，尝试不同的初始化，初始化对于收敛很关键。

2.收敛最基础的是网格的质量，计算的时候看怎样选择CFL数。

3.查找网格问题，如果问题复杂比如多相流问题，与模型、边界、初始条件都有关系。

4.有时初始条件和边界条件严重影响收敛性，看看哪个因素不收敛，然后寻找和它有关的条件，改变相应参数。

5.调节松弛因子也能影响收敛，不过代价是收敛速度。