八年级数学下册 角平分线教案
1．4角平分线第1课时角平分线
1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点) 2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)
一、情境导入
问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的性质定理
【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB ＝AF＋2EB.
解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE ⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF
和Rt△DEB中，∵
??
?
??BD＝DF，
DC＝DE，
∴Rt△CDF ≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；
(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE
中，∵
??
?
??CD＝DE，
AD＝AD，
∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB ＝AF＋2EB.
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．
【类型二】角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB ＝4，则AC的长是()
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE ＝2，∴S△ABC＝
1
2×4×2＋
1
2×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【类型三】角平分线的性质定理与全
等三角形的综合运用
如图所示，D是△ABC外角
∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF
⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
解析：由角平分线上的性质可得DE＝
DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF
全等，根据全等三角形对应边相等证明即
可．
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE
⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE
和Rt△CDF中，∵
??
?
??CD＝CD，
DE＝DF，
∴Rt△CDE
≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.
方法总结：全等三角形的判定离不开
边，而角平分线的性质是判定线段相等的主
要依据，可作为判定三角形全等的条件．
探究点二：角平分线的判定定理
【类型一】角平分线的判定
如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长
线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．
解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全
等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可
知AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF
⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE
与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt
△CDF中，∵
??
?
??BE＝CF，
BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝
DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC
的平分线．
方法总结：证明一条射线是角平分线的
方法有两种：一是利用三角形全等证明两角
相等；二是角的内部到角两边距离相等的点
在角平分线上．
【类型二】角平分线的性质和判定的
综合
如图所示，△ABC中，AB＝AC，
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD
平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、
C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等
的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确
的结论有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，
DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得
△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即
①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；
中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正
确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC
的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等
的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条
直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，
故④正确；①②③④都正确．故选D.
方法总结：运用角平分线的性质或判定
时，可以省去证明三角形全等的过程，可以
直接得到线段或角相等．
【类型三】添加辅助线解决角平分线
的问题
如图，△ABC的∠ABC和∠ACB
的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC
的平分线．
解析：分别过点D作DE、DF、DG垂
直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．
证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G .∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．
方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用
如图，
在四边形ADBC 中，AB 与
CD 互相垂直平分，垂足为点O .
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .
解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，且AC ＝BC ＝AD ＝BD ；
(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵????
?AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，∴△AOC ≌△
AOD (SSS)，∴∠CAO ＝∠DAO .又
∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
三、板书设计
1．角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2．角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.