空间向量及其运算 PPT课件
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3.1 空间向量及其运算
回顾
平面向量
定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
几何表示法：用有向线段表示。
字母表示法：用字母 a, b 等或者用有向线段的 起点与终点字母 AB 表示。
相等的向量：长度（模）相等且方向相同的向 量。
B
A
a
b
2.平面向量的加减法运算
（1）向量的加法：
b
ab
a
平行四边形法则
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。
（1）当 0 时，a 与向量 a的方向相同。 （2）当 0 时，a 与向量a 的方向相反。 （3）当 0 时，a 是零向量。
a 的长度是 a 的长度的 倍。
向量的数乘运算
分配律：
( )a a a
(a b) a b
结合律：
(a) ()a
之和，等于由起始向量的起
An
An1
点指向末尾向量的终点的量。A2
即：
A3
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量 构成一个封闭图形，则它们 的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积 a
则
叫做向量 的夹角，
记 OA a,OB b, AOB
a,b
作 a,b .
a
（1）范围：0 a,b .
（2） a,b b, a .
b
（3） a,b 0时，向量 a, b 方向相同。
A
a
（4）a,b 时，向量 a,b 方向相反。
（5）a, b
2
时，向量a
b.
Ob B
两个向量的数量积
已知两个非零向量 a,b，则 a b cos a,b 叫做 a,b 的数量积，记作 a b. 即
ab来自百度文库
b
a
三角形法则（首尾相连）
2.平面向量的加减法运算
（2）向量的减法：
a b
b a
减向量终点指向被减向量终点
新课导入
这个建筑钢架中有
很多向量，但它们有 些并不在同一平面内。
概念
1.空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空 间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模。
2.空间向量的的表示
向量a 的起点是A，终点是B，
方向上的投影 b cos 的乘积。
空间向量的数量积满足的运算律
(1)(a) b (a b );
(2)a b b a;
（交换律）
(3)a (b c ) a b a c（. 分配律）
即使训练
下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k ,则 a k
O
即时训练
(1)a / /b, m a b, n 1 a 1 b, m, n 共线吗？ 22
u 1 a 1 b, v 3a 2b,u, v 共线吗？ 23
(2)a / /b, m ka b, n a k 2b, m / /n, k ?
共面向量
共面向量：平行于同一个平面的向量（可平移到
练习
例.如图，已知平行四边 ABCD，过平面AC外一点O 作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、 G、H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证：四点E、F、G、H
共面。
E
O
DC
A
B
H
G
F
空间向量的夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间任取一点O,作
b
③ (a b) c a (b c)
典例
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO, PA 分别是平面 的垂线、斜 线，AO 是 PA在平面 内的射影，l ，且 l OA.
求证： l PA.
P
OO A a
l
典例
例2 已知直线m, n是平面内的两条相交直线, 如果 l m, l n,求证 : l .
则向量 a 也可以记作 AB ，其模记
为 a 或 AB
B
a
A
几类特殊的向量
（1）零向量：长度为0的向量，记为 0 。当有 向线段的起点A与终点B重合时，AB 0 。
（2）单位向量：模为1的向量。
（4）相反向量：与向量 a长度相等而方向相反
的向量。 （5）相等向量：方向相同且模相等的向量。
思考
空间任意两个向量是否可能异面？
结论：空间任意两个向量都是共面的， 所以它们可用同一平面内的两条有向 线段表示
向量的加法和减法运算
C
B
a b
b
ab
O
a
A
OB OA AB a b,
CA OA OC a b.
空间向量的加法运算律
（1）交换律
a b b a,
（2）结合律
(a b) c a (b c).
a b | a || b | cos a,b
注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
特别地，a a a a cos a, a a 2 . 即：a a2 a b ab 0
ab a b
思考
a b 类似平面向量，你能说出 的几何意义吗？
数量积 a b 等于a 的长度 a 与b 在a
共线向量（平行向量）
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平 行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.
定理：a / /b,b 0 a b
推论1：A, B,C 三点共线 AP t AB
P
推论2：空间内有一点 O,A、B、P共线 B
OP OA t AB
A
OP xOA yOB(x y 1)
探究
在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）
ABCD A1B1C1D1 中，分别标出 AB AA' AD,
AB AD AA' 表示的向量。
D1
C1
始点相同的三个不共 面向量之和，等于以 这三个向量为棱的平 行六面体的以公共始 点为始点的对角线所 示向量
A1 D
A
B1
C B
扩展
（1）首尾相接的若干向量 A1
l
gl m m nn g
作业：学案
同一个面内的向量。
定理：不共线的向量 a, b，若
Cp
P
p xa yb p, a,b 共面 b
aB
推论1：A, B, C三点不共线，若
AP x AB y AC A, B,C, P 共面
推论2：空间内任意点 O,若 A, B,C, P 共面 O
OP OA x AB y AC
OP xOA yOB zOC(x y z 1)
回顾
平面向量
定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
几何表示法：用有向线段表示。
字母表示法：用字母 a, b 等或者用有向线段的 起点与终点字母 AB 表示。
相等的向量：长度（模）相等且方向相同的向 量。
B
A
a
b
2.平面向量的加减法运算
（1）向量的加法：
b
ab
a
平行四边形法则
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。
（1）当 0 时，a 与向量 a的方向相同。 （2）当 0 时，a 与向量a 的方向相反。 （3）当 0 时，a 是零向量。
a 的长度是 a 的长度的 倍。
向量的数乘运算
分配律：
( )a a a
(a b) a b
结合律：
(a) ()a
之和，等于由起始向量的起
An
An1
点指向末尾向量的终点的量。A2
即：
A3
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量 构成一个封闭图形，则它们 的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积 a
则
叫做向量 的夹角，
记 OA a,OB b, AOB
a,b
作 a,b .
a
（1）范围：0 a,b .
（2） a,b b, a .
b
（3） a,b 0时，向量 a, b 方向相同。
A
a
（4）a,b 时，向量 a,b 方向相反。
（5）a, b
2
时，向量a
b.
Ob B
两个向量的数量积
已知两个非零向量 a,b，则 a b cos a,b 叫做 a,b 的数量积，记作 a b. 即
ab来自百度文库
b
a
三角形法则（首尾相连）
2.平面向量的加减法运算
（2）向量的减法：
a b
b a
减向量终点指向被减向量终点
新课导入
这个建筑钢架中有
很多向量，但它们有 些并不在同一平面内。
概念
1.空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空 间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模。
2.空间向量的的表示
向量a 的起点是A，终点是B，
方向上的投影 b cos 的乘积。
空间向量的数量积满足的运算律
(1)(a) b (a b );
(2)a b b a;
（交换律）
(3)a (b c ) a b a c（. 分配律）
即使训练
下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k ,则 a k
O
即时训练
(1)a / /b, m a b, n 1 a 1 b, m, n 共线吗？ 22
u 1 a 1 b, v 3a 2b,u, v 共线吗？ 23
(2)a / /b, m ka b, n a k 2b, m / /n, k ?
共面向量
共面向量：平行于同一个平面的向量（可平移到
练习
例.如图，已知平行四边 ABCD，过平面AC外一点O 作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、 G、H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证：四点E、F、G、H
共面。
E
O
DC
A
B
H
G
F
空间向量的夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间任取一点O,作
b
③ (a b) c a (b c)
典例
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO, PA 分别是平面 的垂线、斜 线，AO 是 PA在平面 内的射影，l ，且 l OA.
求证： l PA.
P
OO A a
l
典例
例2 已知直线m, n是平面内的两条相交直线, 如果 l m, l n,求证 : l .
则向量 a 也可以记作 AB ，其模记
为 a 或 AB
B
a
A
几类特殊的向量
（1）零向量：长度为0的向量，记为 0 。当有 向线段的起点A与终点B重合时，AB 0 。
（2）单位向量：模为1的向量。
（4）相反向量：与向量 a长度相等而方向相反
的向量。 （5）相等向量：方向相同且模相等的向量。
思考
空间任意两个向量是否可能异面？
结论：空间任意两个向量都是共面的， 所以它们可用同一平面内的两条有向 线段表示
向量的加法和减法运算
C
B
a b
b
ab
O
a
A
OB OA AB a b,
CA OA OC a b.
空间向量的加法运算律
（1）交换律
a b b a,
（2）结合律
(a b) c a (b c).
a b | a || b | cos a,b
注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
特别地，a a a a cos a, a a 2 . 即：a a2 a b ab 0
ab a b
思考
a b 类似平面向量，你能说出 的几何意义吗？
数量积 a b 等于a 的长度 a 与b 在a
共线向量（平行向量）
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平 行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.
定理：a / /b,b 0 a b
推论1：A, B,C 三点共线 AP t AB
P
推论2：空间内有一点 O,A、B、P共线 B
OP OA t AB
A
OP xOA yOB(x y 1)
探究
在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）
ABCD A1B1C1D1 中，分别标出 AB AA' AD,
AB AD AA' 表示的向量。
D1
C1
始点相同的三个不共 面向量之和，等于以 这三个向量为棱的平 行六面体的以公共始 点为始点的对角线所 示向量
A1 D
A
B1
C B
扩展
（1）首尾相接的若干向量 A1
l
gl m m nn g
作业：学案
同一个面内的向量。
定理：不共线的向量 a, b，若
Cp
P
p xa yb p, a,b 共面 b
aB
推论1：A, B, C三点不共线，若
AP x AB y AC A, B,C, P 共面
推论2：空间内任意点 O,若 A, B,C, P 共面 O
OP OA x AB y AC
OP xOA yOB zOC(x y z 1)