空间向量及其运算 PPT课件
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46空间向量及其运算ppt
1→ 1 → D1C1=a+c+ AB=a+c+ b. 2 2 1→ → → → → (2)∵N 是 BC 的中点,∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC 2 1→ 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2
→ → → 1→ → (3)∵M 是 AA1 的中点,∴MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 1 1 1 =- a+a+c+2b= a+ b+c, 2 2 2 → → → 1→ → 又NC1=NC+CC1= BC+AA1 2 1→ → 1 = AD+AA1= c+a, 2 2 1 → → 1 1 ∴MP+NC1=2a+2b+c+a+2c 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2
平行向量 (共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0 与任一向量共线.
常用 e 表示 记作 a b 记作 a b 记作 a ∥b
要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法
平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算
具有大小和方向的量 加法:三角形法则或 平行四边形法则
ab
a
空间向量
具有大小和方向的量
b
b ab
a
a
ka ( k 0)
ka ( k 0)
减法:三角形法则 数乘:ka, k为正数,负数,零
b
a b
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法交换律 a b b a 加法结合律 加法结合律 ( a b ) c a (b c ) (a b ) c a (b c )
若A(, y1 ), B( x2 , y2 ) x1 则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ); | AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 , C ( x , y )是AB的中点,则 x1 x2 x 2 y y1 y2 2
→ → → 1→ → (3)∵M 是 AA1 的中点,∴MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 1 1 1 =- a+a+c+2b= a+ b+c, 2 2 2 → → → 1→ → 又NC1=NC+CC1= BC+AA1 2 1→ → 1 = AD+AA1= c+a, 2 2 1 → → 1 1 ∴MP+NC1=2a+2b+c+a+2c 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2
平行向量 (共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0 与任一向量共线.
常用 e 表示 记作 a b 记作 a b 记作 a ∥b
要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法
平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算
具有大小和方向的量 加法:三角形法则或 平行四边形法则
ab
a
空间向量
具有大小和方向的量
b
b ab
a
a
ka ( k 0)
ka ( k 0)
减法:三角形法则 数乘:ka, k为正数,负数,零
b
a b
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法交换律 a b b a 加法结合律 加法结合律 ( a b ) c a (b c ) (a b ) c a (b c )
若A(, y1 ), B( x2 , y2 ) x1 则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ); | AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 , C ( x , y )是AB的中点,则 x1 x2 x 2 y y1 y2 2
空间向量及其运算 课件
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 : 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__,则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量; (2)共线向量定理:对于空间任意两个向量 a,b(b≠0), a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_=__λ_b____.
【思路探究】 (1)空间向量中,零向量是怎样定义的? (2)怎样判断两个向量相等?(3)四边形 ABCD 满足什么条件
时,才有A→B+A→D=A→C? 【自主解答】 ①正确;②正确,因为A→C与A→1C1的大小
和方向均相同;③|a|=|b|,不能确定其方向,所以 a 与 b 的 方向不能确定;④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时,
2.共面向量 (1)定义:平行于__同__一__个__平__面___的向量叫做共面向量. (2)共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使_p_=__x__a_+__y_b__.
推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对(x,y),使_A→_P__=__x_A→_B_+__y_A→_C__;或对空间任一定点 O,
才有A→B+A→D=A→C.
综上可知,正确命题为①②. 【答案】 ①②
1.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.
2.由于向量是由其模和方向确定的,因此解答空间向 量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决.
3.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任 何向量都共线,这一点说明了共线向量不具备传递性.
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗?怎样证明?
人教课标版《空间向量及其运算》PPT课件1
2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
a
1 2
b
c)
(a
1 c) 2
3 a 1 b 3 c. 222
探究提高 用已知向量来表示未知向量,一定要结 合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
共线
或重合 ,则称这些向量叫做共线向量或平行向量 ,
向量
a平行于b记作
a∥b
共面 向量
平行于同一 平面 的向量叫做共面向量
二、空间向量中的有关定理
定理
内容
定 理
对于空间任意两个向量a,b,a∥b的充
要条件是存在实数λ,使 a=λb (b≠0).
如图所示,点P在l上的充要条
共线 向量
件是:
①其中
定理 推 a叫做直线l的方向向量,t∈R,
三、向量的线性运算 1.空间向量的加法和减法 类似于平面向量,我们可以定义空间向量的加法和 减法运算(如图):
OAOC
D
CO AO
2.空间向量的数乘
实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一个向量,
称为
数乘 .
当λ>0时,λa与a方向 相同
;当λ<0时,
λa与a方向
相反 ;λa的长度是a的长度的|λ|
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点,则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算:
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角:
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行:
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C,对平面 ABC外的任意一点O,若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中,正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中,G为△ABC的重心,OA=a,OB=b, OC=c,试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线,则有
平面的向量参数方程:
A, B,C是不共线的三点,P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y,使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算:
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角:
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行:
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C,对平面 ABC外的任意一点O,若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中,正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中,G为△ABC的重心,OA=a,OB=b, OC=c,试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线,则有
平面的向量参数方程:
A, B,C是不共线的三点,P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y,使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
• 2.直观想象:向量运算的几何意义;
学习重难点
• 重点:理解空间向量的概念
• 难点:掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景,
可以想象在滑翔过程中,飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力,例如绳索
的拉力,风力,重力等,显然这些力不
在同一个平内。
向量.
另外,利用向量加法的交换律和结合律,还可
以得到:有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与,如果=λ (λ∈R),与有什么位置关系?反过来,
究 与有什么位置关系时,=λ?
类似于平面问量共线的充要条件,对任意两个空间向量, (≠0), ∥
联想,用平面向量解决物理问题的方法,能否把平面向量推广
到空间向量,从而利用向量研究滑翔运动员呢?
下面我们类比平面向量,研究空间向量,先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念,给出空间向量的概念.
在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′+ AB +B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ +AB +B′C′ =(AA′ +AB )+B′C′ =
→
→
→
→
→
AB′+B′C′=AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图,E,F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB,CD的中点.
学习重难点
• 重点:理解空间向量的概念
• 难点:掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景,
可以想象在滑翔过程中,飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力,例如绳索
的拉力,风力,重力等,显然这些力不
在同一个平内。
向量.
另外,利用向量加法的交换律和结合律,还可
以得到:有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与,如果=λ (λ∈R),与有什么位置关系?反过来,
究 与有什么位置关系时,=λ?
类似于平面问量共线的充要条件,对任意两个空间向量, (≠0), ∥
联想,用平面向量解决物理问题的方法,能否把平面向量推广
到空间向量,从而利用向量研究滑翔运动员呢?
下面我们类比平面向量,研究空间向量,先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念,给出空间向量的概念.
在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′+ AB +B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ +AB +B′C′ =(AA′ +AB )+B′C′ =
→
→
→
→
→
AB′+B′C′=AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图,E,F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB,CD的中点.
课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版
共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O, 若点 M 满足O→M=1(O→A+O→B+O→C).
3 (1)判断M→A,M→B,M→C三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.
解 (1)由已知O→A+O→B+O→C=3 O→M, ∴O→A -O→M= (O→M -O→B )+(O→M -O→C), 即M→A=B→M+C→M=-M→B-M→C, ∴M→A,M→B,M→C共面. (2)由(1)知,M→A,M→B,M→C共面且基线过同一点 M, ∴四点 M,A,B,C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内.
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示,已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ,点M , N分别是AB,CD 的中点.
在空间中,具有 的量叫做(空1间)向求量,证其大:M小叫N做向量A的B长度;或模(.2)求 MN 的长;
a1= b1,a2= b2,a3= 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线(平行)向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b⇔存
在λ∈R,使 a= b . (2)共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使 p= xa+yb . (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一 向量 p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得 p= xa+yb+zc .
【例3】如图所示,已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ,点 分别是 的中点.
(1)利用数量积解决问题的两种途径:
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
(2)共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使_p_=__x_a_+__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件:存在有序实数对(x,
y), 使A→P=_xA_→_B_+__yA_→C__或对空间任意一点 O,有O→P=O_→_A_+__xA_→_B_+__yA_→_C.
返 首 页
21
4.在三棱锥 A-BCD 中,若△BCD 是正三角形,E 为其中心,则A→B+12B→C -32D→E-A→D化简的结果为________.
0 [延长DE交边BC于
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 D [共四条 AB,A1B1,CD,C1D1.]
返 首 页
20
3.点 C 在线段 AB 上,且|AB|=5,|BC|=3,A→B=λB→C,则 λ= ________.
-53 [因为 C 在线段 AB 上,所以A→B与B→C方向相反,又因|AB| =5,|BC|=3,故 λ=-53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_=__λ_b_.
(4)如图,O 是直线 l 上一点,在直线 l 上取非零向量 a,则对于 直线 l 上任意一点 P,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知, 存在实数 λ,使得O→P=λa.
返 首 页
14
5.共面向量
(1)定义:平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量.
定理及推论的应用.(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
返 首 页
3
情景 导学 探新 知
返 首 页
4
国庆期间,某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江,然后抵达东方明珠(B)游玩,如图 1,游客的实际位移是什 么?可以用什么数学概念来表示这个过程?
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使_p_=__x_a_+__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件:存在有序实数对(x,
y), 使A→P=_xA_→_B_+__yA_→C__或对空间任意一点 O,有O→P=O_→_A_+__xA_→_B_+__yA_→_C.
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21
4.在三棱锥 A-BCD 中,若△BCD 是正三角形,E 为其中心,则A→B+12B→C -32D→E-A→D化简的结果为________.
0 [延长DE交边BC于
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 D [共四条 AB,A1B1,CD,C1D1.]
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20
3.点 C 在线段 AB 上,且|AB|=5,|BC|=3,A→B=λB→C,则 λ= ________.
-53 [因为 C 在线段 AB 上,所以A→B与B→C方向相反,又因|AB| =5,|BC|=3,故 λ=-53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_=__λ_b_.
(4)如图,O 是直线 l 上一点,在直线 l 上取非零向量 a,则对于 直线 l 上任意一点 P,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知, 存在实数 λ,使得O→P=λa.
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14
5.共面向量
(1)定义:平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量.
定理及推论的应用.(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间,某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江,然后抵达东方明珠(B)游玩,如图 1,游客的实际位移是什 么?可以用什么数学概念来表示这个过程?
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算,得到一个标量场,其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况,可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向,向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况,从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度,记作|a|。
向量的模具有以下性质:|a + b| ≤ |a| + |b|,|a - b| ≤ |a| + |b|,|λa| = |λ||a| (λ为实数)。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加,即a + b = b + a(交换律),(λ + μ)a = λa + μa(结合律)。
向量场具有方向性和大小,表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加,得到一个新的向量场,其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘,得 到一个新的向量场,其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中,例如在市场分析和供需关系中,可以使用向量来表示不同因素之间的关系,通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中,例如在生态学和生物力学中,可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用,通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算,得到一个标量场,其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况,可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向,向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况,从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度,记作|a|。
向量的模具有以下性质:|a + b| ≤ |a| + |b|,|a - b| ≤ |a| + |b|,|λa| = |λ||a| (λ为实数)。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加,即a + b = b + a(交换律),(λ + μ)a = λa + μa(结合律)。
向量场具有方向性和大小,表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加,得到一个新的向量场,其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘,得 到一个新的向量场,其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中,例如在市场分析和供需关系中,可以使用向量来表示不同因素之间的关系,通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中,例如在生态学和生物力学中,可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用,通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛:当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛:当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
空间向量的数乘运算 课件
AA1
1 2
(B1A1
B1C1
)
AA1
1 2
(BA
BC)
AA1
1 2
(-AB
AD)
c 1 (-a b) 2
-1 a 1 b c. 22
方法二:BM BA AA1 A1M
-AB
AA1
1 2
(A1B1
A1D1
(AB
AD)
-a c 1 (a b) 2
-1 a 1 b c. 22
而利用p xa y与b a,bp共面则不需要a,b不共线的条件. 向量共面的充要条件是处理向量共面问题的主要依据.
A1A AB
2bca 3
a
2 b c, 3
EF 2所EB以, E,F,B三点共线.
5
类型 三 空间向量共面定理的理解应用 【典型例题】 1.已知A,B,M三点不共线,对于平面ABM外任意一点O, 则(1)、(2)两个条件可以确定点P与点A,B,M一定共面的 是__________.(填序号)
(3)空间向量共面的其他判定方法. 三个非零向量a,b,c,其中无两者共线,那么它们共面的充要条 件是存在三个非零实数l,m,n,使la+mb+nc=0.
类型 一 空间向量的数乘运算 【典型例题】 1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交 点.若 AB a,AD b,AA1 c,则下列向量中与BM相等的向量 是( )
提示:(1)正确.若p=x a+y b,则p与a,b共面是正确的,是由 共面向量基本定理得到的. (2)不正确.当a,b共线,而p与a,b不共线时,p=x a+y b是不 成立的. (3)正确.是共面向量的充要条件. (4)不正确.当 MA,MB共线,而 MP与MA,MB不共线时, MP xMA yMB不成立. 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
人教版必修二4.4.3空间向量及运算课件
矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 课
核 心
C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直
时 限
考
时
向
D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,
基
础 AD,CD 的中点,计算:
知
识
点
方 法 技 能
课
核 心
图 7-6-4
时 限
考
时
向
①E→F·B→A;
检 测
②EG 的长.
菜单
【尝试解答】 设A→B=a,A→C=b,A→D=c,则|a|=|b|=
基 础
|c|=1,
知
识 点
〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
方 法 技 能
E→F=12B→D=12c-12a,
法 技
能
1,1,2).
①a-b 与 a 夹角的余弦值为
;
②若 ka+b 与 a-2b 平行,则 k=
;
核
③若 ka+b 与 a+3b 垂直,则 k=
.
课 时
心
限
考 向
【答案】 ①5147 ②-12 ③175
时 检 测
菜单
(2)(2015·安阳模拟)如图 7-6-4 所示,已知空间四边形
ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,点 E,F,G 分别是 AB,
核
=32b-12c.
课 时
心
限
考 向
∴H→G与 b、c 共面,即 E、F、G、H 四点共面.
时 检
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系.点 E 在 z 轴上,它的 x 坐标、y 坐标均为 0,而 E 为 DD1 的中点,故其坐标为0,0,12.
由 F 作 FM⊥AD,FN⊥DC,垂足分别为 M,N, 由平面几何知识知 FM=12,FN=12, 故 F 点坐标为12,12,0. 点 G 在 y 轴上,其 x、z 轴坐标均为 0,
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时,通常需要设出向量的坐标.例如, 设向量 a=(x,y,z). (2)在有关平行的问题中,通常需要引入参数.例如,已 知 a∥b,则引入参数 λ,有 a=λb,再转化为方程组求解. (3)选择向量的坐标形式,可以达到简化运算的目的.
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1.建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上.
2.已知空间点的坐标、A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标.即―A→B =(x2-x1, y2-y1,z2-z1).
[跟踪训练] 1.(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1,-2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 D1D,BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG=14CD,H 为 C1G 的中点,建立适当的坐标系.
(1)写出 E,F,G,H 的坐标; (2)写出向量―E→F ,―G→H 的坐标.
又 GD=34,故 G 点坐标为0,34,0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K,由于 H 为 C1G 的中点. 故 HK=12,CK=18,∴DK=78, 故 H 点坐标为0,78,12. (2)―E→F =―O→F -―O→E =12,12,-12, ―G→H =―O→H -―O→G =0,18,12.
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 :若点P,A,B,C 共面,设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点,
又N 是BC的中点,
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结:
同学们再见!
授课老师:
时间:2024年9月1日
2024课件
同学们再见!
授课老师:
时间:2024年9月1日
的充要条件是
如图,0是直线1上一点,在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图,如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合,那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线,那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明:设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图,在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中,设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点,试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量:
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 :若点P,A,B,C 共面,设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点,
又N 是BC的中点,
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结:
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的充要条件是
如图,0是直线1上一点,在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图,如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合,那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线,那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明:设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图,在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中,设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点,试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量:
空间向量及其线性运算ppt课件
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 MA AB BN
23
1 2
OA
2 3
1 2
OA
OB
OA
1 2
BC
1 2
OA
2 3
OB
1 2
OA
1 2
OC OB
1 OA 1 OB 1 OC 633
1 6
a+
13b+
1
c3
学习目标
新课讲授
课堂总结
技巧归纳 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接; (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算 时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移 获得运算结果.
B b A
AQ M
a
O
λa(λ<0)
PN
λa(λ>0)
学习目标
新课讲授
课堂总结
运算律的类比(其中λ,μ∈R):
平面向量
空间向量
交换律
a+b=b+a
a+b=b+a
结合律 分配律
(a+b)+c = a(+b+c) , (a+b)+c =a(+b+c) ,
λ(μa) = (λμ)a
λ(μa) = (λμ)a
学习目标
新课讲授
课堂总结
利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用向量的三角形 法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量; (2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质.
学习目标
新课讲授
课堂总结
高中数学选择性必修一(人教版)《1.1.1空间向量及其线性运算》课件
(1)两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定, 即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分 条件;
(2)熟练掌握好空间向量的概念,零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键;
(3)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素: 大小和方向,两者缺一不可,相互制约.
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定.
3.空间向量共面的充要条件 (1)共面向量:平行于 同一个平面的向量,叫做共面向量. (2)空间向量共面的充要条件:向量 p 与不共线向量 a,b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x,y),使 p=x_a_+__y_b_.
(二)基本知能小试 1.判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线,根据向量共面的充要条件可知―M→N ,
―C→D ,―D→E 共面.
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合,即若 p=xa+yb,则向量 p,a,b 共面.
3.化简:5(3a-2b)+4(2b-3a)=________.
答案:3a-2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1.空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在 实数 λ,使__a_=__λ_b__.
2.直线的方向向量 (1)如图,O 是直线 l 上一点,在直线 l 上取非零向量 a,则 对于直线 l 上的任意一点 P,由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知,存在实数 λ,使得―O→P =λa,把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量.
(2)熟练掌握好空间向量的概念,零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键;
(3)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素: 大小和方向,两者缺一不可,相互制约.
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定.
3.空间向量共面的充要条件 (1)共面向量:平行于 同一个平面的向量,叫做共面向量. (2)空间向量共面的充要条件:向量 p 与不共线向量 a,b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x,y),使 p=x_a_+__y_b_.
(二)基本知能小试 1.判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线,根据向量共面的充要条件可知―M→N ,
―C→D ,―D→E 共面.
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合,即若 p=xa+yb,则向量 p,a,b 共面.
3.化简:5(3a-2b)+4(2b-3a)=________.
答案:3a-2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1.空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在 实数 λ,使__a_=__λ_b__.
2.直线的方向向量 (1)如图,O 是直线 l 上一点,在直线 l 上取非零向量 a,则 对于直线 l 上的任意一点 P,由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知,存在实数 λ,使得―O→P =λa,把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量.
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b
③ (a b) c a (b c)
典例
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO, PA 分别是平面 的垂线、斜 线,AO 是 PA在平面 内的射影,l ,且 l OA.
求证: l PA.
P
OO A a
l
典例
例2 已知直线m, n是平面内的两条相交直线, 如果 l m, l n,求证 : l .
a b | a || b | cos a,b
注:①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
特别地,a a a a cos a, a a 2 . 即:a a2 a b ab 0
ab a b
思考
a b 类似平面向量,你能说出 的几何意义吗?
数量积 a b 等于a 的长度 a 与b 在a
结论:空间任意两个向量都是共面的, 所以它们可用同一平面内的两条有向 线段表示
向量的加法和减法运算
C
B
a b
b
ab
O
a
A
OB OA AB a b,
CA OA OC a b.
空间向量的加法运算律
(1)交换律
a b b a,
(2)结合律
(a b) c a (b c).
练习
例.如图,已知平行四边 ABCD,过平面AC外一点O 作射线OA、OB、OC、OD, 在四条射线上分别取点E、F、 G、H,并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证:四点E、F、G、H
共面。
E
O
DC
A
B
H
G
F
空间向量的夹角
已知两个非零向量 a,b ,在空间任取一点O,作
同一个面内的向量。
定理:不共线的向量 a, b,若
Cp
P
p xa yb p, a,b 共面 b
aB
推论1:A, B, C三点不共线,若
AP x AB y AC A, B,C, P 共面
推论2:空间内任意点 O,若 A, B,C, P 共面 O
OP OA x AB y AC
OP xOA yOB zOC(x y z 1)
则
叫做向量 的夹角,
记 OA a,OB b, AOB
a,b
作 a,b .
a
(1)范围:0 a,b .
(2) a,b b, a .
b
(3) a,b 0时,向量 a, b 方向相同。
AHale Waihona Puke a(4)a,b 时,向量 a,b 方向相反。
(5)a, b
2
时,向量a
b.
Ob B
两个向量的数量积
已知两个非零向量 a,b,则 a b cos a,b 叫做 a,b 的数量积,记作 a b. 即
之和,等于由起始向量的起
An
An1
点指向末尾向量的终点的量。A2
即:
A3
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
(2)首尾相接的若干向量 构成一个封闭图形,则它们 的和为零向量.即:
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
空间向量的数乘运算
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积 a
方向上的投影 b cos 的乘积。
空间向量的数量积满足的运算律
(1)(a) b (a b );
(2)a b b a;
(交换律)
(3)a (b c ) a b a c(. 分配律)
即使训练
下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k ,则 a k
仍然是一个向量,称为向量的数乘运算。
(1)当 0 时,a 与向量 a的方向相同。 (2)当 0 时,a 与向量a 的方向相反。 (3)当 0 时,a 是零向量。
a 的长度是 a 的长度的 倍。
向量的数乘运算
分配律:
( )a a a
(a b) a b
结合律:
(a) ()a
ab
b
a
三角形法则(首尾相连)
2.平面向量的加减法运算
(2)向量的减法:
a b
b a
减向量终点指向被减向量终点
新课导入
这个建筑钢架中有
很多向量,但它们有 些并不在同一平面内。
概念
1.空间向量
在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空 间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模。
2.空间向量的的表示
向量a 的起点是A,终点是B,
l
gl m m nn g
作业:学案
则向量 a 也可以记作 AB ,其模记
为 a 或 AB
B
a
A
几类特殊的向量
(1)零向量:长度为0的向量,记为 0 。当有 向线段的起点A与终点B重合时,AB 0 。
(2)单位向量:模为1的向量。
(4)相反向量:与向量 a长度相等而方向相反
的向量。 (5)相等向量:方向相同且模相等的向量。
思考
空间任意两个向量是否可能异面?
共线向量(平行向量)
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平 行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.
定理:a / /b,b 0 a b
推论1:A, B,C 三点共线 AP t AB
P
推论2:空间内有一点 O,A、B、P共线 B
OP OA t AB
A
OP xOA yOB(x y 1)
探究
在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)
ABCD A1B1C1D1 中,分别标出 AB AA' AD,
AB AD AA' 表示的向量。
D1
C1
始点相同的三个不共 面向量之和,等于以 这三个向量为棱的平 行六面体的以公共始 点为始点的对角线所 示向量
A1 D
A
B1
C B
扩展
(1)首尾相接的若干向量 A1
O
即时训练
(1)a / /b, m a b, n 1 a 1 b, m, n 共线吗? 22
u 1 a 1 b, v 3a 2b,u, v 共线吗? 23
(2)a / /b, m ka b, n a k 2b, m / /n, k ?
共面向量
共面向量:平行于同一个平面的向量(可平移到
3.1 空间向量及其运算
回顾
平面向量
定义:既有大小又有方向的量叫做向量。
几何表示法:用有向线段表示。
字母表示法:用字母 a, b 等或者用有向线段的 起点与终点字母 AB 表示。
相等的向量:长度(模)相等且方向相同的向 量。
B
A
a
b
2.平面向量的加减法运算
(1)向量的加法:
b
ab
a
平行四边形法则