1 中点弦问题点差法

圆锥曲线常规题型方法归纳与总结

①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题

圆锥曲线的中点弦问题－--－－-点差法

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

解题策略:具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法）:若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。

如：(1）)0(122

22>>=+b a b

y a x 与直线相交于A 、B,设弦AB 中点为M(x 0，ｙ0)，则有 02020=+k b

y a x 。 （2）)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 与直线l 相交于Ａ、Ｂ，设弦AB 中点为M(ｘ0,y 0)则有

02

020=-k b y a x （３)y ２

=2ｐｘ（p>０）与直线ｌ相交于A 、Ｂ设弦A Ｂ中点为M(x 0,ｙ0），则有2y ０k=2p ，即y ０k=p.

一、求以定点为中点的弦所在直线的方程

例１、过椭圆14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

解:设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B

)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y

又A 、B 两点在椭圆上,则1642121=+y x ,1642

222=+y x

两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x

于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2

1244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2

11--=-x y ,即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12

2

2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ,使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程,若不存在,说明理由。 策略:这是一道探索性习题,一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的

条件。本题属于中点弦问题,应考虑点差法或韦达定理。

解:设存在被点M 平分的弦AB ,且),(11y x A 、),(22y x B

则221=+x x ,221=+y y

122121=-y x ，122

222=-y x 两式相减,得

0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22

121

=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩

⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ﻩ08324)4(2<-=⨯⨯--=∆

这说明直线AB 与双曲线不相交,故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察,将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1)若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在;(2)若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

二. 求弦的中点坐标、弦中点轨迹

例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为这条弦的中点M ,求点M 的坐标。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则210=x

12021==+x x x ， 0212y y y =+

又 125752121=+x y ，125752

2

22

=+x y

两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y

即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0

212

123y x x y y -=--

32121=--=x x y y k ∴ 3230

=-y ,即21

0-=y

∴点M 的坐标为)21

,21

(-。

例4、已知椭圆125752

2=+x y ,求它的斜率为３的弦中点的轨迹方程。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ,弦PQ 的中点),(y x M ,则

x x x 221=+, y y y 221=+

又 125752121=+x y ，125752

2

22=+x y

两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y

即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即y

x

x x y y 32121

-=--

3212

1=--=x x y y k ∴33=-y

x ,即0=+y x

由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+125

75022x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内

∴它的斜率为３的弦中点的轨迹方程为)2

35235(0<<-

=+x y x 三.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为2

1,求椭圆的方程。 解:设椭圆的方程为122

22=+b

x a y ,则5022=-b a ┅┅① 设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ,弦PQ 的中点),(00y x M ,则

210=x ，2

12300-=-=x y ∴12021==+x x x ,12021-==+y y y 又1221221

=+b x a y ,1222222

=+b

x a y 两式相减得0))(())((21212

21212=-++-+x x x x a y y y y b

即0)()(212212=-+--x x a y y b ∴ 22

2121b

a x x y y =-- ∴ 322=

b a ┅┅② 联立①②解得752=a ,252

=b ∴所求椭圆的方程是125

752

2=+x y 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例6、已知椭圆13

42

2=+y x ,试确定的m 取值范围,使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦21P P