六年级奥数圆柱与圆锥体积
小学数学六年级从课本到奥数举一反三第四周圆柱和圆锥(二)第2节圆柱的表面积和体积
4. 一个圆柱体的高是10厘米，若高减少3厘米，侧表面积比原来 减少94.2平方厘米，求原来圆柱体的体积。
答案
小学数学六年级第二学期
5.一个圆柱形水桶的侧面积是它的一个底面积的3倍，已知水桶的 底面半径是2分米，这个水桶能装多少升水？
答案
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解析： 底面积：3.14×2×2 =3.14×4 =12.56（平方分米） 侧面积：12.56×3=37.68（平方分米） 圆柱的高：37.68÷（2×3.14×2） =37.68÷12.56 =3（分米） 容积：12.56×3=37.68（立方分米37.68（升） 答：这个水桶能装37.68升．
思路点拨： 圆柱体若被锯掉8厘米后，表面积减少了 251.2平方厘米，可以知道图中阴影部分的侧 面积为251.2平方厘米，所以，我们可以先求 出圆柱体的底面周长，再求出它的体积， 251.2 ÷8=31.4（厘米）
3.14 ×（31.4 ÷ 3.14 ÷ 2）2 ×20=1570（立方厘米）
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小学数学六年级第二学期
小学数学 从课本到奥数
六年级第二学期
小学数学六年级第二学期
第四单元 圆柱和圆锥（二）
小学数学六年级第二学期
2.圆柱的表面积 和体积（二）
【题型概述】
根据圆柱体底面、侧面和表面积的特征，以及它们之间的 关系可以解决一些求体积的趣题，下面，我们就开始学习这方 面的知识。
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点评：解答此题的关键是知道圆柱的侧面展开图正方形与圆柱的 关系，由此再灵活利用相应的公式解决问题．
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2.一个圆柱体的侧面展开是一个正方形，圆柱的底面半径是10厘米， 这个圆柱体的体积是多少立方厘米？
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板块一 圆柱与圆锥【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【例 3】 (希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)例题精讲圆柱与圆锥|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲第页2【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【例 6】一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm．(π取3.14)第2题【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3=)【例 7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲第页4【例 9】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【例 10】一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)(单位：厘米)【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【巩固】一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页6 5cm【例 11】 (希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．【例 12】 有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A 盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A 盒注满水，把A 盒的水倒入B 盒，使B 盒也注满水，问A 盒余下的水是多少立方厘米？【例 13】 兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【例 14】 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【例 15】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【例16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？【例17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲第页8【例18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【巩固】有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？【例19】一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【例20】如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【例21】一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？【例22】(”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．【例23】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【例 24】张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【例 25】(仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页10【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【巩固】如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【例 26】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．11板块二 旋转问题【例 27】 如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)CBA 43【例 28】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？AB C 【例 29】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页12A BA B【巩固】(华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10c m AB =，对角线AC 、BD 相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？B【例 30】 如图，从正方形ABCD 上截去长方形DEFG ，其中AB=1厘米，DE=12厘米，DG=13厘米。
六年级数学圆柱圆锥应用题奥数题拓展难题带答案
六年级数学圆柱圆锥应用题奥数题拓展难题带答案这个圆柱体的表面积可以分为底面和侧面两部分。
底面的面积为圆的面积，用半径为3厘米计算，即3.14×3×3=28.26平方厘米。
侧面的面积可以看成是长方形的面积，长为圆周长，即18.84厘米，宽为圆柱的高，即4厘米，所以侧面的面积为18.84×4=75.36平方厘米。
因此，这个圆柱体的表面积为28.26+75.36=103.62平方厘米。
4、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方厘米。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。
问：瓶内现有饮料多少立方厘米？首先计算瓶子的底面积，即圆的面积，用半径计算，假设瓶子的半径为r，那么底面积为3.14×r×r。
由于瓶子的容积为30立方厘米，而正放时饮料高度为20厘米，所以正放时瓶子中的饮料体积为底面积乘以高度，即3.14×r×r×20.同样的，倒放时瓶子中的饮料体积为3.14×r×r×5.因此，瓶内现有饮料的体积为30-3.14×r×r×20或30-3.14×r×r×5，具体取决于瓶子是正放还是倒放。
5、一个圆柱形的玻璃杯盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧底面积是72平方厘米，在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？首先计算玻璃杯的底面积，即圆的面积，用半径计算，假设玻璃杯的半径为r，那么底面积为3.14×r×r。
由于水面高度为2.5厘米，所以水的体积为底面积乘以水面高度，即3.14×r×r×2.5.放进正方体铁块后，水的体积减少了，但玻璃杯的容积不变，所以铁块的体积就等于水的减少量。
正方体铁块的体积为6×6×6=216立方厘米，所以水的减少量也为216立方厘米。
小学六年级圆柱与圆锥的体积奥数知识汇编
圆柱与圆锥的体积奥数知识汇编一、知识、规律、方法 （一) 一个矩形，以它的一条边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆柱，或者说它是由一个圆筒形的曲面和两个一样大的圆面围成的几何图形。
（二） 如果用r 表示底面圆的半径，h 表示高，那么圆柱的体积公式为:2V r h π=。
（三)一个直角三角形，以它的一条直角边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆锥。
（四)如果用r 表示底面圆的半径，h 表示高,那么圆锥的体积公式：213V r h π=。
二、在实际应用中，底面积或高有时是隐含着的,要先通过分析推理得出之后，再来求体积。
有些体积没变，但形状变了，要巧秒地利用等积变形的特征,抓住形体的特征进行计算.范例、解析、拓展例1、 如图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分恰好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积。
24.84分米拓展一、一个圆柱的高10分米，它的侧面展开，得到一个长25.12分米的长方形.这个油桶能装油多少升？拓展二、从半径为10厘米的圆柱形钢材上截下一段，锻造成长为40厘米、宽30厘米、高15厘米的长方体，应截圆钢长多少厘米?拓展三、在一个高为8厘米、容积为50毫升的圆柱形容器A 里面装满了水。
现把长16厘米的圆柱B 垂直放入，使B 的底面与A 的底面接触，这时一部分水从容器中溢出,当把B 从A 中拿起后，A 中的水高度为6厘米，求圆柱体B 的体积.拓展四、某工厂原来用长4米、宽1米的铁皮（如图a ）围成没有底和顶的正方体形状的产品存放处(底和顶用别的材料）（如图b )，恰好够存一周的产品，现在产量增加了27%，能够还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品吗？1米1米1米1米4米(a)(b)拓展五、一个圆柱体的高是10厘米(如图)，若减少3厘米，则表面积比原来减少94。
2平方厘米，原来圆柱体的体积是多少平方厘米?3例2、一张扇形薄铁皮,弧长18。
84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥,求圆锥的容积(接缝处忽略不计). 拓展一、如下图(1)，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水?1—2h h1—2rr(1)(2)拓展二、把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积为40立方厘米，问原来圆柱的体积是多少？拓展三、在仓库的一角有一堆稻谷，呈四分之一圆锥形（如下图），经测量底面弧长2.4米，圆锥高为1。
小升初奥数圆柱和圆锥体积资料讲解-2023年学习资料
例6.在一个底面直径是40厘米的-圆柱形盛水缸里，有一个直径-是 0厘米的圆推形铸件完全浸-0.5厘米-于水中，取出铸件后，缸里的 水下降0.5厘米，求铸件的高？-d=40厘米
解答-R=40÷2=20厘米，r=10÷2=5厘米-S柱=20× 0×3.14=1256（平方厘米-S锥=5×5×3.14=78. （平方厘米）-V锥=1256×0.5=628（立方厘米）-h锥= 28×3÷78.5=24（厘米-答：铸件的高是24厘米·-牛
第二讲圆柱和圆锥--体积
体积公式ห้องสมุดไป่ตู้导-底面积-高-牛N
圆柱体积公式-长方体的体积=底面积×高-圆柱体的体积=底面积×高 牛
圆锥体积公式-牛小升初奥数圆柱和圆锥体积资料讲解
圆锥体积公式-结论：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体-积的三分 一-V柱=Sh-V锥=Sh÷3-号尚N
典型例题精讲-例1.一个圆柱体的体积是50.24-立方厘米，底面 径是2厘米-。将它的底面平均分成若干-个扇形后，再截开拼成一个它等底等高的长方体，表-面积增加了多少平方厘米？-等N
课后作业-如图，在一个正方体的前后面和侧面的中心-各打通一个长方 的洞，在上下底面的中心-打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10 厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方-形，上下底面的洞口是直径 4厘米的圆，-求此立体图形的表面积和体积-号
证你学入金迟：-thank-牛尚N
解答-S底=2×2×3.14=12.56（平方厘米-h高=50. 4÷12.56=4（厘米）-S增加=4×2×2=16（平方厘米K根尔一-答：表面积增加了16平方厘米。-牛尚N
例2.在一个圆柱形水桶里放入一-个半径为5厘米的圆柱形钢块·-如 把钢块浸没在水中，桶里-的水面就会上升9厘米；如果沿-竖直方向把 没在水中的钢块-提起8厘米，桶里的水面就会下-降4厘米。求圆柱形 块的体积-牛
圆柱与圆锥(奥数)
圆柱与圆锥(奥数)一、圆柱与圆锥1．求圆柱的表面积和圆锥的体积。
（1）（2）【答案】（1）解：2×3.14×3×4+2×3.14×32=103.62（cm2）（2）解：【解析】【分析】（1）圆柱的表面积=圆柱的底面积×2+圆柱的侧面积，圆柱的底面积=πr2，圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×高，圆柱的底面周长=2πr；（2）圆锥的体积=πr2h。
2．将一根底面直径是20厘米，长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半。
每半块木头的表面积和体积是多少?【答案】解：1米=100厘米，表面积：3.14×（20÷2）2+[3.14×20×100]÷2+20×100=5454（平方厘米）体积：3.14×（20÷2）2×100÷2=15700（立方厘米）答：每半块木头的表面积是5454平方厘米，体积是15700立方厘米。
【解析】【分析】根据题意，劈开的每半块木头的表面积是原来木头的表面积的一半增加了一个切面的面积，据此代入公式解答即可；劈开的每半块木头的体积是原来木头的体积的一半，据此代入公式解答即可；圆柱表面积S=2×底面积+侧面积=2×3.14×r2+3.14×d×h；截面面积S=dh；体积V=3.14×r2×h。
3．如下图，已知圆锥底面周长是18.84dm，求圆锥的体积。
【答案】解：18.84÷3.14÷2=3（dm）3.14×3²×5×=3.14×15=47.1（dm²）【解析】【分析】用底面周长除以3.14再除以2求出底面半径，然后用底面积乘高再乘求出体积。
4．一种圆柱形状的铁皮油桶，量得底面直径8dm，高5dm．做一个这样的铁皮油桶至少需多少平方米铁皮？（铁皮厚度不计，结果保留整数）【答案】解：8dm＝0.8m5dm＝0.5m0.8÷2＝0.4（m）3.14×0.8×0.5+3.14×0.42×2＝1.256+3.14×0.16×2＝1.256+1.0048＝2.2608（平方米）≈3（平方米）答：做一个这样的铁皮油桶至少需3平方米铁皮。
六年级圆柱圆锥几何题奥数题拓展难题
六年级圆柱圆锥几何题奥数题拓展难题问题1已知一个圆柱的底面半径为4 cm，高度为10 cm，求圆柱的体积。
解答：圆柱的体积可以通过以下公式计算：V = 底面积 ×高度底面积可以通过以下公式计算：底面积= π × 半径的平方代入已知值，可以得到：底面积= π × 4^2 = 16π（cm^2）圆柱的体积= 16π × 10 = 160π（cm^3）所以，圆柱的体积为160π立方厘米。
问题2已知一个圆锥的底面半径为5 cm，高度为12 cm，求圆锥的体积。
解答：圆锥的体积可以通过以下公式计算：V = 1/3 ×底面积 ×高度底面积可以通过以下公式计算：底面积= π × 半径的平方代入已知值，可以得到：底面积= π × 5^2 = 25π（cm^2）圆锥的体积= 1/3 × 25π × 12 = 100π（cm^3）所以，圆锥的体积为100π立方厘米。
问题3已知一个圆柱的体积为300π立方厘米，底面半径为6 cm，求圆柱的高度。
解答：圆柱的体积可以通过以下公式计算：V = 底面积 ×高度底面积可以通过以下公式计算：底面积= π × 半径的平方代入已知值，可以得到：300π = π × 6^2 × 高度高度= 300π / (π × 6^2) = 300 / 36 = 25/3 ≈ 8.33 cm所以，圆柱的高度约为8.33厘米。
问题4已知一个圆锥的体积为500π立方厘米，底面半径为8 cm，求圆锥的高度。
解答：圆锥的体积可以通过以下公式计算：V = 1/3 ×底面积 ×高度底面积可以通过以下公式计算：底面积= π × 半径的平方代入已知值，可以得到：500π = 1/3 × π × 8^2 ×高度高度= 500π / (1/3 × π × 8^2) = 500 / (1/3 × 8^2) = 500 / (1/3 ×64) = 500 / (64/3) ≈ 23.44 cm所以，圆锥的高度约为23.44厘米。
六年级奥数_圆柱和圆锥
圆柱和圆锥一个矩形，以它的一条边为轴旋转一周生成的几何体叫做圆柱。
或者说它由一个圆筒形的曲面和两个一样大的圆面围成的几何图形。
这个圆筒形的曲面叫做它的侧面，这两个圆面叫做它的底。
把圆柱的侧面展开，得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，这个长方形的宽等于圆柱的高。
如果用r表示底面圆的半径，h表示高，那么：圆柱侧面积是：S侧＝2πrh或S侧=πd h圆柱表面积是：S表＝2πrh＋2πr2圆柱的体积是：V体＝πr2h一个直角三角形，以它的一条直角边为轴旋转一周生成的几何体叫做圆锥。
直角三角形斜边旋转生成的曲面叫做圆锥的侧面，另一条直角边旋转生成的圆面叫做圆锥的底面。
从圆锥的顶点到底面圆心的线段的长是圆锥的高。
圆锥的侧面展开是一个扇形，这个扇形的半径长等于生成圆锥的直角三角形的斜边长，扇形的弧长就是圆锥底面周长。
如果用r表示底面圆的半径，l表示母线（三角形的斜边）长，h 表示高，那么：圆锥侧面积是：S侧＝πrl圆锥表面积是：S表＝πrl+πr21πr2h圆锥体积是：V体＝3例1：有一张长方形铁皮如图所示，剪下阴影部分制成圆柱体（单位：分米），求这个圆柱体的表面积。
（提示：圆桶盖的周长等于长方形铁皮的长）例2：一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积将增加25.12平方厘米。
求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？例3：如图（单位：厘米），以粗线为轴，沿箭头方向旋转一周，试求所形成的立体的体积。
例4：如图，一张扇形薄铁片，弧长18.84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥，试求圆锥的容积（接缝处忽略不计）。
例5：如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？例6：有两个圆柱形的油桶，形体相似（即底面积半径与高的比值相同），尺寸如图。
两个油桶都装满了油，若小的一个装了2千克油，那么大的一个装了多少千克油？例7：如图，上面是个半圆柱，下半部是一个长方体，它的表面积和体积各是多少厘米？例8：要做一个形如图所示的零件，请问它的体积是多少立方厘米？（14π）.3=。
六年级数学圆柱圆锥应用题奥数题拓展难题带答案
圆柱与圆锥1、如下图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？2、如下图，一张扇形薄铁片，弧长18.84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥，试求圆锥的容积（接缝处忽略不计）。
3、有一张长方形铁皮如图所示，剪下阴影部分制成圆柱体（单位：分米），求这个圆柱体的表面积。
（提示：圆桶盖的周长等于长方形铁皮的长）4、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米³。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。
问：瓶内现有饮料多少立方分米？5、一个圆柱形的玻璃杯盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧底面积是72平方厘米，在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？h12h6、用铁皮做一个如下图所示的通风工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？7、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？8、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积是216立方分米。
求这个圆锥体的体积。
9、如下图所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。
求这个物体的表面积。
10、在一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱体玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高20cm的一个圆锥体铅锤。
当铅锤从水中取出后，杯中的水将下降几cm？（π＝3.14）答案1、如下图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？半径比＝1:2 底面积比＝1:4高之比＝12h ：h ＝1:2 体积之比＝1:8 5×（8-1）＝35（升）答：这个容器还能装35升水。
2、如下图，一张扇形薄铁片，弧长18.84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥，试求圆锥的容积（接缝处忽略不计）。
六年级奥数表面积与体积(含圆柱、圆锥)答案
第28周表面积与体积（二）例题1：有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。
如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。
两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。
把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是0.7立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。
3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）答：大水池的水面升高了1又17/18厘米。
练习1：1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？3、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。
如果铁块是全部沉入水中，排开水的体积是8×8×15=960（立方厘米）。
而现在瓶中水深是8厘米，要淹没15厘米高的铁块，水面就要上升15—8=7（厘米），需要排开水的体积是（3.14×10×10—8×8）×7=1750（立方厘米），可知铁块是部分在水中。
【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第二讲 圆柱与圆锥(一) 人教版(含答案)
第二讲圆柱与圆锥（一）第一部分：趣味数学旋转杂技表演“咚咚哐、咚咚哐，”随着阵阵锣鼓声,几何城中在进行晚会。
在高大的舞台上,竖立着一根根又高又大的柱子,柱子旁边有各种各样的图形“各位观众,你们好!”主持小姐走到舞台前,用清脆的声音向大家说,“旋转杂技表演现在开始!”话音刚落,在舞台的中央,排出了一列被隐藏了半边的图形:怎么全是半个图形呀?”有的观众议论。
“咚咚哐!”又一阵锣鼓声响,随着动听的音乐,舞台上的半个图形,全部都旋转起来奇迹出现了,原来,台上的半个图形,一旋转,就变成了美丽的立体图了:“真好看啊!”大家情不自禁地鼓起掌来“你们看,长方形绕它的一条边旋转周,就成为圆柱了。
”“直角三角形绕一条直角边旋转一周,就形成了圆锥!”“哈哈!旋转杂技真有趣啊!”“圆的一半以直径为轴旋转一周就成球形了。
”“还有花瓶啊，”大家边议论边欣赏,台上台下一片欢腾。
第二部分：习题精讲例题1：一个圆柱体底面周长和高相等。
如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积。
分析：一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长。
根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用上图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．解：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）．侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米）两个底面积（取π＝3.14）：表面积：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米．练习1：一个圆柱体,高减少3厘米,表面积就减少37.68平方厘米,那么这个圆柱面积是多少？2.圆柱形的售报亭的高和底面直径相等,如图所示,开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几?3.如图所示,从棱长为10的立方体(正方体)中挖去一个底面半径为2，高为10的圆柱体后,得到的几何体的表面积和体积各是多少?(x取3)例题2：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米。
苏教版六年级数学下册奥数培优 第3讲 圆柱和圆锥 (圆柱和圆锥的体积)
苏教版六年级数学下册第3讲圆柱和圆锥（圆柱、圆锥的体积）知识概述这一讲，我们研究圆柱、圆锥的体积的计算问题。
圆柱的体积等于底面积乘高，圆锥的体积等于底面积乘高再乘三分之一;圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，反过来，圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥体积的三倍。
通过研究，进一步提高空间想象能力和解决实际问题的能力。
例1、圆柱的底面周长为18.84分米，高为5分米，体积是多少立方分米?练习：1、一个圆柱体底面半径是2分米，侧面积是62.8平方分米，这个圆柱体的体积是多少立方分米?2、一个圆锥形石子堆，底面周长为25.12米，高为3米，每立方米石子重2吨，如果用一辆载重为4吨的汽车运，要运多少次才能运完?3、一个圆锥形沙堆高7.2米，底面周长是31.4米，每立方米沙重1.5吨，现如果用去这堆沙的60％，还剩多少吨沙?例2、一个圆柱体的体积是502.4立方厘米，底面直径是8厘米，圆柱的高是多少?练习：1、挖一个底面直径是4米的圆柱形蓄水池，要使其能装下56.52立方米的水，应该挖几米深?2、一个圆柱形水桶的体积是24立方分米，底面积是7.5平方分米，里面装了25％的水，水面高多少分米?3、一个圆锥体积是5.024立方米，底面周长是12.56米，这个圆锥的高是多少米?例3、一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知它们的体积差是30立方分米，求圆柱和圆锥的体积。
练习：1、一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱和圆锥的体积相差6立方厘米，圆柱和圆锥的体积各是多少立方厘米?2、有两个底面积相等的圆柱，一个高6分米，体积是48立方分米。
另一个圆柱的高为8分米，体积是多少?3、一个圆锥的高是另一个圆锥的高的2倍，底面圆的半径也是另一个圆锥底面半径的2倍，它的体积是另一个圆锥的体积的几倍?例4、李华要造一个直径是4厘米，长2分米的圆柱形零件毛坏，应截取直径为8厘米的圆倒多长?练习；1、锻造厂要锻造一个直径为60毫米，高20毫米的圆柱体零件毛坯，要截取直径为40毫米的圆倒多长?2、一个圆锥形麦堆，底面周长25.12米，高3米，把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤正好装满，这个圆柱形粮囤的高是多少米?3、将一块底面积为5平方分米、高6分米的长方体铁块熔铸成底面积为8平方分米的圆锥，圆锥的高是多少分米?课后练习1、圆柱形煤油桶底面直径6分米，高12分米，内装煤油的体积占桶的容积的34，桶内有煤油( )升2、圆锥的底面周长为18.84分米，高为5分米，它的底面积是（ ）平方分米，体积是( )立方分米。
小学数学圆柱圆锥体积六年级小升初讲课上课PPT教学课件
准备工作
圆柱圆锥体积（笔记）
☆思路：找r/h，保留π计算更简单！
☆难点：隐藏r或h
☆技巧： ①画图标字母，判断与已知长度的倍数关系！ ②画“十字”找r/h；
例7：用一张长12.56厘米，宽6.28厘米的长方形硬纸板，小明横着 卷成一个圆柱，小华竖着也卷成一个圆柱，哪个圆柱体体积大？大 多少？
练：一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，以长为轴旋转一周，形 成的圆柱体的体积是多少立方厘米？
拓：一个直角三角形，两条直角边分别是6厘米和9厘米，沿一条直 角边旋转一周后，得到一个圆锥体，求圆锥体的体积是多少？
例8：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，已知它的容积为 400毫升。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时， 空余部分的高为2厘米。问：瓶内酒精的体积是多少毫升。
例5：下图，把圆柱切开拼成一个长方体，已知长方体的长是3.14米， 高是2米。这个圆柱体的体积是多少？
练：把一个圆柱底面平均分成若干个扇形，沿高切开拼成一个近似 长方体，这个长方体的长是6.28厘米，高是5厘米，求它的体积。
拓：把一个圆柱体的底面平均分成若干个扇形，然后沿高切开拼成 一个近似的长方体，表面积比原来增加了200平方厘米，已知这个 圆柱的高是20厘米，则这个圆柱原来的体积是多少？
圆柱圆锥之体积
六年级下册数学
：**老师
体积公式推导
沿着高把圆柱 切开再拼起来
体积相等
体积公式推导
判断：
圆柱的体积等于圆锥体积的3倍。 （
）
例1：一个圆柱和与它等底等高的圆锥的体积之和是24立方分米。 圆柱和圆锥的体积分别是多少？
练：一个圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积少6.28立方厘米, 那么,这个圆柱的体积是多少立方厘米？
小学奥数精讲第二讲 圆柱与圆锥知识讲解
方厘米)．所以表面积为：144 24 168 (平方厘米)．
3.一个圆锥的底面周长是 18 厘米，高是 5 厘米，它的体积为______立方厘米.（π 取 3） 【答案】45
\2/
8. 如图，从棱长为 10 的立方体中挖去一个底面半径为 2，高为 10 的圆柱体后，得到的几何体的表 面积是______，体积是______．（π 取 3）
【答案】 696 ， 880 【解析】表面积为 6 10 10 2 2 310 3 22 2=696 ，体积为10 10 10 3 22 10=880 .
油
水
【答案】7 【解析】铁块被放入以后，“水层”的底面积变成了 128 平方厘米，“水层”高度变成了 9 厘米，说明 9 厘米高的铁块没入水中，3 厘米高的铁块浸入油中．“油层”增加的体积是 3 8 8 192 立方厘米， 增加的高度是192 16 12 1厘米．因此“油层”的高度是 7 厘米．
2
2 4
4
去年粮囤底面积是
22
，高是 1． ( 32
22 2) (
1) 4.5. 因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的 4.5
4
4
4
倍．
12. 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是______ 立方厘 米．( π 取 3.14 )
10 6
8
4 (单位：厘米)
【答案】100.48 【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出， 瓶中的水构成高为 6 厘米的圆柱，空气部分构成高为10 8 2 厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分 之和，所以瓶子的容积为： π (4)2 (6 2) 3.14 32 100.48 (立方厘米)．
六年级奥数教程-第19讲 圆柱和圆锥的体积 通用版
【六年级奥数教程】第19讲 圆柱和圆锥的体积圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×．一些单纯的求体积的题，一般难13度不大．另一些如长度、面积和体积相结合的题，变体的体积等会有一定难度，解题时的关键是用模型、画图想象的方法确定空间图形，建立对应量之间的联系.例1 (1)一个圆柱与一个圆锥等底等高，那么它们的体积比是( )；(2)一个圆柱与一个圆锥体积相等，且等底，那么它们的高的比是( )；(3)一个圆柱与一个圆锥体积相等，且等高，那么它们的底面积比是( )．思维点拨 这是圆柱与圆锥的三组基本关系，弄清了这三种关系，可以用来作为结论顺利解答多种题型．例2 如图，以△ABC 的AB 边为轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积．思维点拨 想象一下，旋转后可以得到一个怎样的几何体？答案是：一个大圆锥体内挖去一个小圆锥体.所以，用大圆锥的体积减小圆锥的体积即可．例3 如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好是容器深的．再加多少毫升酒，12容器就能装满？思维点拨 因为酒面高度是容器高度的，所以，酒面半径是容器底面半径的，因此酒的体1212积(小圆锥)与容器(大圆锥)的容积之比是. 22221111()1322311833r R H R H R H ππππ⨯⨯⨯==⨯⨯例4 求下图木材的体积．(单位：分米)思维点拨这是一个不规则几何体，可以用“割补”的方法转变成圆柱体，把上面缺少的部分补上就得到一个圆柱体，只要把上面圆柱体体积÷2，再加下面圆柱体的体积就行了．例5 有一种酒瓶(如图)，容积为282立方厘米，当酒瓶瓶口向上时，瓶内酒的高度是17厘米，瓶口向下时，余下部分的高是3厘米，求瓶内的酒有多少立方厘米，思维点拨瓶口向下和瓶口向上时，瓶内余下的体积相等，因此酒瓶的容积相当于高是20厘米、底面与酒瓶同底的圆柱的体积，从而可以求出酒瓶的底面面积．例6 下图中右图是左图(立体图形)的侧面展开图，求立体图形的表面积和体积．(单位：厘米)思维点拨想象一下，右图中的各个面与左图中的面的对应关系．我们会发现，左图是一个圆柱的丢，圆柱的底面半径是10厘米，高是8厘米．●课内练习1．(1)在一个圆柱内挖去一个最大的圆锥，圆柱、圆锥及剩下的体积之比是( )．(2)等底等高的圆柱和圆锥，已知圆柱的体积比圆锥多6立方分米，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )．2．下图中ABCD是直角梯形，以BC边为轴旋转一周后所得形体的体积是多少立方厘米？(单位：厘米)3．有大、小两个圆柱，其中小圆柱的底面半径是大圆柱的，高是大圆柱的4倍，那么小圆柱13与大圆柱的体积之比是多少？4．求下图零件的体积．(单位：厘米)5．一个底面半径为6厘米、高为10厘米的圆锥形铁块，沉入装有水的圆柱形桶内，桶的底面直径是20厘米，当铁块从水中取出后，桶里的水面下降多少厘米？6．下图是一块长方形铁皮，沿虚线折起来，做成一个无盖的铁盒，求这个盒子的容积．(单位：厘米)●课外作业1．等底等高的圆柱和圆锥底面相互完全粘在一起，那么圆柱、圆锥及粘成的总体体积的比是( )．2．长方形的长是6分米，宽是5分米，以它的一条边为轴旋转一周，所得形体的体积是多少？3．一个圆锥和一个圆柱，它们的高的比是2:5，底面周长的比是1:2，求圆锥体体积是圆柱的几分之几．4．求下图零件的体积．(单位：厘米)5．A，B两个装有水的圆柱形水杯，内侧半径分别是5厘米、10厘米，从A杯中取出一块沉没的铁块，水面下降了2厘米，把它沉没在B杯中，B杯水没有溢出，这时B杯水面上升了几厘米？6．一个圆柱形杯内装有水，水面高2.5厘米，杯内底面积是72平方厘米，放进棱长是6厘米的正方体铁块，铁块被水淹没，那么这时水面高多少厘米？7．用一个圆柱形木棒，削成一个如下图形状的工具，求削去部分的体积．(单位：厘米)8．一个圆柱形玻璃缸的底面周长是6.28分米，里面的水占缸容量的导，放入一块不规则的石块，这时水面上升了10厘米，正好与缸口齐平，求玻璃缸的容积．9．一个圆柱体的底面周长和高相等，如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，求这个圆柱体的体积．10.在棱长为6厘米的正方体内，挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几.你知道吗战国时期，公孙龙提出了一个很重要的命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这是什么意思？一尺(尺是我国旧制的长度单位．3尺＝1米)的木棒，第1天取去一半，还剩尺，第2天再在这尺中取去一半，还剩尺，第3天再在这尺中再取去一半，还剩尺……1212141418这样继续下去，剩下的越来越小，但不管取多少次，它却永远不会等于零.这是一个很重要的数学概念，刘徽的割圆术也是这样，正多边形的边数越多，就越接近于圆，我们以后的学习将会知道这是限的概念.第19讲 圆柱和圆锥的体积●培优教程例1 3:1 1:3 1:3例2 旋转一周后得到的几何体的体积等于一个大圆锥内挖去一个小圆锥．××62×(10＋5)－ ××62×5 13π13π ＝××62×10 13π ＝376.8(立方厘米)．例3如图，设圆锥容器口面的半径为R ，高为H ，倒入的10毫升酒所形成的圆锥高为h ，酒面圆的半径为r.因为h ＝，所以，r ＝，因此酒的体积(小圆锥)V 1和容器(大圆锥)的容积V 2之比为 2H 2R ． 22212222111342183H r h R V r h V R H R H R H ππ⋅====所以V 2＝8V1，即容器的容积是酒的8倍，即80毫升．则再加酒80－10＝70(毫升)就能装满容器．例4把木材分成等底面积的两部分，一个是高为2分米的圆柱体，另一个是高为1分米的圆柱体的一半，即(立方分米)， 212()222V ππ=⨯⨯= (立方分米)， 2212(1222V ππ=⨯⨯⨯= 所以木材的体积为V 1＋V 2＝2＋＝＝7.85(立方分米)． π2π52π例5酒瓶的容积相当于底面积与酒瓶相同，高为20厘米的圆柱体体积，所以酒瓶的底面积为282÷(17＋3)＝14.1(平方厘米)．酒的体积为14.1×17＝239.7(立方厘米)，即瓶内有酒239.7立方厘米．例6 该立体图形的体积是一个圆柱体的,其底面半径为10厘米，高为8厘米． 14 (1)上、下底面积为×102××2＝157(平方厘米)． π14 (2)侧面积为2××10××8＋(10×8)×2＝285.6(平方厘米)． π14所以表面积为157＋285.6＝442.6 (平方厘米)．(3)体积为×102×8×＝628(立方厘米)． π14●针对性训练课内练习1．(1)3：1：2(2)9立方分米3立方分米2.32×3.14×5＋32×3.14×(10－5)×＝188.4(立方厘米)． 133．体积之比是4：9． 4．(4÷2)2×3.14×5×＝31.4(立方厘米)． 125．(62×3.14×10×)÷[()2×3.14]＝1.2(厘米)． 132026．铁盒的长、宽、高分别为40厘米、20厘米、10厘米，那么盒子的容积为：40×20×10＝8000(立方厘米)．课外作业1.3：1:42．情况一：以6分米的边为轴旋转，52×3.14×6＝471(立方分米)．情况二：以5分米的边为轴旋转，62×3.14×5＝565.2(立方分米)．3．圆锥体体积是圆柱的． 1304.(2÷2)2×3.14×1×＋(2÷2)2×3.14×8＋(2÷2)2×3.14×3×＝31.4(立方厘米)． 12125．铁块体积：52×3.14×2＝157(立方厘米)，水面上升：157÷(102×3.14)＝0.5(厘米)．6.63÷72＋2.5＝5.5(厘米)．7．×22×10－×22×10＝×3.14×4×10＝83.73(立方厘米)． π13π238．玻璃缸的底面圆半径为6.28÷3.14÷2＝1(分米)，玻璃缸的高为10÷＝30(厘米)＝3(分米)． 13玻璃缸的容积为＝3.14×12×3＝9.42(立方分米)．2R h π9. 12.56÷2＝6.28(厘米)，这是底面圆的周长，所以底面圆的半径为6.28÷27x ＝1(厘米)，故这个圆柱体的体积为V ＝2R h π＝3.14×12×6.28＝19.72(立方厘米)．10.在棱长为6厘米的正方体内挖去一个最大的圆锥体，这个圆锥体底面圆的直径为6厘米，所以圆锥的体积为×32×6＝56.52(立方厘米)，剩下的体积占正方体体积的×100%＝13π33656.526-73.8%.。
六年级奥数圆柱与圆锥教师版
六年级奥数圆柱与圆锥教师版 立体图形表面积 体积 圆柱h r222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积 2πV r h =圆柱圆锥hr22ππ360n S l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母线,即从顶点到底面圆上的线段长 21π3V r h =圆锥体板块一 圆柱与圆锥【例 1】 如图,用高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？〈π取3.14〉11111.50.5【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 从上面看到图形是右上图,所以上下底面积和为22 3.14 1.514.13⨯⨯=〈立方米〉,侧面积为2 3.14(0.51 1.5)118.84⨯⨯++⨯=〈立方米〉,所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=〈立方米〉．【答案】32.97【例 2】 有一个圆柱体的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的圆孔,圆孔的直径是4厘米,孔深5厘米〈见右图〉．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆,那么一共要涂多少平方厘米？例题精讲圆柱与圆锥【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和,为266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==〈平方厘米〉． 【答案】307.72【例 3】 〈希望杯2试试题〉圆柱体的侧面展开,放平,是边长分别为10厘米和12厘米的长方形,那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．〈结果用π表示〉【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ⨯⨯=〈立方厘米〉 当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=〈立方厘米〉．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米． 【答案】300π立方厘米或360π立方厘米【例 4】 如右图,是一个长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成一个油桶〈接头处忽略不计〉,求这个油桶的容积．〈π 3.14=〉【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆的直径为：()16.561 3.144÷+=〈米〉,而油桶的高为2个直径长,即为：428(m)⨯=,故体积为100.48立方米．【答案】100.48立方米【巩固】如图,有一张长方形铁皮,剪下图中两个圆及一块长方形,正好可以做成1个圆柱体,这个圆柱体的底面半径为10厘米,那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？〈π 3.14=〉【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的,可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等,则剪下的长方形的长,即圆柱体底面圆的周长为：2π1062.8⨯⨯=〈厘米〉,原来的长方形的面积为：10462.81022056⨯+⨯⨯=（）（）〈平方厘米〉．【答案】2056【例 5】 把一个高是8厘米的圆柱体,沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积,所以原来圆柱体的底面周长为12.562 6.28÷=厘米,底面半径为6.28 3.1421÷÷=厘米,所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12⨯⨯==〈立方厘米〉．【答案】25.12【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米,表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆柱体底面周长和高相等,说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米,表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分,值是50.24平方厘米,所以底面周长是50.24412.56÷=〈厘米〉,侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=〈平方厘米〉,两个底面积是：()23.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=〈平方厘米〉．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=〈平方厘米〉． 【答案】182.8736【例 6】 〈两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛〉一个圆柱体形状的木棒,沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm ,则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm ．〈π取3.14〉第2题 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意可知,切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．设圆柱体底面半径为r ,高为h ,那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：2222008(cm )r h ⨯⨯=,所以2502(cm )r h ⨯=,所以,圆柱体侧面积为：22π2 3.145023152.56(cm )r h ⨯⨯⨯=⨯⨯=．【答案】3152.56【巩固】已知圆柱体的高是10厘米,由底面圆心垂直切开,把圆柱分成相等的两半,表面积增加了40平方厘米,求圆柱体的体积．〈π3=〉【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面,长方形的长等于圆柱体的高为10厘米,宽为圆柱底面的直径,设为2r,则210240r⨯⨯=,1r=〈厘米〉．圆柱体积为：2⨯⨯=〈立方厘米〉．π11030【答案】30【例 7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米,底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后,再截开拼成一个和它等底等高的长方体,表面积增加了多少平方厘米？〈π 3.14=〉【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】从图中可以看出,拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同,长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等,所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．〈法1〉这两个侧面都是长方形,且长等于原来圆柱体的高,宽等于圆柱体底面半径．可知,圆柱体的高为()2⨯⨯=50.24 3.1424÷⨯=〈厘米〉,所以增加的表面积为24216〈平方厘米〉；〈法2〉根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面,侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等,为50.24立方厘米,而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半,为3.142 6.28⨯=厘米,所以侧面长方形的面积为50.24 6.288÷=平方厘米,所以增加的表面积为⨯=平方厘米．8216【答案】16【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体,上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形,通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768平方厘米,89120立方厘米．【答案】89120【例 9】输液100毫升,每分钟输2.5毫升．如图,请你观察第12分钟时图中的数据,问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 100毫升的吊瓶在正放时,液体在100毫升线下方,上方是空的,容积是多少不好算．但倒过来后,变成圆柱体,根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升,12分钟已输液2.51230⨯=〈毫升〉,因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐,上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150+=〈毫升〉．【答案】150【例 10】 〈”希望杯”五年级第2试〉一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水〈如图〉,由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．〈π取3.14〉 8(单位：厘米)4106【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变,所以空气部分的体积也不变,从图中可以看出,瓶中的水构成高为6厘米的圆柱,空气部分构成高为1082-=厘米的圆柱,瓶子的容积为这两部分之和,所以瓶子的容积为：24π()(62) 3.1432100.482⨯⨯+=⨯=〈立方厘米〉．【答案】100.48【巩固】一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形〈不包括瓶颈〉,如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 26【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由题意,液体的体积是不变的,瓶内空余部分的体积也是不变的,因此可知液体体积是空余部分体积的623÷=倍．所以酒精的体积为326.4π62.17231⨯=+立方厘米,而62.172立方厘米62.172=毫升0.062172=升．【答案】0.062172【巩固】一个酒瓶里面深30cm,底面内直径是10cm,瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？〈π取3〉253015【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】观察前后,酒瓶中酒的总量没变,即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm,因为酒瓶深30cm,这样所剩空间为高5cm的圆柱,再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯=瓶中剩余空间的体积1010(3025)π125π22-⨯⨯=酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==【答案】1500【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水,瓶底面积为10平方厘米,〈如下图所示〉,请你根据图中标明的数据,计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】由已知条件知,第二个图上部空白部分的高为752cm-=,从而水与空着的部分的比为4:22:1=,由图1知水的体积为104⨯,所以总的容积为()4022160÷⨯+=立方厘米．【答案】60【巩固】一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱体和一个圆锥体组成,圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水,正放时水面离容器顶11厘米,倒放时水面离顶部5厘米,那么这个容器的容积是多少立方厘米？〈π3=〉5cm【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆锥的高为x 厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变,有：()22215π611π6π63x x ⨯⨯=-⨯⨯+⨯⨯⨯,解得9x =, 所以容器的容积为：221π612π69540π16203V =⨯⨯+⨯⨯⨯==〈立方厘米〉． 【答案】1620【例 11】 〈希望杯2试试题〉如图,底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水,水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块,木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出,水面将下降________厘米．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在水中的木块体积为55375⨯⨯=〈立方厘米〉,拿出后水面下降的高度为7550 1.5÷=〈厘米〉【答案】1.5【例 12】 有两个棱长为8厘米的正方体盒子,A 盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个,B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个,现在A 盒注满水,把A 盒的水倒入B 盒,使B 盒也注满水,问A 盒余下的水是多少立方厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将圆柱体分别放入A 盒、B 盒后,两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等,所以两个盒子的底面剩余部分面积也相等,那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的,也就是说A 盒中装的水恰好可以注满B 盒而无剩余,所以A 盒余下的水是0立方厘米．【答案】A 盒余下的水是0立方厘米【例 13】 兰州来的马师傅擅长做拉面,拉出的面条很细很细,他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍,长1.6米．然后对折,拉长到1.6米；再对折,拉长到1.6米……照此继续进行下去,最后拉出的面条粗细〈直径〉仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？〈假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形,而且没有任何浪费〉【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 最后拉出的面条直径是原先面棍的164,则截面积是原先面棍的2164,细面条的总长为：21.6646553.6⨯=〈米〉．注意运用比例思想．【答案】6553.6【例 14】 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体底面面积与容器底面面积之比．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为18分钟水面升高：502030-=〈厘米〉．所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20厘米需要的时间是：20181230⨯=〈分钟〉,实际上只用了3分钟,说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底面积的13:124=,所以长方体底面面积与容器底面面积之比为3:4． 【答案】3:4【例 15】 一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,高是15厘米,水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米,高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．〈法1〉：808(8016)6406410⨯÷-=÷=〈厘米〉；〈法2〉：设水面上升了x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+,解得：2x =,8210+=〈厘米〉．〈提问”圆柱高是15厘米”,和”高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？〉【答案】10【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,高是15厘米,水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米,高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】8010(8016)12.5⨯÷-=,因为12.512>,所以此时水已淹没过铁块,8010(8016)1232⨯--⨯=,32800.4÷=,所以现在水深为120.412.4+=厘米【答案】12.4【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,高是15厘米,水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米,高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160⨯-=立方厘米,铁块体积为1612192⨯=立方厘米,因为160192<,所以水会溢出玻璃杯,所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米【总结】铁块放入玻璃杯会出现三种情况：⒈放入铁块后,水深不及铁块高；⒉放入铁块后,水深比铁块高但未溢出玻璃杯；3.水有溢出玻璃杯．【说明】教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠,不知道工匠有没有掺假,必须知道黄金头冠的体积是多少,可是又没有办法来测量．〈如果知道体积,就可以称一下纯黄金相应体积的重量,再称一下黄金头冠的重量,就能知道是否掺假的结果了〉于是,国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．〈小朋友们,你们能帮阿基米德解决难题吗？〉阿基米德苦思冥想不得其解,就连晚上沐浴时还在思考这个问题．当他坐进水桶里,看到水在往外满溢时,突然灵感迸发,大叫一声：”我找到方法了……”,就急忙跑出去告诉别人,大家看到了一个还光着身子的阿基米德．他的方法是：把水桶装满水,当把黄金头冠放进水桶,浸没在水中时,所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积．【答案】15【例 16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水,水面高2.5厘米,玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后,水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器,底面积是72—6×6=36〈平方厘米〉．水的体积是72 2.5180⨯=〈立方厘米〉．后来水面的高为180÷36=5〈厘米〉．【答案】5【例 17】一个盛有水的圆柱形容器,底面内半径为5厘米,深20厘米,水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米,高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】若圆柱体能完全浸入水中,则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和,因而水深为：222515217517.72πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=〈厘米〉．它比圆柱体的高度要大,可见圆柱体可以完全浸入水中．于是所求的水深便是17.72厘米．【答案】17.72【例 18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯,其内直径依次是10厘米、20厘米,杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块,当取出此铁块后,甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯,且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】两个圆柱直径的比是1:2,所以底面面积的比是1:4．铁块在两个杯中排开的水的体积相同,所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的14,即120.54⨯=〈厘米〉．【答案】0.5【巩固】有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶,里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后,桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知,圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积,因为钢材底面半径是水桶底面半径的520,即41,钢材底面积就是水桶底面积的161．根据体积一定,圆柱体的底面积与高成反比例可知,钢材的长是水面下降高度的16倍．6÷〈520〉2=96〈厘米〉,〈法2〉：3．14×202×6÷〈3．14×52〉=96〈厘米〉． 【答案】96【例 19】 一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米,深20厘米,水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米,高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 若铁圆柱体能完全浸入水中,则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和,因而水深为：22251521817.725πππ⨯⨯+⨯⨯=⨯〈厘米〉；它比铁圆柱体的高度要小,那么铁圆柱体没有完全浸入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形．底面积为225221πππ-=,水的体积保持不变为2515315ππ⨯=．所以有水深为315617217ππ=〈厘米〉,小于容器的高度20厘米,显然水没有溢出于是6177厘米即为所求的水深． 【答案】6177【例 20】 如图11-7,有一个圆柱和一个圆锥,它们的高和底面直径都标在图上,单位是厘米．那么,圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【关键词】华杯赛,初赛,3题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆锥的体积是211624,33ππ⨯⨯⨯=,圆柱的体积是248128ππ⨯⨯=．所以,圆锥体积与圆柱体积的比是16:1281:243ππ=. 【答案】1:24【例 21】 一个圆锥形容器高24厘米,其中装满水,如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中,水面高多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆锥形容器底面积为S ,圆柱体内水面的高为h ,根据题意有：1243S Sh ⨯⨯=,可得8h =厘米．【答案】8【例 22】 〈”希望杯”一试六年级〉如图,圆锥形容器中装有水50升,水面高度是圆锥高度的一半,这个容器最多能装水 升．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍,圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍,所以容器容积是水的体积的8倍,即508400⨯=升．【答案】400【例 23】 如图,甲、乙两容器相同,甲容器中水的高度是锥高的13,乙容器中水的高度是锥高的23,比较甲、乙两容器,哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？ 甲乙【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设圆锥容器的底面半径为r ,高为h ,则甲、乙容器中水面半径均为23r ,则有21π3V r h =容器,221228ππ33381V r h r h =⨯=乙水（）,222112219πππ333381V r h r h r h =-⨯=甲水（）, 2219π198188π81r h V V r h ==甲水乙水,即甲容器中的水多,甲容器中的水是乙容器中水的198倍． 【答案】198倍【例 24】 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【关键词】华杯赛,决赛,口试,23题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 底面周长是3,半径是32π,2233()24πππ⨯=所以今年粮囤底面积是234π,高是2．同理,去年粮囤底面积是224π,高是1．2232(2)(1) 4.5.44ππ⨯÷⨯=因此,今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍．【答案】4.5【例 25】 〈仁华考题〉如图,有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜,薄膜的直径为20厘米,中间有一直径为8厘米的卷轴,已知薄膜的厚度为0.04厘米,则薄膜展开后的面积是 平方米．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：22208ππ1008400π22⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦〈立方厘米〉,薄膜展开后为一个长方体,体积保持不变,而厚度为0.04厘米,所以薄膜展开后的面积为8400π0.04659400÷=平方厘米65.94=平方米．另解：也可以先求出展开后薄膜的长度,再求其面积．由于展开前后薄膜的侧面的面积不变,展开前为22208ππ84π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〈平方厘米〉,展开后为一个长方形,宽为0.04厘米,所以长为84π0.046594÷=厘米,所以展开后薄膜的面积为6594100659400⨯=平方厘米65.94=平方米．【答案】65.94【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸,纸卷直径为20厘米,中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4 毫米,问：这卷纸展开后大约有多长？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将这卷纸展开后,它的侧面可以近似的看成一个长方形,它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度,而面积就是一个圆环的面积．因此,纸的长度 ：()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04⨯-⨯-⨯≈≈==纸卷侧面积纸的厚度〈厘米〉 所以,这卷纸展开后大约71.4米．【答案】71.4【巩固】如图,厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱〈纸卷得很紧,没有空隙〉,它的外直径是180厘米,内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为2218050ππ7475π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〈平方厘米〉,如果将其展开,展开后横截面的面积不变,形状为一个长方形,宽为0.25毫米〈即0.025厘米〉,所以长为7475π0.025938860÷=厘米9388.6=米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米．本题也可设空心圆柱的高为h ,根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解,其中h 在计算过程将会消掉．【答案】9388.6米【例 26】 〈人大附中分班考试题目〉如图,在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米,侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上下底面的洞口是直径为4厘米的圆,求此立体图形的表面积和体积． 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆,所以,外侧表面积为：210106444π225368π⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-〈平方厘米〉； 内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积,需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内,所以内侧表面积为：()24316244π22π232192328π24π22416π⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯=+-+=+〈平方厘米〉,所以,总表面积为：22416π5368π7608π785.12++-=+=〈平方厘米〉．⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出,如右上图,只要求出这个几何体的体积,用原立方体的体积减去这个体积即可．挖出的几何体体积为：24434444π2321926424π25624π⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=++=+〈立方厘米〉；所求几何体体积为：()10101025624π668.64⨯⨯-+=〈立方厘米〉．【答案】668.64板块二 旋转问题【例 27】 如图,ABC 是直角三角形,AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周,求ABC ∆扫出的立体图形的体积．〈π 3.14=〉CB A 43【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右上图所示,ABC ∆扫出的立体图形是一个圆锥,这个圆锥的底面半径为3,高为4, 体积为：21π3412π37.683⨯⨯⨯==． 【答案】37.68【例 28】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ,4cm ,5cm ,分别以这三边轴,旋转一周,所形成的立体图形中,体积最小的是多少立方厘米？〈π取3.14〉【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 以3cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm ,高是3cm 的圆锥体,体积为231 3.144350.24(cm )3⨯⨯⨯= 以4cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm ,高是4cm 的圆锥体,体积为231 3.143437.68(cm )3⨯⨯⨯= 以5cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高345 2.4⨯÷=cm 的两个圆锥,高之和是5cm 的两个圆的组合体,体积为231 3.14 2.4530.144(cm )3⨯⨯⨯= 【答案】30.144【巩固】如图,直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周,那么所形成的圆锥的体积为16π,以AC 边为轴旋转一周,那么所形成的圆锥的体积为12π,那么如果以AB 为轴旋转一周,那么所形成的几何体的体积是多少？ABC 【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设BC a =,AC b =,那么以BC 边为轴旋转一周,所形成的圆锥的体积为2π3ab ,以AC 边为轴旋转一周,那么所形成的圆锥的体积为2π3a b ,由此可得到两条等式： 224836ab a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,两条等式相除得到43b a =,将这条比例式再代入原来的方程中就能得到34a b =⎧⎨=⎩,根据勾股定理,直角三角形的斜边AB 的长度为5,那么斜边上的高为2.4． 如果以AB 为轴旋转一周,那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起,底面半径为2.4,高的和为5,所以体积是22.4π59.6π3⨯=． 【答案】9.6π【例 29】 如图,ABCD 是矩形,6cm BC =,10cm AB =,对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC 的中点,图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周,则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？〈π取3〉A BA B【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 扫出的图形如右上图所示,白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形． 两个圆锥的体积之和为212π3530π903⨯⨯⨯⨯==〈立方厘米〉； 圆柱的体积为2π310270⨯⨯=〈立方厘米〉,所以白色部分扫出的体积为27090180-=〈立方厘米〉．【答案】180【巩固】〈华杯赛决赛试题〉如图,ABCD 是矩形,6cm BC =,10cm AB =,对角线AC 、BD 相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周,则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？。
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圆柱和圆锥体积专项练习
1、正方体内有一个最大的圆锥，圆锥的直径就是（），圆锥的半径是（）的一半。
圆锥的高是（）。
圆锥的体积是正方体内挖出的最大的圆柱的体积的（）。
2、有一个密封的容器，它是由一个圆柱和一个圆锥组成的。
圆锥和圆柱等底等高，高都是6厘米，圆柱朝下，圆锥在上，容器内有一部分水，水的高度是4厘米，把容器倒过来圆锥朝下，圆柱在上，现在水面的高度是（）。
4、一个圆柱和圆锥的体积比为a:b，底面积比为m:n，则高的比为（）。
5、一个圆柱形饮料瓶（不包括瓶颈）它的容积是480毫升，里面装有一些饮料，正放时饮料高16厘米，倒放时上端空出4厘米，瓶中饮料体积多少毫升？
6、用一个半径10厘米的半圆形铁皮，再配上一个面积多少平方厘米的圆形铁皮就能做成一个圆锥？
7、将下面的直角三角形捏住点A，沿斜边BC旋转一圈，正好成一个立体图形，这个立体图形可以看成是由两个圆锥合成的，体积是527.52立方厘米，如果这个直角三角形斜边的高是6厘米，这个直角三角形的面积是多少？
8、用边长是1厘米的正方形围成一个圆柱体，它的体积是（）立方厘米。
9、一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。
这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？
10、一个圆锥体容器，底面半径为5厘米，高为6厘米，装满水后将水全部倒入一个高5厘米的长方体的容器内刚好装满。
这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？。