系统与控制中的矩阵理论(2)(1)
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(1) 正定性：当x 时，都有 x 0；
(2) 齐次性： 对于任何 a P，有 ax a x ; (3) 三角不等式：对于任何 x, y V，都有
xy x y 则称非负实数 x 为向量 x 的范数。简言之，向量的范数是定
义在线性空间上的非负实值函数。
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
➢ H∞
➢ H2
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
7
课程内容 1/4
Some useful lemmas
➢ Schur complement ➢ Dualization lemma ➢ Projection lemma ➢ Elimilation lemma
State-feedback control Dynamic output-feedback control
1. LMIs in Control, C. Scherer 2. 鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法，俞立
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
8
§1 向量范数
内积空间和酉空间：通过内积定义了向量的长度。 线性空间有“长度”？---->“范数”
若V 是实内积空间，x, y V为任意向量，a 为实数域 R 中任一 元素，则V 中向量的长度具有下列三个基本性质：
系统与控制中的矩阵理论
自动化系 丁大伟
ustb_automation@163.com
2020年8月6日5时Байду номын сангаас3分
北京科技大学自动化学院自动化系
1
研究范围
系统理论 控制理论
矩阵理论
本课程内容 =系统与控制 矩阵
控制理论的发展阶段
First generation: Analog Control
Technology: Feedback amplifiers Theory: Frequency domain analysis—Bode, Nyquist, Evans, …
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
12
常见的向量范数
1-范数: p=1
2-范数: p=2
∞-范数：
x lim p
x
p
max 1in
i
证明：当 x 时，显然成立。故只需对非零向量加以证明。
Discrete- event systems
Hybrid systems
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
4
系统与控制中的矩阵理论
Linear systems (T. Kailath) 特征值与特征向量，矩阵对角化，矩阵求逆，矩阵函数， 多项式矩阵，史密斯标准型，子空间, …
北京科技大学自动化学院自动化系
5
课程内容 1/4
向量范数，矩阵范数 向量和矩阵的极限 矩阵幂级数 矩阵函数 矩阵的微分与积分 常用矩阵函数的性质 矩阵函数的应用一：微分方程 矩阵函数的应用二：线性系统的能控性与能观性
(《矩阵分析引论》第四章，罗家洪 华南理工大学)
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
证明：(1)当 x 时，则 1,2, ,n 不全为零，从而
n
x 1
i 0;
i 1
(2) 对于任何 a C ，则
n
n
ax 1
ai
a
i
a
x; 1
i 1
i 1
(3) 若 y 1,2, ,n Cn 为任意向量，则
n
n
x y 1
i i
( i
i )
x 1
y
1
i 1
i 1
即三角不等式成立。
常见的向量范数
对于酉空间向量 x 1,2, ,n Cn
1-范数 2-范数 ∞-范数
n
x 1
i
i 1
n
x 2
i 2
i 1
p-范数
x
max
1in
i
1
x
p
n i1
i
p p
(1 p )
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
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常见的向量范数
n
1-范数
x 1
i
i 1
(1) 当 x 时，都有| x | 0；
(2) | ax|| a | | x | ； (3) | x y|| x | | y|。
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
9
向量范数
定义1：(向量范数)
设 V是数域 P 上的线性空间。若对于V 中的任一向量x ，都有 一非负实数 x 与之对应，并且满足下列三个条件：
3
系统与控制中的矩阵理论
Second generation: Digital Control
Linear systems
√
Nonlinear systems
Optimal control
Estimation
System identification
Robust control
√
Adaptive control √
Second generation: Digital Control
Technology: Digital computers Theory: State-space design,Kalman filtering,Optimal control,H∞
Third generation: Networked control
Technology: Embedded computers, Wireless and wireline networks, Software
Theory: Multi-agent, Consensus, flocking, cooperative, …
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
Adaptive control (P. A. Ioannou) 向量及矩阵范数，矩阵不等式，矩阵方程，矩阵函数，正 定矩阵，矩阵对角化, …
Robust control (K. Zhou) 子空间，特征值及特征向量，矩阵求逆，广义逆，矩阵微 积分，矩阵范数，奇异值分解，LMI，…
2020年8月6日5时53分
6
课程内容 1/4
Introduction to linear matrix inequalities (LMIs) System stability and performance
➢ Lyapunov stability ➢ Dissipativity ➢ KYP lemma ➢ Bounded real lemma ➢ Positive real lemma
(2) 齐次性： 对于任何 a P，有 ax a x ; (3) 三角不等式：对于任何 x, y V，都有
xy x y 则称非负实数 x 为向量 x 的范数。简言之，向量的范数是定
义在线性空间上的非负实值函数。
2020年8月6日5时53分
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➢ H∞
➢ H2
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课程内容 1/4
Some useful lemmas
➢ Schur complement ➢ Dualization lemma ➢ Projection lemma ➢ Elimilation lemma
State-feedback control Dynamic output-feedback control
1. LMIs in Control, C. Scherer 2. 鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法，俞立
2020年8月6日5时53分
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8
§1 向量范数
内积空间和酉空间：通过内积定义了向量的长度。 线性空间有“长度”？---->“范数”
若V 是实内积空间，x, y V为任意向量，a 为实数域 R 中任一 元素，则V 中向量的长度具有下列三个基本性质：
系统与控制中的矩阵理论
自动化系 丁大伟
ustb_automation@163.com
2020年8月6日5时Байду номын сангаас3分
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1
研究范围
系统理论 控制理论
矩阵理论
本课程内容 =系统与控制 矩阵
控制理论的发展阶段
First generation: Analog Control
Technology: Feedback amplifiers Theory: Frequency domain analysis—Bode, Nyquist, Evans, …
2020年8月6日5时53分
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12
常见的向量范数
1-范数: p=1
2-范数: p=2
∞-范数：
x lim p
x
p
max 1in
i
证明：当 x 时，显然成立。故只需对非零向量加以证明。
Discrete- event systems
Hybrid systems
2020年8月6日5时53分
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4
系统与控制中的矩阵理论
Linear systems (T. Kailath) 特征值与特征向量，矩阵对角化，矩阵求逆，矩阵函数， 多项式矩阵，史密斯标准型，子空间, …
北京科技大学自动化学院自动化系
5
课程内容 1/4
向量范数，矩阵范数 向量和矩阵的极限 矩阵幂级数 矩阵函数 矩阵的微分与积分 常用矩阵函数的性质 矩阵函数的应用一：微分方程 矩阵函数的应用二：线性系统的能控性与能观性
(《矩阵分析引论》第四章，罗家洪 华南理工大学)
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
证明：(1)当 x 时，则 1,2, ,n 不全为零，从而
n
x 1
i 0;
i 1
(2) 对于任何 a C ，则
n
n
ax 1
ai
a
i
a
x; 1
i 1
i 1
(3) 若 y 1,2, ,n Cn 为任意向量，则
n
n
x y 1
i i
( i
i )
x 1
y
1
i 1
i 1
即三角不等式成立。
常见的向量范数
对于酉空间向量 x 1,2, ,n Cn
1-范数 2-范数 ∞-范数
n
x 1
i
i 1
n
x 2
i 2
i 1
p-范数
x
max
1in
i
1
x
p
n i1
i
p p
(1 p )
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
11
常见的向量范数
n
1-范数
x 1
i
i 1
(1) 当 x 时，都有| x | 0；
(2) | ax|| a | | x | ； (3) | x y|| x | | y|。
2020年8月6日5时53分
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9
向量范数
定义1：(向量范数)
设 V是数域 P 上的线性空间。若对于V 中的任一向量x ，都有 一非负实数 x 与之对应，并且满足下列三个条件：
3
系统与控制中的矩阵理论
Second generation: Digital Control
Linear systems
√
Nonlinear systems
Optimal control
Estimation
System identification
Robust control
√
Adaptive control √
Second generation: Digital Control
Technology: Digital computers Theory: State-space design,Kalman filtering,Optimal control,H∞
Third generation: Networked control
Technology: Embedded computers, Wireless and wireline networks, Software
Theory: Multi-agent, Consensus, flocking, cooperative, …
2020年8月6日5时53分
北京科技大学自动化学院自动化系
Adaptive control (P. A. Ioannou) 向量及矩阵范数，矩阵不等式，矩阵方程，矩阵函数，正 定矩阵，矩阵对角化, …
Robust control (K. Zhou) 子空间，特征值及特征向量，矩阵求逆，广义逆，矩阵微 积分，矩阵范数，奇异值分解，LMI，…
2020年8月6日5时53分
6
课程内容 1/4
Introduction to linear matrix inequalities (LMIs) System stability and performance
➢ Lyapunov stability ➢ Dissipativity ➢ KYP lemma ➢ Bounded real lemma ➢ Positive real lemma