(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
高中数学圆的方程 经典例题(含详细解析)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ． 所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ． 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ． 又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=abb a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴()22|31|21k k k -+=+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=， 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
必修二圆的方程题型归纳非常完美
圆的方程题型一：圆的方程典例1、若圆C 的方程为222440x x y y +++-=，则该圆的圆心坐标为________． 【详解】圆的方程为222440x x y y +++-=,化为:22(1)(2)9x y +++=. 圆的圆心坐标为:(1,2)--.故答案为:(1,2)--.典例2、求满足下列条件的各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径长为3;(2)圆心为点()3,4C ,半径长是5(3)圆心为点(8,3)C -,且经过点(5,1)P【详解】(1)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆心在原点，即0,0a b ==，又由半径长为3，即3r =，圆的标准方程为229x y +=.(2)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，以为圆心为点()3,4C ,即3,4a b ==，半径长是5，即5r =，所以圆的标准方程为22(3)(4)5x y -+-=.(3)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆心为点(8,3)C -,即8,3a b ==-，又由圆经过点(5,1)P ，则22(85)(31)5r PC ==-+--=所以圆的标准方程为22(8)(3)25x y -++=.典例3、已知圆C 的圆心坐标为()3,0C ，且该圆经过点()0,4A .（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标.【详解】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径， 所以圆的标准方程为()22325x y -+=.（2）①k 不存在时，直线l 的方程为：0x =； ②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，所以直线l 的方程为：724960x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=.（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +，联立方程()()()22222126160325y kx t k x kt xt x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩， 得()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=， ，所以直线l 的方程为：，所以过定点()6,12--. 题型二：直线与圆的位置关系 典例1、过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P Q 、,则直线PQ 的方程是 ______．解：圆2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=圆心(3,4)C ，半径为 过原点O 作C 的切线，切点分别为P ，Q ，∴直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，以OC 为直径的圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即22340x y x y +--=，两式相减得34200x y +-=， 即直线PQ 的方程为34200x y +-=，故答案为：34200x y +-=．典例2、已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0.（1）直线l 的方程为30x y -=，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB|的值；（2）从圆C 外一点P （4，4）引圆C 的切线，求此切线方程．【详解】（1）化圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0为：（x ﹣2）2+y 2＝4，知圆心（2，0）为半径为2， 故圆心到直线的距离2131d ==+，∴22223AB R d =-=； （2）当斜率不存在时，过P （4，4）的直线是x ＝4，显然是圆的切线；当斜率存在时，设直线方程为y ﹣4＝k （x ﹣4）．由24221kk -=+，解得34k =． 此时切线方程为3x ﹣4y+4＝0.综上所述：切线方程为x ＝4或3x ﹣4y+4＝0.典例3、已知0m >，0n >，若直线()()1120m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围为（ ）A ．)222,⎡++∞⎣B ．)222,⎡-+∞⎣C ．2,222⎡⎤+⎣⎦D ．(0,222⎤+⎦ 【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22111x y -+-=，该圆的圆心坐标为()1,1，半径为1，由于直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切， 则()()22111m nm n +=+++，化简得1m n mn ++=， 由基本不等式可得212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，即()()2440m n m n +-+-≥， 当且仅当m n =时，等号成立，0m >，0n >，0m n ∴+>，解得222m n +≥+. 因此，m n +的取值范围是)222,⎡++∞⎣.故选：A.【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数的取值范围，解题的关键就是利用基本不等式构造不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.典例4、函数211y x =-+ 与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点,则实数k 的取值范围是________. 【详解】由题意可知，函数211y x =-+的图象是以(0,1)为圆心，半径为1r =的上半圆.函数(2)y k x =-的图象是恒过点(2,0)的直线l .如图所示若使得函数211y x =-+ 与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点则需直线l 夹在半圆的切线1l 与过点(1,1)的直线2l 之间，即12l l k k k <≤ 直线2l 过点(1,1)与点(2,0)∴221101l k -==-- 又直线1l 为半圆22(1)1y x +-=(1)y ≥的切线∴圆心(0,1)到直线1l ：1(2)l y k x =-的距离等于半径1r = 即112|(02)1|1()1l l k k --=+，解得143l k =-∴413k -<≤-故答案为：4(,1]3-- 典例5、已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．32B ．52C ．522+D ．322+【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=）， 所以A 在以(1,1)C 为圆心，2为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，半径为2， 22(12))(13)5CD =+++=，∴AB 的最大值为22522CD ++=+．故选：C.题型三：圆与圆的位置关系典例1、已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆222:(3)(1)1C x y -++=，则这两个圆的公切线条数为（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 【详解】根据题意，圆221:2410C x y x y ++-+=，即22+1+24x y -=（）（）其圆心为12-（，），半径12r =， 圆222:(3)(1)1C x y -++=，其圆心为31-（，），半径21r =， 则有221212435C C r r =+=>+，两圆外离，有4条公切线；故选：D ． 典例2、已知圆22()()8(0)x a y a a -+-=>与圆222x y +=有公共点，则a 的取值范围是________．【详解】因为圆22()()8(0)x a y a a -+-=>与圆222x y +=有公共点，所以两圆位置关系为外切、相交、内切，所以得到22222222a a ≤≤-++，因为0a >，故解得13a ≤≤，即a 的取值范围为[]1,3.故答案为：[]1,3.典例3、点A 、B 分别为圆M ：x 2＋(y －3)2＝1与圆N ：(x －3)2＋(y －8)2＝4上的动点，点C 在直线x ＋y ＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【详解】解：设M(0，3)关于直线的对称点为P(－3，0)，且N(3，8) ∴故选A.题型四：轨迹问题典例1、设P ()1,0是圆O ：224x y +=内一定点，过P 作两条互相垂直的直线分别交圆O 于A 、B 两点，则弦AB 中点的轨迹方程是_________.【详解】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y .则12122,2x x x y y y =+=+. (1)由题意,A B 均在圆O 上则有：222211224,4x y x y +=+=. (2) 又由条件有BP AP ⊥，即0BP AP ⋅=.即BP AP ⋅=1122(1,)(1,)x y x y --⋅--=1212121()0x x x x y y +-++= （3）将（1）代入（3）中有：121212121x x y y x x x +=+-=- （4）将（1）中两式平方相加得：2222121244()()x y x x y y +=+++. 即222222112211224422x y x x x x y y y y +=+++++ （5）将（2），（4）代入（5）得：224482(21)x y x +=+-. 即弦AB 中点的轨迹方程是2222230x y x +--=.故答案为：2222230x y x +--= 典例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()3,0A ，()0,3B ，动点M 满足，则OM 斜率k 的取值范围是（ ）A B C 3224⎤⎡-⎥⎢⎦⎣D 2334⎤⎡-⎥⎢⎦⎣解析：设点(,)M x y ，∵MB =，∴2222(3)4[(3)]x y x y +-=-+， 整理得：22(4)(1)8x y -++=，则点M 是以(4,)1-为圆心，2为半径的圆，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，故选：A 跟踪训练1、圆心为()2,3A -，半径等于5的圆的方程是( )A.22(2)(3)5x y -++=B.22(2)(3)5x y ++-=C.22(2)(3)25x y -++=D.22(2)(3)25x y ++-=解析：因为圆心(),a b 即为()2,3-，半径=5r ，所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=，故选：C.【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.2、已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是______．【详解】根据题意，圆C 的圆心在直线0x y -=上，设圆C 的圆心为(,)a a ，半径为r . 又由圆C 过点(2,2)且与直线0x y +=相切，解得1a =，故圆心的坐标为(1,1)，则222(2)(2)2r a a =-+-=， 则圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=.故答案为：22(1)(1)2x y -+-=．3、方程22220x y ax y ++++=表示圆，则实数a 的取值范围是__________． 解：方程22220x y ax y ++++=表示圆，222420a ∴+-⨯> 24a ∴>22a a ∴<->或，即()(),22,a ∈-∞-+∞，故答案为：()(),22,-∞-+∞4的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）k由直线l 与圆221x y +=有公共点得D. 5、已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该圆的一条切线，切点为A ，那么线段PA 的长度为______．【详解】圆222880x y x y ++-+=，即22(1)(4)9x y ++-=，故(1,4)C -为圆心、半径3R =，6、已知圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，当圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大时，k 的值为（ ）A ．15- B ．-5 C ．15 D ．5解：因为圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，配方可得22(1)(1)1x y ++-=， 所以圆的圆心为(1,1)C -半径1r =，直线40kx y ++=可化为4y kx =--，恒过定点(0,4)B -，当直线与BC 垂直时，圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大，由斜率公式可得BC 的斜率为4150(1)--=---， 由垂直关系可得：(5)1k -⨯-=-，解得15k =-，故选：A ． 7、知点(),P x y 在圆C ：()()22111x y -+-=上，则2y x+的最小值是____________． 【详解】2y x +表示圆上的点和点()0,2-连线的斜率， 设直线2y kx +=，即20kx y --=，如图，当直线与圆相切时，此时直线的斜率最小，21211k k --∴=+ ，解得：43k =故答案为：438、若关于x 的方程222x x kx -+=+有且只有一个实数解，则实数k 的取值范围是____.解析：可设2122,2y x x y kx =-+=+，其中212y x x =-+可转化为()2211x y -+=，[]02x ,∈，可转化成直线与圆的位置关系问题，画出图形，再进行求解。
高中数学_圆的方程题型总结_新人教A版必修2
圆的方程题型总结一、基础知识1．圆的方程圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________.圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________.二元二次方程220AxCy Dx Ey F 表示圆的条件为：(1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系：直线0Ax By C ++=，圆222()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________；（2）当______________时，直线与圆相离；当______________时，直线与圆相切； 当______________时，直线与圆相交； （3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系圆1C :222111xa yb r ； 圆2C :222222x a y b r则有：两圆相离⇔ __________________； 外切⇔__________________；相交⇔__________________________； 内切⇔_________________； 内含⇔_______________________.二、题型总结：（一）圆的方程☆1.22310x y x y ++--=的圆心坐标 ，半径 . ☆☆2．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ． 0<a <1C ．–1<a <51 D ．－51<a <1 ☆☆3．若方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（ ）A ．E F =B ．D F =C ．DE = D ．,,D EF 两两不相等☆☆☆4．圆0322222=++-++a a ay ax y x 的圆心在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限☆5.若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22430x y x y B. 22430x y x y C. 224340xy x yD. 224380x y x y☆☆6.过圆224x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ∆的外接圆方程是（ ）A. 42x y --22()+()=4 B. 2x y -22+()=4 C. 42x y ++22()+()=5 D. 21x y -+22()+()=5 ☆7.过点1,1A ,1,1B且圆心在直线20xy 上的圆的方程（ ）A. 22314xy B.22314x yC. 22111x y D. 22111x y☆☆8．圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ）A ．22(7)(1)1x y +++=B ．22(7)(2)1x y +++=C ． 22(6)(2)1x y +++= D ．22(6)(2)1x y ++-= ☆9．已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），求△ABC 外接圆的方程．☆10．求经过点A(2，－1)，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程．2.求轨迹方程☆11.圆224120x y y +--=上的动点Q ，定点()8,0A ，线段AQ 的中点轨迹方程________________ .☆☆☆12．方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是（ ） A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆☆☆13．已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．3.直线与圆的位置关系 ☆14.圆2211x y 的圆心到直线33yx 的距离是（ ）A.12B. 2☆☆15.过点2,1的直线中,被22240x y x y 截得弦长最长的直线方程为（ ）A. 350x yB. 370x yC. 330xy D. 310x y☆☆16.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）A. ），（2222-B. ），（22-C.），（4242- D. ），（8181- ☆17.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x☆☆18．过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax +2ay +2a +1=0的切线有两条，则a 取值范围是（ ） A ．a ＞－3 B ．a ＜－3C ．－3＜a ＜－52D ．－3＜a ＜－52或a ＞2 ☆☆19．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则EOF ∆（O为原点）的面积为（ ）A ．32B ．34C D ☆☆20．过点M （0，4），被圆4)1(22=+-y x 截得弦长为32的直线方程为 _ _．☆☆☆21．已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．☆☆☆22．已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．4.圆与圆的位置关系☆23.圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系为☆24．已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______ ____．☆25．两圆x 2+y 2－4x +6y =0和x 2+y 2－6x =0的连心线方程为（ ） A ．x +y +3=0 B ．2x －y －5=0C ．3x －y －9=0D ．4x －3y +7=0☆26．两圆221:2220C x y x y +++-=，222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条☆☆☆27．已知圆1C 的方程为0),(=y x f ，且),(00y x P 在圆1C 外，圆2C 的方程为),(y x f =),(00y x f ，则1C 与圆2C 一定（ ）A ．相离B ．相切C ．同心圆D ．相交☆☆28．求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=， 22x y +2280x y ++-=交点的圆的方程．5.综合问题☆☆29.点A 在圆222x y y +=上,点B 在直线1y x =-上,则AB 的最小 （ ）1 B 12-D 2☆☆30.若点P 在直线23100x y ++=上,直线,PA PB 分别切圆224x y +=于,A B 两点,则四边形PAOB 面积的最小值为（ ）A 24B 16C 8D 4☆☆31. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ ） A ．2=bB ．11≤<-b 且2-=bC ．11≤≤-bD ．以上答案都不对☆☆32.如果实数,x y 满足22410x y x +-+=求:（1）yx的最大值； （2）y x -的最小值；（3）22x y +的最值.☆☆33．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？圆的方程题型总结参考答案1. 3122(-,)2.D ；3.C ；4.D ；5.A ；6.D ；7.C ；8.A ； 9．解：解法一：设所求圆的方程是222()()x a y b r -+-=． ① 因为A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①，于是222222222(4)(1),(6)(3),(3)(0).a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩可解得21,3,25.a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以△ABC 的外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．解法二：因为△ABC 外接圆的圆心既在AB 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，所以先求AB 、BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标．∵31264AB k --==--，0(3)1363BC k --==---， 线段AB 的中点为（5，－1），线段BC 的中点为33(,)22-， ∴AB 的垂直平分线方程为11(5)2y x +=-， ①BC 的垂直平分线方程333()22y x +=-． ②解由①②联立的方程组可得1,3.x y =⎧⎨=-⎩∴△ABC 外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），半径||5r AE ===．故△ABC 外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．10．解：因为圆心在直线x y 2-=上，所以可设圆心坐标为(a ,-2a )，据题意得：2|12|)12()2(22--=+-+-a a a a ， ∴ 222)1(21)21()2(a a a +=-+-， ∴ a =1， ∴ 圆心为(1，－2)，半径为2， ∴所求的圆的方程为2)2()1(22=++-y x .11.41x y --22()+()=4；12.D ；13．解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合 P 1{|||||}2M MA MB ==．由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为平方后再整理，得 2216x y +=． 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．（2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以 122x x +=， 102y y +=．所以有122x x =-，12y y = ① 由（1）题知，M 是圆2216x y +=上的点，所以M 坐标（x 1，y 1）满足：221116x y +=②将①代入②整理，得22(1)4x y -+=．所以N 的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（如图中的虚圆为所求）． 14.A ；15.A ； 16.B ； 17.D ； 18.D ； 19.C ； 20.x =0或15x ＋8y －32=0；21．解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+04,072y x y x 解得⎩⎨⎧==1,3y x 即两直线的交点为A )1,3( 又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d ,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交.(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截得的最短弦长.此时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最短弦长为54. 又直线AC 的斜率21-=AC k ,所以直线BD 的斜率为 2.此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即22．解：由01220503206222=++-⇒⎩⎨⎧=-+=+-++m y y y x m y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧+==+∴51242121m y y y y又OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0,而x 1x 2=9－6(y 1+y 2)+4y 1y 2= 5274-m ∴05125274=++-m m 解得m =3. 23.相交； 24.02=-+y x ； 25.C ； 26.B ； 27.C ； 28．解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，解这个方程组求得两圆的交点坐标A （－4，0），B （0，2）．因所求圆心在直线0x y +=上，故设所求圆心坐标为(,)x x -，则它到上面的两上交点 （－4，0）和（0，2即412x =-，∴3x =-，3y x =-=，从而圆心坐标是（－3，3）．又r = 故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）同解法一求得两交点坐标A （－4，0），B （0，2），弦AB 的中垂线为230x y ++=，它与直线0x y +=交点（－3，3）就是圆心，又半径r = 故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法三：（用待定系数法求圆的方程）同解法一求得两交点坐标为A （－4，0），B （0，2）．设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=，因两点在此圆上，且圆心在0x y +=上，所以得方程组 222222(4)(3)0a b r a b r a b ⎧--+=⎪+-=⎨⎪+=⎩，解之得33a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）设所求圆的方程为222221024(228)0x y x y x y x y λ+-+-++++-=(1)λ≠-，即 222(1)2(5)8(3)0111x y x y λλλλλλ-+++-+-=+++．可知圆心坐标为15(,)11λλλλ-+-++．因圆心在直线0x y +=上，所以15011λλλλ-+-=++，解得2λ=-． 将2λ=-代入所设方程并化简，求圆的方程226680x y x y ++-+=．29.A ； 30.C ； 31.B ；32.（1）3；（2）62--；（3）()22min 43x y += ；()22max 743x y +=+.33．解：我们以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系． 这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为22230x y +=① 轮船航线所在直线l 的方程为17040x y +=，即472800x y +-=② 如果圆O 与直线l 有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O 与直线l 无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．由于圆心O （0，0）到直线l 的距离22|4070280|280306747d ⨯+⨯-==>+，所以直线l 与圆O 无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．。
(完整版)高中数学圆知识+习题总结.docx
1． 圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹 )标准方程(x － a)2＋ (y － b)2＝ r 2 (r ＞ 0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0，(D 2＋圆心： －D ，－E，一般方程22E 2－ 4F ＞ 0)半径：1D 2＋E 2－ 4F22． 直线与圆的位置关系 (半径为 r ，圆心到直线的距离为 d)相离 相切相交图形方程＜ 0＝ 0＞ 0量观点 化几何d ＞ rd ＝ rd ＜ r观点3． 圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1， r 2， d ＝ |O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形|r 1－ r 2|＜ d ＜d ＞ r 1＋ r 2 d ＝ r 1＋ r 2 d ＝ |r 1－ r 2| d ＜ |r 1－ r 2| r 1＋ r 24.弦长的 2 种求法(1) 代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式 ＞ 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2) 几何法：若弦心距为 d ，圆的半径长为 r ，则弦长 l ＝ 2 r 2－ d 2．1.圆 (x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 6 与直线 2x＋ y－ 5＝ 0 的位置关系是 ()A ．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离2.若直线 x－ y＋ 1＝ 0 与圆 (x－a)2＋ y2＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围为 ________．圆 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 9 上到直线3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离等于 1的点的个数为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 43.过原点且与直线6x－ 3y＋ 1＝ 0平行的直线 l 被圆 x2＋ (y－3)2＝ 7所截得的弦长为________．4.若圆 C1： x2＋ y2＝ 1 与圆 C2： x2＋ y2－ 6x－ 8y＋ m＝ 0 外切，则 m＝ ()A． 21B． 19C． 9D．－ 115.若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0(a＞ 0)的公共弦长为 2 3，则 a＝ ________．6.已知点 M 是直线 3x＋ 4y－ 2＝0 上的动点，点 N 为圆 (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 上的动点，则 |MN |的最小值是 ()A ．9B． 1 5413C．5D．51与圆 x2＋ y2－ 2x＝ 15 相交于点 A，B，则弦 AB 的垂直平分线方程的斜7.若直线 y＝－ x－ 22截式为 ________．8.已知圆 M ：x2＋ y2－ 2ay＝ 0(a＞ 0)截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1 的位置关系是 ()A ．内切B．相交C．外切D．相离9.已知圆 C 经过点 A(2，－ 1)，和直线x＋ y＝ 1 相切，且圆心在直线y＝－ 2x 上．(1)求圆 C 的方程；(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．。
(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出二在以=为直径的圆上。
而‘丄刚类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用的圆系方程有如下几种：⑴以宀为圆心的同心圆系方程:■ 1-■■_■■-⑵过直线’"T 与圆! 1的交点的圆系方程x2矽+£ + 兄（出+旳+U）三0⑶过两圆［「一、_1一 J八和圆〔-< I的交点的圆系方程IL I + ［此圆系方程中不包含圆：，直接应用该圆系方程，必须检验圆【是否满足题意, 谨防漏解。
当'=时，得到两圆公共弦所在直线方程（q・（耳-芯砂+（耳■用）=0例1:已知圆一::与直线「丁1相交于'L•两点，匚为坐标原点，若1 '-，求实数叫的值。
好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线" ——I与圆/ ! 1 -的交点的圆系方程为: b亠工一6戸+空+ 乂（戈+ 2丁一3）= 0 即又 n 满足方程①，则叱一口二：|故亡=：例2:求过两圆h ? _和’）I」’I _ 1：的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆•「一一和•「」I —一的公共弦方程为疋+b - 2弘［0-1尸 + 0 —1尸-16］二0 即2z+2^-ll=0过直线L与圆''■ —「的交点的圆系方程为依题意, 匚在以’-为直径的圆上，则圆心（显然在直线?+/ - 25+l(2x+2y-11) = 0分析：此题最易想到设出「」—「•，由…一-得到---•，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心i 必在公共弦所在直线- ；■■ -上。
即- 二+二八，则例3:求证：m为任意实数时，直线(m—1)x + (2m —1)y= m—5恒过一定点P，并求P点坐标。
2024高考数学常考题型 第18讲 直线与圆常考6种题型总结(解析板)
第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念轨迹）叫圆.平面内到定点的距离等于长的点的集二、基本性质、定理与公式1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：（x a) 2 (yb)2r 2，圆心坐标为(a,b)，半径为r(r 0)（ 2 ）圆的一般方程：x 2 y2 Dx Ey F 0(D 2 E24F0)，圆心坐标为D,E22半径r D2E24F2(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 04）圆的参数方程：3）圆的直径式方程若A(x1, y1),B(x2,y2)，则以线段AB 为直径的圆的方程是①x222y2 r2（r 0）的参数方程为x r cos yrsin为参数）；2 2 2② (x a) 2 (y b)2 r 2 (r 0) 的参数方程为x a r cos y br sin为参数）注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a r cos ,b r sin ) ( 为参数，（a,b）为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点P（x0,y0）与圆（x a)222（y b）2 r 2的位置关系：①(x a)2(y b)2 r2点P 在圆外；②(x a)2(y b)2 r2点P 在圆上；③(x a)2(y b)2 r 2点P在圆内.（2）点P（x0,y0）与圆x2y 2Dx Ey F 0 的位置关系① x022y02Dx0Ey0F0点P 在圆外；② x022yDx0Ey0F0点P 在圆上；③ x022y0Dx0Ey0F0点P 在圆内.题型归纳及思路提示题型 1 求圆的方程 思路提示( 1)求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b)和半径 r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点 .因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法 .(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上， 半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等 . 例 9.17 根据下列条件求圆的方程：( 1) ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5), 求其外接圆的方程； ( 2)经过点 A(6,5), B(0,1), 且圆心在直线 3x+10y+9=0 上； (3)经过点 P(-2,4),Q(3,-1),且在 x 轴上截得的弦长等于 6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可 .解析 (1)解法一：设所求圆的方程为 x 2 y 2 Dx Ey F 0，则由题意有，D 5E F26 0 D 4 2D 2E F 8 0 解得 E 2 5D 5E F 50 0 F20故所求圆的方程为 x 2 y 2 4x 2y 20 0解法二：由题意可求得 AC 的中垂线方程为 x=2,BC 的中垂线方程为 x+y-3=0，所以圆心是两条中垂线 的交点 P(2,1),且半径 r |AP| (2 1)2 (1 5)2 5所以所求圆的方程为 (x 2) 2 (y 1)2 25 即 x 2 y 2 4x 2y 20 03AB 的中点 (3,3)，则由点斜式可得 y 3 (x 3) ， 2即线段 AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0Dx Ey F 0 ，将点 P ，Q 的坐标分别代入，得2有(x 1 x 2)2 4x 1x 2 36 ，即 D 2 4F 36由3x 2y 15 3x 10y 900，解得7，3 所以圆心为C(7,-3),又| BC |65故所求的圆的方程为 (x 7)2 (y 3)2652D 4E F3D E F20，又令 y=0,得 x 210Dx F 0.设x 1,x 2是方程 的两 根，则 由韦 达定理 有x 1 x2D,x 1x 2F ，由 | x 1 x 2 | 6 2)AB 的中垂线与 AB 垂直，则斜率 k3)设圆的方程为 x 2 y 2D2 D 6 解得 E4或 E 8 F8F故所求圆的方程为 2 x 2 2 2y 2 2x 4y 8 0或 x 2 y 2 6x 8y 0 评注 圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程 .求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的 选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程 .即首先设出圆的方程 (标准方程或一般方程) ，然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程(组) ，解方程或方程组即可求得 圆的方程 .一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.变式 1 求过点 A(6,0),B(1,5), 且圆心在直线 l :2x 7y 8 0 上的圆的方程 .变式 2 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C 的方程例 9.18 已知圆的半径为 10 ，圆心在直线 y=2x 上，圆被直线 y=x 截得的弦长为 4 2 ，求此圆的方程 分析 求圆的标准方程，就是求 (x a)2 (y b)2 r 2中的 a,b,r ，可优先考虑待定系数法 .由圆在直线 y=x 上截得的弦长为 4 2 ，将 y=x 代入 (x a)2 (y b) 2 10，整理得 2x 2 2(a b)x a 2 b 2 10 0由弦长公式，得 2 | x 1 x 2 | 4 2b=2a ，解得 a 2 或 ab 4 b评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程即 2 (a b)22(a 2 b 210) 4 2 ，化简得 ab 2 (②)a 2a 2由式①②可得或b 4b4故所求圆的方程为(x 2) 2(y 4)210 或 (x 2)22(y 4)210解法二：据几何性质， 半径、 弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距d r 2 (2 2)2 2 ，又弦心距等于圆心 (a,b)到直线 x-y=0 的距离，即 d2 ，又已知解析 解法设圆的方程为 (x a)2 (y b)210.由圆心在直线 y=2x 上，得 b=2a (①)故所求圆的方程为 (x 2) 2 (y 4)210或 (x 2)2 (y 4)210|a b|变式 1 求与 x 轴相切，圆心在直线 3x-y=0 上，且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7 的圆的方程解法二：(排除法)2 0 12 ，故排除选项 A,B ，在选项 C 中，圆心为 (-3,2) ，验证两圆圆心所在的直线的斜率为 2 0 1 ，与3 1 2直线 2x y 3 0 垂直 .故选 C评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径 保持不变 .变式 1 若不同两点 P,Q 的坐标分别为， (a,b),(3 b,3 a) ,则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 ___________ ， 圆(x 2)2 (y 3)2 1关于直线 l 对称的圆的方程为 ______________ 题型 2 直线系方程和圆系方程思路提示 求过两直线交点(两圆交点或直线与圆交点)的直线方程(圆系方程)一般不需求其交点，而是利用 它们的直线系方程(圆系方程) .(1)直线系方程：若直线l 1 : A 1x B 1y C 1 0与直线l 2 : A 2x B 2y C 2 0相交于点 P ，则过点 P 的直线系方程为： 1(A 1xB 1yC 1)2(A 2x B 2y C 2) 0 (12220)简记为： 1l 1 2l 2 0( 12 22 0)2 例 9.19 圆 x 2y 2 2x 1 0 关于直线 2x-y+3=0 对称的圆的方程是( ) A. (x 3)2 (y 2)2 B. (x 3)2 (y 2)2C.(x23) 2(y2)222D. (x 3)2(y 2)2解析 解法一： 推演法)将圆的方程 x 2 y 22x 0 化为标准方程 (x 1)y 2 ，得圆心为 (1,0) ，半径为 2 ，设对称圆的圆心坐标为 (a,b) ，则a 1 b222 b 0 1 a 1 230,得故对称圆的方程是 (x3)2(y 2)2 2 将圆的方程 x 22x 1 0 化为标准方程 (x 2)2y 2 2,得 r 2 ,则对称圆的半径也应为0 时，简记为： l 1l 2 0(不含 l 2 )（2）圆系方程：若圆 C 1 22:x yD 1xE 1yF 1 0 与圆 C 2 : x 22yD 2xE 2 yF 2 0 相交于 A,B 两 点则过 A,B两 点的 圆系方程为：22x yD 1xE 1yF 122(x 2y 2D 2xE 2yF 2)0( 1)简记为： C 1 C 2 0(1），不含C 2当 1 时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）l :(D 1 D 2)x (E 1 E 2)y F 1 F 2 0注 与圆 C 共根轴 l 的圆系 C :C l 0例 9.20 （1） 设直线 l 1 :x y 1 0 与直线 l 2 :2x y 2 0 相 交于点 P,求过点 P 且与直线 l 3 :2x 3y 1 0平行的直线l 4的方程 .（ 2）求圆心在直线 3x 4y 1 0 上且过两圆 x 2 y 2 x y 2 0 与 x 2 y 2 5 的交点的圆的方 程.分析 把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利 用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案 .即l 4 :2x 3y 21，故圆心为 2（1 ）1 ，- 1 （21 ）-（21 ）评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往解法二：设 l 4 :2x(x 1) 0，即 l 4 :(2 )x (1 )y因为l 4//l 3，所以(32(21 ），得8，故 l 4 :2x 3y 2（2）设所求圆为x(x y 5) 0( 1)化为一般式 x 2 y 225y1代入直线 3x 4y中，得3 4 2(1 ) 2(110解得32，把23代入所设的方程中，得故所求圆的方程为 y 2 2x 2y 11 0 2y 22x 2y 11解析 （ 1）解法一：由x 2x y10y20，得交点 P( 1,0) .因为 l 4//l3， 故设 l 4 :2x 3y C 0，又l 4过点 P( 1,0) ，故 2( 1)0， 得CD1 所以 2 2(1能够简化运算，快速得出结论 .22变式 1 过直线 2x y 4 0和圆 x 2 y 2 2x 4y 1 0 的交点且面积最小的圆的方程是 ________________________ 变式 2 （1）设直线 l 1:x y 0与直线 l 2 :x y 4 0相交于点 P ，求过点 P 且与直线 l 3:3x 4y 5 0 垂直的直线 l 4的方程 .（ 2）已知圆 C: x 2 y 2 2x 4y m 0，若直线 l: x y 2 0与圆 C 相交于 A,B 两点，且 OA OB （O 为坐标原点） ，求 m 的值和以 AB 为直径的圆的方程 .题型 3 与圆有关的轨迹问题 思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标 x,y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或 转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在 .例 9.21（2012 北京丰台高三期末理 18）在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点，动点 P 与两个定点1M （1,0）, N （4,0） 的距离之比为 .2（ 1）求动点 P 的轨迹 W 的方程；（2）若直线 l : y kx 3与曲线 W 交于 A,B 两点，在曲线 W 上是否存在 一点 Q ，使得 OQ OA OB ， 若存在，求出此时直线 l 的斜率；若不存在，说明理由 .解析 （1）设点 P 的坐标为 P （x,y ），由题意知 |PM | 1，即 2 （x 1）2 y 2（x 4）2 y 2|PN | 2即W :x 2 y 2 43（2）因为直线 l: y kx 3与曲线 W 相交于 A,B 两点，所以 d （O,l ） 3 21 k2假设曲线 W 上存在点 Q ，使得 OQ OA OB,| OQ | 2因为 A,B 在圆上，所以 |OA| |OB|，且 OQ OA OB 由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形，所以 OQ 与 AB 互相垂直平分 13 故d （O,l ） 1 |OQ| 1，即1，解得 k 2 2 ，符合式①2 1 k 2所以存在点 Q ，使得 OQ OA OB评注 在平面上到两定点的距离之比不为 1 的正数的动点轨迹为圆 .即k5或k2变式 1 在ABC中，若AB 2,AC 2BC，则S ABC的最大值为 _________________变式 2 （2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面l,A,B是l 上的两个点，C,D在平面内，且DA ,CB ,AD=4,AB=6,BC=8，在平面上有一个动点P，使得APD BPC ，则P-ABCD 体积的最大值是（）A. 24 3B.16C.48D.144例9.22 如图9-11 所示，已知P（4,0）是圆x2 y2 36内的一点，A,B是圆上两动点，且满足APB 90 ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程解析解法一：设AB 的中点为R,点Q的坐标为(x,y),则在Rt ABP中| AR | | PR |，又因为R是弦AB 的中点，由垂径定理，在Rt ORA中| AR|2 |OR|2 36，又2(|OQ |2 |OP|2) (2|OR |)2 (2|PR |) 2(*),得|OQ|2 |OP|2 2(| OR |2 | PR|2) 2 36 72,故|OQ |2 72 |OP|2 56则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是x2 y2 56解法二：设AB 的中点为R，Q 的坐标为(x,y),则R x 4,y，在矩形APBQ中有| PR | |AR| 1|PQ |2 2 2在Rt ORA中，|OR|2 | RA|2 |OA|2 3622则x 4 y 1x 42y236，即x2y2 562 2 4评注式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ 中，O 为矩形APBQ2 2 2 2外一点，有OP OQ OA OB22 变式 1 已知圆x2 y2 4 上一定点A（2,0）,B（1,1）为圆内的一定点，P，Q 为圆上的动点.（1）求线段AP中点M 的轨迹方程；（2）若PBQ 90 ，求线段PQ中点N 的轨迹.变式 2 已知点P（0,5）及圆C :x 2 y2 4x 12y 24 0（1）直线l 过P且被圆C截得的线段长| AB| 4 3，求l 的方程；（2）求过点P的圆C的动弦的中点M 的轨迹方程.题型 4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件思路提示方程x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是D2 E2 4F 0 ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为D, E，半径22r 21 D 2 E2 4F例9.23 方程2x y 2 ax 2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是（）22A. ,2B. ,0C2,0 D. 2,33解析由x22yax 2ay 2a2a10可得x a2(y a)232 a a1024即3a24a 4 0 ，得2a2故选D3.评注对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可 变式 1方程 2x 2 y4mx 2y4m表示圆的方程的充要条件是（ ）A.m 1,1B. m 1,411C. mD. m, (1, )44变式 2 若圆 2x2y(a 2 1)x2ay a 0 关于直线 x y 1 0 对称，则实数 a 的值为题型 5 点与圆的位置关系判断思路提示 在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他 约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约 .题型 6 与圆有关的最值问题思路提示 解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到 灵活、高效 .例 9.25 已知实数 x,y 满足方程 x 2 y 2 4x 1 01）求 y 的最大值和最小值；x2）求 y x 的最大值和最小值；3）求 x 2 y 2 的最大值和最小值 分析 方程 x 2 y 2 4x 1 0表示圆心为（ 2， 0），半径为 3的圆. y y 0的几何意义是圆上一点 x x 0A. ( 1,1)B.(0,1)C.( . , 1) (1, )D.1,1解析 点 A （1,1）在圆内部，满足 （x a ）2(ya )24， 即 (1 a)2 (1故选 A评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为2若点 P(x 0,y 0)在圆上 ,则 (x 0 a)2(y 0 b)2 2r；若点 P(x 0,y 0)在圆外 ,则 (x 0 a)2(y 0 b)2 2r ；若点 P(x 0,y 0)在圆内 ,则 (x 0 a)2 (y 0b)22r反之也成立 .变式 1 点 A(1,0)在圆 x 2y 22ax a 2 3a3 0上， 则a 的值为___变式 2 过占 P （1,2）可以向圆 x 2 y 2 2x4yk 20引两条切线，则A. ( ,7)B. (0,7)C.(3,7)D.(5,)k 的范围是（ ）例 9.24 若点 A(1,1)在圆 (x a)2 (y a)22 a)24 ，解得 1 a 14的内部，则实数 a 的取值范围是（ ）M （x,y ） 与原点连线的斜率；设 y-x=b ，可看作直线 y=x+b 在 y 轴上的截距； x 2 y 2 是圆上一点与原点距离 的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解 .解析 （1）原方程可化为 （x 2）2 y 2 3 ，表示以点（ 2，0）为圆心，以 3为半径的圆 .设 y k ，即 xy kx .当直线 y kx 与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时 |2k 0| 3 ，解得 k 3k 2 1故 y 的最大值为 3 ，最小值为 3x（2）设 y-x=b ，即 y=x+b ，当 y=x+b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值， 此时 |2 0 b| 3， 2 即 b 2 6 ，故 y-x 的最大值为 2 6 ，最小值为 2 6（3）解法一：（几何法） x 2 y 2 表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心 连 线 与圆 的 两 个 交 点 处 取得 最 大值 和最 小 值， 又圆 心 到 原 点 的 距 离 为 2 ， 故x 2 y 2 max （2 3）2 7 4 3 , x 2 y 2 min （2 3）2 7 4 3解法二：（参数方程法）把圆的方程化为标准方程 （x 2）2 y 2 3x 2 3cos 设 （ 为参数 , [0,2 ） ） y 3sin则 x 2 y 2 23cos 2(3sin )27 4 3cos 故当 cos1时， 2 x2 y 2min(2 3)27 4 3 当 cos 1 时， x 22 ymax(2 3)2 743解法三：（方程消元法）由圆的标准方程为 （x 2）2 y 2 3 ，可得 y 2 3 （x 2）2且x 2 3,23故 x22yx 23 (x2)2 4x 1由x2 3,23故 x22y4x17 4 3,743故所求最大值为 7 4 3 ，最小值为 7 4 3评注 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解 .一般地：1)形如 y b 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 . xa2) 形如 t ax by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题 .223)形如 m (x a)2 (y b)2 的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题变式 1 若圆 x 2 (y 1)2 1上任意一点 ( x,y)都使不等式 x y m 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ()A. ( ,12]B.[1 2,)C.( , 2 1]D.(,21]变式 2 若圆x2(y 1) 21上任意一点(x,y)都使不等式(x2)2 2 ym0 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. ( ,12]B.[1 5,)C.( , 5 1]D.(,51]题型7 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例9.26 方程y 25 x2表示的曲线是( )A.一条射线B. 一个圆C.两条射线D.半个圆分析对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围22解析由题可知5 x 5,y 0 ，且x2 y2 25 ，故原方程表示圆心在( 0，0)，半径为5的下半圆. 故选D变式 1 方程x 1 y2表示的曲线是( )A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆例9.27 直线y x b 与曲线x12y2有且仅有个公共点，则 b 的取值范围是( )A. 2, 2B.b|1b1或b 2C. b| 1 b 1D. b|b2分析利用数形结合法求解解析将曲线方程x1 2 y变形为22x2 y2 1(x0) ，当直线2y x b 与曲线x2y2 1 相切时，足|0 0 b| 1，整理可得|b| 2，即b 2.如图9-12所示，可得当b 2或1 b 1时，直2线y x b 与曲线x 1 y2有且仅有一个公共点.故选B变式 1 当曲线y 1 4 x2与直线y k(x 2) 4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( 变式 2 若直线y x b 与曲线y 3 4A. 1,1 2 2B. 1 2 2,1 2 2变式 3 设集合A (x,y)m(x 2)2C. 1 2 2,3x x2有公共点，则 b 的取值范围是(D. 1 2,322y2m2,x,y R ,B (x,y)2m x y 2m 1,x,y R ，若AI B ，则实数m 的取值范围是有效训练题1.若直线y=kx 与圆x2y24x0的两个交点关于直线x+y+b=0 对称，则(A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-22.若点(4a-1,3a+2)不在圆(x 1)2(y 2)225的外部，则 a 的取值范围是( )55A. ,55 B. ( 1,1) C.5 , 5 D.[ 1,1]55223.设椭圆x2y2 1(aab b 0) 的离心率为1，右焦点为2F(c,0) ，方程ax 2bx c 0 的两个实根分别为x1和x2 ，则点P(x1,x2)2 A. 必在圆x y 2 2内 B.必在圆22x2y22 上2 C.必在圆x2y2 2 外 D.以上三种情形都有可能22 4.已知圆x2 y24 ，过点A(4,0) 作圆的割线ABC ，则弦BC中点的轨迹方程是(2 2 1A. (x 1)2 y2 4 1 x 1222B. (x 1)2 y 2 4 0 x 1x 2 y 2 2x2y 的最小值是的轨迹方程 .2m ,m R ，设集合 B 是所有 B( m)的并集，求 A B 的面积22C. (x 2)2 y 241x22D. (x 2)2y 25.已知两点 A(-1,0),B(0,2)， 点 P 是圆 (x 1) 2 y 21 上任意一点， PAB 面积的最大值与最小值分别是) A. 2,1(4 5) 2 C. 5,4 5 6.已知圆 C 的方程为 x 2 ) 1A.3 1 B. 5 7.定义在 (0,1 5), (4 5)2 1 1 B. (4 211( 5 2), ( 5 2) 22 D. C. ) 上的 函数 2x 2y 1 0 ，当圆心 C 到直线 kx y40的距离最大时， k 的值为D. f(x)的导函数 f'(x) 0恒 成立， f(4) 1，若 f(x 2 y 2) 1 ，则8.已知圆 C 经过 A 5,1 ,B 1,3 两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为 9.已知直线 l : y x m,m R .若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P ， 且点 P 在 y 轴上，该圆的方程为 ______ 10.根据下列条件求圆的方程 1) 经过点 P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线 2x 3y 1 0 上； 2) 圆心在直线 y 4x 上，且与直线 l :x y 1 0相切于点 P(3, 2) ； 3) 过三点 A(1,12), B(7,10), C( 9,2)4) 已知一圆过 P(4, 2),Q( 1,3) 两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ，求圆的方程 .11.设定点 M ( 3,4) ，动点 N 在圆 x22y4 上运动， 以 OM ,ON 为两边做平行四边形 MONP ，求点P12.集合 A (x,y)|(x 5)2 (y1)24，集合 B(m) (x,y)|y x 2 2mx。
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程1.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x —a)2(y _b)2=r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是:2 2 2x y才.2•点与圆的位置关系：(1) . 设点到圆心的距离为d，圆半径为r:a. 点在圆内'd< r;b. 点在圆上「.一」d=r;c. 点在圆外■—d > r (2). 给定点M(x o，y。
)及圆C:(x_a)2(y_b)2=r2.①M 在圆 C 内=(X o—a)2(y°_b)2 :::r2②M 在圆 C 上:二(x o -a)2(y o -b)2 =r2③ M 在圆 C 外=(x o—a)2(y°4)2r2(3)涉及最值：讨论PB的最值PB .= BN = BC — rminPB = BM = BC +rmax②圆内一点A，圆上一动点P ,讨论PA的最值PA min = AN …ACPA = AM = r + ACmax思考：过此A点作最短的弦？(此弦垂直AC )3.圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F = 0 .(1)当D2 E2-4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心C上,上，半I 2 2丿径°2E2/F2 '⑵当D2E2-4F=0时，方程表示一个点-D,-E .I 2 2丿⑶当D2・E2MF：：：0时，方程不表示任何图形.注：方程Ax2- Bxy Cy 2Dx Ey F =0表示圆的充要条件是： B = 0且A=C =0且D2E2-4AF -0 .4. 直线与圆的位置关系：直线Ax By C =0与圆(x -a)2(y -b)2二r2圆心到直线的距离—z+Bb+ciQ A2+B21) d •「：=直线与圆相离二无交点；2) d =r：=直线与圆相切二只有一个交点；还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组3) d ::: r = 直线与圆相交=有两个交点；弦长|AB|=2 r2-d2-0‘Ax+By +C =0求解，通过解的个数来判断: ,2 +y2+DX +Ey +F-0(1) 当.—0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交; (2) 当厶=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切; (3) 当—：0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系 (1)设两圆 G :(x —aj 2• (y—bj 2二『与圆 C 2: (x-a ?)2 (y 弋)2二叮，圆心距d 二⑻说)2 (bi-d)2①d r i外离4条公切线；②d = r i • a =外切=3条公切线；③* _r 2| ；：d :::片十2：二相交二2条公切线；(2) 两圆公共弦所在直线方程 圆 G : x 2 y 2 D 1X E 1y F^0， 圆 C 2 : x 2 y 2 D 2X E ?y F 2 =0，则。
圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结由于题目对于具体的格式并没有限制，下面将逐步介绍圆的方程知识点以及一些相关题型的归纳总结。
一、圆的基本知识在开始介绍圆的方程之前，我们先来回顾一些与圆相关的基本知识：1. 定义：圆是由平面上到一个定点的距离恒等于一个定值的所有点的集合。
2. 元素：圆心、半径。
3. 直径：连接圆上任意两个点，并通过圆心的线段称为圆的直径，它的长度是半径的两倍。
4. 弦：连接圆上的两个点，并没有通过圆心的线段。
5. 弧：连接圆上的两个点，并在圆上的部分。
6. 弧长：弧所对应的圆周上的一部分的长度。
二、圆的方程类型及示例1. 标准方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2在标准方程中，(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
例如，圆的方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25。
2. 一般方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0在一般方程中，系数D、E、F的值决定了圆心与半径的关系，可以通过配方将一般方程转化为标准方程。
例如，圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0。
三、常见的圆相关题型归纳1. 求圆心和半径：已知圆的方程，求圆心和半径的长度。
策略：将方程与标准方程形式进行对比，通过对坐标系上的平移和缩放得到圆心和半径。
示例：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0，则圆心为(3, 2)，半径为√10。
2. 求圆与直线的交点：已知圆心、半径和直线方程，求圆与直线的交点坐标。
策略：将直线方程代入圆的方程，解圆方程与直线方程联立方程组，求解得到交点坐标。
示例：已知圆的方程为(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5，直线方程为y = 2x + 1，则交点坐标为(-1, -1)和(2, 5)。
3. 判断点的位置关系：已知圆心、半径和点的坐标，判断点与圆的位置关系。
策略：计算点到圆心的距离，与半径进行比较。
高二数学圆与方程知识点总结与经典题型
圆与方程教学目标1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点，会根据已知条件求圆的标准方程.2.正确理解圆的方程的形式及特点，会在不同条件下求圆的一般方程，以及由一般式求圆心和半径.3.能准确判断点与圆的位置关系.类型一求圆的标准方程(基础)例1.求下列圆的标准方程．(1)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(2)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．(3)求经过点A(1，－1)，B(－1，1)面积最小的圆的标准方程.类型二点与圆的位置关系的判断(基础)例2-1.已知两点P1(4，9)和P2(6，3)．(1)求以P1P2为直径的圆C的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆C上，在圆C内，还是在圆C外？(基础)例2-2.已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.类型三利用圆的定义与标准方程求最值(提升)例3.已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，(1)求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值．(2)求yx－4的最大值与最小值．类型四圆的一般方程的定义(基础)例4.判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．类型五求圆的一般方程(基础)例5.已知∈ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求∈ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.类型六求动点的轨迹方程(提升)例6.已知Rt∈ABC中，A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．知识点一圆的定义及圆的标准方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径. 2.圆的标准方程设圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2＋y2＝r2．知识点二点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|>r，则点M在圆外；若|CM|<r，则点M在圆内.(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M (m ，n )在圆C 上∈(m －a )2＋(n －b )2＝r 2；点M (m ，n )在圆C 外∈(m －a )2＋(n －b )2>r 2；点M (m ，n )在圆C 内∈(m －a )2＋(n －b )2<r 2.知识点三 圆的一般方程的定义1.当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，，半径为2422F E D -+. 2.当D 2＋E 2－4F =0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，. 3.当D 2＋E 2－4F<0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形.知识点四 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).则其位置关系如下表： 位置关系代数关系 点M 在圆外x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F >0 点M 在圆上x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 点M 在圆内x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F <0【拓展】有关圆的最值问题，常借助于图形性质，利用数形结合求解．一般地，①形如k ＝y －b x －a的最值问题可转化为求动直线斜率的最值问题； ②形如t ＝ax ＋by 的最值问题转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题转化为圆上一动点到定点(a ，b )的最值问题．类型一 求圆的标准方程(基础)【变式1】已知∈ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．类型二 点与圆的位置关系的判断(基础)【变式2】点P (5a ＋1，12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a <113C ．－15<a <15D ．－113<a <113类型三 利用圆的定义与标准方程求最值(基础)【变式3】已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0，1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|P A |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值．类型四 圆的一般方程的定义(基础)【变式4】若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．类型五 求圆的一般方程(基础)【变式5】已知一圆过P (4，－2)，Q (－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．类型六 求动点的轨迹方程(提升)【变式6-1】已知线段AB 的端点B 的坐标是(5，3)，端点A 在圆(x －1)2＋y 2＝2上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．(基础)【变式6-2】求到点O (0，0)的距离是到点A (3，0)的距离的21的点的轨迹方程.总结优化1.已知圆的圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得的线段长为8，求该圆的标准方程. 标准方程 圆的方程一般方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)(基础)1．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0(基础)2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －3)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5(基础)3．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋2C ．2＋22 D ．1＋22 (基础)4．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，23 (提升)5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为________． (提升)6．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是__________．(基础)7．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________．(基础)8．已知圆C过点A(4，7)，B(－3，6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C 的方程．(提升)9．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．(基础)10．方程|x |－1＝()211--y 所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆(基础)11．已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B ．12(4＋5)，12(4－5) C ．5，4－ 5 D ．12(5＋2)，12(5－2)(基础)12．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10(提升)13．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．(提升)14．已知平面上两点A (－2，0)，B (2，0)，在圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4上取一点P ，求使|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标，取得最大值时点P 的坐标，并求出最大、最小值．(提升)15．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．11。
高中圆的题型总结
高中圆的题型总结一、圆的定义与性质总结：1.圆的定义：一个平面上所有与给定点（中心）距离相等的点的集合称为圆。
2.圆的基本性质总结：3.（1）圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等。
4.（2）圆内接四边形的对角互补，即两个对角和为180度。
5.（3）切线的性质：切线与过切点的半径垂直，且过切点的半径是唯一一条与切线垂直的线段。
二、圆的标准方程总结1.圆的标准方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
2.根据已知条件，可以求出圆的标准方程。
三、圆与直线的位置关系题型总结：1.当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交。
2.当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切。
3.当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离。
四、圆与圆的位置关系题型总结：1.当两圆的圆心距大于两圆半径之和时，两圆外离。
2.当两圆的圆心距等于两圆半径之和时，两圆外切。
3.当两圆的圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差时，两圆相交。
4.当两圆的圆心距等于两圆半径之差时，两圆内切。
5.当两圆的圆心距小于两圆半径之差时，两圆内含。
五、圆的切线的性质与判定总结：1.切线的性质：切线与过切点的半径垂直，且过切点的半径是唯一一条与切线垂直的线段。
2.切线的判定：如果一条直线过圆上一点，且该点到直线的垂线段的中点在圆上，则该直线为圆的切线。
六、圆的弧长的计算题总结：1.弧长的计算公式为$l=|\alpha|\cdot r$，其中$\alpha$为弧所对的中心角（单位为弧度），r为半径。
2.如果弧所对的中心角不是特殊角，可以通过计算得到弧长。
七、圆的面积的计算总结：1.圆的面积公式为$S=\pi r^{2}$。
2.如果已知圆的半径或直径，可以直接代入公式计算面积。
高中数学圆的方程典型例题总结归纳
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．上题若点为(1,3)呢?类型三：弦长、弧问题例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为类型四：直线与圆的位置关系.例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．类型五：圆与圆的位置关系例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
类型六：圆中的对称问题例17 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．说明：本题亦可把圆对称到x 轴下方，再求解．再比如圆关于某点\某直线的对称问题:类型七：圆中的最值问题例19 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑数形结合解决．类型九：圆的综合应用例25、 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．分析：设P 、Q 两点的坐标为),(11y x 、),(22y x ，则由1-=⋅O Q O P k k ，可得02121=+y y x x ，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra ra 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴21422=++-k k 解得43=k所以()4243+-=x y 即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．类型三：弦长、弧问题例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .类型四：直线与圆的位置关系.例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 类型五：圆与圆的位置关系 例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
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高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用的圆系方程有如下几种：⑴以为圆心的同心圆系方程⑵过直线与圆的交点的圆系方程⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。
当时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。
分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。
倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。
而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即………………….①依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。
即，则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。
分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1，即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x=21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________.解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2例6 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设∵m ∈R ，∴得所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．类型三：圆中的最值问题例7：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .例8 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求yx 2-的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(22=-+-y x ．可设圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 4,cos 3θθy x （θ是参数）．则θθθθ2222sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中34tan =φ）． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'1d 减去半径1．所以6143221=++=d ．4143222=-+=d ．所以36max =d ．16min =d ．(2) (法1)由1)2(22=++y x 得圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2θθy x θ是参数．则3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3cos 2sin θθ， 得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ1)sin(1322≤-=+-⇒φθt t 433433+≤≤-⇒t ． 所以433max +=t ，433min -=t ． 即12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x ． 所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--． (法2)设k x y =--12，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由11222=++--=k k k d ，得433±=k ． 所以12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．由152=--=m d ，得52±-=m ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．例9、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．设圆1)1(22=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4sin(21)cos (sin -+-=-+-=πθθθu∴12max -=u 即12-≥m ．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(r b y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．。