21利率期限结构模型
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wj =
∑1/ Dur
1/ Durj
j
而将参数
β
( Pt j Pt j ) 2 的估计过程定义为: β = arg min w ∑ β n j =1
n * 2 j
多项式样条法
多项式样条函数假设折现因子是到期期限s的多项式 分段连续函数 D ( s ) . 在运用此函数时,仔细选择多项式的阶数是至关重要 的.阶数的多少决定了利率曲线的平滑程度和拟合程 度,同时也影响到待估参数的数量.本书将多项式样 条函数的阶数定为3.这是因为,当多项式样条函数 (2) 为二阶时,D ( s ) 的二阶导数 D (s)是离散的;当阶数过 高(四阶或五阶)时,验证三阶或四阶导数是否连续 的难度将增大,待估参数的数量也将增大.
常见的利率期限结构有以下四种: 贴现因子曲线(discount factor curve): → B (t , t + θ ) θ 零息票收益曲线(zero-coupon yield curve), (常用): → R (t , θ ) 或 θ → R (t , θ ) ; θ 远期利率曲线(forward rates curve): T → F (t , s, T s ) 瞬时远期利率期限结构(instantaneous forward term structure),(常用):s → f (t , s ) . ;
一般选用如下形式的多项式样条函数:
D1 (s) = a1 + b1s + c1s 2 + d1s3 2 3 D2 ( s) = a2 + b2 s + c2 s + d2 s D( s ) = D3 ( s) = a3 + b3 s + c3 s 2 + d3 s3 ...........
(1) (2) 其中 D (Ti ), D (Ti )分别为D (Ti ) 的一阶导数和二阶导数.
例如,考虑30年期的贴现率函数,可以用三次多项式分段 拟合如下:
D0 ( s ) = a1 + b1s + c1s 2 + d1s 3 D( s ) = D5 ( s ) = a2 + b2 s + c2 s 2 + d 2 s 3 D10 ( s ) = a3 + b3 s + c3 s 2 + d3 s 3 s ∈ [0, 5] s ∈ [5,10] s ∈ [10,30]
利率期限结构模型
多项式样条法(McCulloch,1971,1975) 样条函数模型 静态模型 指数样条法(Vasicek&Fong,1982) B样条法,(Steeley,1991) Nelson-Siegel模型(Nelsen &Siegel,1987) 节约型模型 Svensson扩展模型(Svensson,1994)
Pt j = ∑ Fs( j ) f ( s t ; β )
s
于是,假想出贴现函数 B(t , s ) ≡ f ( s t ; β1 ) 或零息票债券利率
R(t , s t ) ≡ g ( s t ; β 2 )的具体形式,其中 β 和 β 为参数向量.然后 1 2 利用假想出的具体形式,来推导附息债券的理论价格,当推导出的 理论价格与给定的市场价格最为接近时,就可以估计出由 β1 和 β 2 构成的参数向量,即:
β0
Nelson-Siegel模型及其扩展形式 模型及其扩展形式
Nelson-Siegel模型可以由一个公式来说明,该公式的形式与那些描述 动态利率的普通微分方程的解的表达式十分类似.该公式为:
θ θ θ ) + β 2 exp( ) τ1 τ1 τ1 其中, f (0, θ ) 表示即期计算的,在未来时间 θ 时发生的瞬间远期利 率. β 0 , β1 , β 2以及τ 1 均为待估参数.利用 f (0,θ ) = β 0 + β1 exp(
β = arg min ∑ ( Pt j Pt j ) 2
*
n
β
j =1
其中,Pt j 是从模型
Pt j = ∑ Fs( j ) f ( s t ; β )
或模型
s
s
Pt j = ∑ Fs( j ) exp[( s t ) g ( s t ; β )]
推导出的附息债券理论价格.
显然,债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种,而由此带来 的结果是:以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券. 这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征,导致的结 果往往是收益率曲线在远端出现"过度拟合"(Over fitting)的情况, 而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况. 为了解决这一问题,应该对短期债券赋予较高的权重,而对长期 债券赋予较低的权重,从而允许长期债券存在较高的误差.在Bolder和 Streliski (1999)的论文中,设定了如下的权重系数:
θ
年的连续复合利率.有:
B (t , t + θ ) = exp[ θ R (t , θ )]
F (t , s, T s ) 在时间t计算的,起息日为时间s,剩余到期期限为T-s的远 期利率.有:
B f (t , s, T ) = B(t , T ) = exp[(T s ) F (t , s, T s )] B(t , s )
通常,使用静态模型拟合利率期限结构的具体过程如下:
首先,从市场上选出一组无违约风险的附息债券.设该组附息债券在时 s 间t的市场价格为 Pt j ,在时间s的现金流入为 Fs( j ),其中, ≥ t ,j表示 该组的第j支债券. 由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系,因此必须 先调整"息票效应"(Coupon Effect).息票效应是指:对于剩余到 期期限相同的债券来说,它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构 有关,还与它们的票面利率水平有关.对于相同的即期利率期限结构而 言,到期收益率是这些即期利率的加权平均,而权重是各个现金流的现 值.
其中,函数必须满足以下的7个约束条件:
( D0i ) (5) = D5(i ) (5) (i ) (i ) D5 (10) = D10 (10) i = 0,1, 2 D (0) = 1 0
从而,我们可以将互相独立的参数缩减到5个:
D0 ( s ) = 1 + b1s + c1s 2 + d1s 3 3 3 D5 ( s ) = 1 + b1s + c1s 2 + d1 s 3 ( s 5 ) + d 2 ( s - 5) D( s) = 3 2 3 D10 ( s ) = 1 + b1s + c1s + d1 s ( s 5 ) + 3 3 3 d 2 ( s - 5 ) ( s 10 ) + d3 ( s -10 )
s ∈ [ 0,5] s ∈ [5,10]
s ∈ [10,30]
指数样条法
指数样条函数是Vasicek and Fong (1982)提出的.与在多项式样条函数 部分所述的原因相同,也采用三阶指数形式样条函数,其形式为:
D1 ( s ) = a1 + b1e us + c1e 2us + d1e 3us us 2 us 3us D2 ( s ) = a2 + b2 e + c2 e + d 2 e D( s) = us 2 us 3us D3 ( s ) = a3 + b3e + c3e + d3e ...........
B (t , T ) :
在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格,即在未来时间T 支付单位1的债券在时间t的价格.
t R (t , θ ) 起息日为时间t,剩余到期期限为 θ 年的零息票债券利率.有:
B (t , t + θ ) = 1 [1 + R (t , θ )]θ
R (t , θ ) 起息日为时间t,剩余到期期限为
第21章 利率期限结构模型 章
清华大学经管学院 朱世武 Zhushw@sem.tsinghua.edu.cn Resdat样本数据:www.resset.cn 样本数据: 样本数据 SAS论坛: www.resset.cn 论坛: 论坛
利率期限结构模型简介
利率期限结构相关符号表Байду номын сангаас 利率期限结构相关符号表:
f (t , s )
在时间t计算的,起息日为时间s的瞬时远期利率.有:
f (t , s ) = lim F (t , s, T s )
T s →0
f (t , s ) =
ln B (t , s ) s
rt
即期利率,时间t计算的,剩余到期期限无限小时的零息票债 券的连续符合内部收益率.有:
rt = lim R (t , θ )
θ →0
rt =
ln B (t , T ) |T =t T
Rt 起息日为时间t,剩余到期期限为 △t 年的连续复合利率.有:
Rt = R (t ,△t )
(t , T ) 贴现债券价格 B (t , T ) 在时间t的预期瞬间收益.
σ (t , T ) 贴现债券价格 B (t , T ) 在时间t的瞬时波动.
同样,指数样条法也必须满足如下约束条件:
D(0) = 1 D (T ) = D (T ) i +1 i i i (1) 1) Di (Ti ) = Di(+1 (Ti ) D ( 2) (T ) = D ( 2) (T ) i i +1 i i
其中,D (1) (Ti ), D (2) (Ti )分别为D (Ti ) 的一阶导数和二阶导数. 选择样条函数的分段数量和取样条分界点在指数样条法中也同样 十分重要,其方法可以参见多项式样条法.并且,指数样条模型 也容易导致远期利率曲线不稳定.不同于多项式样条法的是,其 参数估计必须采用非线性最优化.
Vasicek模型(Vasicek,1977) 均衡模型 CIR模型(Cox,Ingersoll&Ross,1985) 动态模型 套利模型 Ho-Lee模型(Ho&Lee,1986) Hull-White模型(Hull&White,1990) HJM模型(Heath, Jarrow&Morton,1992)
W , W 标准布朗运动.
γ (t , T ) 瞬间远期利率 f (t , T ) 的波动.有:
σ (t , T ) T
γ (t , T ) =
V (t , θ ) 贴现债券利率 R (t , θ ) 的波动.
Bi ( n, T ) 重组树中,在第i种状态下,剩余到期期限为T的贴现债券在时间 n的均衡价格.注意,与 B (t , T ) 的定义不同,此处T表示的是剩 余到期期限,而非到期日.
利率期限结构的概念
利率(interest rate)是经济和金融领域的一个核心变量,它实 质上是资金的价格,反映了资金的供求关系. 利率期限结构(term structure of interest rates),又称收益率 曲线(yield curve),是指在相同风险水平下,利率与到期期限 之间的关系,或者说是理论上的零息债券利率曲线.
s ∈ [0, T1 ] s ∈ [T1 , T2 ] s ∈ [T2 , T3 ]
模型中,除了 ai , bi , ci , d i 外, u也是一个参数,并且有明显的经济含 义.Vasicek and Fong (1982)证明了如下等式:
u = lim f (0, s )
s →∞
即,u可以被认为是当前的起息日为未来无限远时的瞬间远期利率.
s ∈ [0, T1 ] s ∈ [T1 , T2 ] s ∈ [T2 , T3 ]
注意,对于即期贴现率函数 D( s) 来说,显然有 D (0) = 1 .另外,为 了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡,必须保证贴现函 数在整个定义域内连续且一,二阶可导,还需要满足如下约束条件:
Di (Ti ) = Di +1 (Ti ) (1) (1) Di (Ti ) = Di +1 (Ti ) ( 2) ( 2) Di (Ti ) = Di +1 (Ti )
静态利率期限结构模型
静态利率期限结构模型概述
静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础,构 造利率曲线函数,利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券 的市场价格,从而得出符合当天价格信息的利率期限结构. 静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模 型,样条函数模型主要包括多项式样条法,指数样条法和B样条法, 节约型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其扩展模型.
∑1/ Dur
1/ Durj
j
而将参数
β
( Pt j Pt j ) 2 的估计过程定义为: β = arg min w ∑ β n j =1
n * 2 j
多项式样条法
多项式样条函数假设折现因子是到期期限s的多项式 分段连续函数 D ( s ) . 在运用此函数时,仔细选择多项式的阶数是至关重要 的.阶数的多少决定了利率曲线的平滑程度和拟合程 度,同时也影响到待估参数的数量.本书将多项式样 条函数的阶数定为3.这是因为,当多项式样条函数 (2) 为二阶时,D ( s ) 的二阶导数 D (s)是离散的;当阶数过 高(四阶或五阶)时,验证三阶或四阶导数是否连续 的难度将增大,待估参数的数量也将增大.
常见的利率期限结构有以下四种: 贴现因子曲线(discount factor curve): → B (t , t + θ ) θ 零息票收益曲线(zero-coupon yield curve), (常用): → R (t , θ ) 或 θ → R (t , θ ) ; θ 远期利率曲线(forward rates curve): T → F (t , s, T s ) 瞬时远期利率期限结构(instantaneous forward term structure),(常用):s → f (t , s ) . ;
一般选用如下形式的多项式样条函数:
D1 (s) = a1 + b1s + c1s 2 + d1s3 2 3 D2 ( s) = a2 + b2 s + c2 s + d2 s D( s ) = D3 ( s) = a3 + b3 s + c3 s 2 + d3 s3 ...........
(1) (2) 其中 D (Ti ), D (Ti )分别为D (Ti ) 的一阶导数和二阶导数.
例如,考虑30年期的贴现率函数,可以用三次多项式分段 拟合如下:
D0 ( s ) = a1 + b1s + c1s 2 + d1s 3 D( s ) = D5 ( s ) = a2 + b2 s + c2 s 2 + d 2 s 3 D10 ( s ) = a3 + b3 s + c3 s 2 + d3 s 3 s ∈ [0, 5] s ∈ [5,10] s ∈ [10,30]
利率期限结构模型
多项式样条法(McCulloch,1971,1975) 样条函数模型 静态模型 指数样条法(Vasicek&Fong,1982) B样条法,(Steeley,1991) Nelson-Siegel模型(Nelsen &Siegel,1987) 节约型模型 Svensson扩展模型(Svensson,1994)
Pt j = ∑ Fs( j ) f ( s t ; β )
s
于是,假想出贴现函数 B(t , s ) ≡ f ( s t ; β1 ) 或零息票债券利率
R(t , s t ) ≡ g ( s t ; β 2 )的具体形式,其中 β 和 β 为参数向量.然后 1 2 利用假想出的具体形式,来推导附息债券的理论价格,当推导出的 理论价格与给定的市场价格最为接近时,就可以估计出由 β1 和 β 2 构成的参数向量,即:
β0
Nelson-Siegel模型及其扩展形式 模型及其扩展形式
Nelson-Siegel模型可以由一个公式来说明,该公式的形式与那些描述 动态利率的普通微分方程的解的表达式十分类似.该公式为:
θ θ θ ) + β 2 exp( ) τ1 τ1 τ1 其中, f (0, θ ) 表示即期计算的,在未来时间 θ 时发生的瞬间远期利 率. β 0 , β1 , β 2以及τ 1 均为待估参数.利用 f (0,θ ) = β 0 + β1 exp(
β = arg min ∑ ( Pt j Pt j ) 2
*
n
β
j =1
其中,Pt j 是从模型
Pt j = ∑ Fs( j ) f ( s t ; β )
或模型
s
s
Pt j = ∑ Fs( j ) exp[( s t ) g ( s t ; β )]
推导出的附息债券理论价格.
显然,债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种,而由此带来 的结果是:以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券. 这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征,导致的结 果往往是收益率曲线在远端出现"过度拟合"(Over fitting)的情况, 而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况. 为了解决这一问题,应该对短期债券赋予较高的权重,而对长期 债券赋予较低的权重,从而允许长期债券存在较高的误差.在Bolder和 Streliski (1999)的论文中,设定了如下的权重系数:
θ
年的连续复合利率.有:
B (t , t + θ ) = exp[ θ R (t , θ )]
F (t , s, T s ) 在时间t计算的,起息日为时间s,剩余到期期限为T-s的远 期利率.有:
B f (t , s, T ) = B(t , T ) = exp[(T s ) F (t , s, T s )] B(t , s )
通常,使用静态模型拟合利率期限结构的具体过程如下:
首先,从市场上选出一组无违约风险的附息债券.设该组附息债券在时 s 间t的市场价格为 Pt j ,在时间s的现金流入为 Fs( j ),其中, ≥ t ,j表示 该组的第j支债券. 由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系,因此必须 先调整"息票效应"(Coupon Effect).息票效应是指:对于剩余到 期期限相同的债券来说,它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构 有关,还与它们的票面利率水平有关.对于相同的即期利率期限结构而 言,到期收益率是这些即期利率的加权平均,而权重是各个现金流的现 值.
其中,函数必须满足以下的7个约束条件:
( D0i ) (5) = D5(i ) (5) (i ) (i ) D5 (10) = D10 (10) i = 0,1, 2 D (0) = 1 0
从而,我们可以将互相独立的参数缩减到5个:
D0 ( s ) = 1 + b1s + c1s 2 + d1s 3 3 3 D5 ( s ) = 1 + b1s + c1s 2 + d1 s 3 ( s 5 ) + d 2 ( s - 5) D( s) = 3 2 3 D10 ( s ) = 1 + b1s + c1s + d1 s ( s 5 ) + 3 3 3 d 2 ( s - 5 ) ( s 10 ) + d3 ( s -10 )
s ∈ [ 0,5] s ∈ [5,10]
s ∈ [10,30]
指数样条法
指数样条函数是Vasicek and Fong (1982)提出的.与在多项式样条函数 部分所述的原因相同,也采用三阶指数形式样条函数,其形式为:
D1 ( s ) = a1 + b1e us + c1e 2us + d1e 3us us 2 us 3us D2 ( s ) = a2 + b2 e + c2 e + d 2 e D( s) = us 2 us 3us D3 ( s ) = a3 + b3e + c3e + d3e ...........
B (t , T ) :
在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格,即在未来时间T 支付单位1的债券在时间t的价格.
t R (t , θ ) 起息日为时间t,剩余到期期限为 θ 年的零息票债券利率.有:
B (t , t + θ ) = 1 [1 + R (t , θ )]θ
R (t , θ ) 起息日为时间t,剩余到期期限为
第21章 利率期限结构模型 章
清华大学经管学院 朱世武 Zhushw@sem.tsinghua.edu.cn Resdat样本数据:www.resset.cn 样本数据: 样本数据 SAS论坛: www.resset.cn 论坛: 论坛
利率期限结构模型简介
利率期限结构相关符号表Байду номын сангаас 利率期限结构相关符号表:
f (t , s )
在时间t计算的,起息日为时间s的瞬时远期利率.有:
f (t , s ) = lim F (t , s, T s )
T s →0
f (t , s ) =
ln B (t , s ) s
rt
即期利率,时间t计算的,剩余到期期限无限小时的零息票债 券的连续符合内部收益率.有:
rt = lim R (t , θ )
θ →0
rt =
ln B (t , T ) |T =t T
Rt 起息日为时间t,剩余到期期限为 △t 年的连续复合利率.有:
Rt = R (t ,△t )
(t , T ) 贴现债券价格 B (t , T ) 在时间t的预期瞬间收益.
σ (t , T ) 贴现债券价格 B (t , T ) 在时间t的瞬时波动.
同样,指数样条法也必须满足如下约束条件:
D(0) = 1 D (T ) = D (T ) i +1 i i i (1) 1) Di (Ti ) = Di(+1 (Ti ) D ( 2) (T ) = D ( 2) (T ) i i +1 i i
其中,D (1) (Ti ), D (2) (Ti )分别为D (Ti ) 的一阶导数和二阶导数. 选择样条函数的分段数量和取样条分界点在指数样条法中也同样 十分重要,其方法可以参见多项式样条法.并且,指数样条模型 也容易导致远期利率曲线不稳定.不同于多项式样条法的是,其 参数估计必须采用非线性最优化.
Vasicek模型(Vasicek,1977) 均衡模型 CIR模型(Cox,Ingersoll&Ross,1985) 动态模型 套利模型 Ho-Lee模型(Ho&Lee,1986) Hull-White模型(Hull&White,1990) HJM模型(Heath, Jarrow&Morton,1992)
W , W 标准布朗运动.
γ (t , T ) 瞬间远期利率 f (t , T ) 的波动.有:
σ (t , T ) T
γ (t , T ) =
V (t , θ ) 贴现债券利率 R (t , θ ) 的波动.
Bi ( n, T ) 重组树中,在第i种状态下,剩余到期期限为T的贴现债券在时间 n的均衡价格.注意,与 B (t , T ) 的定义不同,此处T表示的是剩 余到期期限,而非到期日.
利率期限结构的概念
利率(interest rate)是经济和金融领域的一个核心变量,它实 质上是资金的价格,反映了资金的供求关系. 利率期限结构(term structure of interest rates),又称收益率 曲线(yield curve),是指在相同风险水平下,利率与到期期限 之间的关系,或者说是理论上的零息债券利率曲线.
s ∈ [0, T1 ] s ∈ [T1 , T2 ] s ∈ [T2 , T3 ]
模型中,除了 ai , bi , ci , d i 外, u也是一个参数,并且有明显的经济含 义.Vasicek and Fong (1982)证明了如下等式:
u = lim f (0, s )
s →∞
即,u可以被认为是当前的起息日为未来无限远时的瞬间远期利率.
s ∈ [0, T1 ] s ∈ [T1 , T2 ] s ∈ [T2 , T3 ]
注意,对于即期贴现率函数 D( s) 来说,显然有 D (0) = 1 .另外,为 了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡,必须保证贴现函 数在整个定义域内连续且一,二阶可导,还需要满足如下约束条件:
Di (Ti ) = Di +1 (Ti ) (1) (1) Di (Ti ) = Di +1 (Ti ) ( 2) ( 2) Di (Ti ) = Di +1 (Ti )
静态利率期限结构模型
静态利率期限结构模型概述
静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础,构 造利率曲线函数,利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券 的市场价格,从而得出符合当天价格信息的利率期限结构. 静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模 型,样条函数模型主要包括多项式样条法,指数样条法和B样条法, 节约型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其扩展模型.