复变函数的积分ppt课件

z'(t)连续 z'(t且 )0 C z平面上的一条光滑.曲线 约定:C光滑或分段光滑(曲 因而线可求长).
.
C的 方 向 规 定: 开 曲 :指 线 定a,终 起b点 ,若 a b为,正
则 b a为,记 负C 作 ;
闭 曲:线 正 方向 观 察者 顺此C方 前向 进沿 一 周 ,C的 内部 一直 在 观 左察 边者 。的
f(z)在 C 上连 , u (x 续 ,y)v ,(x,y)
在 C 上 连 故u续 (x, y)dx、 v(x, y)dy、
C
C
v(x,y)dx、 u(x,y)dy都存 在 !
C
C
推 论 1： 当 f(z)是连 续 函 数 ,C是 光 滑 曲 线
c f(z)dz一 定 存 在 。
推 论2：c f (z)dz可 以 通 过 两 个 二数 元的 实 函
B(终点)
C
A(起点)
C
C
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2. 积分的定义
y
定义 设 (1)wf(z) z D (2)C为区域 D内点A点B
z k 1
k
zk
zk
zn1
B
的
一条光滑 ⌒
有向.
曲线
(3)将AB任意分划 n个成
z
1
1
小弧段 :Az0,z1,,zn B o A
D
⌒
(4)k zk1zk 作乘 f( k)积 zk
x
C
C
2)Ck(fz)d zkCf(z)dz
3 )C [f(z ) g (z )d ] z C f(z ) d z C g (z ) dz
4)CC1C2Cn(分段光滑) 曲线
f(z)dz f(z)dz
C
C1 C2
Cn
5)设 C的 长L度 ,函为 f数 (z)在 C上 满 f(z足 )M
线积分来计算。
.
设光 C :z滑 z (t) 曲 x (t) i( 线 y t) t:
由曲线积分的计算法得
(终 )
f(z)d z {u(x(t)y,(t)x )'(t)v(x(t)y,(t)y)'(t)d}t
C
(起 )
(终 )
i {v(x(t)y,(t)x )'(t)u(x(t)y(t)y)'(t)d}t (起 )
x
容易验证 ,右边两个积分都与无路关径 ,
kk ik u (k ,k ) u k v (k ,k ) v k
n
n
S n f(k) zk (u k ik v ) (x k i y k)
k 1
k 1
n
n
u(k,k)xk v(k,k)yk 当 0时，均是
k1
k1
n
n
实 函 数 的 曲 线 积 分.
i[ v(k,k)xk u(k,k)yk] (5)
和方 向关 有。
特例 (1)若 ：C表示连a接 ,b的点任一,则 曲线
Cdzba
b2a2Biblioteka Baidu
Czdz 2
(2 )若 C 表示 ,则 闭 C d 曲 z0 , C 线 zd 0 z
.
3. 积分存在的条件及其计算法
定理 当 f(z)u(x,y)iv(x,y)在 光 滑 C 曲
上 连,f续 (z)必 时C 沿 可,即 积 Cf(z)d存 z .在
Cf(z)dzCf(z)d sML估 值.定 理
.
例1 计C 算 zdO z :A x y 4 3tt(0t1)
解
1
C zd(z30(3 4i )24i1)ttd( 3t 14 (3i)d4it)2 y 02
A
又解 C zdzC(xiy )d ( xid)y
o
Cxdx ydiyCydx xdy
且 C f( z ) d z C u d v d x iC v y d ux d ( 4 )y
记忆
C(uiv)(dxid)y
这 个 定 理表 C f(明 z)dz可 通 过 二 个 二
实 变 函第 数二 的型积 曲分 线来.计 算
.
证明 令 zk x k ik y x k x k x k 1 y k y k y k 1
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§3.1 复积分的概念及性质
1. 有向曲线 2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法 4. 积分性质
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1. 有向曲线
设
xx(t) C: yy(t)
(t)
x'(t)、 y'(t)C[,],且 [x'(t)2 ][y'(t)2 ]0
C :z ( t ) x ( t ) i( t ) y ( t )( 1 )
n
(5)作和 Sn式f(k)zk
k1
⌒
zkzkzk1,记 Sk为 zk1zk的长 ,度 m 1kna {x Sk}
.
n
若lim 0
f(k)zkI
(2)
则称为f (z)沿曲线
k1
C从( A B)的积分,
无论如何 C,分 i如 割何取 记作 f (z)dz C
n
i.e ., Cf(z)d zl i0k m 1f(k) zk (3 )
分 割 取乘 求 积 和 取极限
(1)若 闭 C曲 记C 线 作 f(z)dz
(2 ) C :t [ a ,b ]f, (z ) u (t)则 , f(z ) d z b u (t) dt
C
a
.
(3)如果f(z)dz存在 ,一般不能b写 f(z)成 dz.
C
a
因为 C f(z)d不 z 仅 与a,b有关 还与 , 曲C线 的形状
第三章 复变函数的积分
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第三章 复变函数的积分
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4
复变函数积分的概念 柯西积分定理 柯西积分公式及其推论 解析函数与调和函数的关系
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第三章 复变函数的积分
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
复变函数积分的概念 柯西-古萨基本定理 基本定理的推广 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
{ u [ x ( t)y ( ,t) ] i[ v [ x ( t)y ( ,t)] x '( ] t) } i'( y t ( )d )t
f[z(t)]z'(t)dt
f(z)d zf[z(t)z]'(t)d t (6 ) C
.
4. 积分性质 由积分定义得：
1) f(z)d z f(z)dz
k1
n
k1
ln i m Snln i m k1f(k)zk
( u(x,y)dxv(x,y)d)y
C
C
i(v(x,y)dxu(x,y)d)yf(z)dz
C
C
C
.
C u ( x ,y ) d v x ( x ,y ) d i[ y v ( x ,y ) d u y ( x ,y ) d ]y