节点导纳矩阵

•
Y31 V
•
1 Y32 V
2
•
Y33 V
•
3 Y34 V
4
•
Y35 V
5
•
I3
•
•
•
•
•
•
Y41 V 1 Y42 V
•
•
2 Y43 V
•
3 Y44 V
•
4 Y45 V
•
5
I4
•
Y51 V
1 Y52 V
2
Y53 V
3 Y54 V
4
Y55 V
5
I5
其中：
Y11
y4
y5
y6
Y 22 y1 y 3 y 4
节点1的自导纳：
111 Y11z12z13z10y12y10y13
节点2的自导纳应为：
1 Y22 z12 y12
(4) 导纳矩阵的非对角元素 等于节点
纳并取负号：
Yij
1 zij
yij
和节点
间的支路导
按照上述原则无论电力系统如何复杂都可以根据输电线路的参数和接线拓 扑，直接求出导纳矩阵。
Y 33 y 2 y 3 y 5
Y 44 y1
Y 55 y 2
这些是各节点的自导纳；
Y 12 Y 21 y 4 Y 13 Y 31 y 5 Y 23 Y 32 y 3 Y 24 Y 42 y 1 Y 25 Y 52 y 2
这些是各节点的互导纳；其余节点互导纳为0；
111 z12 z23 z20
1 z23
0
1 z23
1
z23
通过比较可以发现，导纳矩阵第一行与第二行交换，第一列与第二 列交换即可以得到上式的导纳矩阵。可得节点编号的顺序是任意的。
通过上面的讨论导纳矩阵有以下特点： (1) 当不含移相器时，电力网络的导纳矩阵为对称矩阵。
即：
1 Y12 Y 21 z12
Y13
Y 31
1 z13
Y 23 Y32 0
Yij Y ji
(2)导纳矩阵为稀疏矩阵，通过上面讨论当电力网络中两个不相邻的节 点，它们的互导纳为0，导纳矩阵每行非对角元素中非零元素的个数 与相应节点的出线数相同，，通常出线数为2-4条，所以导纳矩阵每行 的非对角元素中非零的元素为2—4个非零元素，其余的都为0，导纳 矩阵中的0元素特别多，而且电力网络越庞大，该现象越严重。
节点导纳矩阵
目录
一、节点导纳的基本概念 二、节点导纳矩阵的形成与修改
一、节点导纳矩阵的的基本概念
V4
y1
4
i1
2 y4
y3
i3
i4
i5
3 y5
1 V1
i6
y6
y2 5
i2
•
•
•
•
•
•
Y11 V 1 Y12 V 2 Y13 V 3 Y14 V 4 Y15 V 5 I 1
•
•
•
•
•
•
Y21 V 1 Y22 V 2 Y23 V 3 Y24 V 4 Y25 V 5 I 2
节点1加单位电压，将节点2、3接地，如图b所示，不难看出；
2 I2
1
V1=1 I1
I12
I13
z12
z13
z10
I10
3 I3
•
•
•
•
111
I 1 I 12 I 13 I 10 z12 z13 z10 Y11
•
•
1
I 2 I 12 z12 Y21
同样第二列元素I，• 3应 在 I•节13点 2加z11单3 位Y电31 压，节点1、3接地，
向电路 网络注入的电流。
通过a图简单说明导纳矩阵各元素的具体意义，这个电力网络有3各节点。因 此导纳矩阵为三阶矩阵
2
1
3
z12
z13
z10
a
Y11 Y12 Y13
Y
Y
2
1
Y
22
Y
2
3
Y 3 1 Y 3 2 Y 3 3
首先讨论第一列元素 Y11 Y12 Y13 ，根据上面的论述，这种情况应在
1
I1
z10
I10
3 V3 1 I3 I13
z13
因此a的导纳矩阵为:
1 1 1 1 1
z12
z13
z10
z12
z13
Y
1 z12
1
z12
0
1
z13
0
1
z13
1
2
3
z12
z23
z20
若将节点1与节点2互换，根据图e，按照上述原则可得导纳矩阵为
1
z12
Y
1 z12
0
1 z12
导纳矩阵的对称性和稀疏性对于计算机解算电力系统问题有很大的影 响，如果能充分利用该特点，会大大提高计算机的速度并节约内存。
1.2节点导纳矩阵的形成与修改
主要分为三个部分：导纳矩阵的形成、特殊元件的处理与导纳矩阵的修 改。
导纳矩阵的形成可以分为以下几点： (1) 导纳矩阵的阶数等于电力网络的节点数； (2) 导纳矩阵各行的非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不
如图c所示Biblioteka Baidu这种情况下：
2
I2 I12
1
I1
I13 0
3 I3
z12
z13
z10
I10
•
•
I 1 I 21 Y12
•
I
2
•
I
21
1 z12
Y22
•
I 3 0 Y32
同理得第三列元素为：
2
I2
•
•
I 1 I 31 Y13
I12 0
•
1
z12
I 2 0 z12 Y23
•
•
I 3 I 31 Y33
•
•
Vi1Vj0(j1 ,2, ,n,ji)
在该情况下可得
•
I1
Y 1i
•
Ii
Y ii
•
In
Y
1n
很明显，导纳矩阵中第 i 列的对角元素 Y i i 在数值上等于节点 i 加单位电压， 其他节点都接地时，节点 i 向电路 网络注入的电流。导纳矩阵中第 i 列的
对角元素Y i j 在数值上等于节点 i 加单位电压，其他节点都接地时，节点 j
接地支路数； (3) 导纳矩阵各对角元素，即各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导
纳之和：
Yii yij ji
式中：y i i 为节点 i 和节点 j 间的支路阻抗 z i j 的倒数；符号 j i 表示
号只包括与节点 i 直接相连的节点，当节点 i 有接地支路时还应包括 的 j 0 的 情况。例如：
上式反映了各节点电压与注入电流的关系，I•
注入的电流，除 I • 1
•
I5
外其他都为0
1
~
•
I5
为各节点
通过以上的例子，节点方程的阶数等于网络的节点数n，展开一般 形式为：
•
•
•
•
I1 Y11 V 1 Y1i V i Y1n V n
•
•
•
•
I2 Y21 V 1 Y2i V i Y2n V n
•
•
•
•
In Yn1 V 1 Yni V i Ynn V n
节点导纳矩阵为：
Y11 Y12 Y13
Y
Y
i
1
Yi2
Y i3
Y n 1 Y n 2 Y n 3
Y1n
Y in
Y n n
它反映了电力网络的参数及接线情况，因此导纳矩阵可以看成是对电力 网络电气特性的一种数学抽象。 如果在一节点i 加以单位电压，把其余节点全部接地即令