复变函数与积分变换：4-级数与留数习题课

2
z
2 3
2 9
z
2
n2
1 3n1
z n
1
2z
(1)n
n2
(n
1)z
n
2
1 3
12 9
z
n2
(1)n (n
1)
2 3n1
z n
( z 1)
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16
三、洛朗展式
(1. 利用已知函数展开式； 2.分式：注意|g(z)|是否小于1)
1
例9 求 z2e z 在 z 0的去心邻域的洛朗级数.
z )1 ]
( z 1)
所以
1
(1 z)3
1
zn
2 n0
1 2
n2
n(n 1)zn2
1 (m 2)(m 1)zm . 2 m0
( z 1)
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13
例8
求
f (z)
z4
(
z z
3 5z2 3)(z
8z 1)2
7
在
点
z
0
的泰勒展开式.
10
二、解析函数的泰勒展开
常见函数的泰勒展开式
(1) ez 1 z z2 zn zn , ( z )
2!
n!
n0 n!
(2)
1
1 z z2 zn zn , ( z 1)
1 z
n0
(3)
1
1 z z2 (1)n zn (1)n zn ,
例1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判别级数 i n n n1
的敛散性.
解 因为 in i 1 i 1 i
n1 n
2345
1 2
1 4
1 6
i
1
1 3
1 5
,
故 in 收敛.
n1 n
收敛
收敛
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4
例2 判别级数的敛散性.
1
.
n1 (2 3i)n
解
设
n
(2
1 3i)n
1 z
n0
( z 1)
(4) sin z z z3 z5 (1)n z2n1 ,
(5)
cos z
1
3! z2
5! z4
(1)n
(2n z2n
1)! ( ,
z
)
2! 4!
(2n)!
( z )
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11
例6 求 f (z) ez cos z 在z 0 的泰勒展式.
第四、五章 级数与留数
一、收敛半径与敛散性. 二、解析函数的泰勒展开 三、洛朗展式 四、判别奇点类型
五、求各奇点处留数 六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分
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1
zn 为复常数
zn
n1
zn 为函数 fn(z)
复数项级数
复数列 收敛半径的计算 函数项级数
收敛条件
充必绝条 要要对件 条条收收 件件敛敛
收敛半径R
运算与性质
幂级数
泰勒级数
洛朗级数
f (z) 在 z0 解析
复变函数
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2
孤立奇点
留数
可去奇点 极点
本性奇点
计算方法 留数定理
函数的零点与 极点的关系
围线积分
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3
一、收敛半径与敛散性.
1. 敛散性 （转化为实数列、级数的判别）
所以ez cos z 1 (
2 n0
2)n n!
e
ni 4
e
ni 4
z
n
( 2)n cos n zn .
n0 n!
4
( z )
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12
例7
求函数 1 (1 z)3
在
z
1内的泰勒展开式.
分析：利用逐项求导、逐项积分法.
解
因为
1 (1 z)3
1[(1 2
| 1 ln(1 1) |
in
n1
n
ln(1 1)
n1
n
发散.
所以原级数条件收敛.
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7
2.收敛半径 (比值、根值、简便方法：|z-|)
练习
1．设幂级数
cnzn 与
[Re(cn )]zn 的收敛半径
n0
n0
分别为 R1和 R2 ，那么 R1与 R2之间的关系是 R2R1．
2．设函数
e z 的泰勒展开式为 cos z
cnzn，
n0
那么幂级数
cnzn的收敛半径 R (C )
n0
（A） （B） 1 （C）
（D）
2
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8
例4
若
3n (1)n ,
cn
4n ,
n 0,1,2, n 1,2,
则双边幂级数
cnzn 的收敛域为( A )
n
（A）
1 z 1
4
3
（B） 3 z 4
（C） 1 z 4
（D）
1 z 3
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9
例5
设函数 f (z)
1
z(z 1)(z 4)
在以原点为中心的
圆环内的洛朗展开式有 m个， 那么m = ( C )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
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解 因为 ez cos z 1 ez (eiz eiz ) 2
1[e(1i )z 2
e(1i )z ]
1 2 n0
(1 i)n zn n!
n0
(1 i)n zn n!
1 1 [(1 i)n (1 i)n]zn ( z )
2 n0 n! i
i
由于 1 i 2e 4 , 1 i 2e 4 ;
n1
2
2
n
(1)k ln(1 1 ) i (1)k ln(1 1 )
k 1
2k
k 1
2k 1
而 (1)k ln(1 1 ),
(1)k ln(1
1)
k 1
2k
k 1
2k 1
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6
均为收敛的交错级数，所以
但是
1
1
n1
in
ln(1
) n
收敛.
1 (1 z)2
n1
n(1)n
z n1 ,
( z 1)
即
1 (1 z)2
(1)n1 nz n1
n1
(1)n(n 1)zn ( z 1) n0
故
f
(z)
z
2
z
2
3
(z
1 1)2
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15
z
2
2 n0
1 3n1
z n
(1)n (n
n0
1) z n
,
因为 lim n1 lim 1 1 1,
n n
n 2 3i
13
由正项级数的比值判别法知
n1
(2
1 3i
)n
绝对收敛.
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5
例3 判别级数的敛散性.
n1
1 in
ln(1
1 ). n
解
1
1
n1
in
ln(1
) n
(cos n i sin n )ln(1 1)
分析: 利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数
分成部分分式后, 应用等比级数求和公式.
解
f
(z)
z
2
z
2
3
(z
1 1)2
z
1
3
1 3
1
z 1 3
n0
1 3n1
z n
( z 3)
z
1 1
1 1 (z)
(1)nzn
n0
( z 1)
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14
两端求导得