管理系统优化
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第10章 管理系统优化
10.1 线性规划优化数学模型 10.2 线性规划问题的基本概念 10.3 用规划求解工具求解线性规划问题 10.4 线性规划问题求解结果的分析
10.1 线性规划优化数学模型
在实际管理问题中，决策者经常面临以下类型的问题：
管理问题有一个数量化的，尽可能最大化或最小 化的指标，称为目标函数。例如总成本最小化或 者总利润最大化。
整数变量约束
而这一类整数规划问题称为背包问题。这个货船装载问题的最 优解为：
x1=2（件）x2=0（件）x3=2（件） x4=6（件）x5=0（件）x6=0（件）， 最大价值为z=42.98（万元）。
要求配1000吨复合肥料，并假定在配制过程中物料没有 损耗。求使得总成本最低的配料方案。
设四种原料分别选取x1，x2，x3，x4吨，总成本为z，线 性规划数学模型为：
min z=2200x1+1800x2+2400x3+2700x4
总成本最小化
s.t. 0.30x1+0.15x2
+0.15x4≥150 氮含量的下限约束
有许多因素和这个目标有关，而这些因素在一定 范围内决策者是可以控制的，例如投资的规模， 产品的产量等等。这些因素称为决策变量。
决策变量往往受到一些条件的制约，例如原材料 供应量，市场销售量、生产设备能力、流动资金 等。这些限制条件称为约束条件。
线性规划模型就是将决策变量、目标函数、约束条件 用线性函数的形式表示出来而形成的数学模型。
0.10x1
+0.25x3+0.15x4≥150 磷含量的下限约束
0.20x2+0.15x3+0.15x4≥100 钾含量的下限约束
x1+x2+x3+x4=1000
物料平衡约束
x1, x2, x3, x4≥0
变量非负约束
ຫໍສະໝຸດ Baidu
这一类问题称为配料问题。这个问题的最优解为：
x1=375（吨） x2=125（吨） x3=375（吨）x4=125（吨） 最低成本为z=2287500（元）。
其中，max表示最大化，s.t.表示subject to（约束）。
这个问题的最优解为： x1=0（件），x2=0（件），x3=18772.099（件）， x4=19672.130（件），x5=53430.480（件）， 最大利润为z=10872588.307元。
由于上述数学模型中没有指明决策变量必须是整数，因 此最优解中产品产量是连续变量，而不是整数。如果在约 束条件中增加决策变量必须是整数的要求，则表达式变为：
max z=123x1+94x2+105x3+132x4+118x5
s.t. 0.23x1+0.44x2+0.17x3+0.08x4+0.36x5 ≤24000
0.13x1
+0.20x3+0.37x4+0.19x5 ≤22000
0.25x2+0.34x3
+0.18x5 ≤16000
0.55x1+0.72x2
配料问题
化肥厂用四种原料A、B、C、D混合成复合肥料M。这四 种原料的单价以及复合肥料M所要求的氮（N）、磷（P）、 钾（K）的最低百分含量（％）如下表所示。
百分含量（%) A
B
C
D
M
氮N
30
15
0
15
15
磷P
10
0
25
15
15
钾K
0
20
15
15
10
单价（元/吨） 2200 1800 2400 2700
背包问题
一艘货船最大装载重量为5000千克，现有A、B、C、 D、E、F六种货物待装运，每种货物单件的价值和重量如 下表所示。
物货
A
B
C
D
E
F
价值（万元/件） 2.75 3.22 4.55 4.73 5.01 5.50
重量（千克/件） 320 420 530 550 590 640
每种货物各装多少件，使得货船中货物的总价值最大？ 设A、B、C、D、E、F六种货物各装x1、x2、x3、x4、x5、x6 件，线性规划数学模型为：
s.t. 0.23x1+0.44x2+0.17x3+0.08x4+0.36x5 ≤24000
0.13x1
+0.20x3+0.37x4+0.19x5 ≤22000
0.25x2+0.34x3
+0.18x5 ≤16000
0.55x1+0.72x2
+0.61x4
≤12000
x1，x2，x3，x4，x5≥0
利润最大化目标函数 车床能力约束 刨床能力约束 钻床能力约束 铣床能力约束 变量非负约束
车床
12
刨床
11
钻床
8
铣床
6
产品利润（元/件）
产品A
0.23 0.13 － 0.55
123
产品B
0.44 － 0.25 0.72
94
产品C
0.17 0.20 0.34 －
105
产品D 产品E 设备能力（小时）
0.08 0.36 12×8×250＝24000
0.37 0.19 11×8×250＝22000
max z=2.75x1+3.22x2+4.55x3+4.73x4+5.01x5+5.50x6 总价值最大化
s.t. 320x1+420x2+530x3+550x4+590x5+640x6≤5000 货船装载量约束
x1，x2，x3，x4，x5，x6≥0
变量非负约束
x1，x2，x3，x4，x5，x6为整数
生产计划问题
一个工厂有车床、刨床、钻床和铣床四种设备。生产A、 B、C、D、E五种产品。每种设备每天生产时间为8小时，每 年工作日为250天。各种设备的台数、全年能力（可用工
时），每种产品生产一件需要分别占用这四种设备的工时 （单位：小时），五种产品可以获得的利润（单位：元/件） 如下表所示。
设备类型 设备台数
－
0.18 8×8×250＝16000
0.61
－ 6×8×250＝12000
132
118
现在我们要确定这五种产品的生产数量，使得占用的设备 工时不超过各种设备的能力，同时使总利润最大。
设四种产品的产量分别为x1、x2、x3、x4、x5，总利润为z， 则线性规划数学模型为：
max z=123x1+94x2+105x3+132x4+118x5
+0.61x4
≤12000
x1，x2，x3，x4，x5≥0， x1，x2，x3，x4，x5为整数
决策变量必须取整数的问题称为整数规划问题。这个整 数规划问题的最优解为：
x1=0（件），x2=0（件），x3=18771（件） x4=19672（件）， x5=53431（件）。 最大利润为z= 10872517（元）。
10.1 线性规划优化数学模型 10.2 线性规划问题的基本概念 10.3 用规划求解工具求解线性规划问题 10.4 线性规划问题求解结果的分析
10.1 线性规划优化数学模型
在实际管理问题中，决策者经常面临以下类型的问题：
管理问题有一个数量化的，尽可能最大化或最小 化的指标，称为目标函数。例如总成本最小化或 者总利润最大化。
整数变量约束
而这一类整数规划问题称为背包问题。这个货船装载问题的最 优解为：
x1=2（件）x2=0（件）x3=2（件） x4=6（件）x5=0（件）x6=0（件）， 最大价值为z=42.98（万元）。
要求配1000吨复合肥料，并假定在配制过程中物料没有 损耗。求使得总成本最低的配料方案。
设四种原料分别选取x1，x2，x3，x4吨，总成本为z，线 性规划数学模型为：
min z=2200x1+1800x2+2400x3+2700x4
总成本最小化
s.t. 0.30x1+0.15x2
+0.15x4≥150 氮含量的下限约束
有许多因素和这个目标有关，而这些因素在一定 范围内决策者是可以控制的，例如投资的规模， 产品的产量等等。这些因素称为决策变量。
决策变量往往受到一些条件的制约，例如原材料 供应量，市场销售量、生产设备能力、流动资金 等。这些限制条件称为约束条件。
线性规划模型就是将决策变量、目标函数、约束条件 用线性函数的形式表示出来而形成的数学模型。
0.10x1
+0.25x3+0.15x4≥150 磷含量的下限约束
0.20x2+0.15x3+0.15x4≥100 钾含量的下限约束
x1+x2+x3+x4=1000
物料平衡约束
x1, x2, x3, x4≥0
变量非负约束
ຫໍສະໝຸດ Baidu
这一类问题称为配料问题。这个问题的最优解为：
x1=375（吨） x2=125（吨） x3=375（吨）x4=125（吨） 最低成本为z=2287500（元）。
其中，max表示最大化，s.t.表示subject to（约束）。
这个问题的最优解为： x1=0（件），x2=0（件），x3=18772.099（件）， x4=19672.130（件），x5=53430.480（件）， 最大利润为z=10872588.307元。
由于上述数学模型中没有指明决策变量必须是整数，因 此最优解中产品产量是连续变量，而不是整数。如果在约 束条件中增加决策变量必须是整数的要求，则表达式变为：
max z=123x1+94x2+105x3+132x4+118x5
s.t. 0.23x1+0.44x2+0.17x3+0.08x4+0.36x5 ≤24000
0.13x1
+0.20x3+0.37x4+0.19x5 ≤22000
0.25x2+0.34x3
+0.18x5 ≤16000
0.55x1+0.72x2
配料问题
化肥厂用四种原料A、B、C、D混合成复合肥料M。这四 种原料的单价以及复合肥料M所要求的氮（N）、磷（P）、 钾（K）的最低百分含量（％）如下表所示。
百分含量（%) A
B
C
D
M
氮N
30
15
0
15
15
磷P
10
0
25
15
15
钾K
0
20
15
15
10
单价（元/吨） 2200 1800 2400 2700
背包问题
一艘货船最大装载重量为5000千克，现有A、B、C、 D、E、F六种货物待装运，每种货物单件的价值和重量如 下表所示。
物货
A
B
C
D
E
F
价值（万元/件） 2.75 3.22 4.55 4.73 5.01 5.50
重量（千克/件） 320 420 530 550 590 640
每种货物各装多少件，使得货船中货物的总价值最大？ 设A、B、C、D、E、F六种货物各装x1、x2、x3、x4、x5、x6 件，线性规划数学模型为：
s.t. 0.23x1+0.44x2+0.17x3+0.08x4+0.36x5 ≤24000
0.13x1
+0.20x3+0.37x4+0.19x5 ≤22000
0.25x2+0.34x3
+0.18x5 ≤16000
0.55x1+0.72x2
+0.61x4
≤12000
x1，x2，x3，x4，x5≥0
利润最大化目标函数 车床能力约束 刨床能力约束 钻床能力约束 铣床能力约束 变量非负约束
车床
12
刨床
11
钻床
8
铣床
6
产品利润（元/件）
产品A
0.23 0.13 － 0.55
123
产品B
0.44 － 0.25 0.72
94
产品C
0.17 0.20 0.34 －
105
产品D 产品E 设备能力（小时）
0.08 0.36 12×8×250＝24000
0.37 0.19 11×8×250＝22000
max z=2.75x1+3.22x2+4.55x3+4.73x4+5.01x5+5.50x6 总价值最大化
s.t. 320x1+420x2+530x3+550x4+590x5+640x6≤5000 货船装载量约束
x1，x2，x3，x4，x5，x6≥0
变量非负约束
x1，x2，x3，x4，x5，x6为整数
生产计划问题
一个工厂有车床、刨床、钻床和铣床四种设备。生产A、 B、C、D、E五种产品。每种设备每天生产时间为8小时，每 年工作日为250天。各种设备的台数、全年能力（可用工
时），每种产品生产一件需要分别占用这四种设备的工时 （单位：小时），五种产品可以获得的利润（单位：元/件） 如下表所示。
设备类型 设备台数
－
0.18 8×8×250＝16000
0.61
－ 6×8×250＝12000
132
118
现在我们要确定这五种产品的生产数量，使得占用的设备 工时不超过各种设备的能力，同时使总利润最大。
设四种产品的产量分别为x1、x2、x3、x4、x5，总利润为z， 则线性规划数学模型为：
max z=123x1+94x2+105x3+132x4+118x5
+0.61x4
≤12000
x1，x2，x3，x4，x5≥0， x1，x2，x3，x4，x5为整数
决策变量必须取整数的问题称为整数规划问题。这个整 数规划问题的最优解为：
x1=0（件），x2=0（件），x3=18771（件） x4=19672（件）， x5=53431（件）。 最大利润为z= 10872517（元）。