三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)

三角函数图象的平移和伸缩

函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1

到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)

ϕϕϕω

><−−−−−−−→向左或向右平移

个单位

得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的

图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的

纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移

1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的

1

2

，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移

π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到

π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π

8

个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的

图象的横坐标缩小到原来的

12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭而不是

πsin 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭．

对于复杂的变换，可引进参数求解．

例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的图象．

分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．

解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛

⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，

在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛

⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝

⎭．

根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π

8

a =-．

所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的图象．

练习

1、要得到函数y=2cos （x+）sin （

﹣x ）﹣1的图象，只需将函数

y=sin2x+

cos2x 的图象（ ）

A 、向左平移个单位

B 、向右平移个单位

C 、向右平移

个单位 D 、向左平移

个单位

2、将函数y=3sin （2x+θ）的图象F 1按向量平移得到图象F 2，

若图象F 2关于直线对称，则θ的一个可能取值是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

3、将函数的图象按向量平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）

A、B、

C、D、sin（2x）+3

4、把函数y=（cos3x﹣sin3x）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象，这个变化可以是（）

A、沿x轴方向向右平移

B、沿x轴方向向左平移

C、沿x轴方向向右平移

D、沿x轴方向向左平移

5、为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）

A、向右平移个单位长度

B、向右平移个单位长度

C、向左平移个单位长度

D、向左平移个单位长度

6、把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得到图象对应的函数解析式为（）A、B、

C、D、

1、D

2、A

3、D．

4、D．

5、A．

6、D