(完整版)《实数》题型分类归纳(可编辑修改word版)

《实数》知识点比较：

例 1、求下列各数的算术平方根。

（1）100 （2）49

（3）1

9

（4）0.0025（5）0（6）2（7）(- 6)2 64 16

例 2、求下列各数的平方根。

（1）100（2）49

（3）1

9

（4）0.0025（5）0（6）2（7）(- 6)2 64 16

22 0.0196 3

729 3 512 25 42 104 （- 6）2

x - 3 a a + 1 （x + y ）2

例 3、求下列各数的立方根。

（1）1000（2） 8

27 （3）

2 10 （4）0.001（5）0（6）2（7） (- 6)

3 27 类型二：化简求值

例1、 求下列各式的值。

（1） =（2） -

=（3） =

（4） -

=（5） - =（6） + =

例 2、求下列各式的值

（1） - + （2） 0.0001 ⨯ + ⨯ ⎧ a ≥ 0

类型三：算术平方根的双重非负性 ⎨

⎩ a ≥ 0 一、 被开方数的非负性

a ≥ 0 例 1、下列各式中，有意义的有哪些？

例 2、若下列各式有意义，在后面横线上写出 x 的取值范围。 （12）

例 3、若 x 、 y 都是实数，且 y = +

二、 算术平方根的非负性

≥ 0

+ 8 ，求x + 3y 的立方根。

例 4、（1） + 2 的最小值是

,此时a 的取值是 。

（2）2- 的最大值是

,此时a 的取值是

。

例 5、若 + y + 3 = 0

，求 的值。

例 6、已知2(x - 2)2 + 3 类型四、

= 0 ，求（x - y ）2

的平方根。

算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向 右（左）移动一位。

立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左） 移动一位。

例1、 观察：已知 = 2.284，521.7 = 22.84

填空： =

169

256

252

- 242 3 - 27 （- 2）

2 0.22

3 - x a +1 2x +1 3y 2 - 27 5.217 0.05217

236 a ⨯106 11 5 b 3 b

b 2 例2、 令 = 1.536，23.6 = 4.858 则

① =

; 0.00236 = ②若 = 04858, x =

③若 = 1536 ，求 a 的值。

例 3、若 = a, 3 37 = b ，则 = , = 。

类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。

例1、 一个非负数的两个平方根是2a - 1 和a - 5 ，这个非负数是多少？ 例2、 已知一个数的两个平方根分别是3a + 1 和a + 11，求这个数的立方根 类型六、解方程。

例 1、求下列各式中的 x 的值：

（1） x 2 =196；（2） 5x 2 - 10 = 0 ；（3） 3（6 x - 3）2

- 25 = 0 。

（4） x 3 = 64 （5） 8x 3 + 125 = 0 （6） (x + 3)3 - 27 = 0

类型七：

的根指数是 2，指数 2 常常省略不写。

3

的根指数是 3，指数 3 不可省略。

例 1、若 2b +1 5和3 a -1 都是 5 的平方根，则a =

, b =

。

例 2、已知 A = m -n m + n + 3 是m + n + 3 的算术平方根， B = m -2n +2 m + 2n 是m + 2n 的立方根，求 B - A 的立方根。 类型八、估值。

例1、 已知m , n 为两个连续的整数，且m < < n 则m + n =

。

例2、 已知 x , y 为两个连续的整数，且x < 例 3、估计 68 的立方根的大小在（）

+1 < y ，则x + y = 。

A 、2 与 3 之间

B 、3 与 4 之间

C 、4 与 5 之间

D 、5 与 6 之间

例 4、若 的整数部分是a ，小数部分是b ，则a (b - 5) 的值是多少？

例 5、若9 + 与9 - 的小数部分分别是a 与b ，试求4a + 3b

类型九： = a ，

( a )

2

= a (a ≥ 0) ； = a ， (3 a )

3

= a

例 1、下列判断错误的是()

A 、若 = ，则a = b

B 、若 = ，则a = b

C 、若3 a 3 = ，则a = b

D 、若 = ，则a = b

2.36 x 15 0.15 3 37000 5 13 13 a 2

3 a 3

a 3 a 3

b 3 a 2

b 2 (a - b )2 3 3y - 2 3，4.6 例 2 、 如 图 实 数 a 、 b 对 应 数 轴 上 的 点 A 和 点 B ,化 简 ：

+ - -

提示：|a |＝

A B

类型八、平方运算与开平方运算互为逆运算； ( a

)

2

= a (a ≥ 0)

a

b

立方运算与开立方运算互为逆运算。

(3

a )

3

= a

例1、 若 = 2 ，求2x + 5 的算术平方根。

例2、已知x - 2 的平方根是±2， 2x + y + 7 的立方根是3，求x 2 + y 2 的算术平方根。

类型九、

= -3 a （被开方数互为相反数，对应的立方根也互为相反数）

例 1、若3 1- 2x 与

互为相反数，求1+ 2x 的值。

y

类型九：无理数（定义）：

无理数的特征:1、圆周率π及含有π的数，例如：2π，7π；

2、带根号且开不尽方的，例如： 3 5，- 3 3，- ；

3、人造无理数（无限不循环小数），例如：3.56…… 实数（定义）： 【与是一一对应的】判断。

1. 实数不是有理数就是无理数。（）

2. 无限小数都是无理数。（）

3. 无理数都是无限小数。（）

4. 带根号的数都是无理数。（）

5. 两个无理数之和一定是无理数。（）

6. 有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数（）

7. 实数与数轴上的点是一一对应的。（）

8. 无理数都是无限不循环小数。（）

类型十：实数的性质

在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同．

例 1、分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)；

(2)；

(3).

解：(1)∵＝－4，∴的相反数是 4，倒数是－，绝对值是 4； （2）

a 2 (a +

b )2

x + 2 3

- a