多目标优化设计方法

基本思想：在理想点法的基础上引入权数 i 构造评价函数。
目标函数：
X (x1, x2 ,..., xn )T
L
min f ( X ) i[ fi ( X ) fi*]2
i 1
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k)
求： X [x1, x2,..., xn )T
n维欧氏空间的一个向量
min F( X ) [ f1( X ), f2 ( X ),..., fL ( X )]T s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k)
向量形式的目标函数
c=[];
%所有非线性不等式约束
(3)运行结果
Optimization terminated successfully: xopt =
0.7071 0.7071 fopt = 0.5000 -0.0589
%矩形截面梁两目标优化设计
x0=[1;1];
lb=[0;0];
ub=[1;1];
[xopt,fopt]=fminimax(@JXL_2mb_MB,x0,[],[],[],[],lb,ub,@JXL_2mb_YS)
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]=
fminimax(@fun,x0, A[ ,b[,A[e]q,,b[e]q,,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
], ],
7.4 功效系数法
基本思想：
先按各子目标值的“优”或“劣”（即“功 效”）分别求出与其对应的功效函数，然后再由 各个功效函数构造出问题的评价函数进行求解。
一、多目标优化及数学模型 设计车床齿轮变速箱时，要求：
各齿轮体积总和 f1(X) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和 f2 (X) 尽可能小 使变速箱结构紧凑。
合理选用材料
使总成本 f3(X) 尽可能小。
传动效率尽可能高
机械耗损率 f4(X) 尽可能小。
在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的 问题称为多目标优化设计问题。兼顾多方面的要求 ，则称为多目标优化问题。
二、多目标优化问题的特点及解法（续) 2、解法：
将多目标优化问题转化为单目标优化问题 （统一目标函数法） 解法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
7.2 统一目标函数法（综合目标法）
一、基本思想
统一目标函数法就是设法将各分目标函数 f1(X),f2(X),…,fl(X) 统 一 到 一 个 新 构 成 的 总 的 目 标 函 数 f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统— 目标函数的单目标问题来求解．
则应用Matlab求解的程序为：
f=-[1 1]; A=[5 3;-1 -1;-1 0]; b=[70;-15;-5]; xl=[0;0]; [x,f,exitflag]=linprog(f,A,b,[ ],[ ],xl)
最优解为： X*=[5 15]
f1( x) 70元
f
2
(
x)
20kg
解：取权系数(1)w1=0.5 ,w2=0.5 ;(2)w1=0.2 ,w2=0.8 相应的MATLAB计算程序如下：
即：
minF (X ) minF ( f1(X ), f2(X ),..., fl (X ))
X D
X D
D为可行域，f1(X)，f2(X)，…，fl(X)为各个子目 标函数。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法 1、线性加权和法（线性加权组合法）
根据各子目标的重要程度给予相应的权数，然后 用各子目标分别乘以他们各自的权数，再相加即构成 统一目标函数。
设f2(X)为主要目标函数，则优化的数学模型为：
X (x1, x2 ,..., xn )T min f2 ( X ) s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k) ft ( X ) ft0 (t 1, 2,..., L)
function f1f2=fun_obj(x,ww) f1f2=ww(1)*(5*x(1)+3*x(2))-ww(2)*(x(1)+x(2));
(1)取权系数w1=0.5 ,w2=0.5 时最优解为
X*=[5 10],
f
1
(
x)
55元
f2 ( x) 15kg
（2)取权系数w1=0.2 ,w2=0.8时最优解为
例： 现有现金70元，可用来可用来购买菠萝和苹果 。 菠 萝 5 元 /kg ， 苹 果 3 元 /kg ， 要 求 总 斤 数 不 少 于 15kg，菠萝不少于5kg。 问：(1) 购买菠萝和苹果各多少斤，才能在满足要求 的条件下花钱最少？(2) 购买菠萝和苹果各多少斤， 才能在满足要求的条件下所买的菠萝和苹果最多？
x1x
2 2
/
6
③约束条件:含性能约束和边界约束
性 能 约 束 h(X) x12 x22 1
等式约束
g1(X) x1 0 g3(X) x2 0
边 界 约 束 g2(X) x1 1 0 变量x1的上下限
g4 (X) x2 1 0 变量x2的上下限
(2)编制优化设计的M文件
%矩形截面梁两目标优化设计的目标函数文件
ft0 (t 1, 2,..., L) ——原问题第t个目标函数的上限值。
7.4极大极小法 MATLAB：函数fminimax
一、多目标优化问题数学模型 各分目标函数
min max {f1,f2,…,f3}
s.t. AX≤b
（线性不等式约束）
AeqX=beq （线性等式约束）
C(X)≤0
（非线性不等式约束条件）
目标函数在最优解的海色矩阵
fminimax(@fun,x0, A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
目标函数文件名
初始点
线性不等式约束的常数向 量
线性不等式约束的系数矩
无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替
附加参数 设置优化选项参数 非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩
x R2
%li9_1 f=[5 3]; A=[5 3;-1 -1;-1 0]; b=[70;-15;-5]; xl=[0;0]; [x,f,exitflag]=linprog(f,A,b,[ ],[ ],xl) 最优解为：
X*=[5 10],
f
பைடு நூலகம் 1
(
x
)
55元
f2 ( x) 15kg
(2)如果只考虑目标函数 max f2 (x) x1 x2 x R2
i 满足归一性和非负性条件
L
i 1
i 1
i 0 (i 1, 2,..., L)
7.3 主要目标函数法 基本思想：从所有L个子目标函数中选出一个设
计 者 认 为 最 重 要 的 作 为 主 要 目 标 函 数 ， 而 将 其 余 L-1 个子目标限制在一定的范围内，并转化为新的约束条 件，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
三、例题
已知直径为1单位长度的圆柱梁，要求将它制成矩形截面梁，满足重量最轻
和强度最大的条件，试确定矩形截面尺寸。
解:(1)建立优化设计的数学模型
①设计变量：
矩形截面的宽和高
x2
X=[x1,x2]T
②目标函数：
x1
重量→截面积：minf1(X)=x1x2
弯曲强度→ 矩形截面矩量:
min
f2
(X)
L
min f ( X ) i fi ( X ) i 1
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k)
注意：
1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。
2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
设计变量应满足的所 有约束条件
多目标问题是现实世界中普遍遇到的一类问题 ，其中希望（或必须）考虑多个相互矛盾目标的影 响。
例如证券投资问题中我们希望利润最大而风险 最小，生产销售问题中我们希望费用较少而获利很 大，等等。
例：车间计划生产甲、乙两种产品，每种产品均需经 过A、B、C三道工序加工。工艺资料如表一所示。
X*=[5 15]
f1( x) 70元
f
2
(
x
)
20kg
权因子的确定方法：
在确定权因子前，应先将各子目标函数进行 无量纲化，处理的方法是：
fi
(X
)
fi'(X ) min fi' ( X
)
X D
fi' ( X ) 是多目标问题中某个带量纲的子目标；
fi ( X ) 是作了无量纲处理后的第i个子目标函数
解：通俗地说，这是一个如何安排资金，少花钱多
办事的问题。设购买菠萝x1 kg，苹果x2 kg。可以 列出如下的优化数学模型：
min f1(x) 5x1 3x2 max f2 (x) x1 x2
x R2 x R2
s.t. 5x1 3x2 70
x1 x2 15
x1 5
x2 0
(1)如果只考虑目标函数 min f1(x) 5x1 3x2 则应用Matlab求解的程序为：
function f=JXL_2mb_MB(x)
f(1)=x(1)*x(2);
%f1：梁的截面积
f(2)=-x(1)*x(2)^2/6;
%f2:梁的截面矩量
%矩形截面梁两目标优化设计的约束函数文件
function [c,ceq]=JXL_2mb_YS(x)
ceq=x(1)^2+x(2)^2-1;
%非线性等式约束
例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将 零件车削成形，为选择合适的切削速度和每转给进量， 提出以下目标：
机械加工成本最低； 生产率最高； 刀具寿命最长。
还应满足的约束条件是： 进给量小于毛坯所留最大加工余量 刀具强度等
对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多 目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：
Ceq(X)=0 （非线性等式约束）
Lb ≤X ≤Ub （边界约束条件）
函数fminimax
二、优化函数使用格式
返回目标函数的最优解 返回目标函数的最优值
返回算法的终止标志 优化算法信息的一个数据结构
返回目标函数在最优解的梯度
[x,fval,exitflag,output, grad,hessian]=
L
即评价函数为： f (X ) i fi (X ) i 1
f1(X ), f2(X ),..., fL(X ) ——各子目标函数
1,2,...,L ——权数
L
i 应满足归一性和非负性条件
i 1
i 1
i 0 (i 1, 2,..., L)
优化的数学模型为
X (x1, x2 ,..., xn )T
X (x1, x2 ,..., xn )T
1
min
f
(
X
)
L
[ fi (X )
fi*
]2
2
i1
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k)
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续）
3、平方和加权法
clc; clear all; A=[5 3;-1 -1;-1 0]; b=[70;-15;-5]; xl=[0,0];x0=[0,0]; w(1,1)=0.5;w(1,2)=0.5; w(2,1)=0.2;w(2,2)=0.8; for i=1:2 [x,f,exitflag]=fmincon(@(x)fun_obj(x,w(i,:)),x0,A,b,[ ],[ ],xl) f1=5*x(1)+3*x(2) f2=x(1)+x(2) end
(1) 专家评判法（老手法）
凭经验评估，并结合统计处理来确定权数的方法。 特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。
（2）容限法
若已知子目标函数fi(X)的变动范围为：
i fi (X ) i , i 1, 2,..., L
则称
fi ( X
)
i
i
2
(i
1,
2,...,
L)
为该目标函数的容限
这时权数可取为：i 1 fi (X )2 ,i 1, 2,..., L
目的：在目标函数中使各子目标在数量级上达到 统一平衡。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续）
2、理想点法
基本思想：使各个目标尽可能接近各自的最优值， 从而求出多目标函数的较好的非劣解。
步骤：先用单目标优化方法求得各子目标的约束最 优值和相应的最优点，然后构造目标函数。
目标函数：