06专题三 阴影部分面积的相关计算(word版习题)

专题三 阴影部分面积的相关计算 (2019.10；2019、2019、2019、2019、2019、2019.14；2009、2019.15) 试题演练

1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，若弦CD ＝2，则图中阴影部分的面积为( ) A. π3 B. 2π3

C. 3

D. 2 3 第1题图 第2题图

2. 如图，半圆的直径BC 恰与等腰直角三角形ABC 的一条直角边完全重合．若BC ＝4，则图中阴影部分的面积是( )

A. 2

B. π

C. 2＋π

D. 2＋π2

3. 如图，B ，E 是以AD 为直径的半圆O 的三等分点，弧BE 的长为23π，∠C ＝

90°，则图中阴影部分的面积为( )

A. π9

B. 9

C. 332－2π3

D. 332－2 第3题图 第4题图

4. 如图，以BC 为直径的⊙O 与△ABC 的边AB 、AC 分别相交于点D 、E .若∠A ＝80°，BC ＝4，则图中阴影部分图形的面积和为( )

A. 64π9

B. 64π9

C. 16π9

D. 8π9

5. 如图，在矩形ABCD 中，点O 在BC 上，OB ＝2OC ＝2，以O 为圆心，OB 的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D ，则图中阴影部分的面积为( ) A. 4π3－2 3 B. 2π3－2 3 C. 4π3－ 3 D. 2π3

－ 3

第5题图 第6题图

6. 已知菱形ABCD 中，E 为BC 的中点，AE ⊥BC ，BC ＝23，以点B 为圆心，线段BA 的长为半径作AC ︵，则阴影部分的面积为( ) A. 63－2π B. 63－π C. 33－2π D. 33－π

7. 如图，半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A. (π2－1) cm 2 B. (π2＋1) cm 2 C. 1 cm 2 D. π2

cm 2

第7题图 第8题图

8. (2019许昌模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径作CE ︵交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 的长为半径作CD ︵

交AB 于点D ，则阴影部分的面积为________．

9. 以A 为圆心，半径为9的四分之一圆，与以点C 为圆心，半径为4的四分之一圆如图所示放置，且∠ABC ＝90°，则图中阴影部分的面积为________．

第9题图 第10题图

10. 如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径OA ＝2 cm ，C 为AB ︵的中点，D 、

E 分别是OA 、OB 的中点，则图中阴影部分的面积为________cm 2.

11. 如图，菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝2，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°到OA ′B ′C ′，则图中由弧BB ′，B ′A ′，弧A ′C ，CB 围成的阴影部分的面积是________．

第11题图 第12题图

12. 如图，在半径为10，圆心角等于45°的扇形AOB 内部作一个矩形CDEF ，使点C 在OA 上，点D 、E 在OB 上，点F 在 AB ︵上，且DE ＝2CD ，则图中阴影部分的面积为__________．

13. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D ，以AD 为边作等边△ADE ，延长ED 交BC 于点F ，BC ＝23，则图中阴影部分的面积为________．

第13题图 第14题图

14. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB ′C ′D ′，点C ′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是________．

15. 如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象交直线MA ：y ＝x ＋4于点A ，交直线NB ：

y ＝x －2于点B ，将反比例函数的图象沿MA 的方向平移4个单位，分别交直线MA ，NB 于C 、D 两点，则图中阴影部分面积为__________．

第15题图 第16题图

16. (2019平顶山模拟)如图，将半径为6的圆形纸片分别沿AB ，BC 折叠，若AB ︵和BC ︵

折叠后都经过圆心O ，则阴影部分的面积是________．

17. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，CF ＝13CE ，若矩形ABCD 的

面积是48，则图中阴影部分的面积为________．

第17题图 答案试题演练

1. B 【解析】如解图，连接OC 、OD 、BD .∵点C 、D 是半圆O 的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°，∵OC ＝OD ＝OB ，∴△COD 、△OBD 是等边三角形，∴∠COD ＝∠ODB ＝60°，OD ＝CD ＝2，∴OC ∥BD ，∴S △BDC ＝

S △BDO ，∴S 阴影＝S 扇形BOD ＝260π2360?＝2π3

. 第1题解图

2. C 【解析】如解图，取BC 的中点O ，设半圆O 与AB 相交于点D ，连接OD ，则阴影部分的面积转化为△BOD 和扇形COD 的面积的和，根据BC ＝4可得OB

＝OD ＝OC ＝2，∠COD ＝90°，所以S 阴影＝12×2×2＋2

90π2360

?＝2＋π. 第2题解图

3. C 【解析】如解图，连接BD ，BE ，BO ，EO ，∵B ，E 是半圆弧的三等分点，

∴∠EOA ＝∠EOB ＝∠BOD ＝60°，∴AE ＝BE ＝BD ，∠BAD ＝12

∠BOD ＝30°，∴∠BAC ＝∠EBA ＝30°，∴BE ∥AD ，∵BE ︵的长为23π，∴60π180

r ?＝23π，解得r

＝2，∴AB ＝AD ·cos30°＝23，∴BC ＝12AB ＝3，∴AC ＝

3，∴S △ABC ＝12×BC ×AC ＝12×3×3＝332，∵△BOE 和 △ABE 同底等高，∴△BOE 和△ABE 面积相等，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形BOE ＝332－

260π2360?＝332－23π. 第3题解图

4. C 【解析】∵在△ABC 中，∠A ＝80°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－80°＝100°，∵△OBD 、△OCE 都是等腰三角形，∴∠BDO ＋∠CEO ＝∠ABC ＋∠ACB ＝100°，∴∠BOD ＋∠COE ＝360°－(∠BDO ＋∠CEO )－(∠ABC ＋∠ACB )＝

360°－100°－100°＝160°，∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝2，∴S 阴影＝2

160π2360?＝16

9π.

5. D 【解析】设BD ︵

与AD 交于点E ，如解图，连接OE ，过点O 作OP ⊥AD 于

点P ，由题意得，OB ＝OE ＝OD ，∵OB ＝2OC ，∴OD ＝2OC ＝2，∴∠ODC ＝30°，则∠ODE ＝60°，∴△ODE 为等边三角形，∴ED ＝2，∴OP ＝3，∴

S △ODE ＝12×2×3＝ 3.∴S 阴影＝S 扇形EOD －S △ODE ＝260π2360?－3＝2π3－ 3. 第5题解图

6. A 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝23，∵E 为BC 的中点，

∴BE ＝3，在Rt △ABE 中，BE ＝3，AB ＝23，即BE ＝12AB ，∴∠BAE ＝30°，

∴∠B ＝60°，AE ＝3，∵S 菱形ABCD ＝BC ·AE ＝23×3＝63，∴S 扇形ABC ＝2

π360n r ?

＝(260π360?＝2π，∴S 阴影＝S 菱形ABCD －S 扇形ABC ＝63－2π.

7. A 【解析】如解图，设以OA 、OB 为直径的两个半圆在扇形AOB 中相交于点D ，连接OD ，BD ，DA ，∵扇形AOB 的圆心角为90°，扇形半径为2，

∴S 扇形AOB ＝290π2360?＝π cm 2，S 半圆＝12×π×12＝π2

cm 2，∵在Rt △BDO 和Rt △ADO 中，OA OB OD OD =??=?

，∴Rt △BDO ≌Rt △ADO (HL)，∴∠BOD ＝∠AOD ＝45°，∴∠BOD ＝∠OBD ＝45°，∵OB ＝2，∴BD ＝OD ＝2，S △BDO ＝12×BD ×OD ＝12×2×2＝1 cm 2，∴S 弓形OD ＝(π4

－12) cm 2，∴S 阴影＝S 扇形AOB －2S 半圆＋2S 弓形OD ＝π－2×π2＋π2－1＝(π2

－1) cm 2. 第7题解图

8. π－2 【解析】∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴S △ABC ＝12×2×2＝2，S 扇形BCD ＝245π2360?＝π2，∴S 空白＝2×(2－π2

)＝4－π，∴S 阴影＝S △ABC －S 空白＝2－4＋π＝π－2.

9. 97π4

－36 【解析】观察图象可得，S 阴影＝S 扇形BAD ＋S 扇形BCE －S 矩形ABCG ＝14π×92＋14π×42－9×4＝814π＋164π－36＝974π－36.∴图中阴影部分的面积为974π－36.

10. π2＋22－12 【解析】如解图，连接OC 、CE ，由题意得△OCD ≌△OCE ，OC ⊥DE ，DE

＝2，所以S 四边形ODCE ＝12×2×2＝2，S △ODE ＝12×1×

1＝12，S 扇形OBC ＝245π2360?＝π2

，所以阴影部分的面积为S 扇形OBC ＋S △OCD －S △ODE ＝π2＋22－12. 第10题解图

11. 8π3－23 【解析】连接AC 、OB 、OB ′，菱形OABC 中，∠BAO ＝120°，OA ＝2，∴∠AOC ＝60°，∴∠COA ′＝30°，AC ＝2，OB ＝23，S △CBO ＋S △A ′B ′O

＝S 菱形CBAO ＝12AC ·BO ＝23，S 扇形COA ′＝30π4360?＝π3，S 扇形BOB ′

＝(290π360?＝

3π，∴阴影部分的面积＝S 扇形BOB ′－S 扇形COA ′－S △CBO －S △A ′B ′O ＝3π－

π3－23＝8π3－2 3. 第11题解图

12. 5π4－52 【解析】如解图，连接OF ，设CD ＝x ，则DE ＝2x ，∵∠AOB ＝45°，则OD ＝x ，在Rt △OEF 中，由勾股定理得：OE 2＋EF 2＝OF 2，即(3x )2＋x 2＝(10)2，解得x ＝±1(舍去负值)，∴OD ＝1，S 阴影＝S 扇形AOB －S △COD －S 矩形CDEF ＝

45π10360

?－1×12－1×2＝5π4－52. 第12题解图 13. 33－32π 【解析】如解图，令圆心为O ，连接OD ，过点D 作DK ⊥AB 于

点K .∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝23，∴AB ＝6，AC ＝43，AD ＝32

AB ＝33，DC ＝AC －AD ＝3，S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形OBD －S △DFC ＝12BC ·AB －12OA ·DK －60360π·OD 2－12FC ·KB ＝12×23×6－12×3×332－60360

×π×32－12×3×32＝33－32π.

第13题解图 14. 32－π4

【解析】本题考查图形的旋转及阴影部分面积的计算．根据已知可得∠ABC ＝90°，所以在Rt △ABC 中，tan ∠CAB ＝13

＝33，∴∠CAB ＝30°，因此∠BAB ′＝30°，S 阴影＝S △AB ′C ′－S 扇形BAB ′＝12AB ′·B ′C

′－230π360?＝32·1－

π4＝32－π4

. 15. 122 【解析】如解图，∵MA 的解析式y ＝x ＋4向下平移6个单位得到NB 的解析式y ＝x －2，即得到MA ∥NB ，M 点的纵坐标为4，N 点的纵坐标为－2，∵直线与x 轴夹角为45°，直线MA 、NB 与y 轴夹角为45°，且MN 的长为6，∴可得直线AC 、BD 间的距离h ＝MN ×sin45°＝3 2 ，连接AB 、CD ，根据题意可得AC ＝BD ＝4，则阴影部分面积为平行四边形ABCD 的面积，即S ＝BD ·h ＝4×32＝12 2.

第15题解图

16. 12π 【解析】如解图，连接OA 、OC 、OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交

AB ︵于点E ，由折叠得OD ＝12OE ＝12OB ，∴在Rt △ODB 中，sin ∠OBD ＝12，

∴∠ABO ＝30°，∴∠ABC ＝2∠ABO ＝60°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝120°，

∴S 阴影＝S 扇形AOC ＝2

120π6360

?＝12π.

第16题解图

17. 12 【解析】设矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，即BC ＝a ，AB ＝b ，则矩形ABCD 的面积为ab ＝48.如解图，过点F 作FG ⊥CD 于点G ，作FQ ⊥BC 于点Q ，

∵E 是AD 的中点，F 是CE 的三等分点，∴FQ ＝CG ＝13CD ＝13b ，FG ＝CQ ＝13ED

＝16BC ＝16a ，∴S △BFC ＝12BC ·FQ ＝12a ·13b ＝16ab ，S △FCD ＝12DC ·FG ＝12b ·16a ＝112ab ，∴S △BDF ＝S △BCD －S △BFC －S △CDF ＝12ab －16ab －112ab ＝14ab ＝14×48＝12.

第17题解图