人教A版高中数学必修四课件正切函数的性质与图象

x+
π 3
+π）
=tan[ π2（x+2）+π3 ]=f（x+2）， 因此函数的周期为2．
例6
求函数y=tan（
π 2
x+
π 3
）的定义域、周期和单调
区间．
由
- π2+kπ＜ xπ2+ ＜π3 +kππ2 ，k∈Z解得
- 53+2k＜x＜ +13 2k，k∈Z．
因此，函数的单调递增区间是
（- 53+2k， +13 2k），k∈Z．
则f (x) tan x tan(π x) f (x π)
所以，正切函数是周期函数，且周期 是__π____．
接着我们一起分析一下正切函数 y=tanx 的奇偶性。 根据诱导公式填空：
tan（-x）=_-_ta_n__x_， x∈R，x≠ π2+kπ，k∈Z． f (x) tan x的定义域为{x R x π kπ ，k Z}
2
2
内都是增函数。
o 2
x 2
例6
求函数y=tan（
π 2
x+
π 3
）的定义域、周期和单调区间．来自解：函数的自变量x应满足
π 2
x+
π3≠kπ+
，π2 k∈Z，
即
x≠2k+ 13，k∈Z．
所以，函数的定义域是{x| x≠2k+ 13，}k．∈Z
由于
f（x）=tan（ π2
x+
π 3
）=tan（π2
３周期性：


2

2
o 2
x 2
正切函数是周期函数，
周期是
４.奇偶性： 奇函数
思考1：根据正切函数的函数 图像，是否是定义域的增函数？ （课本P45 5（1））
y y tan x
思考2：如何确定正切函数 的增区间？


2

2
正切函数在开区间
（-π kπ ，π kπ ），k Z
2
f (x) tan(x) tan x f (x)
所以，正切函数是___奇____函数．
类似正弦曲线的作法，我们先作 正切函数在一个周期上的图象。下面 我们利用正切线画出函数
y tan x, x ( , )
22
的图象
由正切函数的周期性，把图象向左、向右扩展，得到 正切函数的图象，称为正切曲线
452
2
tan(1π) tan(2π)- tan(1π) tan(2π), 即tan( 13π) tan( 17π)
4
5
4
5
4
5
Page 19
练习：课本 P 45 2
（1）tanx＞0时，{x|kπ＜x＜ +π2 kπ，k∈Z}; （2）tanx=0时，{x|x=kπ，k∈Z};
tan138 tan143
(2) tan( 13π) 4
tan(3π - 1π 4
） tan(- 1π) 4
tan 1π 4
tan(17π) tan(3π - 2π) tan(- 2π) tan 2π
5
5
5
5
∵0 1π 2π 1π,而且tan x在[0, 1π]上为增函数
3
4
.
全优26页变式训练
全优87页
思考：正切函数有没有对称中心？对称轴？ 正切函数的对称中心为（1 kπ ，0）（k Z）
2
正切函数没有对称轴。
思考：对于函数 f (x) A tan(x )的周期是多少（ 0）
f (x) A tan(x ) Atan(x π )
A tan[(x π ) ] f (x π )


f (x) Atan(x )的周期为 T π

练习：课本 P 45 4
y
y=tanx
1
x
-3/2 - -/2
0 /2

3/2
-1
正切曲线是由被相互平行的的直 线 所隔开的无穷多支曲线组成
x k (k Z) 2
正切函数y tan x 的性质和图像：
１.定义域： {x | x k , k Z}
2
y y tan x
２值域： R
A.0
B. 3 3
C.1
D. 3
全优26页基础夯实
练习：课本 P 45 3
解：∵3x π kπ ， x π kπ ，k Z
2
63
定义域为{x
x
π

kπ
，k
Z}
63
练习：课本 P 45 6
解：6(1)∵90 138 143 270 , 而且tan x在90到270之间是增函数
•最小正周期：所有周期T
中最小的正数。
如何利用单位圆中的正 弦线作出正 弦函数图象？
Y
y sin x, x [0,2 ]
74 3 5 11 2
63 2 3 6
O 2 5
6 3 23 6
X
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数
y sin x, x (2k ,2(k 1) ), k z且k 0
的图象与函数 y sin x, x [0,2 ) 的图象形状
完全相同，只是位置不同
思考： 类比研究正弦和余弦函数的方法， 你认为正切函数有那些性质？
1.4.3 正切函数的性质与图像
首先我们一起分析一下正切函数 y=tanx 是否为周期函数？
根据诱导公式填空：
tan（π+x）=__ta_n_x__， x∈R，且x≠ π2+kπ，k∈Z． 设f (x) tan x,
（3）tanx＜0时，{x|- π2+kπ＜x＜kπ，k∈Z}．
全优26页基础夯实
5.函数y lg( 3 tan x)的定义域为 _______.
解析：要使函数有意义，
则 3 tan x 0.即tan x 3.
解得k x k , k Z.
2
3
函数的定义域为
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
复习回顾： 什么是正切线？
y PT
注意：三角函数 线是有向线段！
-1
O
A(1,0)
x
tan=AT
正切函数值
正切线AT
什么是周期函数？
• 周期函数：一般地，对于函 数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域 内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)，那么这个函 数f(x)就叫周期函数。
{x | k x k , k Z}.
2
3
3．求满足－ 3＜tan x≤1 的 x 的集合．
【解析】根据正切函数的图象可知，
在
－π，π 22
上，－
3＜tan x≤1 的 x 的范围
是－π＜x≤π，而正切函数的周期是π， 34
故满足－ 3＜tan x≤1 的
x
的集合是
x|kπ－π＜x≤kπ＋π，k∈Z