《幂级数的和函数》
求幂级数的和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。
因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
幂级数的求和
幂级数的求和幂级数的求和（Sum of Geometric Series）幂级数是数学中一个非常重要且有趣的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将深入研究幂级数的求和，并探讨一些有趣的性质和应用。
首先，我们来定义什么是幂级数。
幂级数是由一系列幂次递增的项构成的无穷级数。
一般来说，幂级数的形式可以表示为：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ/___i=0在上式中，aᵢ是常数系数，x 是自变量，i 是项的指数，S 是幂级数的和。
我们可以看到，幂级数的项之间存在乘法关系，而指数 i 呈递增的幂次分布。
对于幂级数的求和，我们需要根据其收敛性质进行讨论。
幂级数的收敛性与 x 的取值相关，存在三种情况：1. 当 x = 0 时，幂级数的和为 a₀，即 S = a₀。
此时，幂级数只有一项，因此求和结果是确定的。
2. 当x ≠ 0 且 aₙ ⋅ xⁿ 逐项相加的和存在有限值时，我们称幂级数在 x 处收敛。
这时，我们可以用一种特殊的方式计算幂级数的和。
对于收敛的幂级数而言，可以使用以下公式计算其和：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ = a₀ + a₁ * x + a₂ * x² + .../___i=0这个公式是通过将幂级数写成等比数列的形式来推导出来的。
通过计算每一项的值，并将它们相加，我们可以得到幂级数的和。
例如，考虑以下幂级数：S = 3 + 6x + 12x² + 24x³ + ...我们首先需要判断该幂级数在何处收敛。
为了判断这一点，我们可以使用比值判别法或根值判别法。
假设我们使用比值判别法，计算得到：lim n→∞ │aₙ₊₁⋅ xₙ₊₁│___________ = │6x│ = |6x|n→∞ │aₙ ⋅ xₙ│当 |6x| < 1 时，该幂级数在 x 处收敛。
也就是说，幂级数的收敛区间为 (-1/6, 1/6)。
接下来，我们可以使用求和公式计算该幂级数的和。
浅谈求幂级数的和函数的方法
dx=-ln(1-x)
x0=-ln(1-x)-0=-ln(1-x)
∴ s(x)=-ln(1-x)，｜x｜＜1 （此处一定注意s(0)=0）
例4：求幂级数
∞
∑
(3n-1)x2n-1的和函数；
n-1
分析：幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相
乘的形式，可考虑用“先积分，再求导”的做法；
解：这是缺项幂级数，先求出收敛域（-1，1）。
数，从而可求出该幂级数的和函数。
例2：求幂级数
∞
∑
n=0
n3 (x+1)！
xn的和函数。
解：求出收敛域为(-∞，+∞)
（1）当x≠0时， s(x)=
x 2
∞
+∑ n=2
(n+1)n(n-1)+n+1-1 (n+1)！
xn
=
x 2
+x2
∞
∑
n=2
xn-2 (n-2)！
+
∞
∑
n=2
xn n！
+
1.55±0.24
1.43±0.21
1.50±0.12
1.46±0.18
1.46±0.17
1.43±0.23
对照组（n=45
1.59±0.22
1.68±0.25
1.70±0.23
1.68±0.28
1.65±0.10
1.58±0.15
1.57±0.19
1.65±0.17
1 定义法
∞
对于幂级数∑
a
n
x
n，若前n项和函数
列{
s
n
(
x
)
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求幂级数的和函数在数学分析中是一个常见的问题，而求解和函数的方法与技巧也是学习数学的关键之一。
在求幂级数的和函数时，我们需要考虑到级数的收敛性、展开式、导数运算等方面，下面将介绍一些常用的方法与技巧。
一、使用对数或幂级数的性质在求解幂级数的和函数时，可以利用对数或幂级数的性质进行简化。
对幂级数进行对数运算，可以将幂级数转化为常数级数，然后利用级数性质求解。
利用级数的加法性质和乘法性质，可以将不同的级数相加或相乘，进一步简化求解过程。
二、利用级数收敛性判断在求解幂级数的和函数时，首先需要判断级数是否收敛。
常用的收敛判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
根据级数的收敛性，可以确定求幂级数的和函数的适用范围，避免在不收敛的情况下进行求解。
三、展开式与递推关系在求解幂级数的和函数时，可以利用展开式与递推关系简化求解过程。
通过展开级数，可以将级数转化为有限项求和的形式，进而求解和函数。
利用递推关系可以根据前一项的求和结果来求解后一项，从而加快求解速度。
四、使用导数运算五、利用变元替换在求解幂级数的和函数时，可以通过变元替换简化求解过程。
通过对级数的变元进行替换，可以将原级数转化为新的级数形式，从而简化求解过程。
利用变元替换的方法可以将级数转化为更容易求解的形式，提高求解效率。
求幂级数的和函数通常需要结合数学分析的知识和技巧进行求解。
在实际求解过程中，可以根据具体情况选择合适的方法与技巧，避免繁琐的计算过程，提高求解效率。
希望以上介绍的方法与技巧对您有所帮助，帮助您更好地理解和应用求幂级数的和函数的知识。
第二篇示例：求幂级数的和是数学分析中一个重要的问题，具有广泛的应用和理论意义。
通常来说，求幂级数的和需要使用一些方法和技巧来进行求解。
下面我们将介绍一些常用的方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决这个问题。
1. 泰勒级数展开法泰勒级数是一种将一个函数在某点附近用一个多项式来近似表示的方法。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
第7章 第5讲 幂级数的运算与和函数
的和函数．
(3)!
=0
解 (1)因为() = 1 +
3
3!
+
6
6!
+ ⋯+
3
(3) !
+⋯
29
02
幂级数的和函数
2
5
3−1
′ =
+
+ ⋯+
+ ⋯,
2! 5!
3 − 1 !
4
3−2
″ = +
+⋯+
+ ⋯,
4!
3 − 2 !
16
02
幂级数的和函数
∞
进而幂级数 ( − 1)−1 的收敛半径也是 = 1.
=1
∞
′
∞
−1
(
−
1)
=
(
−
1)
,
又因为
=1
=1
幂级数逐项求导之后收敛半径不变, 所以幂级数
∞
( − 1) 的收敛半径也是 = 1．
=1
17
02
幂级数的和函数
和函数为
2 −
3
1
幂级数的和函数
∞
例3 若级数 条件收敛,
=1
∞
(
−
1)
的
则 = 3与 = 3依次为幂级数
.
=1
A．收敛点,收敛点;
B．收敛点,发散点;
C．发散点,收敛点； D．发散点,发散点.
高等数学：第七讲 幂级数的和函数
s(x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x R, R
n1
n1
n1
幂级数的和函数的求法
总结：当 n 在分母时，利用性质2，先求
导，后积分.
当 n 在分子时，利用性质1，先积
分，后求导.
例题2：
求幂级数 n1
1 n
xn
的和函数
S
(
x)
.
解
an
1 n
,
所以，收敛半径 R 1
f
x
x
s(t)dt
x
[
nt n1]dt
x nt n1dt xn
0
0
0
n1
n1
n1
因为： xn
x
n1 1 x
所以
S x
f
x
1
1 x2
x (1,1)
谢谢
un (x2 ) S2
n1
幂级数的和函数的概念xDSຫໍສະໝຸດ un(x) S xn1
我们称 S x 为函数项级数 un(x)的和函数，
此函数的定义域就是级数
un
(
x)
n的1 收敛域.
n1
特别地，当级数是幂级数anxn 时，它对
n0
应的和函数S x 称为幂级数的和函数.该函数
的定义域就是幂级数 anxn的收敛域.
收敛区间 (1,1)
由性质2得
Sx (
1 xn )
( 1 xn )
x n 1
n1 n
n1 n
n1
由例1得： xn1
1
所以
n1
1 x
S
x
x 0
S
'(t)dt
x^n级数求和函数
x^n级数求和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算把待求级数化为易求和的级数，求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：
一、通过并集变形化成常用级数的幂级数议和函数s(x)排序幂级数的和函数，首先必须记牢常用级数的和函数，再次基础上利用四则运算、变量赋值、拆毁项、水解、标号赋值等并集变形手段将待求级数化成常用级数的标准形式去议和函数。
二、求通项为p(n)x^n的和函数，其中p(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
三、求通项为x^n/p(n)的和函数，其中p(n)为n的多项式数学分析1、对级数先逐项微分，再逐项分数谋其和函数，分数时不要略去s(0)的值。
数学分析2、也可以化成几何级数的和函数的分数谋之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数。
无穷级数一章中 幂级数的和函数的求法
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
求导或者积分后你要展开观察是什么数列，只要是等号右边的东西，你就直接得到他的和是等号左边了，再记得变回去！
什么逐项求导和逐项积分，太恶心了！以后等你搞傅里级数的时候还有一些书上写的多深邃，其实简单的初中生都能搞的明白的东西。。。。书上写的巨恶心，其实就是三角变换一次，一次不行就两次。。。。。
看着啊，我现在就按照同济教材的立体为例子：给你玩一下：∑（1~无穷) n(x^n-1)
解：S（x)=∑（1~无穷) n(x^n-1) 的和函数
仔细观察：(x^n-1)积分是不是分母出现了n ,正好和分子的n越掉。直接对)∑（1~无穷) n(x^n-1) 积分哈~~~不要考虑什么逐项积分，从此你就当没有听过逐项积分这种说法。积分后就变成 ∑（x^n），原式是没有办法处理的，但是有了这个式子之后，展开把N=（1、2、3、4。。。。）带入就发现是个很标准的q=x的等比数列了。这个等比数列求和为：x/(1-x)。 x/(1-x)是积分后的和哈，那要求原来的和简单嘛，求一次导就对了：1/[1-x)^2]
不要去想什么逐项求导和逐项积分乱七八糟的，其实就是对通项求导或者积分。
幂级数求和方法总结
幂级数求和方法总结关于幂级数求和的探讨例1 求幂级数∑∞[]n=0_n[]n+1的和函数。
解先求收敛域。
由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收敛半径R=1。
在端点_=—1处，幂级数成为∑∞[]n=0（—1）n[]n+1，是收敛的交错级数；在端点_=1处，幂级数成为∑∞[]n=01[]n+1，是发散的。
因此收敛域为I=[—1，1]。
设和函数为s（_），即s（_）=∑∞[]n=0_n[]n+1，_∈[—1，1）。
（1）于是_s（_）=∑∞[]n=0_n+1[]n+1。
（2）利用性质3，逐项求导，并由1[]1—_=1+_+_2+…+_n+…，（—1 得[_s（_）]′=∑∞[]n=0_n+1[]n+1=∑∞[]n=0_n=1[]1—_，（|_|对上式从0到_积分，得_s（_）=∫_01[]1—_d_=—ln（1—_），（—1≤_≤1）。
（5）于是，当_≠0时，有s（_）=—1[]_ln（1—_），而s（0）可由s（0）=a0=1得出，故s（_）=—1[]_ln（1—_），_∈[—1，0）∪（0，1），1，_=0。
（6）一、错误及原因分析1.忽略幂级数的起始项例如在求解幂级数∑∞[]n=1_n的和函数时，有学生就很容易将其和函数写为s（_）=1[]1—_，而事实上其和应该为s（_）=_[]1—_。
该错误产生的原因在于学生忽略了幂级数的起始项，习惯性的把第一项默认为1。
2.忽略和函数的定义域产生该错误的原因，主要是学生对和函数的概念理解不透彻，无穷多项求和其和并不总是存在的，即不总是收敛的，所以在求和函数时，首先要判断在哪些点处和是存在的，这些点的集合就是和函数的定义域，即幂级数的收敛域。
3.错误地给出和函数的定义域，即幂级数的收敛域该错误的产生主要源于利用和函数的分析性质求解和函数时，忽略了收敛域的变化。
上述例子中的（5）式就出现了这方面的错误。
4.忽略了收敛域中的特殊点在上述例子式中，利用（5）求s（_）时，需要在等式两边同时除以_。
幂级数求和函数的类型与解法
本文总结了求幂级数和函数的四种方法.一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算(一般是加减)表达形式,然后逐一求和新的级数;第二种方法是"先求导,再积分"或 "先积分,再求导";第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来;第四种方法是列写出和函数满足的微分方程,解此微分方程得到和函数.
3.期刊论文 周正迁 关于求幂级数的和函数 -科技信息2010(15)
在函数项级教中,幂级数占有重要的地位,而求幂级数的和函数又是其中不可或缺的内容.本文通过一些典型的例题介绍了求幂级数和函数的一般方法.
4.期刊论文 张锦来.ZHANG Jin-lai 幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用 -延边大学学报（自然科学版）2008,34(2)
7.期刊论文 张雪梅.封功能 求函数极限方法研究 -科技信息2009(27)
求极限是高等数学中最基本的运算之一,由于题型多变,所以方法灵活,技巧性强,本文结合教学实践,讨论了求函数极限的几种常用方法,揭示了极限理论广泛而深刻的内涵.
8.期刊论文 桂曙光.GUI Shu-guang 利用差分法求一类幂级数的和函数 -安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(4)
参考文献(2条) 1.同济大学教学系 高等数学 2007 2.朱来义 微积分 2004
相似文献(10条)
1.期刊论文 解烈军 求幂级数和函数的微分方程方法 -高等数学研究2009,12(3)
按照通常求幂级数和函数的思路,对一些幂级数并不能奏效.在某些情况下,可以引入求幂级数和函数的微分方程方法.其主要思路是通过建立和函数的微分方程,将幂级数求和函 数问题化为微分方程初值问题来求解.
求幂级数的和函数
幂级数的和函数幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
步骤：•求出收敛域.•在收敛区间上利用已知无穷级数的和函数或者逐项积分、逐项求导的方法求出和函数.•利用和函数的连续性, 考察上一步求出的和函数与原来函数在端点处是否相等.方法：求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定会出错。
一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导e69da5e887aa62616964757a686964616f31333433623736公式：∞∞∑∑S′(x)=(anxn)′=nanxn−1n=0n=0且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
幂级数的和函数
幂级数的和函数一、 幂级数的运算：设与0nn n a x∞=⋅∑0n nn bx ∞=⋅∑两个幂级数，收敛半径分别为1R ,2R ,则在它们的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：nnnn n n ax b xλμ∞∞==⋅±⋅∑∑=()n nn n ab x λμ∞=±∑其中λ、μ为常数。
当12R R ≠时，上式的收敛半径为12min{,}R R R =ii 乘法和除法：00nnn n n n n a x b x c x ∞∞∞===⋅=∑∑∑n 1其中011n n n n c a b a b a b −=++⋅⋅⋅+二、 和函数： 设的收敛半径为R (R>0)，为和函数，则有以下性质成立0nn n a x∞=∑0()nn n S x a x ∞==∑i 和函数在（-R,+R ）内可导，并且有逐项求导公式：10()()n n n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii 由此，和函数S （x ）在（-R,+R ）内任意次 可导，并有逐项求导公式：()()()()(1)(2)(1)k n k n n n kn n S x a x n n n n k a x∞=∞−===−−⋅⋅⋅−+∑∑它的收敛半径仍然为R 。
iii 在（-R,+R ）内逐项积分公式成立1000()1xxnn n n n n a S t dt a t dt n ∞∞+====+∑∑∫∫并且，逐项积分后收敛半径也不变iv 若幂级数在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n n n a x ∞=∑（A ） 0lim ()nn x R n S x a R ∞→−==∑lim ()()n n x R n S x a R ∞→+==−∑（B ） 可以在[0,R]或者[-R,0]上逐项积分，即：100()1Rn n n a S x dx n ∞+==+∑∫ 010()()1n n n Ra S x dx R n ∞+=−−=−+∑∫（C ） 逐项求导之后的级数1()()nn n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑在X=R(-R)处可能发散。
幂级数求和函数的教学讨论
幂级数求和函数的教学讨论摘要：本文讨论了在微积分幂级数求和函数的常用方法在教学中的体会。
关键词：和函数；幂级数；收敛中图分类号：O171文献标识码：A级数理论是微积分的基础知识，也是微积分的重要理论，级数分为数项级数与函数项级数，其本质都是部分和数列的极限。
函数项级数的前n项和的极限就是一个函数，我们称之为和函数。
幂级数是函数项级数中最简单的一种，也是微积分中重要的概念之一，在数学很多领域有着它的应用，比如在近似计算，解微分方程，组合数学，复变函数，实变函数等都有它的广泛应用。
幂级数在收敛区间具有一致收敛性，从而和函数在收敛区间是连续的，如果幂级数在区间端点收敛，则和函数在端点处单侧连续，又由于幂级数在收敛区间的一致收敛性，从而和函数在收敛区间可导并且可积，且幂级数可以逐项可导，逐项可积。
利用幂级数和函数的这些分析性质，可以有助于增加我们求幂级数和函数的一些方法。
在学习幂级数和函数的过程中，很多初学者在刚开始学习时感到困难，对级数的理论理解还不够深入，从而导致影响下面的学习。
这种情况一方面是由于大多数学生仅仅停留在中学数学的思维上，对级数这一新的理论没有真正理解它的含义，另一方面很多教材过多地强调了抽象理论而忽略了直观认识。
由于对级数理论理解不够透彻，从而导致了求幂级数和函数这一问题很多学生感到了困难，针对这种情况本文把常见的求幂级数和函数的方法进行归类总结，通过具体的典型例子，使得学生得以比较容易的掌握具体常用的方法，同时通过对求幂级数的和函数的过程也加深了对级数理论的理解。
1直接求和法对于幂级数求和函数可以利用级数的定义，通过求其部分和函数列的极限来求其和函数，对于这种方法有一个前提条件，就是必须能够求出其部分和函数。
例1 求幂级数的和函数解幂级数的部分和函数为当，从而幂级数的和函数为2利用公式求幂级数的和函数幂级数求和函数也可以通过常见的初等函数幂级数展开式来求一些幂级数的和函数。
例2 求幂级数的和函数解由于已知函数 ,令，得另外我们比如知道函数的展开式为令得到，因此得到公式1同样的我们知道函数的展开式，其中，两边求导数，可得于是得公式2利用这两个公式可以求常见的其他幂级数的和函数，比如1.2.3.例3 求幂级数的和函数解将看作是一个整体，利用公式1可得3通过逐项求导求幂级数的和函数由于幂级数在收敛区间内可以逐项求导，因此可以通过幂级数逐项求导的方法来求一些幂级数的和函数，一般的对于形如的幂级数可以采用逐项求导的方法求出其和函数。
幂级数与函数
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1
n 1
的收敛域与和函数, 并求
n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n
幂级数求和问题
当 时，级数可能绝对收敛,可能条件收敛，也可能发散.
二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R :
再讨论
• 非标准形式幂级数
通过换元转化为标准形式
直接用比值法或根值法
处的敛散性 .
注:
求幂级数的收敛域,应先求出收敛半径和收敛区间,再考虑区间端点的敛散性,而区间端点的敛散性可转化为数项级数敛散性的判别.
３. 利用幂级数的性质,可以求一些幂级数的和函数.
注:
• 求部分和式极限
三、幂级数和函数的求法
求和
• 映射变换法
逐项求导或求积分
对和函数求积或求导
难
直接求和: 直接变换,
间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
求部分和等
• 初等变换法: 分解、套用公式
（在收敛区间内）
• 数项级数 求和
将所给函数展开成 幂级数.
2. 间接展开法
(2) 展成 的幂级数,也就是在点 处展开.
将g (t) 展成t的幂级数,
然后将展开式中的t再换成
例8.
解:
定理2.
若 f (x) 能展成 x 的幂级数,
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
设 f (x) 所展成的幂级数为
即是此种情形.
的情形, 即
称
收敛
发散
定理 1. ( Abel定理 )
若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散 .
时该幂级数发散 ,
则对满足不等式
发 散
发 散
收 敛
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
求幂级数的和函数
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
[1]函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。
之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。
然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。
最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示[2] 。
概念在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
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考研中，遇到幂级数求和函数的问题，往往是以解答题的形式出现较多。
而幂级数和函数求法相对来说是比较固定的。
因为不管题目怎么变化，我们都是按照下面介绍的三种方法处理。
但是要把这三个方法用好，必须对适用幂级数的形式特征要能够作出正确的判断，否则不好处理。
我们先介绍第一种方法。
用已知的5个函数展开式求幂级数的和函数方法。
要把这个方法用好，我们首先要对已知5个函数的展开式的结构特征要把握清楚准确，因为这是我们能否用5个函数的展开式求和函数的前提，也是我们到底用哪个函数的展开式的依据，同时也是我们对题中幂级数处理变形的方向。