人教A版 利用空间向量证明空间中的位置关系 学案

第七节立体几何中的向量方法
第一课时利用空间向量证明空间中的位置
关系
知识体系
必备知识
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
(3)确定平面的法向量
①直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.
②待定系数法:取平面的两条相交向量a,b,设平面的法向量为
n=(x,y,z),由错误!未找到引用源。

解方程组求得.
(4)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系向量表示
直线l1,l2的l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2
方向向量
分别为
n1,n2
l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l的方
向向量为
n,平面α
的法向量
为m
l∥αn⊥m⇔n·m=0
l⊥αn∥m⇔n=λm
平面α,β
的法向量
分别为n,m
α∥βn∥m⇔n=λm
α⊥βn⊥m⇔n·m=0
1.易错点:
(1)直线方向向量的求法
一般利用直线(线段)所在的向量作为方向向量,但是直线上的任意线段、与直线平行的线段都可以作为方向向量.
(2)平面法向量的求法
①先选取平面内任意两个不共线向量,再利用法向量与这两个向量垂直,数量积为零,构造方程组,赋值法求法向量.
②选取平面内的向量时,应尽量选取“简单”“特殊”的向量,例如与坐标轴平行的向量、二面角的轴所在的向量,可以简化求法向量的运算过程.
2.注意点:直线的方向向量、平面的法向量与线线、线面、面面位置关系
(1)方向向量和法向量平行、垂直⇔线线和面面的平行、垂直.
(2)方向向量和法向量平行⇔线面垂直.
(3)方向向量和法向量垂直⇔线面平行.
基础小题
1.给出下列说法:
①一条直线的单位方向向量是唯一的;②一个平面的单位法向量是唯一的;③已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),则平面ABC的一个单位法向量是(1,1,1);④已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是错误!未找到引用源。

.其中正确的说法有
________(只填序号).
【解析】一条直线的单位方向向量与一个平面的单位法向量有2个,它们是相反向量,故①,②错误;
对于③,平面ABC的单位法向量是(0,0,1)或(0,0,-1),故③错误;
对于④,=(-1,1,0),=(-1,0,1),
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
则即错误!未找到引用源。

取n=(1,1,1),则平面ABC的一个单位法向量为错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,故④正确. 答案:④
2.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为
n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.P(2,3,3)
B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0)
D.P(3,-3,4)
【解析】选A.逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以·n=6-12+6=0,所以⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.
3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A.(-1,1,1)
B.(1,-1,1)
C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【解析】选C.设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,
则化简得错误!未找到引用源。

所以x=y=z.结合选项知选C.
4.(教材改编)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果= (2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是________.(填序号)
【解析】由·=-2-2+4=0,所以⊥,所以AB⊥AP,所以①正确; 由·=-4+4+0=0,所以⊥,所以AP⊥AD,所以②正确;
由⊥,AP⊥AD,AB∩AD=A,知是平面ABCD的法向量,故③正确; 由=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),
所以与不平行,故④错误.
答案:①②③
5.直线l的方向向量s=(-1 ,1 ,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x=________.
【解析】由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±错误!未找到引用源。

.
答案:±错误!未找到引用源。

6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M 是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________.
【解析】以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M错误!未找到引用源。

,O错误!未找到引用源。

,
N错误!未找到引用源。

.·=错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=0,
所以ON与AM垂直.
答案:垂直。