与圆有关的计算

板块一 与圆有关的面积和长度计算 设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 弧长公式：π180n Rl =扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+ 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法 常考点：A 、计算弧长B 、计算扇形面积C 、阴影部分面积（转化、割补法）D 、侧底角圆锥侧面展开所对圆心S S l r ==360 E 、计算圆锥的表面积、侧面积F 、计算最值面积（与二次函数最值结合、注意范围）G 、最短路径问题【例1】 如图，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为( )A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π【巩固】 如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B C ，两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于( ) Ａ．6π Ｂ．4π Ｃ．3π Ｄ．2π与圆有关的计算【巩固】已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为___________．【例2】 已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm (结果保留π)．【例3】 矩形ABCD 的边86AB AD ==，，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是_________．【例4】 如图，已知半圆的直径12AB =厘米，点C D ，是这个半圆的三等分点，求弦AC AD ，和CD 围成的阴影部分面积．(结果用π表示)【巩固】 将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°，4cm 30AB BAC ︒=∠=，，则图中阴影部分面积为cm 2．【巩固】芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图1，他在边长为1的正方形ABCD 内作等边三角形BCE ，并与正方形的对角线交于F 、G 点，制成如图2的图标． 则图标中阴影部分图形AFEGD 的面积＝__________．【例10】 如图，圆心角都是90︒的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC BD ，．(1)求证：AC BD =；(2)若图中阴影部分的面积是234cm π，2cm OA =，求OC 的长．【巩固】（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13．（2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．【例11】 (09河南)，圆心角等于45︒的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D E 、在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为____________．【巩固】 如图，已知点A B C D 、、、均在已知圆上，AD BC ∥，AC 平分BCD ∠，120ADC ∠=︒，四边形ABCD 的周长为10．图中阴影部分的面积为___________．C【巩固】阅读下列材料，然后解答问题。

经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。

圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。

如图（十三），已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ，⊙O 的面积为S 1，正四边形ABCD 的面积为S 2，以圆心O 为顶点作∠MON ，使∠MON =90°，将∠MON 绕点O 旋转，OM 、ON 分别与⊙O 相交于点E 、F ，分别与正四边形ABCD 的边相交于点G 、H 。

设OE 、OF 、EF 及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S（1）当OM 经过点A 时（如图①），则S 、S 1、S 2之间的关系为：S ＝ （用含S 1、S 2的代数式表示）；（2）当OM ⊥AB 时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。

（3）当∠MON 旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．【例12】如果矩形纸片的两条邻边分别为18cm和30cm，将其围成一个圆柱的侧面，求圆柱的底面半径．【巩固】圆柱的侧面展开图是一个矩形，如右图所示，对角线8∠=︒，求圆柱的CABAC=，30底面积．D C30︒AB【巩固】如图，△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆O 1的直径，半圆O 2过C 点且与半圆O 1相切，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．2367a π- B ．2365a π- C ．2367a D ．2365a【例13】 如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为( ) A ． 24πcmB ． 26πcmC ． 29πcmD ． 212πcmOBA6cm120°【巩固】 某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm ，圆心角为120︒的扇形，则这个圆锥的底面半径为______________cm ．【巩固】 如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，那么这个圆锥侧面展开图圆心角的度数是__________．【例14】 圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为( )．A ．36πB ．48πC ．72πD ．144π【巩固】若一个圆锥的底面积是侧面积的13，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____ _度．【例15】一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为__________．【巩固】小华为参加毕业晚会演出，准备制作一顶圆锥形纸帽，纸帽的底面半径为9cm，母线长为30cm，制作这个纸帽需要纸板的面积至少为2cm．(结果保留π)【例16】如图，小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )A．3cm B．4cm C．21cm D．62cm【例17】圆锥的母线长是3cm，底面半径长是1cm，M是底面圆周上一点，则从点M出发绕侧面一周，再回到M点的最短路线长是____________．【例18】已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是( )【巩固】 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ．母线()OE OF 长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且2FA =cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm【例19】 已知在ABC ∆中，6890AB AC A ==∠=︒，，，把Rt ABC ∆绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为1S ，把Rt ABC ∆绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为2S ，则1S ：2S 等于_________【巩固】 在手工课上甲、乙两名同学合作，将半径为1米，圆心角为90°的扇形薄铁片围成一个圆锥筒，在计算圆锥的容积时(接缝忽略不计)，甲认为圆锥的高就等于扇形的圆心O 到弦AB 的距离OC (如图)，乙说这样计算不正确，你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来．【巩固】半径为5的弧长等于半径为2的圆周长，则这条弧所对的圆心角的度数是______________．【巩固】若一扇形的弧长为12π，圆心角为120︒，则扇形的面积为_____________．【例20】一个扇形的半径为60cm，圆心角为150︒，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________．【例21】如图，在Rt ABC∆中，902，，若以AB为直径的圆交BC于点D，则BAC AB AC∠=︒==阴影部分的面积是______________．【例22】设矩形ABCD的长与宽的和为2，以AB为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有( )A．最小值4πB．最大值4π C．最大值2πD．最小值2π【例23】如图，O的半径5cmAB=，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的OA=，弦8cm最短距离是 cm．【巩固】如图，⊙O的半径OA＝10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___________cm。

【巩固】15. （2011四川广安，19，3分）如图3所示，若⊙O的半径为13cm，点p是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为________cmB板块二 正多边形与圆正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算 ⑴正n 边形的每个内角都等于()2180n n-⋅︒；⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒； ⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ， 则2221801801112sin cos 422n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ︒︒===+==⋅⋅=⋅，，，，【例23】 若正三角形、正方形、正六边形和圆的周长都相等，那么____________的面积最大；若它们的面积都相等，那么_____________的周长最大．【巩固】在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的各边长均大于1的边数必为___________．【例24】下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120 的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，错误的命题是_____________．【例25】如图，ABCD是O⊙的内接正方形，PQRS是半圆的内接正方形，那么正方形PQRS与正方形ABCD的面积之比为____________．【巩固】一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为_________．【例26】 已知圆内接正六边形面积为【例27】 已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．【例28】 如图，有一个圆O 和两个正六边形12T T ，．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和圆O 相切(我们称12T T ，分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形)． ⑴ 设12T T ，的边长分别为a b ，，圆O 的半径为r ，求:r a 及:r b 的值；⑵ 求正六边形12T T ，的面积比12:S S 的值．【例29】 (1)已知：如图1，ABC ∆是⊙O 的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+(2)如图2，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证:PA PC =+(3)如图3，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请探究PA PB PC 、、三者之间有何数量关系，并给予证明.BB1.如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为( ) A ．10cm B ．3.5πcm C ．4.5πcm D ．2.5πcm2. 如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=，6BC =，点D 为BC 中点，将ABD △绕点A 按逆时针方向旋转120得到AB D ''△，则点D 在旋转过程中所经过的路程为 ．(结果保留π)3. 一个扇形所在圆的半径为3cm ，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是 cm 2．4.如图7，在Rt ABC ∆中，9042C AC BC ∠=︒==，，分别以AC BC ，为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．(结果保留π)5.如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象B ACDD 'B '上，则图中阴影部分的面积于。