相似三角形常用辅助线

相似三角形之常用辅助线
在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。

而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。

因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。

专题一、添加平行线构造“A”“X”型
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
定理的基本图形：
例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC
G F
E D C
B
A
G
F
E
D C
B
A
变式练习：
已知在△ABC中，AD是∠BAC
的平分线．求证：
．
（本题有多种解法，多想想）
例2、如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若
DC
BD
＝
FA
FC
=2,求BE:EA的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若
BD
DC
＝
FE
ED
=2,求BE:EA的比值.
例3、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF
CD
BD
AC
AB
A
C
F
E
B D
A
C
F
E
B D
变式1、如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB·DF=AC·EF 。

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长.
变式：
如图，21==DE AE CD BD ，求
BF
AF。

（试用多种方法解）
E
D
C
B
A
A B C
E
F
A B C
E
F
A B C
E
F
A B C
E
F
说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结：
（1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。

（2）引平行线应注意以下几点：
1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。

2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

专题二、作垂线构造相似直角三角形 一、基本图形
例1、理由？（用多种
解法）
v
A B C
D
A
B D
E
F C
变式练习：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2
例2、如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2
=CF •
BF
【练习】
1．如图，一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D ，E ，F 。

求证：若
CF
BF
EC AE =
，则D 是AB 的中点。

2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，求DF ：FE 的值。

A B C D E F B E A
D
C F
A
B
C
D E
F
3.已知：AM ：MD=4：1，BD ：DC=2：3，求AE ：EC 。

4、 如图，的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC
延长线相交于F ，求证：
A
B
C
M
E B
D
A C
F
E。