中考数学锐角三角函数提高练习题压轴题训练

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62

或

23

.

【解析】

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；

（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，

∵△EFK是直角三角形，∴OF=1

2

EK=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，

∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，

∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，

∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；

（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，

∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，

在Rt△EFK中，tan∠3

∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，

∴EK=2FK=4，OF=1

2

EK=2，

∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，

在Rt△PHF中，PH=1

2

PF=1，3OH=23

∴()2

2

12362

+-=

如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，

∴∠BOP=90°，

∴OP=33OE=233

， 综上所述：OP 的长为62 或

233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

2．已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，连结BE 、AD 交于点P ，设AC=kBD ，CD=kAE ，k 为常数，试探究∠APE 的度数：

（1）如图1，若k=1，则∠APE 的度数为 ；

（2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE 的度数．

（3）如图3，若k=3，且D 、E 分别在CB 、CA 的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.

【解析】

分析：（1）先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出BD=AF ，BF=AD ，进而判断出△FAE ≌△ACD ，得出EF=AD=BF ，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（2）先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出BD=AF ，BF=AD ，进而判断出△FAE ∽△ACD ，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（3）先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出BD=AF ，BF=AD ，进而判断出

△ACD ∽△HEA ，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

详解：（1）如图1，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，

∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形，

∴BD=AF ，BF=AD ．

∵AC=BD ，CD=AE ，

∴AF=AC ．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE ≌△ACD ，

∴EF=AD=BF ，∠FEA=∠ADC ．

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD ．

∵AD ∥BF ，

∴∠EFB=90°．

∵EF=BF ，

∴∠FBE=45°，

∴∠APE=45°．

（2）（1）中结论不成立，理由如下：

如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，

∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形，

∴BD=AF ，BF=AD ．

∵3BD ，3AE ， ∴

3AC CD BD AE

==． ∵BD=AF ， ∴3AC CD AF AE

==．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE ∽△ACD ， ∴3AC AD BF AF EF EF

===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ．

∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． 在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=

3EF BF =， ∴∠FBE=30°，

∴∠APE=30°，

（3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，

∴∠APE=∠ADH ，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH 是平行四边形，

∴BE=DH ，EH=BD ．

∵3BD ，3AE ，

∴

3AC CD BD AE

==． ∵∠HEA=∠C=90°，

∴△ACD ∽△HEA ， ∴

3AD AC AH EH

==∠ADC=∠HAE ． ∵∠CAD+∠ADC=90°，

∴∠HAE+∠CAD=90°，

∴∠HAD=90°． 在Rt △DAH 中，tan ∠ADH=

3AH AD

= ∴∠ADH=30°，

∴∠APE=30°．

点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．