空间想像能力、逻辑思维能力、解题能力

逻辑思维能力的层次
（1）给出条件和结论，能说明推理的依据； 若给出条件和依据，能得出结论，并了解基 本推理格式。 （2）根据给出条件能完成一步推理过程，并 掌握简单的证明方法。 （3）能够独立完成两步和两步以上的推理论 证过程，并能说明依据。 （4）能够独立分析具有综合性和实际应用性 的问题。
四、培养学生逻辑思维 能力的基本途径
培养学生空间想象能力的基本途径
1.学好有关空间形式的基础知识
2.加强数学的直观教学，从事数学实习 活动
3.加强空间想象能力的训练，不断发展空 间想象能力 （1）深入研究同类图形或某个重要图形 各要素之间的联系，丰富学生的空间想 象能力 （2）深入研究异类图形之间的联系，发 展学生的空间想象能力 （3）有效利用数形结合，锻炼学生的空 间想象能力
二、空间想象力的衡量指标
第一，对基本的几何图形的熟悉程度，包括熟悉图 形的特征和它们之间的关系；能正确画图；能在头 脑中分析基本图形中基本元素之间的度量关系及位 置关系；等。 第二，用坐标和向量等表明位置和描述空间关系的 熟练程度，包括能借助坐标系或向量正确地表征几 何图形，以建立代数与几何的联系；能熟练地建立 坐标系并用坐标法分析问题和探讨数学，能熟练地 用向量法解决某些几何问题；等。 第三，能正确地借助对称、变换等原理，分析几何 图形的形状特征及几何元素的位置关系。 第四，熟练地识图，包括能从复杂的图形中区分出 基本图形；能在平面图形、立体图形和它们的表征 之间进行转换；等。
数学思维能力及其培养
一、对数学思维能力的理解 二、逻辑思维能力的衡量指标 三、培养学生逻辑思维能力的基本途径
一、对数学思维能力的理解
一是从数学思维过程、方法考察。数学思维能 力主要是指：会观察、比较、分析、综合、 抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推 理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想 和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨 明数学关系，形成良好的思维品质。 二是从数学所特有的思维对象出发，数学思维 能力可以包括：空间想象、符号表示、运算 求解、体系建构等诸多方面。
三、中学生空间想象力发展的特点
1.几何思维的五级水平 弗赖登塔尔的学生海尔(Van Hiele)提出的数学 化过程的教学理论中，把几何思维区分为五 个水平： 0一水平：直观 1一水平：分析 2一水平：抽象 3一水平：演绎 4一水平：严谨
三、中学生空间想象力发展的特点
2．中学生空间想象力发展的特点 学生的空间想象力也由低水平到高水平顺次发 展。 中学生空间想象力的发展具有年龄特征，表现 在：每一级水平的空间想象力都随着年级的 升高而呈上升发展的趋势。 对同一年级的学生而言，随着能力水平层次的 升高，进入到高一级水平的学生人数在不断 下降，即随着能力水平的提高，达到相应水 平层次的学生人数越来越少。
空间想象能力的培养
数学中的空间想象能力是空间想象力是人们
对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽 象的能力，它的特点在于善于在头脑中构成 研究对象的空间形状和简明的结构，并能在 离开实物的条件下，在头脑中对空间元素进 行一系列操作和变换，对它们的位置关系进 行相应的分析、归纳和概括等。
基本要求： 1.能够由形状简单的实物想象出几何图形，由 几何图形想象出相应的实物形状； 2.能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本 的图形； 3.能够在基本的图形中找出基本元素及其关系； 4.能够根据文字或符号表述的条件作出或画出 图形，对图形能够用文字或语言来表述。
空间想象能力的培养
一、对空间观念的理解 二、空间想象力的衡量指标 三、中学生空间想象力发展的特点 四、培养学生空间想象能力的基本途径
一、对空间观念的理解
空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出 几何图形，由几何图形想像出实物的开关， 进行几何体与其三视图、展开图之间的转化； 能根据条件做出立体模型或画出图形；能从 较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分 析其中的基本元素及其关系；能描述实物或 几何图形的运动和变化；能采用适当的方式 描述物体间的位置关系；能运用图形形象地 描述问题，利用直观来进行思考。
1 2 x y 2y z z z
2
1 4
0
求 (z y) x
的值。
3.教会学生运用逻辑常识
消除学生理解困难的关键。 数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系； 论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。
4.加强逻辑思维能力的训练
循序渐进；各科渗透；重点突出 例3 谁先说到66谁便输，如何玩法，胜者是谁？ 要想得胜，应如何玩这个游戏？ 例4 已知 _____
二、逻辑思维能力的衡量指标
中学生数学逻辑思维能力，我们强调三条，即 严密性，准确性，明确性。 首先，逻辑思维的严密性是数学思维的最基本 精神，也是数学逻辑思维能力最根本的衡量 标准。 其次，数学的计算具有无可争辩的准确性，数 学定理只有当它从逻辑的推理上得到准确的 证明才能被认可。 最后，每一个数学结论都是明确的，数学结论 的推理过程也必须具有明确性，
三、逻辑思维能力的基本内容及层次
逻辑思维能力是指在一定的逻辑法则下进行思考活
动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力， 是发展学生思维的基础、中心环节和主要标志。 逻辑思维能力的基本内容： （1）能正确理解和运用各种逻辑推理方法 演绎、归纳、类比 （2）能正确理解和运用各种论证方法 分析、综合、反证法、同一法、比较、抽象、概 括等 （3）思维过程目的明确、条理清楚 （4）善于将知识系统化，结构化
你应 该最 终得 出一 个求 解的 计划

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有 关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题？ 一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的 问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件 的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到 什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出 某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的 其他数值？如果需要的话，你能不能想出适合于确定 未知数的其他数值？如果需要的话，你能不能改变未 知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数 据彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条 件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？
f (x 1 x ) x
2
1 x ，则
2
f ( x 1)
的表达式为
5.重视运用数学符号语言进行推理论证
6.重视新旧知识间的逻辑联系
分析和解决实际问题能力的培养
实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中
的一些具体问题。 解数学题是培养学生分析和解决实际问题能力的主要 途径 解题在数学教育中的作用 关于数学解题的教学 1.认真审题，理解题意； 2.机动灵活，寻找途径； 3.加强练习，尽力创造. 数学解题的基本要求： 正确、合理、简捷、完满、清楚
例1 四个半径为1的等球，每一个与其余三个都 相切，三球在下，置于一平面上，求最上一 球的球心到平面的举例。 A
B O
C
1
例2 任意的三角形都是等腰三角形。
A
F
O B D
E
C
OB=OC OE=OF FB=EC AF=AE AB=AC
三、数学思维能力
数学思维能力是指人们对数学对象（数量关 系和空间形式）的本质的认识能力。 数学思维的分类： （1）逻辑思维能力 （2）创造性思维能力 发散思维能力、直觉思维能力
一、对数学思维能力的理解
2．逻辑思维能力是数学思维能力的核心 逻辑思维能力就是正确、合理地进行思考的能力。不 仅包括形式逻辑思维，而且包括辩证逻辑思维，同 时也包括非形式化的逻辑思维， 从逻辑思维能力与运算能力、空间想象能力的关系看， 运算能力是逻辑思维与一些具体的运算知识和技能 相结合而在处理数量关系方面表现出的个性心理特 征；空间想象能力则是逻辑思维与一些经验几何知 识和识图、作图技能相结合而在处理空间图形方面 表现的个性心理特征。
一、对数学思维能力的理解
2．逻辑思维能力是数学思维能力的核心 从逻辑思维能力的作用考察其地位 第一，只有具备较强的逻辑思维能力，才能正确地认 识数学规律，完成数学思维任务 。 第二，逻辑思维能力是正确、严谨、完备地论证数学 定理、法则、公式和发现数学错误的前提。 第三，逻辑思维能力是揭露错误思想的有力武器。例 如，逻辑思维能力强的人，可以及时而有效地识破 和揭露偷换概念、同语反复、循环论证等现象。 第四，逻辑思维能力是掌握数学知识的根本保证。
三、中学生空间想象力发展的特点
3．对几何课程体系的思考 从初中二年级开始，应当适当渗透观察三维图 形、了解图形的整体性质等方面的内容和要 求；平面几何内容的安排，在保持“扩大的 公理化体系”、注重逻辑演绎、强调严谨准 确的前提下，要加强平面几何定理的发生发 展过程，以利于渗透合情推理成分；立体几 何的课程结构，先安排对空间几何体进行整 体认识的内容，然后安排对整体几何图形的 分解与组合——空间点、线、面的位置关系 和度量问题。
1.重视数学基础知识的教学 绝对值概念、三角形相似，全等的判定等 例1 已知方程 x 2 x a 0 ( a 0 ) 的两根是
2
求 的值。
,
2 .教师要重视论证格式的教学，并作出正确的 示范 在教学过程中，教师要通过示例训练学 生掌握如下论证格式：综合法、分析法、反 证法和归纳法等。 论证思考过程和书写格式的正确示范。 例2 已知实数x,y,z满足

拟定计划
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而 形式稍有不同？ 你是否知道与此有关的问题？你是否知道一 个可能用得上的定理？ 看着未知数！试想出一个具有相同未知数或 相似未知数的熟悉问题. 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解 决的问题. 你能不能利用他它？你能利用它的结果吗？ 你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是 否应该引入某些辅助元素？ 你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不 同的方法重新叙述它？ 回到定义去.
实现计划
第三，实行 你的计划

实现你的求解计划，检验每一步 骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正 确的？你能否证明这一步骤是正 确的？ 回顾 你能否验证这个论证？你能否 用别的方法导出这个结果？ 你能不能一下子看出它来？你 能不能把这个结果或方法用于 其他的问题？
第四，验算所 得到的解

波利亚“怎样解题表”
第一，你 必须弄清 问题.

弄清问题
未知数是什么？已知数是什么？条件 是什么？满足条件是否可能？要确定 未知数，条件是否充分？或者它是否 不充分？或者是多余的？或者是矛盾 的？ 画张图.引入适当的符号. 把条件的各个部分分开.你能否把它们 写下来？
Байду номын сангаас
第二，找出 已知数与未 知数之间的 关系.如果找 不出直接的 联系，你可 能不得不考 虑辅助问题.