2013年江苏省苏州市中考数学试卷加解析

2013年江苏省苏州市中考数学试卷加解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、（2013•苏州）2×（﹣错误！未找到引用源。

）的结果是（）
A、﹣4
B、﹣1
C、错误！未找到引用源。

D、错误！未找到引用源。

考点：有理数的乘法。

专题：计算题。

分析：根据有理数乘法法则：异号得负，并把绝对值相乘来计算．
解答：解：2×（﹣错误！未找到引用源。

）=﹣（2×错误！未找到引用源。

）=﹣1．
故选B．
点评：考查了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
2、（2013•苏州）△ABC的内角和为（）
A、180°
B、360°
C、540°
D、720°
考点：三角形内角和定理。

分析：根据三角形的内角和定理直接得出答案．
解答：解：三角形的内角和定理直接得出：△ABC的内角和为180°．
故选A．
点评：此题主要考查了三角形的内角和定理，此题比较简单注意正确记忆三角形内角和定理．3、（2010•清远）地球上的海洋面积约为361000000千米2，将361000000这个数用科学记数法表示为（）
A、3.61×108
B、3.61×107
C、361×107
D、0.361×109
考点：科学记数法—表示较大的数。

专题：应用题。

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解答：解：将361 000 000用科学记数法表示为3.61×108．
故选A．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4、（2013•苏州）若m•23=26，则m等于（）
A、2
B、4
C、6
D、8
考点：同底数幂的除法。

专题：计算题。

分析：根据乘除法的关系，把等式变形，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减．
解答：解；m=26÷23=26﹣3=23=8，
故选：D，
点评：此题主要考查了同底数幂的除法，题目比较基础，一定要记准法则才能做题．
5、（2013•苏州）有一组数椐：3，4，5，6，6，则下列四个结论中正确的是（）
A、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，6
B、这組数据的平均数、众数、中位数分别是5，5，5
C、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，5
D、这组数据的平均数、众数、中位数分别是5，6，6
考点：众数；算术平均数；中位数。

专题：计算题。

分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于众数可由数据中出现次数最多的数写出；对于中位数，因为题中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的一个数．
解答：解：一组数椐：3，4，5，6，6的平均数=（3+4+5+6+6）÷5=24÷5=4.8．
6出现的次数最多，故众数是6．
按从小到大的顺序排列，最中间的一个数是5，故中位数为：5．
故选C．
点评：本题考查平均数、中位数和众数的概念．一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
6、（2013•苏州）不等式组错误！未找到引用源。

的所有整数解之和是（）
A、9
B、12
C、13
D、15
考点：一元一次不等式组的整数解。

分析：首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案．
解答：解：错误！未找到引用源。

，
由①得：x≥3，
由②得：x＜6，
∴不等式的解集为：3≤x＜6，
∴整数解是：3，4，5，
所有整数解之和：3+4+5=12．
故选B．
点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7、（2013•苏州）已知错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值是（）
A、错误！未找到引用源。

B、﹣错误！未找到引用源。

C、2
D、﹣2
考点：分式的化简求值。

专题：计算题。

分析：观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数即可．
解答：解：∵错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

=﹣2．
故选D．
点评：解答此题的关键是通分，认真观察式子的特点尤为重要．
8、（2013•苏州）下列四个结论中，正确的是（）
A、方程x+错误！未找到引用源。

=﹣2有两个不相等的实数根
B、方程x+错误！未找到引用源。

=1有两个不相等的实数根
C、方程x+错误！未找到引用源。

=2有两个不相等的实数根
D、方程x+错误！未找到引用源。

=a（其中a为常数，且|a|＞2）有两个不相等的实数根
考点：根的判别式。

专题：计算题。

分析：把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，判断解的个数即可．
解答：解：A、整理得：x2+2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；
B、整理得：x2﹣x+1=0，△＜0，∴原方程没有实数根，故错误，不合题意；
C、整理得：x2﹣2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；
D、整理得：x2﹣ax+1=0，△＞0，∴原方程有2个b不相等的实数根，故正确，符合题意．故选D．
点评：考查方程的实数根的问题；用到的知识点为：一元二次方程根的判别式大于0，方程有2个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有2个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．
9、（2013•苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）
A、错误！未找到引用源。

B、错误！未找到引用源。

C、错误！未找到引用源。

D、错误！未找到引用源。

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理。

专题：几何图形问题。

分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．
解答：解：连接BD．
∵E、F分別是AB、AD的中点．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

故选B．
点评：本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义，正确证明△BCD是直角三角形是解题关键．
10、（2013•苏州）如图，巳知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（）
A、3
B、错误！未找到引用源。

C、4
D、错误！未找到引用源。

考点：一次函数综合题。

专题：综合题。

分析：根据三角函数求出点B的坐标，代入直线y=x+b（b＞0），即可求得b的值．
解答：解：由直线y=x+b（b＞0），可知∠1=45°，
∵∠α=75°，
∴∠ABO=180°﹣45°﹣75°=60°，
∴OB=OA÷tan∠ABO=错误！未找到引用源。

．
∴点B的坐标为（0，错误！未找到引用源。

），
∴错误！未找到引用源。

=0+b，b=错误！未找到引用源。

．
故选B．
点评：本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角函数的知识，注意直线y=x+b（b＞0）与x轴的夹角为45°．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上。

11、（2007•丽水）因式分解：a2﹣9= （a+3）（a﹣3）．
考点：因式分解-运用公式法。

分析：a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
解答：解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
12、（2013•苏州）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点0．若AC=6，则线段AO的长度等于 3 ．
考点：平行四边形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：根据在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解．
解答：解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=6，
∴AO=错误！未找到引用源。

AC=错误！未找到引用源。

×6=3．
故答案为：3．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．13、（2013•苏州）某初中学校的男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校男生、女生以及教师的总人数为1200人，则根据图中信息，可知该校教师共有108 人．
考点：扇形统计图。

分析：首先求得教师所占百分比，乘以总人数即可求解．
解答：解：教师所占的百分比是：1﹣46%﹣45%=9%，
则教师的人数是：1200×9%=108．
故答案是：108．
点评：本题主要考查了扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
14、（2013•苏州）函数y=错误！未找到引用源。

的自变量x的取值范闱是x＞1 ．
考点：函数自变量的取值范围。

专题：计算题。

分析：一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解答：解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
点评：本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
15、（2013•苏州）巳知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于﹣1 ．
考点：根与系数的关系。

专题：计算题。

分析：欲求（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解答：解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，
∴ab=﹣1，a+b=2，
∴（a﹣b）（a+b﹣2）+ab
=（a﹣b）（2﹣2）+ab，
=0+ab，
=﹣1，
故答案为：﹣1．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
16、（2013•苏州）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=错误！未找到引用源。

，则线段BC的长度等于 1 ．
考点：切线的性质；勾股定理。

分析：根据切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即可求解．
解答：解：∵CD与⊙O相切，切点为D，
∴CD2=BC•AC，
即CD2=BC•3BC=3，
解得：BC=1．
故答案是：1．
点评：本题主要考查了切割线定理，正确理解定理是解题的关键．
17、（2013•苏州）如图，巳知△ABC是面积为错误！未找到引用源。

的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于错误！未找到引用源。

（结果保留根号）．
考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质。

专题：计算题。

分析：根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．
解答：解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，
∴错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，
∵AB=2AD，S△ABC=错误！未找到引用源。

，
∴S△ADE=错误！未找到引用源。

，
在△EAD中，连接HF，则∠AFH=45°，∠EFH=30°，
设AH=HF=x，则EH=xtan30°=错误！未找到引用源。

x．
又∵S△ADE=错误！未找到引用源。

，
∴AE=1，
∴x+错误！未找到引用源。

x=1，
解得x=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

．
∴S△AEF=错误！未找到引用源。

×1×错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解．18、（2013•苏州）如图，已知点A的坐标为（错误！未找到引用源。

，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=错误！未找到引用源。

（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的错误！未找到引用源。

倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是相交（填”相离”，“相切”或“相交“）．
考点：直线与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征。

分析：根据D点的坐标为（错误！未找到引用源。

，1），得出反比例函数y=错误！未找到引用源。

解析式，再根据A点坐标得出AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案．
解答：解：∵已知点A的坐标为（错误！未找到引用源。

，3），AB=3BD，
∴AB=3，BD=1，
∴D点的坐标为（错误！未找到引用源。

，1），
∴反比例函数y=错误！未找到引用源。

解析式为：
y=错误！未找到引用源。

，
∴AO直线解析式为：y=kx，
3=错误！未找到引用源。

k，
∴k=错误！未找到引用源。

，
∴y=错误！未找到引用源。

x，
∴直线y=错误！未找到引用源。

x与反比例函数y=错误！未找到引用源。

的交点坐标为：
x=±1，
∴C点的横坐标为1，
纵坐标为：错误！未找到引用源。

，
CO=2，
∴AC=2错误！未找到引用源。

﹣2，
∴CA的错误！未找到引用源。

倍=错误！未找到引用源。

，
CE=错误！未找到引用源。

，
∵错误！未找到引用源。

﹣错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

﹣错误！未找到引用源。

＞0，
∴该圆与x轴的位置关系是相交．
故答案为：相交．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出AC的长是解决问题的关键．
三、解答题：本大題共11小题，共76分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔. 19、（2013•苏州）计算：22+|﹣1|﹣错误！未找到引用源。

．
考点：实数的运算。

分析：此题涉及到乘方，绝对值，开方运算，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=4+1﹣3=2．
点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、绝对值，开方等考点的运算．
20、（2013•苏州）解不等式：3﹣2（x﹣1）＜1．
考点：解一元一次不等式。

分析：首先去括号，然后移项合并同类项，系数化为1，即可求解．
解答：解：3﹣2x+2＜1，
得：﹣2x＜﹣4，
∴x＞2．
点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
21、（2013•苏州）先化简，再求值：（a﹣1+错误！未找到引用源。

）÷（a2+1），其中a=错误！未找到引用源。

﹣1．
考点：分式的化简求值。

分析：这道求分式值的题目，不应考虑把a的值直接代入，通常做法是先把分式通，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．
解答：解：原式=（错误！未找到引用源。

）•错误！未找到引用源。

，
=错误！未找到引用源。

•错误！未找到引用源。

，
=错误！未找到引用源。

，
当a=错误！未找到引用源。

﹣1时，
原式=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

．
点评：此题主要考查了分式的计算，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算22、（2013•苏州）已知|a﹣1|+错误！未找到引用源。

=0，求方裎错误！未找到引用源。

+bx=1的解．
考点：解分式方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根。

专题：综合题；方程思想。

分析：首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可．
解答：解：∵|a﹣1|+错误！未找到引用源。

=0，
∴a﹣1=0，a=1；b+2=0，b=﹣2．
∴错误！未找到引用源。

﹣2x=1，得2x2+x﹣1=0，
解得x1=﹣1，x2=错误！未找到引用源。

．
经检验：x1=﹣1，x2=错误！未找到引用源。

是原方程的解．
∴原方程的解为：x1=﹣1，x2=错误！未找到引用源。

．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．同时考查了解分式方程，注意解分式方程一定注意要验根．
23、（2013•苏州）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌ECB；
（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．
考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质。

分析：（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：△ABD≌ECB．
（2）因为∠DBC=50°，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC．
∵CE⊥BD，∠A=90°，
∴∠A=∠CEB，
在△ABD和△ECB中，
∴△ABD≌△ECB；
（2）∵∠DBC=50°，BC=BD，
∴∠EDC=65°，
又∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠DCB=90°﹣∠EDC=25°．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行．
24、（2013•苏州）如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同
（1）一只自由飞翔的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，求小鸟落在草坪上的概率；
（2）现准备从图中所示的3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率是多少（用树状图或列表法求解）？
考点：列表法与树状图法；几何概率。

分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．使用树状图分析时，一定要做到不重不漏．
解答：解：（1）P（小鸟落在草坪上）=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

；（2）用树状图或列表格列出所有问题的可能的结果：
所以编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

．
点评：此题主要考查了概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．
25、（2013•苏州）如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：错误！未找到引用源。

，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于30 度；
（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：错误！未找到引用源。

≈1.732）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题。

分析：（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；
（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．
解答：解：（1）30；
（2）由题意得：∠PBH=60°，∠APB=45°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABP=90°，
在直角△PHB中，PB=错误！未找到引用源。

=20错误！未找到引用源。

．
在直角△PBA中，AB=PB=20错误！未找到引用源。

≈34.6米．
答：A，B两点间的距离是34.6米．
点评：本题主要考查了俯角的问题以及坡度的定义，正确利用三角函数是解题的关键．26、（2013•苏州）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长等于2错误！未找到引用源。

（结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；
（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。

专题：几何综合题；数形结合。

分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；
（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；
（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．
解答：解：过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE=错误！未找到引用源。

AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB•cos∠B=2×错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，
∴AB=2错误！未找到引用源。

；
故答案为：2错误！未找到引用源。

；
（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，
∴∠BOD=2∠DAB=100°；
（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC=错误！未找到引用源。

AB=错误！未找到引用源。

．
点评：此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
27、（2013•苏州）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
（1）如图①，当PA的长度等于2错误！未找到引用源。

时，∠PAD=60°；当PA的长度等于2错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值．
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形。

专题：几何综合题；数形结合；方程思想。

分析：（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB 时，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．
（2）过点P分别作PE⊥A B，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P 点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．
解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴PB=2，
则PA=2错误！未找到引用源。

，
∴当PA的长度等于2错误！未找到引用源。

时，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，则只能是PA=PD，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是矩形，
∴PM=PE=错误！未找到引用源。

AB=2，
∵PM2=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2错误！未找到引用源。

，
同理可得P在P′时，PA=PB，
此时：PA=错误！未找到引用源。

；
∴当PA的长度等于2错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

时，△PAD是等腰三角形；
（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，
则PG⊥BC，
∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴PE2=AE•BE，
即b2=a（4﹣a），
∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4b2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，
∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16．
点评：此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．
28、（2013•苏州）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是错误！未找到引用源。

？
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算。

专题：几何图形问题。

分析：①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出错误！未找到引用源。

=20（1+错误！未找到引用源。

）π+错误！未找到引用源。

，即可得出旋转次数．
解答：解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，
∴顶点O在此过程中经过的路程为：错误！未找到引用源。

2+错误！未找到引用源。

=（1+错误！未找到引用源。

）π，
顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：
错误！未找到引用源。

×2+错误！未找到引用源。

+2×错误！未找到引用源。

×1=1+π．正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
错误！未找到引用源。

3+错误！未找到引用源。

=（错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

）π，
②正方形纸片OABC经过4次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
错误！未找到引用源。

2+错误！未找到引用源。

=（1+错误！未找到引用源。

）π，
∴错误！未找到引用源。

=20（1+错误！未找到引用源。

）π+错误！未找到引用源。

，
∴正方形纸片OABC经过了81次旋转．
点评：此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别得出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．
29、（2013•苏州）巳知二次函数y=a（x2﹣6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，
与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．
（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF 的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
考点：二次函数综合题。

分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．
（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．
解答：解：（1）令y=0，由a（x2﹣6x+8）=0，
解得x1=2，x2=4；
令x=0，解得y=8a，
∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），。