超松弛迭代法解线性方程组
6.4超松弛迭代法
表6.3 Gauss-Seidel迭代法与SOR迭代法比较
Gauss-Seidel迭代法
SOR迭代法(ω=1.25)
k
x1
0
1.0000000
x2 1.0000000
x3 1.0000000
x1 1.0000000
x2 1.0000000
x3 1.0000000
1
5.2500000
3.1825000
第六章 线性方程组迭代解法
§ 6.4 超松弛迭代法(SOR)
§ 6.4超松弛迭代法(SOR)
SOR（Successive Over-Relaxation）法， 即超松弛迭代法，是目前解大型线性方程 组的一种最常用的方法，是Gauss-Seidel迭 代法的一种加速方法。
一、SOR法迭代公式
例6.6 用SOR法求解线性方程组
前面我们看到，SOR法收敛与否或收敛速度都 与松弛因子ω 有关，关于ω 的范围，有如下定理。
SOR法收敛与收敛速度有关定理
定理6.5 设A∈Rnn，满足a ii≠0 (i=1,2,,n),则有 ρ(Bω)≥ |1-ω| 。
推论 解线性方程组，SOR法收敛的必要条件是 |1-ω| <1 ，即 0<ω <2。
4.0009262
-4.9982822
7 3.0134110
3.9888241
-5.0027940
3.0000498
4.0002586
-5.0003486
迭代法若要精确到七位小数， Gauss-Seidel迭代法需要34次迭代； 而用SOR迭代法(ω=1.25)，只需要14次迭代。
可见，若选好参数ω，SOR迭代法收敛速度会很 快。
matlab逐次超松弛迭代法
matlab逐次超松弛迭代法
逐次超松弛迭代法（Gauss-Seidel迭代法）是一种用于解线性方程组的迭代方法，通常用于求解大型稀疏线性方程组。
在MATLAB 中，可以使用该方法来解决线性方程组的数值解。
首先，让我们来了解一下逐次超松弛迭代法的基本原理。
该方法是基于迭代的思想，通过不断迭代更新解向量的各个分量，直到满足一定的收敛条件为止。
具体步骤如下：
1. 首先，需要将线性方程组表示为矩阵形式 Ax = b，其中A 是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
2. 然后，将系数矩阵A分解为下三角矩阵L、对角矩阵D和上三角矩阵U，即A = L + D + U。
3. 接下来，可以根据逐次超松弛迭代法的迭代公式来更新解向量x的各个分量，直到满足一定的精度要求或者迭代次数达到指定的值为止。
在MATLAB中，可以通过编写相应的代码来实现逐次超松弛迭代
法。
具体步骤如下：
1. 首先，需要编写一个函数来实现逐次超松弛迭代法的迭代过程，可以使用for循环来进行迭代更新解向量的各个分量。
2. 其次，需要编写主程序来调用该函数，并传入系数矩阵A、常数向量b以及迭代的初始解向量作为输入参数。
3. 最后，可以设置迭代的终止条件，例如迭代次数的最大值或者解的精度要求，以及初始解向量的初值。
需要注意的是，在实际应用中，逐次超松弛迭代法的收敛性和稳定性需要进行分析和验证，以确保得到正确的数值解。
此外，还需要注意选择合适的松弛因子来加速收敛速度。
总的来说，逐次超松弛迭代法是一种常用的求解线性方程组的数值方法，在MATLAB中可以通过编写相应的代码来实现该方法，并得到线性方程组的数值解。
第四章-解AX=b的迭代法
•迭代格式的收敛性
2 k 引理4.1 (线性代数定理) 设矩阵序列 IM , , M , , M ,
k l i m M 0 ( M ) 1 . k
则
（证明见关治和陈景良编《数值计算方法》P410-412） 定理4.1 设迭代格式为
( k 1 ) ( k ) xM x g , k 0 , 1 , 2 , ( 4 . 3 )
充分性（）设ρ(M)<1,证{x(k)}收敛。
如果ρ(M)<1 ，则I-M为非奇异矩阵。事实上，因
为ρ(M)<1，λi<1，因此λ=1不是M的特征值，即
| 1 IM || IM |0 .
所以方程组 (I-M)x = f 有惟一解x*,满足(I-M)x* = f ，即 x*=Mx* + f 。于是
( k ) ( k 1 ) 2 ( k 2 ) x x * M ( x x * ) M ( x x * ) k ( 0 ) k M ( x x * ) M . 0
由引理4.1知，
k () k I f ( M ) < 1 ,t h e nl i m M 0 , l i m ( x x * ) 0 , i . e . k k () k l i m x x * . k
写成矩阵形式
x1 0 x b 2 21 31 x3 b x b n n1
或简记为
b 12 b 13 0 b23 b 0 32 bn2 bn3
b 1n x 1 g 1 b2n x2 g2 b 3n x 3 g3 g x 0 n n
( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k ) x x * x x q x x *
超松弛迭代法例题
超松弛迭代法例题超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation，简称SOR）是一种解线性方程组的迭代方法，它在雅可比迭代法的基础上，对于每次迭代的结果进行超松弛处理。
超松弛迭代法通过引入一个松弛因子来加快收敛速度，尤其对于收敛慢的问题具有较好的效果。
超松弛迭代法的基本思想是，在每次迭代时，在当前解的基础上引入一个松弛因子ω，将当前解对应的分量更新为上一次迭代得到的解和当前迭代中该分量的修正量的线性组合。
换句话说，超松弛迭代法通过适当地加权迭代，既保留了松弛迭代法的简洁性，又在一定程度上加快了收敛速度。
超松弛迭代法可以用以下公式表示：x_i^{(k+1)} = (1 - ω)x_i^{(k)} + ω/α_ii(b_i - \sum_{j=1}^{n}α_ijx_j^{(k+1)}) (i = 1, 2, ..., n)其中，x_i^{(k+1)} 表示第k+1次迭代时第i个未知量的近似解，x_i^{(k)} 表示第k次迭代时第i个未知量的近似解，α_ij 是系数矩阵的元素，b_i 是方程组的常数向量的第i个分量，α_ii是系数矩阵的第i行的对角元素，n 表示未知量的个数，k 表示当前的迭代次数，ω 是松弛因子。
超松弛迭代法的收敛性与松弛因子ω有关，当ω=1时，迭代法变成了雅可比迭代法；当0 < ω < 1时，称为欠松弛迭代；当ω > 1时，称为超松弛迭代。
一般来说，超松弛迭代法只在0 < ω < 2的范围内收敛。
对于特定的线性方程组，选择一个合适的松弛因子可以有效地加快迭代的收敛速度。
在实际求解问题时，选择合适的松弛因子是非常重要的。
如果选取的松弛因子过大，可能导致迭代法不收敛或者收敛非常慢；如果选取的松弛因子过小，则可能无法发挥超松弛迭代法的优势。
一种常用的方法是通过试验和经验来确定最佳的松弛因子，或者通过一些启发式的方法进行优化。
总结起来，超松弛迭代法是一种通过引入松弛因子来加快雅可比迭代法收敛速度的方法。
超松弛迭代法解线性方程组
设it题目:摘要本文是在matlabll境下熟悉的运用计算机编程培言并结合超松弛变量起松弛迭代法的理论基础对方程组求解。
首先，本文以愉分方程边值问题为例，导出了离散化后线11方程组即稀疏线性方程组，转化对柿蔭线性方程组求解冋題。
其次，用起松弛（SOR）选代法编写matlab 程序，湘产生的柿疏线性方程组进行迭代法求解。
然后，分别改变松弛因子3和分段数n的值，分桥其收敛性和收敛速H, 18出各个方面的分林和比较需到相关结论。
最后，将起松弛迭代算法在it算机上运用matlab 言实现，借岀了一组与猜确解较接近的数值解,并画图比较，騎iil逐次超松弛（SOR）选代法的績确性。
关键词:柿匾线性方程组逐次超松弛迭代法松弛因子matlab编程-、间题提岀考虑两点逆值冋题为了把做分方程离IL 把[oj]E 间“等分，令/亠丄，脸=〃?，山12…山一1,得到 n 差分方程° 治 一 2)1 + X+—畑 一 X _ “or十—C< -h 2h简化为(£ + 必+i - © + 心+ % =肿,从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为一（2g + /?） £ + h£-（2£ + h ）A =££ + /?一（2w + h ）_对£ = 19 a = 0.4 , n = 200 ,分别用e = 1、6? = 0.5和e = 1.5的超松弛迭代法 求解线性方程组，要求有4也有效数字，然后比较与精确解的淚差，探讨使超松 弛选代法收敛较快的0取值，对结果进行分轿。
改变»论同wrOo二、超松弛迭代法产生的背景容易知道它的精确解为 + ax.£ + h—（2w +y =对从实际间题中借到维数相当夫的线11代数方程组的求解仍然十分困难，以至使人们不能在允许的时间内用貞接方法得到解，Slit,客观上要求用新的方法来解决大维数方程组的求解I'nJSo现有大名数迭代法不是对各类线11方程组都有收敛性，在解题时，要对原方程组葩晖作一根本的变换，从而可能使条件数变坏，也可能破坏了变换前后方程组的等价性，以员丧失使原方程组的对称II等。
超松弛迭代法解线性方程组
设计题目：超松弛迭代法解线性方程组摘要本文是在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合超松弛变量超松弛迭代法的理论根底对方程组求解。
首先，本文以微分方程边值问题为例，导出了离散化后线性方程组即稀疏线性方程组，转化对稀疏线性方程组求解问题。
其次，用超松弛( SOR) 迭代法编写matlab程序，对产生的稀疏线性方程组进展迭代法求解。
然后，分别改变松弛因子ω和分段数n的值，分析其收敛性和收敛速度，做出各个方面的分析和比拟得到相关结论。
最后，将超松弛迭代算法在计算机上运用matlab语言实现, 得出了一组与准确解较接近的数值解,并画图比拟，验证逐次超松弛( SOR) 迭代法的准确性。
关键词：稀疏线性方程组逐次超松弛迭代法松弛因子matlab编程一、问题提出考虑两点边值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.11,00,10,22y y a a dxdy dx y d ε 容易知道它的准确解为.1111ax e e a y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--εε为了把微分方程离散，把[]1,0区间n 等分，令nh 1=，ih x i =，,1,,2,1-=n i 得到差分方程,21211a h y y hy y y i i i i i =-++-++-ε 简化为()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h h h h h A εεεεεεεεεε2222对1=ε，4.0=a ，200=n ，分别用1=ω、5.0=ω和5.1=ω的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比拟与准确解的误差，探讨使超松弛迭代法收敛较快的ω取值，对结果进展分析。
改变n ，讨论同样问题。
二、超松弛迭代法产生的背景对从实际问题中得到维数相当大的线性代数方程组的求解仍然十分困难, 以至使人们不能在允许的时间用直接方法得到解, 因此, 客观上要求用新的方法来解决大维数方程组的求解问题。
SOR迭代法求解线性方程组
SOR迭代法求解线性方程组一实验名称：实验四：逐次超松弛迭代法。
二实验题目：求解下面的三元一次线性方程组：2x-y+2z=4；x+2y+3z=9；2x-2y-3z=-3；要求选取不同的松弛因子进行计算，并估计最优松弛因子的大小。
三实验目的：1.熟悉掌握逐次超松值迭代法的基本原理和基本方法。
2.学会用逐次超松弛迭代法解简单的方程组。
3.选取不同的w值（0<w<2）进行试探性的计算，从中摸索出近似的最佳松弛因子。
四基础理论：超松弛迭代法以及所涉及的主要算法为：Xi^(k+1)←（1-w）*Xi^(k)+w*Xi的共轭的（k+1）次幂。
五实验环境：Visual C++6.0。
六实验过程：1. 在程序中输入不同的数据时，会得到不同的结果。
2.大于1的时候的松弛因子，被称作超松弛法。
小于则被称做低松弛法。
由于松弛因子对方程组的收敛速度影响很大，所以在一定的误差范围内，选择不同的松弛因子时，迭代次数也会不同。
3. 按照实验题目中的数据输入时，比较结果当w=0.6时，会出现下面的结果：当w=0.7时得当w=0.8时得当w=0.9时，会出现下面的结果当w=1.0时得七结果分析：当在一定的误差范围内，有以上运行结果可以得出答案，最优松弛因子的范围为0.8。
八逐次超松弛迭代法程序代码：#include<iostream.h>#include<stdlib.h>#include<stdio.h>#include<math.h>void SOR(double w, double a[3][3], double b[3], double x[3], double esp) {double t[3];int flag=0;int n=0;while(!flag){flag=1;n++;t[0]=x[0]; t[1]=x[1]; t[2]=x[2];for(int i=0;i<3;i++){double m=b[i];for(int j=0;j<3;j++){m-=(a[i][j]*x[j]);}x[i]=x[i]+w*m/a[i][i];}for(int k=0;k<3;k++){if(fabs(x[k]-t[k])>=esp){flag=0;break;}}}printf("%d\n",n);}void main(){double a[3][3];double b[3];double x[3];double w,esp;a[0][0]=2; a[0][1]=-1; a[0][2]=2;a[1][0]=1; a[1][1]=2; a[1][2]=3;a[2][0]=2; a[2][1]=-2; a[2][2]=-3;b[0]=4; b[1]=9; b[2]=-3;x[0]= x[1]= x[2]=0;w=0.6;esp=0.0001;SOR(w,a,b,x,esp);for(int i=0;i<3;i++)printf("%f\n",x[i]);}。
逐次超松弛迭代法 matlab -回复
逐次超松弛迭代法matlab -回复什么是逐次超松弛迭代法（Gauss-Seidel）？为什么需要这种迭代方法？如何在MATLAB中实现逐次超松弛迭代法？有哪些注意事项和应用场景？我们将逐一解答这些问题。
逐次超松弛迭代法，也被称为Gauss-Seidel迭代法，是一种数值计算方法，用于解决线性方程组。
它采用逐步逼近的方式求解，相较于直接求解的方法，计算上更加简化。
为什么需要逐次超松弛迭代法呢？当涉及到解决大型线性方程组时，直接解法可能会面临计算量大、迭代时间长的问题。
而逐次超松弛迭代法通过逼近的方式，可以将线性方程组划分为多个小规模问题，分步进行迭代，有效降低了计算时间。
在MATLAB中，我们可以使用以下步骤实现逐次超松弛迭代法：1. 构建线性方程组表达式：首先，将线性方程组转换为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
2. 初始化参数：设定初始值x0，并指定迭代的最大次数N和误差控制值epsilon。
3. 迭代计算：循环进行迭代计算直到满足结束条件，具体步骤如下：a. 根据逐次超松弛迭代法公式，更新x的值：x(i+1) = (1 - w) * x(i) + (w / A(i,i)) * (b(i) - A(i,:)*x(i) + A(i,i)*x(i))其中，w(w > 0)是松弛因子，可以理解成迭代的步长。
通常情况下，根据实际问题的特点和经验选择合适的w值。
b. 判断迭代是否终止：计算当前迭代的相对误差，如果小于设定的误差控制值epsilon，则停止迭代。
c. 更新迭代次数，并检查是否达到最大迭代次数N，如果达到则停止迭代。
4. 输出结果：返回迭代最终结果x，作为线性方程组的解。
在使用逐次超松弛迭代法时，需要注意以下几点：1. 松弛因子w的选择：选择合适的松弛因子w对收敛速度和精度有较大影响。
如果选择不当，可能会导致迭代结果不收敛或者收敛速度很慢。
通常情况下，可以通过试验和调整，选择使得迭代过程尽快收敛的合适值。
超松弛迭代法
xk 1 1 xk D1 b Lx( k 1) Ux( k )
xk 1 L x( k ) ( D L)1b
(5.3.2)
再整理得
其中，迭代矩阵为
L ( D L)11 D U
4 3 0 x1 24 3 4 1 x2 30 0 1 4 x 24 3
(1 )D U x (D L) x
D L U 是实对称矩阵，所以有LT U 。上式两边与x 作内积得 （5. 3. 4） (1 )(Dx, x) (Ux, x) [(Dx, x) ( Lx, x)] 因为A正定，D亦正定，记 p ( Dx, x) ，有 p 0 。又记 ( Lx, x) i ， A 这里，
k 1
xi(k 1) xi(k 1) (1 ) xi(k ) xi( k ) ( xi( k 1) xi( k )
经整理得
x
( k 1) i
x
(k ) i
(bi aij x
j 1
i 1
( k 1) j
aij x (jk ) ) aii
opt
其中
2 1 1 u2
opt 的条件。在实际应 可以证明，对称正定的三对角矩阵满足最优松弛因子 用中，一般地说计算 ( BJ ) 较困难。对某些微分方程数值解问题，可以考虑用 求特征值的近似值的方法，也可以由计算实践摸索出近似最佳松弛因子。
( BJ ) 是 J 法迭代矩阵BJ 的谱半径。
按一般的迭代法收敛的理论，SOR迭代法收敛的充分必要条件是 ( L ) 1 在什么范围内取值，SOR迭 而 ( L ) 与松弛因子 有关。下面讨论松弛因子 代法可能收敛。 定理5.7 证 如果解方程组Ax 设 L 的特征值为
超松弛迭代法例题
超松弛迭代法例题超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效方法。
相比于传统迭代法，超松弛迭代法具有更快的收敛速度和更高的计算精度。
它的基本思想是在传统迭代法基础上引入一个松弛因子，对迭代方程进行加权处理，从而达到更快的收敛速度。
以解决下列线性方程组为例：3x1 + 0.1x2 - 0.2x3 = 7.850.1x1 + 7x2 - 0.3x3 = -19.30.3x1 - 0.2x2 + 10x3 = 71.41. 建立迭代公式首先，我们需要将原始方程组写成矩阵形式：Ax = b其中，A是系数矩阵，b是常数向量，x是未知向量。
将其变形为迭代形式：x(k+1) = Bx(k) + f其中，B是迭代矩阵，它的形式为：B = (D - wL)^(-1) [(1 - w)D + wU]其中，D是A的对角线矩阵，L是A的下三角矩阵（不包括对角线），U是A的上三角矩阵（不包括对角线），w是松弛因子。
f是常数向量，它的形式为：f = wb其中，b是方程组的常数向量。
2. 求解迭代矩阵和常数向量在这个例子中，我们可以根据系数矩阵A，求出其对角线矩阵D、下三角矩阵L和上三角矩阵U：D = [3 0 00 7 00 0 10]L = [0 0 00.1 0 00.3 -0.2 0]U = [0 0.1 -0.20 0 -0.30 0 0]对于这个例子中的松弛因子w，我们可以通过一些经验公式来设置，比如：w = 1.5 / （1 + max（abs（D[i][i]））） = 1.5 / （1 + 10）= 0.13636然后，我们可以将迭代矩阵B和常数向量f求出来：B = (D - wL)^(-1) [(1 - w)D + wU]= [0 0.015 0.040.0142 0 0.04290.03 0.0195 0]f = wb= [0.1364*7.850.1364*(-19.3)0.1364*71.4]= [1.0705-2.63099.7086]3. 迭代计算在完成迭代矩阵B和常数向量f的求解之后，我们可以开始进行迭代计算。
超松弛迭代法公式与jacobi的关系
超松弛迭代法公式与jacobi的关系超松弛迭代法（SOR）和Jacobi迭代法是常用的求解线性方程组的迭代方法。
它们都是通过迭代逼近线性方程组的解，但是在具体的迭代过程和收敛性上有所不同。
首先来看一下Jacobi迭代法。
给定线性方程组Ax=b，其中A是一个n×n的方阵，b是一个n维向量，x是我们要求解的未知向量。
Jacobi迭代法的思想是将线性方程组的每个方程分别写成一个未知量的函数，并通过迭代的方式逐步求解。
具体来说，Jacobi迭代法的迭代公式如下：$$x^{(k+1)}=D^{-1}(b-Rx^{(k)})$$其中，$x^{(k+1)}$表示第k+1次迭代得到的近似解，$x^{(k)}$表示第k次迭代得到的近似解，D是A的对角线元素组成的对角矩阵，R是A的非对角线元素组成的矩阵。
这个公式的意义是，我们通过用上一次迭代得到的近似解$x^{(k)}$来逼近线性方程组的解，每次迭代都只使用上一次迭代得到的近似解。
接下来我们来看看超松弛迭代法。
超松弛迭代法是对Jacobi迭代法的改进，通过引入一个松弛因子ω来加速迭代过程。
其迭代公式如下：$$x^{(k+1)}=(D-ωL)^{-1}[(1-ω)D+ωU]x^{(k)}+(D-ωL)^{-1}b$$其中，L是A的下三角部分，U是A的上三角部分。
超松弛迭代法在每次迭代中使用了上一次迭代和当前迭代的信息，通过调节松弛因子ω的取值，可以加速收敛过程。
从迭代公式可以看出，Jacobi迭代法和超松弛迭代法的主要区别在于超松弛迭代法引入了松弛因子ω，并且在每次迭代中使用了上一次迭代的信息。
这使得超松弛迭代法在一定条件下可以比Jacobi迭代法更快地收敛到线性方程组的解。
在实际应用中，选择合适的松弛因子ω对超松弛迭代法的收敛性和稳定性至关重要。
通常情况下，选择ω的取值范围为(0,2)，对于某些特定的线性方程组，可以通过一些经验规则或者数值试验来确定最佳的ω值。
§8.4-解线性方程组的超松弛迭代法法
1
第八章 解线性方程组的迭代法
SOR迭代法是Gauss—Seidel 迭代法的一种修正， 可由下述思想得到.
设已知x(k)及已计算x(k+1)的分量xj(k+1) (j=1,2,,i-1).
(1) 首先用Gauss—Seidel 迭代法定义辅助量 x~i(k1),
1
1
1
4 1 1
1 4 1
1 1 4
x2 x3 x4
1 1 1
.
Hale Waihona Puke 它的精确解为x*=(-1, -1, -1, -1 )T.
解 取初始向量x(0)=0，迭代公式为
x1( k x2( k x3( k
x(11) (0.99999646, 1.00000310, 0.99999953, 0.99999912)T ,
(11) 0.46 105. 2
满足误差
(k) 105.
2
迭代次数k
对取其它值，迭代次数如表. 1.0
22
1.1
17
从此例看到，松弛因子选择
1.2
aii
.
j1
ji
i 1,2,, n 也可写作：
x(0) x(k1)
i
( x1(0) ,, xn(0)
xi(k) xi ,
)T
,
i 1
n
xi
(bi
aij
x
(k j
matlab超松弛迭代法求方程组
一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。
在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。
本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。
二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。
它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。
超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。
超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。
在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。
三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。
sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。
以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。
线性方程组的迭代法雅可比高斯塞德尔和超松弛迭代ppt课件
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
写据成此建立n 迭ai代j x公j 式 bi
i 1,2,, n
上若xi式(xkai称1ii)为0ja1解a11i(iiii方((bb程1ii,2组,jj的njn,1i n1Jaa)aijcxio,j分(jxbk)ij离)迭) 代出公i变i式量1,。21x,,2i , n , n
j=1
j ≠i
称A为严格对角占优阵。
2.如果A的元素满足
∑n
ai,i ≥ ai, j ,i = 1,2,..., n
j=1 j≠i
且至少一个不等式严格成立，称A为弱对角占优阵。 16
定义：设 A = (ai,j )n×n ,n ≥ 2
如果存在置换矩阵P，使得
PT
AP
A11 0
A12
A22
1
§6.1 迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是将线性方程组转化 为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始 值 xi(0) (i 1,2,, n) ，按某种计算规则，不断地 对所得到的值进行修正，最终获得满足精度 要求的方程组的近似解。
2
设 A Rnn 非奇异，b Rn，则线性方程组
Ax b 有惟一解 x A1b ，经过变换构造
x (k 1) 1
x (k 1) 2
x1(k 2x1(k)
)
x(k) 2
4x2(k )
3 3
取
x (0) 1
x (0) 2
0
计算得
《数值分析》第8章
假设 ρ (J ) ≥ 1 ，则 J 至少存在一个特征值满足： λ ≥ 1 ，设 x 是相应的特征向量，则 x ≠ 0 ，且
29
n× n
Jx = λ x ⇔ ( D −
⎧ x ( k +1) = Gx ( k ) + f ⎨ (0) ⎩x
7 8
写成分量形式为：
i −1 n ⎧ ( k +1) 1 = (bi − ∑ aij x(jk +1) − ∑ aij x(jk ) ) (i = 1,", n, k = 0,1,") ⎪ xi aii j =1 j = i +1 ⎪ ⎨ ⎪ (0) (0) (0) (0) T ⎪ ⎩ x = ( x1 , x2 ,", xn )
⎡ 0 ⎤ ⎢a ⎥ 0 ⎥ , L = − ⎢ 21 ⎢ # % % ⎥ % ⎢ ⎥ ann ⎦ ⎣ a n1 " a n , n − 1 ⎤ ⎡ 0 a12 " a1n ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 0 % # ⎥ ⎥ ,U = − ⎢ ⎥ ⎢ % an −1, n ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ 0 ⎦ ⎣
§2 Jacobi 迭代法与 Gauss－Seidel 迭代法
1 k
为迭代法的平均收
25
26
Def 3.3 设 A = (aij ) ∈ R ，如果矩阵 A 满足条件
aii > ∑ aij
j≠i
n× n
( i = 1, 2," , n)
Def 3.4 设 A = (aij ) ∈ R 排列阵 P 使
n× n
，当 n ≥ 2 时，如果存在 n 阶
线性方程组的迭代解法及收敛分析
1.9583
0.8468
0.2974
9
1.0975
2.0954
2.8217
1.9788
0.8847
0.2533
10
1.0850
2.0738
2.8671
1.9735
0.8969
0.2041
11
1.0673
2.0645
2.8802
1.9843
0.9200
0.1723
12
1.0577
2.0509
2.9077
1.9828
0.9303
0.1400
13
1.0463
2.0437
2.9191
1.9887
0.9448
0.1174
14
1.0392
2.0350
2.9363
1.9886
0.9527
0.0959
15
1.0318
2.0297
2.9451
1.9920
0.9620
0.0801
16
1.0267
2.0241
Keywords：MATLAB,Mathematical model,Iterative method,ConvergenceSystem of linear equations
1
在实际生活中，存在着大量求解线性方程组的问题。这些方程组具有数据量大，系数矩阵稀疏，在一定精度保证下，只需要求解近似解等特点。线性方程组的迭代解法特别适合于这类方程组的求解，它具有程序设计简单，需要计算机的贮存单元少等特点，但也有收敛性与收敛速度问题。因此，研究线性方程组的迭代解法及收敛分析对于解决实际问题具有非常重要的作用。
线性方程组求解的迭代算法
线性方程组求解的迭代算法线性方程组是数学中常见的问题之一，求解线性方程组是很多科学和工程领域中必需的基本任务。
而迭代算法是一种常见的求解线性方程组的方法之一，通过不断逼近线性方程组的解来达到求解的目的。
本文将介绍一些常见的线性方程组迭代算法及其原理。
一、雅可比迭代法雅可比迭代法是最早被提出的线性方程组迭代算法之一。
其思想是通过不断迭代，在每一步都利用先前求得的近似解来逼近方程组的解。
具体算法如下：假设给定的线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。
1. 首先，将方程组转化为x=D^-1(b-Rx)，其中D为一个对角矩阵，R为矩阵A的剩余部分。
2. 设定一个初始解向量x0。
3. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。
a. 计算下一次迭代的解向量：x_k+1 = D^-1(b-Rx_k)，其中k为当前迭代的次数。
b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。
雅可比迭代法的收敛性与系数矩阵A的特征值有关。
当A是严格对角占优矩阵时，迭代法收敛。
二、高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的一种改进方法。
在每一次迭代中，新的解向量x_k+1的计算会利用到之前已经计算得到的近似解向量的信息，从而加快迭代的速度。
具体算法如下：1. 设定一个初始解向量x0。
2. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。
a. 对于每个方程i，计算下一次迭代的解向量的每个分量：x_k+1[i] = (1/A[i][i]) * (b[i]-Σ(A[i][j]*x_k[j]，其中j为1到i-1之间的所有整数。
b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。
高斯-赛德尔迭代法相比于雅可比迭代法，在每一次迭代中都会利用到之前计算得到的近似解向量的信息，因此收敛速度更快。
三、超松弛迭代法超松弛迭代法是对雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的进一步改进。
通过引入松弛因子ω，可以加速迭代的收敛速度。
对称超松弛迭代法 概述及解释说明
对称超松弛迭代法概述及解释说明1. 引言1.1 概述本篇文章旨在介绍对称超松弛迭代法的概述及解释说明。
对称超松弛迭代法是一种用于求解线性方程组的数值方法，它结合了迭代法和超松弛方法，能够在求解大型稀疏线性方程组时展现出良好的效果。
本文将从原理、算法流程以及应用和效果等方面进行详细说明，以帮助读者更好地理解该方法。
1.2 文章结构本文共分为四个部分：引言、对称超松弛迭代法概述、解释说明和结论。
在引言部分，我们将简要介绍本篇文章的主题和目的，并提供文章整体结构；在对称超松弛迭代法概述部分，我们将对迭代法、超松弛方法和对称超松弛迭代法进行逐一讲解；接着，在解释说明部分，我们将详细阐释该方法的原理，并提供算法流程说明，最后通过应用实例和效果分析来展示其实际应用价值；最后，在结论部分，我们将总结回顾全文内容，并展望未来对该领域的研究方向。
1.3 目的介绍对称超松弛迭代法的目的是为了提供一种有效求解线性方程组的数值方法，特别适用于复杂、大规模和稀疏问题。
本文旨在向读者介绍其背后的原理，阐明其算法流程，并通过实际应用和效果分析来证明其可行性和优越性。
最终目标是为读者提供一个全面而清晰的概述，帮助读者理解和运用对称超松弛迭代法解决实际问题。
2. 对称超松弛迭代法概述：2.1 迭代法简介:在数值分析和计算数学中，迭代法是一种通过从一个初始猜测值开始反复应用一个递归公式来逼近方程解的方法。
它广泛应用于线性方程组的求解问题。
不论是在工程领域还是科学研究中，线性方程组求解都是一个常见且重要的问题。
2.2 超松弛方法简介:超松弛方法（SOR）是迭代法中的一种技术，旨在加速收敛速度。
其核心思想是通过引入松弛因子来加快解的收敛过程。
对于每次迭代，在计算新解的分量时，超松弛方法允许我们使用之前已经更新但尚未完成全部迭代的分量进行估计。
该技术通常用于缩小残差并提高数值精度。
2.3 对称超松弛迭代法概述:对称超松弛（SSOR）迭代法结合了对称后退向前(SWEEP)和超松弛（SOR）的思想。
求解线性方程组——超松弛迭代法(c)
求解线性方程组——超松弛迭代法#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;float *one_array_malloc(int n); //一维数组分配float **two_array_malloc(int m,int n); //二维数组分配float matrix_category(float* x,int n);int main(){const int MAX=100;//最大迭代次数int n,i,j,k;float** a;float* x_0; //初始向量float* x_k; //迭代向量float precision; //精度float w; //松弛因子cout<<"输入精度e:";cin>>precision;cout<<endl<<"输入系数矩阵的阶数，N：";cin>>n;a=two_array_malloc(n,n+1);cout<<endl<<"输入增广矩阵的各值：\n";for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n+1;j++){cin>>a[i][j];}}x_0=one_array_malloc(n);cout<<endl<<"输入初始向量:\n";for(i=0;i<n;i++){cin>>x_0[i];}x_k=one_array_malloc(n);cout<<"输入松弛因子w (1<w<2)：\n"; cin>>w;float temp;//迭代过程for(k=0;k<MAX;k++){for(i=0;i<n;i++){temp=0;for(j=0;j<i;j++){temp=temp+a[i][j]*x_k[j];}x_k[i]=a[i][n]-temp;temp=0;for(j=i+1;j<n;j++){temp=temp+a[i][j]*x_0[j];}x_k[i]=(x_k[i]-temp)/a[i][i];x_k[i]=(1-w)*x_0[i]+w*x_k[i];}//求两解向量的差的范数for(i=0;i<n;i++){x_0[i]=x_k[i]-x_0[i];}if(matrix_category(x_0,n)<precision) {break;}else{for(i=0;i<n;i++){x_0[i]=x_k[i];}}}//输出过程if(MAX==k){cout<<"迭代不收敛\n";}cout<<"迭代次数为："<<k<<endl;cout<<"解向量为：\n";for(i=0;i<n;i++){cout<<"x"<<i<<": "<<x_k[i]<<endl;}return 0;}float *one_array_malloc(int n) //一维数组分配{float *a;a=(float *)malloc(sizeof(float)*n);return a;}float **two_array_malloc(int m,int n) //二维数组分配{float **a;int i;a=(float **)malloc(m*sizeof(float *));for (i=0;i<m;i++){a[i]=(float *)malloc(n*sizeof(float));}return a;}float matrix_category(float* x,int n){int i;float temp=0;for(i=0;i<n;i++){temp=temp+fabs(x[i]); }return temp;}。
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设计题目：超松弛迭代法解线性方程组摘要本文是在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合超松弛变量超松弛迭代法的理论基础对方程组求解。
首先，本文以微分方程边值问题为例，导出了离散化后线性方程组即稀疏线性方程组，转化对稀疏线性方程组求解问题。
其次，用超松弛( SOR) 迭代法编写matlab程序，对产生的稀疏线性方程组进行迭代法求解。
然后，分别改变松弛因子ω和分段数n的值，分析其收敛性和收敛速度，做出各个方面的分析和比较得到相关结论。
最后，将超松弛迭代算法在计算机上运用matlab语言实现, 得出了一组与精确解较接近的数值解,并画图比较，验证逐次超松弛( SOR) 迭代法的精确性。
关键词：稀疏线性方程组逐次超松弛迭代法松弛因子matlab编程一、问题提出考虑两点边值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.11,00,10,22y y a a dxdy dx y d ε 容易知道它的精确解为.1111ax e e a y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--εε为了把微分方程离散，把[]1,0区间n 等分，令nh 1=，ih x i =，,1,,2,1-=n i 得到差分方程,21211a h y y hy y y i i i i i =-++-++-ε 简化为()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h h h h h A εεεεεεεεεε2222对1=ε，4.0=a ，200=n ，分别用1=ω、5.0=ω和5.1=ω的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差，探讨使超松弛迭代法收敛较快的ω取值，对结果进行分析。
改变n ，讨论同样问题。
二、超松弛迭代法产生的背景对从实际问题中得到维数相当大的线性代数方程组的求解仍然十分困难, 以至使人们不能在允许的时间用直接方法得到解, 因此, 客观上要求用新的方法来解决大维数方程组的求解问题。
现有大多数迭代法不是对各类线性方程组都有收敛性, 在解题时, 要对原方程组矩阵作一根本的变换, 从而可能使条件数变坏, 也可能破坏了变换前后方程组的等价性, 以及丧失使原方程组的对称性等。
探求新的有效的解题方法依然是迫切的任务。
逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法是在高斯-赛德尔(GS)迭代法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法。
在求解过程中由于线性方程组的系数矩阵维数较大, 采用计算机编写算法来求解, 从而实现了对解析模型的计算机数值逼近的计算方法#本论文以逐次超松弛迭代法为主要的求解方法。
三、超松弛迭代法的理论基础（一）逐次超松弛迭代法逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设解方程(7.1.3)的GS法记为(1)再由与加权平均得这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得(2)该法称为SOR迭代法，[WTBX]ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(2)式即为高斯-赛德尔迭代法，简记GS法，将(2）写成矩阵形式，则得即于是得SOR迭代的矩阵表示(3)其中(4)分解后，有.（二）逐次超松弛迭代法的收敛性根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为，收敛的充分条件为，但要计算比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件.定理1设，则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2.该定理为SOR迭代法收敛的必要条件。
定理 2若对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b的SOR迭代法对迭代收敛.对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果.下面只给出一种简单且便于使用的结论。
定理3设为对称正定的三对角矩阵，是解方程的J法迭代矩阵，若，记，则SOR法的最优松弛因子为(5)且(6)根据定理，,如图1所示.由(6)可知，当ω=1，时，收敛速度为.说明GS法比J法快一倍.图1定理4设,如果：（1）A为严格对角占优矩阵；（2）0<ω<=1.则解的SOR迭代法收敛。
四、实验容1.自定义函数 sor(A, b, nm, e, w)，以实现SOR方法求解线性方程组AX=B，其中A——系数矩阵；b ——常数列向量； w ——松弛因子； nm ——迭代的最大次数e——(1)()k k XX +∞-达到的精度上限由离散后的差分方程：()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε,1,,2,1-=n i得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h h h h h A εεεεεεεεεε2222常数列向量b=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--y ahah ah y ah h 20022202)(...εε 其中1=ε，4.0=a ，200=n ，nh 1=，则有00001.0,005.1,005.2)2(2==+-=+-ah h h εε。
A 为（a ij ）200*200型矩阵，b 为（bij ）200*1型矩阵。
在本次试验中，由于所提供数据较小，当最大迭代次数nm 较小时，在nm 迭代次数围，不能判断该超松弛迭代法是否收敛，此次取nm=30000。
迭代精度e 也应取较小值才能使误差更小，此次取e=0.00001。
由定理1可知，本次试验中，ω的取值围为：0<ω<2才能保证迭代法收敛。
取T x )1,1,,1,1,1()0( =，为1200⨯的矩阵。
用SOR 迭代公式得()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+---=-+---=-+---=-+---=-+---=-+--=+++++++++++.005.2/005.200001.0;005.2/005.1005.200001.0;005.2/005.1005.200001.0;005.2/005.1005.200001.0;005.2/005.1005.200001.0;005.2/005.1005.200001.0)(222)1(199)(200)1(200)(200)(199)1(198)(199)1(199)(5)(4)1(3)(4)1(4)(4)(3)1(2)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ωωωωωω ω取不同值时，对应的迭代次数、与精确解的误差如下表1。
表1 ω取不同值时对应的迭代次数与误差图1 计算值与精确值图形比较从本组的实验中，可以看出w 值的取定十分重要，它对求解的迭代次数影响十分明显。
一个不好的w 值甚至会导致迭代超过10000次仍未能求得需要精度的值。
由表1可得，当ω=1.9时SOR 迭代法收敛速度最快，误差最小。
取ω=1.9，nm=30000,T x )6.0,6.0,,6.0,6.0,6.0()0( =等各个因子相同时，当分段点n 取不同值时，对应的迭代次数、与精确解的误差如下表2。
区间等分数n 松弛因子 ω=1.9迭代次数误差120 416 0.2477 150 416 0.2477 200 416 0.2477 250 416 0.2477满足误差()42*10-<-x x k 的迭代次数从本组的实验中，当其他各个因子取适当值时，改变分段数时，对结果没有影响。
图3 精确图形由图3可得，当各个参数取值适当时，用SOR迭代法所得线性方程组的解与精确解误差极小，从而验证了SOR迭代法的准确性。
五、结论1.通过本次的课程设计，可知逐次超松弛迭代法与Jacobi 迭代法, Seidel 迭代法相比, 收敛速度较快。
由逐次超松弛迭代法求出的方程组的数值解与该方程组的精确解十分接近, 离散化后线性方程组的逐次超松弛迭代法的精确性较高。
逐次超松弛迭代法可以广泛地应用于实际。
该算法不仅可以用来求解高阶稀疏线性方程组, 还可以用来求解热传导问题这样可以大大减少计算量和计算机的存储量, 从而提高计算效率。
本次的课程设计，我们运用了matlab语言来实现相关的计算，这样不仅对逐次超松弛迭代法有了更深层的了解掌握，还提高了对matlab的操作技术，深刻体会到了MATLAB功能的强大之处。
通过本次试验，我掌握了用Jacobi、Gauss-Seidel、SOR迭代法求解线性方程组的方法；六、参考文献[1]庆扬，王能超，易大义.数值分析[M], 清华大学，2008.[2]卫国. MATLAB程序设计与应用[M]，高等教育，2008.[3]王诗然. 稀疏线性方程组求解的逐次超松弛迭代法[J]，师大学学报,4,407-409,2006.[4]建宇，黎燕. 牛顿一SOR迭代方法中最佳松弛因子的算法[J]，大学学报，4,381-382,1995.[5]蔡大用.数值分析与实验学习指导[M]，清华大学，2001.附录1.超松弛迭代法function [n,x]=cscdd(A,b,X,nm,e,w)n=1;D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵DL=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵LU=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵UM=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U); %计算迭代矩阵g=w*inv(D-w*L)*b; %计算迭代格式中的常数项%下面是迭代过程while n<=nmx=M*X+g; %用迭代格式进行迭代r=norm(x-X,'inf');if r<ereturn;endX=x; n=n+1;enddisp('在最大迭代次数不收敛!')2.输入初始值并调用SOR迭代法n0=200;m=1;a=0.4;h=1/n0;A=zeros(n0,n0);for i=1:n0A(i,i)=-(2*m+h);endfor i=2:n0-1A(i,i-1)=m;A(i,i+1)=m+h;endA(1,2)=m+h;A(n0,n0-1)=m;for i=1:n0-1b(i,1)=a*h^2;endb(n0,1)=a*h^2-(m+h);for i=1:n0xi=i/n0;y0(i,1)=((1-0.4)/(1-exp(-1)))*(1-exp(-xi))+0.4*xi; x0(i,1)=1;end[n1,x1]=cscdd(A,b,x0,30000,0.00001,0.5);n1u1=norm(x1-y0,2)[n2,x2]=cscdd(A,b,x0,30000,0.00001,1.0);n2u2=norm(x2-y0,2)[n3,x3]=cscdd(A,b,x0,30000,0.00001,1.5); n3u3=norm(x3-y0,2)t=1/200:1/200:1;plot(t,y0)hold onplot(t,x1,'g')hold onplot(t,x2,'r')hold onplot(t,x3,'k')legend('精确解'，'w=0.5','w=1','w=1.5'); title('计算值与精确值图形比较')hold off。