华南理工大学数学分析考研真题2001-2016

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2015-2016学年华南理工大学期末考试《工科数学分析》下试卷(B)

《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期末考试试卷诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期末考试试卷（B ）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个大题，满分100分，考试时间120分钟。

一、填空题（每小题3分，共15分）１. 微分方程24x y y xe ''-=的特解形式为；２. 设(),z z x y =满足方程(),x az y bz ϕ-=-其中ϕ可微，,a b 为常数，则z z a b x y ∂∂+=∂∂ ；３. 函数()(),,cos f x y z xyz =在点1,1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭处使方向导数取得最大的方向是；４. 设222:,L x y a +=取逆时针方向，则()2228L xydx x y dy ++⎰ ；５. 设幂级数0n n n a x ∞=∑在3x =-条件收敛，则该幂级数的收敛半径为R = 。

《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期末考试试卷二、计算题（每小题8分，共40分）1. 设函数,x z f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中(),f ξη具有连续的二阶偏导数，求2z x y ∂∂∂。

2. 计算曲线积分2I x ds Γ=⎰，其中Γ是球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线。

《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期末考试试卷3. 设曲线积分()()()sin cos xL f x e ydx f x ydy --⎰与路径无关，其中()f x 有一阶的连续导数，且()00f =。

（1）求()f x ；（2）计算曲线积分()()()()()1,10,0sin cos xI f x e ydx f x ydy =--⎰。

华南理工2001--2003年数学分析考研试题及解答

华南理工大学 2001 年数学分析考研试题
一．解答下列各题 1.求极限 lim
x→0
sin 2 x ； 1 + x sin x − cos x
− 1 4
2. 证明不等式 2e
∞
< ∫ ex
0
22ຫໍສະໝຸດ −xdx < 2e2 ；
3.判断级数 ∑
1 的敛散性； n = 2 ln ( n !)
⎧ 1 ,x ≥0 ⎪ 2 ⎪ x +1 4.设 f ( x ) = ⎨ x ，求 ∫ f ( x − 1) dx ； 0 ⎪ e ,x <0 x ⎪ ⎩1 + e
n −2
，
显然它的收敛区间为 ( −∞, +∞ ) ，
∞
∑ ( n + 1)! = ∑ ( n + 1)! = ∑ n ! − ∑ ( n + 1) !
n =1 n =1 n =1 n =1
n
∞
( n + 1) − 1
∞
1
∞
1
= ( e − 1) − ( e − 2 ) = 1 ； 6.解 f ( 0, y ) = y 2 sin 1 1 ， f ( x, 0 ) = x 2 sin ， y x
y . x
I = ∫ xzdydz + yzdzdx + z x2 + y 2 dxdy
∑
= ∫∫∫ z + z + x 2 + y 2 dxdydz
V
(
)
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0
2π
π 4 0
2a
a
( 2r cos ϕ + r sin ϕ ) ⋅ r 2 sin ϕdr

2020年数学分析高等代数考研试题参考解答

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08年华南理工数学分析考研试题及解答

2008年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:Rn?Rn，且f?C1?R???，满足f?x??f?yx?y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的. x,y?R证明显然，对于任意x,y?Rn，x?y，有f?x??f?y?，f 是单射，所以f?1存在，f?1?x??f?1?y??x?y，知f?1连续，f?x??f?y??x?y，得对任意实数t?0,向量x,h?Rn,有f?x?th??f?x??th，f?x?th??f?x??h在中令t?0，取极限，则有t得Jf(x)h?h，任何x,h?Rn,从而必有|Jf(x)|?0，Jf可逆，隐函数组存在定理，所以f?1存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列fn?t??sinnt在?0,???上一致收敛性. nt11解方法一显然fn?t???，nt对任意t??0,???，有limfn?t??0，n??fn?t??sinntnt??t，ntntt?0?limfn?t??0，关于n是一致的；对任意??0，当t???,???时，fn?t??11?，n?于是?fn?t??在??,???上是一致收敛于0的，综合以上结果，故?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的.1 方法二fn?t??sinntnt?sinntnt?nt1?，ntn即得?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的例3、判断?n?1?n在x?1上是否一致收敛. xn????例4. 设f?x?在???,???上一致连续，且?2f?x?dx收敛，证明limf?x??0. x??2?xy?z例5.求有曲面????2?1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?0. ?ab?c例6、设D为平面有界区域，f?x,y?在D内可微，在D上连续，在D的边界上f?x,y??0，在D 内f满足方程试证：在D上f?x,y??0. ?f?f??f. ?x?y证明因为f?x,y?在D上连续，设M?maxf?x,y?，?x,y??D则M?0，假若M?0，则存在?x0y0??D，使得f?x0y0??M，于是有?f?f?x0y0??0，?x0y0??0，?x?y??f?f?这与????x0y0??f?x0y0??0矛盾，??x?y?假若M?0，亦可得矛盾. 同理，对m?minf?x,y?，亦有m?0，?x,y??D故f?x,y??0，?x,y??D. 华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题1、设，数列{x}满足lima?0nn??xn?axn?a。

考研数学-2008年华南理工数学分析解答

例 1.设:n n f R R →，且()1nf C R ∈，满足()()f x f y x y -≥-，对于任意,n x y R ∈，都成立.试证明f 可逆，且其逆映射也是连续可导的.证明显然，对于任意,n x y R ∈，x y ≠，有()()f x f y ≠，f 是单射，所以1f -存在，由()()11f x f y x y ---≤-，知1f -连续，由()()f x f y x y -≥-，得对任意实数0,t ≠向量,n x h R ∈,有()()f x th f x t h +-≥，在()()f x th f x ht+-≥中令0t →，取极限，则有得()Jf x h h ≥，任何,n x h R ∈,从而必有|()|0Jf x ≠，Jf 可逆，由隐函数组存在定理，所以1f-存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列()sin n ntf t n t=在()0,+∞上一致收敛性. 解方法一显然()11n f t n t≤⋅，对任意()0,t ∈+∞，有()lim 0n n f t →∞=，()sin n nt ntf t t n t n t=≤=， ()0lim 0n t f t +→=，关于n 是一致的；对任意0δ>，当[),t δ∈+∞时，()11n f t n δ≤⋅，于是(){}n f t 在[),δ+∞上是一致收敛于0的，综合以上结果，故(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的.方法二由()sin sin 1n nt nt nt f t n tn tn t n=≤≤≤，即得(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的例3、判断1nn nx ∞=∑在1x >上是否一致收敛. 例4. 设()f x 在(),-∞+∞上一致连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，证明()lim 0x f x →∞=.例5.求有曲面2221x y za b c⎛⎫++= ⎪⎝⎭所围成的立体的体积其中常数,,0a b c >.例6、设D 为平面有界区域，(),f x y 在D 内可微，在D 上连续，在D 的边界上(),0f x y =，在D 内f 满足方程f f f x y∂∂+=∂∂. 试证：在D 上(),0f x y ≡.证明因为(),f x y 在D 上连续，设()(),max ,x y DM f x y ∈=，则0M =，假若0M >，则存在()00x y D ∈，使得()00f x y M =，于是有()000fx y x∂=∂，()000f x y y ∂=∂，这与()()00000f f x y f x y x y ⎛⎫∂∂+=> ⎪∂∂⎝⎭矛盾，假若0M <，亦可得矛盾.同理，对()(),min ,x y Dm f x y ∈=，亦有0m =，故(),0f x y =，(),x y D ∈.华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题 1、设0a ≠，数列{}n x 满足lim0n n n x ax a→∞-=+，证明lim n n x a →∞=。

华南理工大学《840应用数学基础》[官方]历年考研真题(2014-2014)完整版

840华南理工大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：应用数学基础(含概率论、常微分方程)适用专业：系统分析与集成共2页第1页一、（20分）按要求计算下列各题：（1）设A ，B 是两个事件，且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，问在什么条件下，)(AB P 取得最大（小）值，并求出最大（小）值。

（2）三人独自破译一份密码，已知个人能破译密码的概率分别为51，31，41，求三人中至少有一人能破译此密码的概率。

二、（15分）设K 在区间()5,0内服从均匀分布，求下列方程24420x Kx K +++=有实根的概率。

三、（20）若随机变量ξ服从分布：()k P k pq ξ==，（0,1,2,k = ），其中：01p <<，1q p =-。

求ξ的特征函数()f t ，数学期望()E ξ和方差()D ξ。

四、（20分）设独立随机变量序列{}n ξ满足中心极限定理，试证：{}n ξ满足大数定律的充要条件是：()211lim 0nkn k D n ξ→∞==∑第2页五、（21分）求解如下微分方程:(1)22()'2x y y xy +=(2)'x y y e -=(3)2232(2cos 3)(sin )0x y x y dx x y x y dy ++-++=六、（16分）求微分方程51dy y x dx x=-+满足条件(1)1y =的特解。

七、（18分）求方程33xy y y y xe ''''''+++=的通解。

八、（20分）求解微分方程组112233*********y y d y y dx y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

华南理工2005数学分析试题和解答

华南理工大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题注：本题在解答过程中，参考了博士家园论坛的意见，特别是Zhubin846152 给出了3、10、11题的解答，在此表示感谢！一、设2n 2n 1n 12a2ax x x ,0a x +-=>>+. 求极限n n x lim ∞→ 解：显然有()0a a a x x 22n 1n >≥+-=+，又11x a 2a 1x x n n 1n ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+ 即，序列为单调减小，且有下界，故存在极限，不妨设A x l i mn n =∞→，则对2n 2n 1n 2a2ax x x +-=+两边取极限，得222a 2aA A A +-=，即a A =，故a x lim n n =∞→ 二、求积分⎰+-C 4433yx dx y dy x , 其中C 是圆:1y x 22=+,逆时针为正向. 解：令[]πθθθ20,sin y ,cos x ，∈==，有()()[]πθθθθθθθθθθπππ23d 2sin 21-1d sin 2cos sin cos d sin cos y x dx y dy x 20220222222044C 4433=⎪⎭⎫⎝⎛=-+=+=+-⎰⎰⎰⎰三、讨论函数序列()tn nt sin t f n=在()∞,0上的一致收敛性.解：利用定义来做，就可以了。

2()()lim ()0(1)0,0,,0|()()||(2)0,0,0,0sin |()()||||(0,)0n n n n n f t f t f t t N f t f t t n ntf t f t nt εδδεεδδδε→∞===∀>>∀>∃=<-=≤<∀>>∀<≤∀>-==≤≤∈利用定义来做：令，根据一致收敛的定义知，上式一致收敛于四、设()y ,x z z =由方程0x z y ,y z x F =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++所确定.证明: xy z y z y x z x -=∂∂⋅+∂∂⋅ 证明: 0x z y ,y z x F =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++两边分别对x 和y 求偏导数， 0y z x 11F y 1z y z y 1F ,0x 1z x z x 1F x z y 11F 221221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+' 从而有，xF y F F F y z y z ,x F y F F x 1z F xz 2121221122'+''-'⋅=∂∂'+''-⋅⋅'=∂∂，故有 ()xy z xF y F x F y F xy z x F y F F F y z y x F y F F x 1z F x yz y x z x 21212121221122-='+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'-='+''-'⋅⋅+'+''-⋅⋅'⋅=∂∂+∂∂ 即，问题得证. 五、设()x f 是偶函数,在0x =的某个邻域中有连续的二阶导数,()()20f ,10f =''=,试证明无穷级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛1n 1n 1f 绝对收敛.证明:由题意,可写出()x f 的在0x =处的Taylor 展开式()()()()()2222x o x 1x o x !20f 0f x f ++=+''+=从而有⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛22n 1o n 11n 1f ，故， 2222222n 2n 1n 1n 1o n 1n 1o n 1=+<⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+，而级数∑∞=1n 2n 2为收敛的，由比较判别法知，级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛1n 1n 1f 为绝对收敛的，问题得证.六、设曲线()()⎩⎨⎧==t y y t x x 由方程组()⎩⎨⎧=-+=-++2y 2x te 1t 12t y x y确定.求该曲线在0t =处的切线方程和法平面方程.（注：原题为法线方程，个人觉得曲线不可能有法线，只能有法平面，平面才能有法线）解:由题意得：0y ,1x ,2y 2x 1y x 0t ==⎩⎨⎧=-=+=有，时，当，()⎩⎨⎧-+=--++=2-y 2x te F 1t 12t y x F y21()()()()()(),3e 2t -21te 1t ,y D F ,F D ,-31te 121y ,x D F ,F D ,321e 2t 2x ,t D F ,F D 0t yy0t 210t y0t 210t y 0t 21=-==-==-=======故，有切线方程3y31x 3-t =-=，法平面()03y 1-x 33t =++-，也即切线方程 y 1x t -=-=，法平面1y x t =++-七、求幂级数()()∑∞=++-0n n2n x 1n n 1的收敛域,并求该级数的和.解: 收敛半径()()11n n 1lim 1R n 2nn =++-=∞→,当1x =时,级数变为()()∑∞=++-0n 2n 1n n 1, 显然为发散的.同样级数在1x -=处也发散. 从而,收敛域为()1,1-. 当()1,1x -∈时，有 ()()()()()()∑∑∑∑++=++-=∞=n n n 2n n 2n x -x -n x -n x 1n n 1x f 对第一部分，()()()()()()()()()()( ⎝⎛='⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑∑∞=∞=+∞=∞=-∞=1n 0n 1n 0n n 21n 1n 20n n 21-n x -x -1n x -x -1n x -x -n x -x n x f第二部分，()()()()()()()()()()()20n 1n 0n n 1n 1n 0n n2x 1x x 1x -x -x -x -x -1n x -x -n x -x -n x f +='⎪⎭⎫⎝⎛+='⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑∞=+∞=∞=-∞=故()()()()()321x 11x x x 1x x -x f +-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，同样，对第三部分，()x1xx f 3+-=，从而有()()()()()333232223x 1xx x 1x 2x x x x x x x 1x x 1xx 11x x +--=+---++-=+-+++-=原式八、求第二曲面积分: ⎰⎰+-S zdxdy ydxdz xdydz ,S 为椭球面1cz b y a x 222222=++的上半部分,其定向为下侧.解：不妨添加交线所围的部分在0z 1cz b y a x 222222==++,方向取向上,记Q ，所围空间记体积为V,故有()abc 32-0abc 32zdxdy ydxdz xdydz dxdydz111zdxdy ydxdz xdydz zdxdy ydxdz xdydz Q VS Sππ=+-=+-++--=+--=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰',其中S '为取外法线方向为正的曲面,九、 (1) 设0a 0>, 证明积分 ()⎰∞+0222axdx关于0a a ≥一致收敛;证明：()()()()()()()()()εδπεδεπεδεππππεπθθθπθθπ<-<-=>∀=<-≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-=->∀-=⋅=⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=+=⎰⎰∞2121404021402142321231414124214204240222a f a f a a a ,0a a a a a a a 1a a 1a a 1a 144a 4a a f a f ,0a f ,4a d cos cos 1a 1a f 20,, tg a x ,,a x dxa f 有时，，使得，当存在即可满足，对只需取要有一致收敛，故，对要从而，则，且记也即()⎰∞+0222axdx关于0a a ≥一致收敛(2) 0a >,计算积分⎰∞+022a x dx和()⎰∞+0322axdx解：()662620462026603222202202222216a 16a 1d 814cos2cos4a 1d cos a 1cos d cos a 1a xdx2a d a 1cos d cos 11a 1a x dx ,20,, tg a x ππθθθθθθθθπθθθθπθθπππππ=⋅=+-===+==⋅=+⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞则有，令十、设 ()x f 在[)∞,0上有连续的二阶导数, ()()B x f ,A x f ≤''≤. 试证明()AB 2x f ≤'.证明：利用到了一元二次函数的判别式来做的[0,)22()lim '()0'()'()max {|'()|}||,(1)||0b Taylor "()||2|||()()||'()()()|||||()22||2||(2x x f x f x f x f b f x C A f B A f x f b f b x b x b C x b x b B A x b ξ→∞∈+∞∴===≠≥-=-+-≥---⇔+-首先由于有界，。

2018年华南理工大学研究生入学考试专业课真题625_数学分析

625 华南理工大学 2018 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回〉科目名称：数学分析适用专业：基础数学；计算数学：概率论与数理统计：应用数学：运筹学与控制论主主旦7. ( 13 分）求曲线对＋ xy + y2 + 2x -2y 一 12 = 0 上的点到原点的距离之极值．8. (13 分）计算 fo''ln(2 + c 叫你 ,..x',.vI d l arctantdt I. (12 分）求 l im Jo 归x->o x(I -cosx) 9. (13 分）设对任意 X E 归，坷，u,,( x ) un+1( x ) > -0 且｛un( x ）｝收敛于零，并且对每个 n ,函数u,,( x ）都在［a, b ］上单调递增，试证汇（ 1）” ＇u ρ2. （时）计算!f xy2dx -x2 y 吵，，其中r 为三＋f = I ，方向为逆时针a2 b IO. C 13 分）设｛元）｝是有界闭区间［α，b ］上的连续函数列，且／，， (x ）注／，，＋1 (x ）及1 3. (12 分）计算 Jf xz ，＋（x2 - z )y ， J 哟，其中S -!i:. x2 ＋卢蚓0 :::;; z :::;; I) 的lim /,, (x) = f ( x ）在［α，b ］上处处存在，试证 f ( x ）在［α，b ］上必有最大值．下侧． 11. ( 13 分）设函数 f 在点（剖，Yo ）的某个邻域中有连续偏导数儿，在该点存在偏导数4. ( 12 分）试在变换 U = x + y , v = x - y 及 Z = W -2.xy 下，将方程 Z 且＋ 2z 秽＋ Z Y.Y = 0到成 w = w(u,v ）满足的方程．元，试证f 在该点可微．12. C 13 分〉设非负函数列｛ J,,(x ）｝中的每个儿（x ）在（0, l ］上有界可积，且对任意5. （口分〉设 I =f fJ( x +y - z +lO ）俐在，其中 Q 是问2 + z2 = 3 的内部区域，、 Q证 28/iπ s/ ss2Jjπ ． 6. ( 12 分）在曲面 z -2xy = O 上找一点，使这点的法线垂直于平面 x + 2y + 3z + 4 = 0 , 并写出此法线方程．C E (0, 1) ，儿（x ）在［c, I ］上一致趋于零，若川江（x ）战斗，试证lim f I 1J,,(x)sin 2xdx = 2 .n →国J O X 第 1 页第 2 页。

华南理工大学2010年数学分析考研试题及解答

华南理工大学2010年数学分析考研试题一．求解下列各题1.确定α与β，使)lim0n n αβ→∞−−=.2.讨论函数()f x ，()g x 在0x =处的可导性，其中(),,x x f x x x −⎧=⎨⎩为无理数，为有理数，和()22,,x x g x x x ⎧−⎪=⎨⎪⎩为无理数，为有理数.3.已知()f x 在[)0,+∞上连续，且满足()0f x x ≤≤，[)0,x ∈+∞，设10a ≥，()1n n a f a +=，1,2n =⋯，证明（1){}n a 收敛；（2）若lim n n a l →∞=，则()f l l =.4.判断下面的级数的收敛性()()()21111nnn x x x x ∞=+++∑⋯，0x ≥.5.讨论函数()(),1cos y y f x y e x ye =+−的极大值和极小值.6.计算33323Sx dydz y dzdx z dxdy ++∫∫，其中S 为球面2222x y z a ++=的外侧.二．设p 为正常数，函数()()cos p f x x =，证明：当01p <≤时，()f x 在[)0,+∞上一致连续.三．证明ax bx bxya e e e dy x −−−−=∫，并计算积分0ax bxe e dx x−−+∞−∫，()0b a >>.四．令()()ln 1,0,,,0,xy x f x y xy x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩证明(),f x y 在其定义域上是连续的.五．求积分D I dxdy =∫∫其中D由曲线1+=和x c =，y c =所围成，且,,0a b c >.六．设f 为定义在(),a +∞上的函数，在每一有限区间(),a b 上有界，且()()lim 1x f x f x A →+∞+−=⎡⎤⎣⎦，证明()lim x f x A x→+∞=.七．设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，证明()()()()()01limnbi i i ai f g x f x g x dx λξθ∆→=∆=∑∫，其中∆为[],a b 的任一分割，01:n a x x x b ∆=<<<=⋯，[]1,,i i i i x x ξθ−∈，1,2,,i n =⋯，1i i i x x x −∆=−，(){}1max i i nx λ≤≤∆=∆.华南理工大学2010年数分考研试题解答一．1.解由条件知，lim 0n n n βα→∞⎞−=⎟⎟⎠，从而有lim 0n n βα→∞⎞−−=⎟⎟⎠，lim n n βα→∞⎞=−=⎟⎟⎠)limn β→∞=n →∞=24n →∞−===α=β=2.解显然()00f =，()00g =，()()0f x f x −≤,()()20g x g x −≤,()f x ,()g x 均在0x =处连续，当x 沿着无理点趋向0时，有()()0110f x f x −=−→−−，当x 沿着有理点趋向0时，有()()0110f x f xx x−==→−，()()0limx f x f x →−−不存在，所以()f x 在0x =处不可导.当x 沿着无理点趋向0时，有()()2000g x f x x x x −−==−→−，当x 沿着有理点趋向0时，有()()2000g x g x x x x −==→−，于是有()()0lim00x g x g x →−=−存在，所以()g x 在0x =处可导，且()00g ′=.3.证明（1）有题设条件，知()2110a f a a ≤=≤，()10n n n a f a a +≤=≤，于是{}n a 单调递减，有下界，根据单调有界定理，知{}n a 收敛.（2）设lim n n a l →∞=，由于()f x 在[)0,+∞上连续，在()1n n a f a +=中，令n →∞，取极限，得()f l l =.4.解设()()()()2111nn nx u x x x x =+++⋯，显然当0x =时，()00n u =，()10n n u ∞=∑收敛，当0x >时，()0n u x >，()()11,011limlim,1120,1n n n n nx x u x xx u x x x ++→∞→∞<<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩，于是0x ≥，()1n n u x ∞=∑收敛.5.解()()1sin y fe x x∂=+−∂，()cos y y y fe x ye e y∂=−+∂()cos 1y e x y =−+⎡⎤⎣⎦.易知(,)f x y 的驻点集为()(){}2,0,(21),2:k k k Z ππ+−∈，又由()1cos y xx f e x =−+，sin y xy f e x =−，(cos 2)y yyf e x y =−−，知(2,0)20|01k Hf π−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠是负定矩阵，2((21),2)210|0k e Hf e π−+−−⎛⎞+=⎜⎟−⎝⎠，于是(,)f x y 在(){}2,0:k k Z π∈处取的最大值2，且(,)f x y 无极小值，也无最小值。