工程数学-概率统计简明教程

习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：A (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过次}； 3(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在到小时之间}。

20002500解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：=C (1)；(2)B A AB ；(3)；(4)AC AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) 是必然事件； Ω=B A (2) φ=AB 是不可能事件；(3) {取得球的号码是2，4}；=AC (4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间上任取一数，记]2,0[⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)；(2)B A B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ;(3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件的运算关系式表示下列事件：CB A ,, (1) 出现，都不出现（记为）； A C B ,1E (2) 都出现，不出现（记为）； B A ,C 2E (3) 所有三个事件都出现（记为）；3E (4) 三个事件中至少有一个出现（记为）； 4E (5) 三个事件都不出现（记为）；5E (6) 不多于一个事件出现（记为）； 6E (7) 不多于两个事件出现（记为）； 7E (8) 三个事件中至少有两个出现（记为）。

8E 解 (1)C B A E =1； (2)C AB E =2； (3)； (4)ABC E =3C B A E =4；(5)C B A E =5； (6)B A C B A C B A C B A E =6； (7)C B A ABC E ==7；(8)BC AC AB E =8.5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第i 次i A抽到废品”，，试用表示下列事件：3,2,1=i 21A A i A (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)； (2)321A A A ； (3)；321A A A (4)； (5)321321321A A A A A A A A A .21A A 3A 6. 接连进行三次射击，设={第次射击命中}，i A i 3,2,1=i ，=B {三次射击恰好命中二次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示=C i A B 和C 。

解 32132A 2A 1321A A A A A A A A B =A A33121A A A A A C =习题二解答1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

解 这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的样本点数. 于是 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=350n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15245k 39299!2484950!35444535015245)(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n k A P 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。

求(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式，样本点总数. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为.27=n D C B A ,,,492575)(2=⎪⎭⎫⎝⎛=A P(ⅰ)有利于的样本点数，故 A 25=A k (ⅱ) 有利于B 的样本点数，故 25⨯=B k 4910725)(2=⨯=B P (ⅲ) 有利于的样本点数C 252⨯⨯=C k ，故 4920)(=C P(ⅳ) 有利于的样本点数，故 D 57⨯=D k 754935757)(2==⨯=D P .3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式，样本点总数56⨯=n .(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为32⨯515632=⨯⨯. (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22⨯，所求概率为1525622=⨯⨯. 4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：(1) 2只都合格；(2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。

解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为，则C B A ,,522562342624)(=⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A P 15856224261214)(=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P 注意到，且B A C =A 与B 互斥，因而由概率的可加性知151415852)()()(=+=+=B P A P C P5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。

解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数 C B A ,,26=n (ⅰ)A 含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3))2,5(),5,2(6166)(2==∴A P(ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)185610)(2==∴B P(ⅲ)含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。

C213618)(==∴C P 6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解 记求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为A 35A 345⨯⨯，所以 25125345)(3=⨯⨯=A P . 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1) 事件：“其中恰有一位精通英语”； A (2) 事件B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件：“其中有人精通英语”。

C 解 样本点总数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛35(1) 53106345!332352312)(==⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A P ；(2) 103345!33351322)(=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P ； (3) 因，且与B AC =A B 互斥，因而10910353)()()(=+=+=B P A P C P .8．设一质点一定落在平面内由xOy x解 记求概率的事件为，则A A S 为图中阴影部分，而，2/1||=Ω1859521322121||2=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A S最后由几何概型的概率计算公式可得952/118/5||||)(==Ω=A S A P . 9．（见前面问答题2. 3）10．已知B A ⊂，，4.0)(=A P 6.0)(=B P ，求(1))(A P ,(B P ；(2)；(3)；(4))(B A P )(AB P (),(B A P A B P ；(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1(=-=-=A P A P ，4.06.01)(1(=-=-=B P B P ； (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P ； (3)；4.0)()(==A P AB P (4)0)()()(==-=φP B A P A B P , 4.06.01)(1)((=-=-==B A P B A P B A P ; (5).2.04.06.0)()(=-=-=A B P A P11．设是两个事件，已知，B A ,5.0)(=A P 7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，试求及)(B A P -).(A B P - 解 注意到 )()()()(AB P B P A P B A P -+= ，因而)()()(B P A P AB P += )(B A P -4.08.07.05.0=-+=. 于是，)()(AB P A P )()(AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=；3.04.07.0)()()()(=-=AB P -=-B P AB B P =-A B P .习题三解答1．已知随机事件的概率，随机事件A 5.0)(=A P B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求及)(AB P )(B A P .解 4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)()()(1)(1)((AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==3.04.06.05.01=+--=2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。