量子力学中的力学量

合集下载

量子力学中力学量

位置期望值与测量
误差
位置期望值的测量误差取决于粒子所处的量子态，对于某些特殊量子态，位置期望值的测量误差可能非常大。
03 动量算符与动量期望值
动量算符的定义与性质
动量算符
在量子力学中，动量算符是用来描述粒子动量的算符，其定义为-iℏ∂/∂x，其中ℏ是约化普朗克常数，∂/∂x是偏导数算子。
自旋算符在量子力学中具有重要的意义，因为粒子的自旋是一种内禀自由度，与粒子的其他自由
度一样重要。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02 位置算符与位置期望值
位置算符的定义与性质
位置算符
在量子力学中，位置算符是一个线性算子，用于描述粒子在空间中的位置状态。
位置算符的性质
位置算符具有连续性和对称性，其本征值和本征函数分别表示粒子的位置和概率幅。
位置期望值的计算与意义
位置期望值
在量子力学中，位置期望值是指粒子在某个时刻处于空间某点的概率幅的平均值。
04 角动量算符与角动量期望值
角动量算符的定义与性质
定义
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用L表示。
性质
角动量算符具有旋转不变性，即系统绕某轴旋转时，角动量算符的值不会改变。此外，角动量算符还具有对易关系，即L_x、L_y、L_z三个分量之间相互独立且不对易。
角动量期望值的计算与意义
性质
动量算符是线性算符，具有可对易性、连续性和时间演化等性质，这些性质在量子力学中具有重要意义。
动量期望值的计算与意义
计算
动量期望值是描述粒子动量的统计平均值，可以通过将粒子态函数代入动量算符进行计算。
意义
动量期望值可以反映粒子在某一时刻的平均动量，对于理解量子力学中的波粒二象性以及测量问题具有重要意义。

量子力学中力学量的测量原理

量子力学中力学量的测量原理量子力学中力学量的测量引言•量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为。

•在量子力学中，我们可以通过测量来了解粒子的性质和状态。

力学量•在经典力学中，力学量是描述物体运动状态的量，如速度、质量和位置等。

•在量子力学中，力学量也被称为可观察量，它们对应着物理量的算符。

物理量的算符•物理量的算符是量子力学中描述力学量的数学工具。

•量子力学中的物理量算符通常用大写字母表示，如位置算符为X，动量算符为P。

•利用物理量算符，我们可以对量子态进行测量，得到相应的物理量的数值结果。

测量的过程1.准备态：首先，我们需要准备一个量子态，描述了粒子的状态。

2.选择算符：根据我们想要测量的力学量，选择相应的算符。

3.作用算符：将选定的算符作用在量子态上，得到一组特定的本征态。

4.测量结果：进行实际测量，获取力学量的定量结果。

5.归一化：根据测量结果，归一化量子态，使其表示测量后的状态。

物理量的本征态和本征值•在量子力学中，力学量的本征态是力学量算符的本征方程的解。

•根据本征方程，每个力学量都有一系列对应的本征态，每个本征态对应着一个特定的本征值。

•本征值表示在测量时可能得到的物理量数值。

测量结果的统计性质•在量子力学中，测量结果通常是物理量的本征值，但测量结果是随机的。

•根据测量原理，我们只能预测测量结果出现的概率，无法预测具体的单次测量结果。

测量的不确定性原理•测量的不确定性原理是量子力学中一项重要的原理，它描述了力学量的不确定度之间的关系。

•根据该原理，对于某对不对易力学量（如位置和动量），不能同时精确地测量它们的值。

•不确定性原理对于解释某些现象（如波粒二象性）具有重要意义。

小结•在量子力学中，我们可以通过测量力学量来了解粒子的性质和状态。

•测量的过程涉及准备态、选择算符、作用算符、测量结果和归一化等步骤。

•测量结果是随机的，只能预测出现结果的概率。

•不确定性原理描述了力学量的不确定度之间的关系。

量子力学中的量子力学力学量的期望与方差

量子力学中的量子力学力学量的期望与方差量子力学是研究微观粒子行为的理论体系，它具有独特的物理规律和奇特的现象。

在量子力学中，描述粒子性质的力学量扮演着重要的角色。

而了解力学量的期望与方差对于理解粒子的行为和量子系统的描述起着至关重要的作用。

一、量子力学的基本概念了解量子力学中力学量的期望与方差之前，我们首先需要了解量子力学的基本概念和表述。

量子力学描述的对象是微观粒子，而不同于经典力学中粒子位置和动量的确定，量子力学中的粒子状态由波函数表示。

波函数是一个复数函数，它包含了粒子的全部信息。

在量子力学中，力学量用算符来表示，而这些算符对应着可观测的物理量，比如位置、动量、能量等。

如何计算力学量的期望值和方差，则是我们接下来要讨论的内容。

二、力学量的期望与方差力学量的期望值可以理解为对于同一量子态的多次测量结果的平均值。

在量子力学中，期望值可以通过力学量的算符（对应于力学量的数学表达式）作用于波函数得到。

对于某一力学量A，其期望值的计算公式为：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩其中，|ψ⟩表示量子态的波函数。

利用算符作用于波函数后，可以得到一个新的波函数，然后再将其与原波函数进行内积，得到力学量的期望值。

方差则是表示每次测量结果与其期望值之间的偏离程度。

在量子力学中，对于某一力学量A，其方差的计算公式为：σ²(A) = ⟨(A - ⟨A⟩)²⟩其中，A - ⟨A⟩表示每次测量结果与期望值的差值，然后再对这些差值进行平方，再取平均值。

三、力学量的期望与方差的物理意义力学量的期望值和方差与量子系统的本征态（能量的本征态、动量的本征态等）以及不确定性原理密切相关。

首先，期望值作为力学量的平均值，反映了粒子在某一给定状态下的一般性质。

比如，在一个粒子处于能量本征态时，其能量的期望值就等于能级的本征值，这相当于经典力学中的能量。

其次，方差则表示了粒子在某一给定状态下对力学量测量结果的分散程度。

方差越小，说明测量结果越准确，即粒子对于该力学量的测量结果越稳定。

量子力学中的量子力学力学量的表示

量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。

在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。

本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。

一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。

然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。

力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。

对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。

这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。

这个方程称为力学量的本征值方程。

二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。

位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。

对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。

2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。

动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。

对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。

3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。

能量算符H描述粒子的能量状态。

能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。

能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。

三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。

当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。

力学量的本征值对应着可能的测量结果。

例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。

量子力学中的量子力学力学量测量与角动量

量子力学中的量子力学力学量测量与角动量量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它是20世纪初由诺贝尔奖得主普朗克、爱因斯坦、波尔等人共同奠定的基础物理学。

量子力学力学量测量是研究物理量如何通过测量来进行观测和描述的核心问题之一。

本文将探讨量子力学力学量测量的基本原理和应用，以及与之相关的角动量概念。

一、量子力学力学量测量的基本原理在经典力学中，物理量的测量是直接可观测到的，比如物体的质量、速度和位置等。

然而，在量子力学中，由于测量会干扰系统本身，使得测量结果的确定性受到限制。

根据量子力学的基本原理，某一力学量的取值只能是该力学量的特征值，而测量结果则是相应的特征值在某个本征态上的投影。

量子力学力学量的测量可以通过算符来描述。

对于可观测量A，其对应的算符是Hermitian算符Ĉa。

测量算符对应的本征值方程为Ĉa|a⟩=a|a⟩，其中a为对应的特征值，|a⟩为相应的本征态。

通过测量，物理系统处于某个本征态上，测量结果即为相应特征值a。

二、角动量的测量角动量是量子力学中的一个重要力学量，描述物体的自旋和轨道运动。

在量子力学中，角动量的测量采用自旋态和角动量算符来描述。

自旋是粒子固有的一种量子力学性质，可以理解为粒子的自旋方向。

自旋态被表示为一个二元态，分别记为|↑⟩和|↓⟩，其中↑表示自旋向上，↓表示自旋向下。

自旋算符对应的本征态和本征值为：σz|↑⟩=+ħ/2|↑⟩σz|↓⟩=-ħ/2|↓⟩除了自旋，物体还有轨道运动，其角动量算符由轨道部分和自旋部分组成。

量子力学中的量子力学力学量的守恒定律

量子力学中的量子力学力学量的守恒定律量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论，它揭示了微观世界中的各种现象和规律。

在量子力学中，存在着一些重要的力学量，它们的守恒定律是研究量子世界中物质运动和相互作用的基础。

本文将就量子力学中的一些重要力学量及其守恒定律展开讨论。

一、动量守恒定律在经典力学中，动量是质量乘以速度，通过质点的质量和速度来描述物体的运动状态。

在量子力学中，动量也是一个十分重要的量子力学力学量。

动量算符的本征值代表了相应粒子的运动状态。

量子力学中的动量守恒定律指出，在一个孤立系统中，粒子在相互作用过程中的总动量保持不变。

这可以通过量子力学中的动量算符对应的守恒定律来描述。

二、能量守恒定律能量是描述物体状态的一个基本物理量，它在物质的变化过程中起着至关重要的作用。

在量子力学中，能量也是一个极为重要的力学量。

根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总能量保持不变，这意味着在相互作用过程中，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量守恒。

这一定律是量子力学中能量守恒的基础。

三、角动量守恒定律角动量是描述物体围绕某一轴心旋转的运动状态的物理量。

在量子力学中，角动量也是一个非常重要的力学量。

根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总角动量保持不变。

这意味着，在相互作用过程中，物体的角动量可以通过转移、转换等方式进行变化，但系统的总角动量保持不变，这是量子力学的一个重要特征。

四、自旋守恒定律自旋是描述微观粒子自身旋转性质的物理量。

在量子力学中，自旋也是一个重要的力学量。

根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总自旋保持不变。

这意味着，在相互作用过程中，粒子的自旋可以发生变化，但总自旋守恒。

自旋守恒定律在量子力学的各个领域中都有重要的应用，特别是在粒子物理学中更为明显。

五、电荷守恒定律电荷是描述物质中基本粒子带有电性的特征，是量子力学中的一个重要力学量。

根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总电荷保持不变。

第三章-量子力学中的力学量 lt

第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是ILH 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。

（1）转子绕一固定轴转动（2）转子绕一固定点转动[解]：（1）ϕ∂∂-= i L zˆ 22222ˆˆϕ∂∂-= zL L2222222ˆ2ˆˆϕ∂∂-===I IL IL Hz能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H =，or )()(2222ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 222IE =λ⇒=+0)()(222ϕψλϕψϕd dλϕϕψi Ae=)(由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+λϕλϕπi i AeAe=+)2( ⇒ 12=πλi eππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=nIn E n 222 =∴，ϕψin Ae=其中 π21=A（2） IL H2ˆˆ2=，在球极坐标系中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H= ),(),(sin 1sin sin 122222ϕθψϕθψϕθθθθθE I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂- ),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂其中22IE =λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin 1sin sin 1222ϕθψϕθψϕθθθθθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂l l 此方程是球面方程，其解为),(),(ϕθϕθψlm Y =lm l ±±±==,,2,1,0,2,1,0由)1(+=l l λ及IE 2=λ，可解得体系的的能量本征值Il l E l 2)1(2+=,2,1,0=l2 氢原子处于 ()()()32121113,,,,,,44r r r ψθϕψθϕψθϕ=+状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（4）角动量的z 分量有无确定值？如果有，求其确定值。

什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量

什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量？量子力学中的量子力学力学量和态矢量是描述量子体系的重要概念。

下面我将详细解释量子力学力学量和态矢量，并介绍它们的特性和相互关系。

1. 量子力学力学量:量子力学力学量是指描述量子体系物理性质的可观测量，例如位置、动量、角动量、能量等。

在量子力学中，每个力学量都对应一个线性厄米算符，称为观察算符。

观察算符是一个作用在波函数上的算符，用于计算量子体系在给定力学量上的测量结果。

观察算符的本征值问题是量子力学中的重要问题，它涉及到观察算符的本征值和本征态。

观察算符的本征值是对应于量子体系在给定力学量上的可能测量结果，而本征态是对应于观察算符的本征值的态。

量子力学力学量具有以下特性：-量子力学力学量的测量结果是离散的，而非连续的。

这是与经典物理的区别之一。

-量子力学力学量的测量结果是随机的，遵循概率分布。

这是与经典物理的另一个区别。

-量子力学力学量的测量会导致波函数的坍缩，即波函数从可能的态坍缩到与测量结果相对应的本征态上。

2. 态矢量:态矢量是量子力学中描述量子体系的数学工具，它是一个复数的矢量，通常用符号|ψ⟩表示。

态矢量包含了量子体系的所有信息，包括位置、动量、自旋等性质的概率分布。

它可以表示量子体系的可能态和相应的概率。

态矢量具有以下特性：-态矢量是在希尔伯特空间中的向量，它可以进行线性组合和叠加。

-态矢量的模长的平方给出了量子体系处于某个状态的概率。

即，对于态矢量|ψ⟩，|⟩ψ|ψ⟩|^2表示量子体系处于态矢量|ψ⟩的概率。

-态矢量的归一化条件要求其模长的平方等于1，即⟩ψ|ψ⟩=1。

态矢量与量子力学力学量之间的关系可以通过观察算符进行描述。

观察算符作用在态矢量上，可以得到观察算符对应的物理量的期望值和本征值的概率分布。

量子力学力学量和态矢量是量子力学中关键的概念，它们帮助我们描述和理解量子体系的物理性质和行为。

它们的研究和应用对于量子信息科学、量子计算和量子通信等领域具有重要意义。

量子力学中力学量的测量原理

量子力学中力学量的测量原理量子力学是研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为和性质。

而力学量则是用来描述微观粒子的运动状态和性质的物理量。

测量力学量是量子力学中的一个重要概念，它涉及到了测量原理。

在量子力学中，力学量的测量原理是指在对某个力学量进行测量时，所得到的结果是一个特定的数值，而不是一个连续的数值范围。

这是与经典物理学中不同的地方，因为在经典物理学中，力学量的测量结果是一个连续的数值范围。

量子力学中的力学量有很多，比如位置、动量、能量等。

测量一个力学量的过程包括两个步骤：选择合适的测量方法和测量结果的处理。

首先是选择合适的测量方法。

量子力学中的测量方法有很多种，比如位置的测量可以使用光子的散射进行，动量的测量可以使用康普顿散射进行。

不同的测量方法适用于不同的力学量，选择合适的测量方法可以保证测量结果的准确性和可靠性。

其次是测量结果的处理。

在量子力学中，测量结果是一个数值，但这个数值并不是确定的，而是具有一定的概率性。

这是由于量子力学中的不确定性原理所决定的。

不确定性原理指出，对于某个力学量的测量，无法同时确定其精确的数值和动量的精确数值。

因此，测量结果是一个概率分布，而不是一个确定的数值。

测量结果的处理可以使用概率密度函数来描述。

概率密度函数是描述概率分布的一种数学函数，通过它可以计算出测量结果落在某个数值区间内的概率。

在量子力学中，概率密度函数可以通过波函数的模的平方来计算得到。

波函数是描述量子系统状态的数学函数，它包含了关于测量结果的所有信息。

测量原理的重要性在于它揭示了量子力学中的一些基本规律和特性。

例如，测量原理说明了观测者对系统的测量会对系统的状态产生扰动，这是由于测量过程中的相互作用导致的。

另外，测量原理还说明了测量结果的不确定性，即无法同时确定一个力学量的精确数值和动量的精确数值。

总结起来，量子力学中的力学量的测量原理是指在对某个力学量进行测量时，所得到的结果是一个特定的数值，而不是一个连续的数值范围。

第三章量子力学中的力学量

1 2πh
eipx/ h
hk E= ≥0 2m
ˆ H p H Lz与 ˆ，ˆ与 ˆ
2 2
k可续值故是续。连取， E 连的
能二简。级度并
为啥具有相同的本征态？
（5）坐标算符的本征值和本征函数）
ˆ xϕ x′ ( x) = x′ϕ x′ ( x) x′取一切实数 ϕ x′ ( x) = δ ( x − x′)
,
n = 1,2,3L l = 0,1, L n - 1 m = 0,±1 L ± l ，
二、量子力学的基本原理四
在意 ψ中 ψ = ∑anϕn 任态，
n
测量力学量A，可得到各种可能取值，可能取值必为某一本征值。
ˆ在征谱取的率 | a |2 。 A 本值中 A 几为 n n
2 2 ˆ2 ˆ = Lz = − h ∂ H 2I 2I ∂ϕ2
z
h2 ∂2 − ψ = Eψ 2 2I ∂ϕ
1 imϕ ψm(ϕ) = e 2π m2h2 Em = ≥0 2I
m = 0 ±1 ± 2 L ，，，
要求：要求：会求解
(3)求量分 px的征。动 x 量ˆ 本态
∂ −ih ψ = px'ψ ∂x
ˆz = x py − y px = −ih(x ∂ − y ∂ ) ˆ ˆ L ∂y ∂x
1 ∂ ∂2 ∂ 1 ˆ2 L = − h2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
从而有
ˆ = ihsin ϕ ∂ +cotθ cosϕ ∂ Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ihcosϕ ∂ −cotθ sin ϕ ∂ Ly ∂θ ∂ϕ ˆz = −ih ∂ L ∂ϕ

第三章量子力学中的力学量c

第三章量子力学中的力学量§1.1 学习指导实验表明，微观粒子具有波粒二象性，在传播过程中出现干涉和衍射现象，显示出波动的特性；在相互作用过程中出现碰撞，能量和动量守恒，显示出粒子性。

量子力学理论中用波函数来描述微观粒子的状态，很好地解释了微观粒子波动性的一面，这在上一章中已经作了介绍。

本章主要介绍量子力学中力学量的描述，来处理其粒子性的一面。

在经典力学中，粒子的状态用广义坐标和广义动量来描述，力学量是广义坐标和动量的函数。

在量子力学中，粒子的状态用波函数来描述，坐标和动量成为作用在波函数上的算符。

按照对应原理，量子力学中的力学量应该是坐标算符和动量算符的函数，也是一个作用在波函数上的算符。

根据实验，微观粒子的波函数满足叠加原理，因此力学量算符必须是线性算符；力学量的测量结果为相应算符的本征值，它们都是实数，因此力学量算符必须是厄密算符。

用波函数来描述微观粒子的状态，用线性厄密算符(以下称厄密算符)来描述微观粒子的力学量，两者相互配合，形成了一个可以全面处理微观粒子波粒二象性特点的完整理论。

本章的主要知识点有 1．力学量算符 1）力学量的描述量子力学中的力学量Q 用厄密算符ˆQ 表示，位置算符ˆrr =v v 和动量算符ˆp i =-∇vh 是量子力学中最基本的力学量算符，而能量算符，即哈密顿算符122ˆ()mHp U r =+v是最重要的力学量算符。

厄密算符ˆQ是自共轭的，即ˆˆQ Q +=。

对于任意两个态函数,ψϕ，都有 ˆˆ()Q d Q d ψϕτψϕτ**=⎰⎰ （3-1）厄密算符ˆQ 的本征值nq 为实数，对应的本征函数()n r ϕv满足本征方程 ˆ()()n n nQ r q r ϕϕ=v v ，（3-2）本征函数之间具有正交性。

归一化的本征函数()n r ϕv满足正交归一性关系,()()m n m n r r d ϕϕτδ*=⎰v v，（3-3）其集合具有完备性(')()(')n n nr r r r ϕϕδ*=-∑v v v v。

量子力学中的力学量

量子力学中的力学量经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。

量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数ψ这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。

但ψ并不能作为量子力学中的力学量。

于是，又引入了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学量。

算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。

本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。

重点掌握以下内容：一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米算符的本征态表示；三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；四个本征态及本征值：坐标x 或r 、动量x p ∧或∧p 、角动量∧2L 及z L ∧、能量（哈密顿量∧H ）。

本部分的难点是任意态),(t x ψ与力学量算符本征态n ϕ及力学量概率态n C 的区别。

1 厄米算符1.1 算符：算符∧F 只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。

例如⎰、、dx d等。

量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量p与∇- i 相当，自由粒子体系的能量E 与222∇-μ 相当。

于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。

1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数上，总会得到另一个构造不同的函数 ϕψ=∧F （1）但在特殊情况下，得到λψψ=∧F （2）λ为实或复常数。

量子力学中把这样的函数称为算符∧F 的本征函数，对应的常数λ称为算符∧F 的本征值，相应的关系式称为本征方程。

1.3 厄米算符：（1）算符∧F 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符∧*F 。

例如∇-=∧i p ，则∇=∧i p *，一般来说，∧∧≠*p p 。

（2）算符∧F 的转置算符定义为∧~F ，即⎰⎰∧∧=dx F dx F ϕψϕψ*~* （3）ϕψ,*一般为任意函数，∧∧≠F F ，例如算符x∂∂的转置算符为 x x ∂∂-=∂∂~ （4）这是因为 ⎰⎰∞∞∞∞∂∂=∂∂＋－＋－dx xdx x **~ψϕϕψ⎰⎰∞∞∞∞∞∞∂∂-=∂∂-=＋－＋－＋－dx x dx x ϕψϕψϕψ)(|***（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为∧+∧=F F ~*，即⎰⎰⎰∧∧∧+==dx F dx F dx F ϕψϕψϕψ****)( （5）一般来讲， ∧∧+≠F F ，但动量算符却例外，如 xi p x ∂∂-=∧， x xp xi p ∧∧+=∂∂-= （6）（4）厄米算符满足∧∧+=F F 的算符称为厄米算符，又称自厄算符。

量子力学中的量子力学力学量与对易关系

量子力学中的量子力学力学量与对易关系量子力学中的力、动量与对易关系在量子力学中，力和动量是其中两个重要的物理量。

力和动量是描述物体运动和受力情况的基本概念，而在量子力学中，它们也具有独特的性质和对易关系。

一、经典力学与力、动量在经典力学中，力和动量是两个相互关联的物理量。

力可以描述物体所受到的作用，而动量则是描述物体运动状态的基本量。

根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，而动量则是质量乘以速度。

因此，在经典力学中，力和动量是可以测量并且能够精确计算的物理量。

二、量子力学中的力、动量在量子力学框架下，力和动量的描述则更加复杂。

根据量子力学的原理，力和动量被看作是物理量的观测值，而这些观测值只能以概率的形式出现。

具体而言，力和动量是由作用在量子粒子上的算符来描述的，而测量结果是这些算符的本征值。

具体来说，量子力学中的力和动量算符分别用F和P表示，它们的本征态分别是力和动量的本征态。

而这两个算符之间存在着一种特殊的关系，称为对易关系。

对易关系是指两个算符的乘积与其交换后的乘积之差为零。

在这里，力和动量算符的对易关系可以表示为[F,P]=iħ，其中ħ是普朗克常数。

三、对易关系的物理意义对易关系在量子力学中具有重要的物理意义。

首先，对易关系体现了力和动量的各自观测值之间的相互关联性。

根据对易关系，当我们对物体的力进行精确测量时，与之相关的动量的测量结果将不再具有确定性，而是以概率分布的形式出现。

反之亦然。

此外，对易关系还体现了量子力学中的不确定性原理。

不确定性原理指出，在同一时间内，力和动量无法同时确定到一个确定值。

这是由于力和动量观测值的不确定性与他们之间的对易关系有关。

换言之，当我们对力进行精确测量时，与之相关的动量的测量结果将存在一定的不确定性。

四、量子力学力学量的应用与发展量子力学中力和动量的对易关系不仅仅具有理论上的意义，也具有实际的应用价值。

例如，这种对易关系在量子力学中的研究为原子和分子的结构、量子场论和粒子物理学等领域的发展提供了基础。

量子力学中的力学量

注意 ①以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 ˆ i 换成坐中的坐标变量 F (r P) r 换成坐标算符 r P ˆ ˆ , P) F (i , P) F (r 即 F (r , P) P
ˆy y
ˆz z
在量子力学中，能量用哈密顿算符表示。即:
2 2 ˆ H U (r ) 2
(4)力学量用算符表示的一般规则
哈密顿算符的构造:
将哈密顿函数
2 P H U (r ) 2
ˆ i PP
2 2 ˆ H U (r ) 2
③归一化系数的确定两种情形归一化常数的求法具有分立谱的本征函数的归一化常数： 2 * n (r ) d n (r ) n (r )d 1

具有连续谱的本征函数的归一化常数： 2 * p (r ) d p (r ) p (r )d ( p p)
由此可得：
ˆ d (O ˆ ) * d * O
ˆ d (O ˆ ) * d * O
转置算符的定义
ˆ )] * [ d * (O
~ ˆ * d * O
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô + (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
（3）算符之和
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符

第三章：量子力学中的力学量_6讲

A的平均值是实数 ˆ ψ）＝（A ˆ ψ，ψ） A A* （ψ，A
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和：算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易如果： [A,B]=[B,A]
px

px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值，为属于的本征函数，此方程称则称是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.

量子力学中的量子力学力学量的算符关系

量子力学中的量子力学力学量的算符关系量子力学是研究微观粒子行为和性质的理论框架，它描述了自然界中微观领域中的物质和能量的行为方式。

在量子力学中，量子力学力学量的算符关系是描述物理量之间的对易关系或反对易关系的数学表达式。

这些算符关系是量子力学理论的基石，对于量子力学系统的描述和计算具有重要意义。

一、量子力学力学量的基本概念在量子力学中，力学量指的是描述物理系统状态的特性，比如位置、动量、角动量、能量等。

这些力学量由相应的物理量算符来表示，量子态的演化和测量是通过这些算符的操作来实现的。

在量子力学中，力学量算符是一种特殊的线性算符，它们作用于量子态（波函数或矢量表示）来得到相应的测量结果。

力学量算符的本征态对应于测量得到的确定值，而本征值则是该测量值对应的物理量数值。

二、量子力学力学量的算符关系量子力学力学量的算符关系可以通过对易关系或反对易关系来描述。

对于可同时测量的力学量，它们的算符满足对易关系；而对于不可同时测量的力学量，它们的算符满足反对易关系。

1. 对易关系对易关系表示两个力学量算符的乘积与其反序乘积之间的关系。

对于两个可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足对易关系：[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示算符的对易子。

对于满足对易关系的力学量算符，它们的本征态可以共享相同的基础。

2. 反对易关系反对易关系描述的是两个不可同时测量的力学量算符之间的关系。

对于不可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足反对易关系：{A, B} = AB + BA = 0其中{A, B}表示算符的反对易子。

反对易关系的存在意味着这两个力学量之间存在一定的互换关系，即测量一个力学量会影响到另一个力学量的测量结果。

三、具体力学量的算符关系1. 位置和动量在量子力学中，位置算符和动量算符是最基本的力学量。

它们的算符关系由玻尔-海森堡不确定关系给出：Δx · Δp ≥ h/4π其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。

量子力学中力学量的测量

F f
（3.5.7）
3.5 量子力学中力学量的测量
同理，另一力学量G 在态中有确定值的，则也是 G

的本征态，有
必须是 F 和 G 的共同本征函数。由
FG gF gf GF
即
( FG GF ) 0
1 4
G g
（3.5.8）
（3.5.9）
因此，在非 F 的本征态中测量力学量 F ，无确定值，但有平均值，而且平均值是由 F 的本征值 Fn 通过统计平均求来 2 n }展开 Cn 是将态按{ 的。在 F 中出现 Fn 的几率是 Cn ，时出现 n 态的几率幅。因此得出结论：在非 F 的本征态中测量 F ，虽然无确定值，但有各种可能值。这些可能值 2 C 就是 F 的本征值，而且可能值 Fn 出现的几率为 n 。这个结论无论对 F 的本征谱是分离谱、连续谱，还是既有连续谱又有分离谱都成立。 3.不同力学量同时有确定值的条件若 F 在态有确定值，则必须是 F 的本征态，有
(F )2 (F F )2 * (F F )2 dr
由于 F 厄米， F 的平均值 F 是个实数，因此 F F 也为厄米，利用 F F 厄米的条件可将上式写为
3.5 量子力学中力学量的测量
(F )2 [( F F ) ]* ( F F ) d r = ( F F )
3.5 量子力学中力学量的测量
综上所述, 量子力学中的力学量以线性厄米算符来表示, 力学量取确定值的态就是力学量算符的本征态, 力学量的数值就是算符的本征值. 力学量算符的本征函数系是正交归一完备系, 它们是力学量所有可能值及其相应态. 任意状态下, 力学量一般不取确定值, 而是一系列可能值. 而测的可能值的几率就是任意态在该力学量本征函数完备系中展开系数模的平方.

量子力学中的量子力学力学量与对易关系

量子力学中的量子力学力学量与对易关系量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，涉及到许多基本概念和量子力学力学量。

量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，如位置、动量、能量等。

而对易关系则是指在量子力学中，力学量的相互关系满足的一组重要规律。

本文将探讨量子力学力学量的基本概念以及它们之间的对易关系。

一、量子力学力学量的基本概念量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，它们是由算符表示的。

算符是量子力学中用来进行物理量测量的工具，它们对应于物理量的数学表达。

在量子力学中，位置、动量和能量是最基本的力学量。

1. 位置算符位置算符表示粒子在空间中的位置。

在一维情况下，位置算符通常用符号x表示，其算符表示为^x。

位置算符的本征态对应于一维空间中的位置本征态，即波函数的极值点。

2. 动量算符动量算符表示粒子的动量。

在一维情况下，动量算符通常用符号p表示，其算符表示为^p。

动量算符的本征态对应于一维空间中的动量本征态，即平面波。

3. 能量算符能量算符表示粒子的能量。

在量子力学中，能量算符通常用符号H表示，其算符表示为^H。

能量算符的本征态对应于粒子的能量本征态，即定态薛定谔方程的解。

二、量子力学力学量的对易关系在量子力学中，不同力学量之间的相互关系通过对易关系描述。

对易关系是量子力学中最基本的关系之一，它体现了量子力学的离散性、不确定性以及测量过程的干涉效应。

1. 位置与动量的对易关系量子力学中，位置算符与动量算符之间的对易关系是非常重要的。

根据海森堡不确定性原理，位置与动量不能同时被完全确定。

这一不确定性体现在它们的对易关系上，其对易关系可以表示为：^[x, p] = iħ其中^表示算符，[x, p]表示位置算符和动量算符的对易子，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数。

这个对易关系的存在意味着位置和动量的测量结果受到不确定性的限制。

2. 能量与时间的对易关系能量算符与时间算符之间的对易关系也是量子力学中的重要关系之一。

第三章量子力学中的力学量

ˆ F(A)
∞
=∑
n=0
F
( n,m)
∞
F
( n)
(0) n!
ˆn A
∂n (n) F (x) = n F(x) ∂x
n m
ˆ ˆ ˆ ˆ 算符 A、B 的函数 F( A, B)为: ˆ ˆ F( A, B) =
n,m=0
∑
(0,0) n!m!
ˆ n Bm ；F(n,m) (x) = ∂ n ∂ m F(x, y) A ˆ
∂x ∂y
例:
将算符函数
ˆ ˆ F(H) = e
i − xt h
i ˆ − Ht h
展开成幂级数
解： F′(x) = d e
i = − te dx h i i 2 − xt − xt d i 2 h 2 h F (x) = 2 e = (− t) e dx h i i n − xt − xt d i n h n h ⋅ ⋅⋅, F (x) = dxn e = (− h t) e i n n F (0) = (− t) h
ˆ = h ∂ Px i ∂x
ˆ = − h ∂ = −P ˆ P x i ∂x
* x
r* r ˆ ˆ P = −P
~ ˆ ˆ （3）算符 F 的转置算符 F ） ~ ˆ ˆ 定义：定义： u * Fv dτ ≡ vFu * dτ ∫ ∫
~ ˆ ˆ (u, Fv) = ( v* , Fu * )
~ ∂ ∂ 性质：性质：ⅰ =− ∂x ∂x ~ ∞ ∞ ∞ ∂ * 证： * ∂ * ∞ * ∂ ∫−∞ u ∂x vdx = ∫−∞ v ∂x u dx = vu −∞ − ∫−∞ u ∂xvdx ~ ∞ ∂ ∂ * ∂ = = −∫ u vdx −∞ ∂x ∂x ∂x

量子力学中的力学量

量子力学中力学量

量子力学中力学量的测量原理

量子力学中的量子力学力学量的期望与方差

量子力学中的量子力学力学量的表示

量子力学中的量子力学力学量测量与角动量

量子力学中的量子力学力学量的守恒定律

第三章-量子力学中的力学量 lt

什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量

量子力学中力学量的测量原理

第三章 量子力学中的力学量

第三章 量子力学中的力学量c

量子力学中的力学量

量子力学中的量子力学力学量与对易关系

量子力学中的力学量

第三章：量子力学中的力学量_6讲

量子力学中的量子力学力学量的算符关系

量子力学中力学量的测量

量子力学中的量子力学力学量与对易关系

第三章 量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量c

第三章量子力学中的力学量