量子力学中的力学量

2 dx2 2
本征值和本征态的物理意义
定态波函数
[
2
2
U
(r)]
(r )
E
(r )
2
0 (x)
1 2x2
e2
E0
1
2
定态能量
如果用算符 Fˆ 表示力学量F, 那么当体系处于 Fˆ 的本征态
时, 力学量F有确定值, 这个值就是算符 Fˆ 在中 本征值。
测量值谱 = 本征值谱
在 0(x)中，坐标 x 有确定值吗?
*
坐标算符和动量算符都是厄米算符。
坐标值 x为实数， * xˆ d * x d (x ) * d
对动量算符的一个分量 pˆ x ，有
*
pˆ x
dx
*
(i
x
)dx
* Fˆ d
(Fˆ ) * d
i
*
i
*dx
x
(i
)
*dx
x
( pˆ x ) *dx
思考题
１
n x n
10 厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô + 定义:
由此可得：:
d (Oˆ ) * d *Oˆ
~
[ d[Oˆ * ]
d *Oˆ d (Oˆ )*
转置算符 的定义
d (Oˆ ) * d(Oˆ )* *
厄密共轭 算符亦可 写成：
~ (Oˆ )* Oˆ
~ Oˆ Oˆ *
对易括号
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了
对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
这样一来，
坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
[ x , pˆ ] i
不难证明对易括号满足如下对易关系：
1) [Ô,Û] = - [Û,Ô]
2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê]
2 算符之和
Hˆ Tˆ Vˆ
表明
Ham ilton算 符Hˆ 等 于
体 系 动 能 算 符Tˆ和
势 能 算 符Vˆ之 和 。
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符
3 算符之积
i
(z)
d ( z )
dz
pz
解 之 得 到 如 下 一 组 解
：
( x)
c ei
px
x
1
px ( x)
( y)
c ei
p
y
y
2
py ( y)
(z)
c ei
pz
z
3
pz (z)
p(r )
(
x )
(
y)
(z)
px ( x) py ( y) pz ( z)
c e c e c e i
(3) 性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
7 算符函数
F(x) n0
x F ( n ) (0) n n!
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
例如:
8 复共轭算符
i Hˆ t
e
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
ypˆ x pˆ x y 0 zpˆ x pˆ xz 0
算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
（2）性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
但是，如果我们加上适当的边界 条件，则可以用以前的归一化方法来 归一，这种方法称为箱归一化。
y
rA
L 2
,
y,
z
rA
L 2
,
y,
z
在箱子边界的对应点A, A’上加 上其波函数相等的条件，此边 界条件称为周期性边界条件。
A
A’
o
x
z
L
这表明，px 只能取分立值。
换言之， 加上周期性边界
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条件后， 连续谱变成了分
§3.1 表示力学量的算符
一 力学量的算符表示 二 算符的本征方程 三 表示力学量算符的性质
Fˆ
一 力学量的算符表示
什么是算符? 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号
Fˆ u = v 表示Fˆ 把函数
u 变成 v，
Fˆ 就是这种变
换的算符。
由于算符只是一种运算符号，所以它单独
存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上， 对波函数做相应的运算才有意义，例如：
xpˆ x
x(
i
x
)
ix
x
(2)
pˆ x
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i
对易 关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
pˆ z z
i
例1：
~ x
x
式中
证：
dx
~
x
*
和 是任意函数。
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx
*
x
* |
dx
x
*
dx
(
~ x
x
)
*
0
由于ψ、φ是 任意波函数,
(
~ x
x
)
0
~ x
x
所以
同理可证:
~ pˆ x pˆ x
dx
x
*
可以证明： ( Aˆ Bˆ ) B~ˆ A~ˆ
(u
,
1
v 1
v 22
)
(u, v )
1
1
2
(u, v 2
)
(1u1
u 22
, v)
* 1
(u , v) 1
* 2
(u 2
, v)
厄米共轭：(v, Lˆu) (Lˆv,u)
即：
v* Lˆud (Lˆv)* ud
9 转置算符
算符Uˆ的转置算符U~ˆ定义为：
d *Uˆ dU~ˆ *
3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
返回
5 线性算符
满足如下运算规律的算符Fˆ ,称为线性算符
Fˆ (c1 1 c2 2 ) c1Fˆ 1 c2 Fˆ 2
(
r
)
p (r )
px
p
(
r
)
py
p (r )
其 分 量
i
z
p
(
r
)
pz
p
(
r
)
形 式
：
采用分离变量法，令：
p
(r )
(
x
)
(
y
)
(
z
)
代入动量本征方程
i
p
(
r
)
p
p
(
r
)
且等式两边除以该式，得：
i d ( x )
( x ) dx i d ( y ) ( y) dy
px py
1）du / dx = v ，
d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
动量算符
P
Pˆ i
pˆ
x
pˆ
y
i x
i y
pˆ
z
i z
坐标算符
r
rˆ
xˆ x
yˆ
y
zˆ z
px
x
i
py
y
i
pz
z
1
2
3
ce i
p•r
这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。
2. 归一化系数的确定
*p (r) p (r)d
| c |2
e e d
i
p•
r
i
p•r
| c |2
e d i
(
p
p
)• r
| c |2
(2)3
(
p
p)
如果取 |c|2 (2π )3=1
则 ψp(r) 就可
归一化为 δ-函数。
*p (r) p (r)d
( p
p)
这是为由什于么动量p (rv本) 征不值能可归以一取化连为续1，值而，是pv归的一各化分为量可函取数任：
意实数，动量本征值构成连续谱。
3 箱归一化
周期性边界条件
据上所述，具有连续谱的本征函数如:动 量的本征函数是不能归一化为一的，而只能 归一化为δ-函数。
ypˆ z
pˆ z
y
0
zpˆ
y
pˆ y
z
0
pˆ y pˆ z pˆ z pˆ y 0 pˆ z pˆ x pˆ x pˆ z 0
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û
反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
(I ) pˆ x与pˆ y对易，pˆ y与x对易，但是pˆ x与x不对易； (II ) pˆ x与pˆ y对易，pˆ y与z对易，而pˆ x与z对易。
zpˆ y xpˆ z
i(
y
z
i( z
x
z
y
)
x
z
)
Lˆz
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
x
)
二 算符的本征方程
Fˆ u v
xˆ u x u
d u du
dx
dx
算符的本征方程?
Fˆ
[ 2 2 U (r)] (r) E (r) 2
2 [
d2
1 2 x 2 ] (x) E (x)
是否是厄米算符？
2. 是厄米算符，求证： n也是厄米算符（n 为正整数）
3.Aˆ, Bˆ是厄米算符，求证：
1 ( Aˆ Bˆ BˆAˆ), 2
1 ( Aˆ Bˆ BˆAˆ) 2i
也是厄米算符
4.求证：任意算符Oˆ 可以分解为
Oˆ Oˆ iOˆ 其中: Oˆ (Oˆ Oˆ ) / 2 都是厄米算符
F(Uˆ )
Uˆ F (n) (0) n n!
n0
1 n!
[
i
Hˆ t]n
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
例如: 坐标表象中
pˆ* (i)* i pˆ
补充：内积 (u, v) u*vd
正交归一 :
( , )
n
k
n,k
显然 :
(u, v)* (v,u)
Oˆ (Oˆ Oˆ ) / 2i
§3.2 动量算符和角动量算符
一 动量算符
1 动量算符的本征方程 2 归一化常数的确定 3 箱归一化
二 角动量算符
1 角动量算符的形式 2 角动量本征方程
一 动量算符
P
Pˆ
i
pˆ
x
pˆ
y
i x
i y
pˆ
z
i z
P
动量算符的厄密性
使用波函数在无穷远
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
4 对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符
x
pˆ x
i
x
不对易。
显然二者结果不相等，所以:
证：
(1)
处趋于零的边界条件。
证：
* pˆ x d x
*
(i
d dx
)
d
x
i
* |
(i)
ddx
* dx
(i
d dx
)
*dx
( pˆ x ) *dx
由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。
一 动量算符
1 动量算符的本征方程
i
p
(r
)
p
p
(r
)
i i
x
y
p
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
11、厄米算符
*Fˆ d (Fˆ )* d
厄米算符的本征值是实数。
Fˆ Fˆ
证： Fˆ
* Fˆ d (Fˆ ) * d
和 是任意函数 , 取
* d * * d
立谱。
ce ce i [
px
L 2
py
y
pz
z]
i[
px
L 2
p
y
y
pz
z
]
由此得：
i
e[
p
x
L]
1
于是有：
1
px
L
2nx
px
2nx
L
第三章 量子力学中的力学量
§3.1 表示力学量的算符 §3.2 动量算符和角动量算符 §3.3 电子在库仑场中的运动 §3.4 氢原子 §3.5 厄密算符本征函数的正交性 §3.6 算符与力学量的关系 §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确
定值的条件 测不准关系 §3.8 力学量平均值随时间的变化 守恒定律
xˆ x x x0 (x) x0 x0 (x) rˆ r r0 (r) (r r0 )
x0 (x) (x x0 )
本征值是实数
三 表示力学量算符的性质
1 算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算 结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为 Ô = Û。
其中c1, c2是任意复常数， 1, 2是任意两个波函数。
动量算符 pˆ i 单位算符 Iˆ 是线性算符。
开方算符就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符， 这是态叠加原理的反映。
6 逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
（1）定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义
哈密顿算符
H p2 U (r)
2
Hˆ 2 2 U (r)
2
量子力学中的算符?
F F(r, p)
Fˆ Fˆ (r, pˆ ) Fˆ (r,i )
例
L
r
p
Lˆ
ex x
ey y
ez z
pˆ x pˆ y pˆ z
Lˆ rˆ pˆ i r
Lˆx Lˆ y
ypˆ z zpˆ x