13空间几何体 - 拔高 - 习题

空间几何体

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是

A. B.

C. D.

2. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

A. B. C. D.

3. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为

A. B. C. D.

4. 某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是

A. B. C. D.

5. 某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是

A. B. C. D.

6. 一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的

表面积为

A. B. C. D.

7. 已知结论：在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则．若

把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则

A. B. C. D.

8. 已知球是棱长为的正四面体的内切球，棱锥的中截面为，则点到平面

的距离为

A. B. C. D.

9. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为

直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为

A. B. C. D.

10. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于

A. B. C. D.

11. 连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为的球的两条弦，的长度分别等于，

，，分别为，的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：

①弦，可能相交于点；

②弦，可能相交于点；

③的最大值为；

④的最小值为．

其中真命题的个数为

A. B. C. D.

12. 如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于

的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域为

A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；共25分）

13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

14. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

15. 某几何体的主视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体左视图的图形

是．（写出所有可能的序号）

16. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为．

17. 已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积

为，则该圆锥的体积为．

三、解答题（共5小题；共65分）

18. 如图，菱形的边长为，，，将菱形沿对角线折起，

得到三棱锥，点是棱的中点，．

（1）求证： 平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积．

19. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，

，，，分别在线段，上，且．

（1）求证： 平面；

（2）求三棱锥的体积．

20. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，

．

（1）求证：平面；

（2）求凸多面体的体积．

21. 已知正三棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示．

（1）画出该正三棱锥的侧（左）视图和直观图；

（2）求出侧（左）视图的面积．

22. 如图，四边形为菱形，为与的交点，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．

答案

第一部分

1. B 【解析】由题图知，俯视图的底面圆是看不见的，

所以在俯视图中该部分的映射图象是虚线圆，结合选项可知选B．

2. C 【解析】根据该三棱锥的三视图可以画出其立体图形（如图），

其表面积为四个三角形的面积之和．取线段的中点，则，易得，由

平面，可得，，均为直角三角形，易知，

，

所以，

，

，

所以三棱锥的表面积为．

3. A

4. B

5. B

6. A 【解析】由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，设三棱锥外接球的半径为，则，

所以，

所以三棱锥外接球的表面积为．

7. C 【解析】提示：由题意可知此四面体为正四面体，点为正四面体的内切球的球心，为正四面体的高，由正四面体的体积等于以四面体四个面为底面，以为顶点的四个完全相同的小四棱锥的体积和知，小四棱锥的体积为正四面体体积的，即，从而．

8. C 【解析】提示：正四面体的内切球半径为，球心是正四面体高的四等分点．

9. C

10. D

11. C 【解析】若，相交，因为，而过球内一点的最短的弦（球心除外）为以该点为中点的弦，最长的弦为球的直径，故①正确，②错误；

，，当，，共线且在中间时，有最大值，当，，共线且在中间时，有最小值，故③④正确．

12. D 【解析】运动分为三个阶段，其中，为的三等分点，

作沿着正方体的体对角线方向的正投影，并将截面三角形的变化过程绘图如下：

从这个阶段是的逐渐变大的等边三角形；从这个阶段是六边形，从这个阶段是

逐渐变小的等边三角形．

所以当，函数的值域为．

第二部分

13.

【解析】提示：由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为，高为）与中间

一个圆柱（底面圆半径为，高为）组合而成．

14.

【解析】该几何体是一个长方体和一个圆柱的组合体．由三视图可知长方体的长、宽、高分别为

、、，圆柱的底面半径为，高为，故该组合体的体积为．15. ①②③

【解析】使用抠点法：

由主、俯视图可知，该几何体必不包括，，点．

若该几何体为，则①成立；

若该几何体为，则②成立；

若该几何体为，则③成立．

16.

17.

第三部分

18. （1）因为点是菱形的对角线的交点，

所以是的中点，

又点是棱的中点，