第5讲 岩石的本构关系

第7章 岩体本构关系与强度理论
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第7章 岩体本构关系与强度理论
§7.2 岩石的本构关系
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§7.2 岩石的本构关系
一、 岩石力学中的符号规定
（1）力和位移分量的正方向与坐标轴的正方向 一致； （2）压缩的正应变取为正； （3）压缩的正应力取为正。
假如表面的外法线与坐标轴的正方向一致，则
该表面上正的剪应力的方向与坐标轴的正方向相反，
砂岩 0.65
白垩 0.62
粘质页岩 0.50
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（ 1）硬化材料的屈服面模型 ①等向硬化-软化模型：塑性变形发展时，屈服面作均匀扩大（硬化）
或均匀收缩（软化）。如果 是初始屈服面，后继屈服面为： f* 0
f f * ( ij ) H ( ) 0
②随动硬化模型：塑性变形发展时，屈服面的大小和形状保持不变，
仅是整体地在应力空间中做平动，后继屈服面为：

A
A B C
d c
B C
间增长有所增加，但蠕变变形的 速率则随时间增长而减少，最后 变形趋于一个稳定的极限值，这 种蠕变称为稳定蠕变。
a
b
o
t
图7-4 岩石蠕变曲线示意图
2)当荷载较大时， abcd 曲线所示，蠕变不能稳定于某一极限值，
而是无限增长直到破坏，这种蠕变称为不稳定蠕变。这是典 型的蠕变曲线，根据应变速率不同，其蠕变过程可分为三个 阶段，即减速蠕变阶段或初始蠕变阶段、等速蠕变阶段及加 速蠕变阶段。 19
反之亦然。
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二、 岩石弹性本构关系 1．平面弹性本构关系
据广义虎克定理有：
1 x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E 1 1 1 yx yz , zx zz , xy xy G G G
Q d ij
p ij
（Βιβλιοθήκη Baidu-18）
式中： 是一正的待定有限量，它的具体数值和材料硬化法则有关。
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（7-18）式称为塑性流动法则，对于稳定的应变硬
化材料，Q 通常取与后继屈服函数F 相同的形式，当 Q=F 时，这种特殊情况称为关联塑性。 对于关联塑性，塑性流动法则可表示为：
F d ij
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2）增量理论：描述应力和应变增量间关系的理论，又 称流动理论。 当应力产生一无限小增量时，假设应变的变化可分成弹 性的及塑性的两部分：
d ij d d
e ij
p ij
弹性应力增量与弹性应变增量之间仍由常弹性矩 阵D 联系，塑性应变增量由塑性势理论给出，对弹 塑性介质存在塑性势函数Q，它是应力状态和塑性应 变的函数，使得：
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2. 塑性状态的加-卸载准则
塑性加载：对材料施加应力增量后，材料从 一种塑性状态变化到另一种塑性状态，且有新的 塑性变形出现； 中性变载：对材料施加应力增量后，材料从一 种塑性状态变化到另一种塑性状态，但没有新的 塑性变形出现； 塑性卸载：对材料施加应力增量后，材料从塑 性状态退回到弹性状态。
为标量的内变量，它可以代表塑性功，塑性体
ijp 为塑性应力， 式中： ij 为总应力，
积应变，或等效塑性应变。
屈服面：屈服条件在几何上可以看成是应力空间中的超曲面。
初始屈服面和后继屈服面。
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分类：按塑性材料屈服面的大小和形状是否发生变 化。理想塑性材料（不变化）和硬化材料（变化）。
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四、岩石流变理论
流变：指材料的应力-应变关系与时间因素有关的 性质，材料变形过程中具有时间效应的现象称为流变 现象。
蠕变：当应力不变时，变形随时间增加而增长的
现象。 松弛：当应变不变时，应力随时间增加而减小的 现象。 弹性后效：加载或卸载时，弹性应变滞后于应力
的现象。
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蠕变试验表明：
1)当岩石在某一较小的恒定荷载 持续作用下，其变形量虽然随时
塑性阶段本构关系包括三组方程：
1）屈服条件：塑性状态的应力条件。
2）加-卸载准则：材料进入塑性状态后继续塑性变形 或回到弹性状态的准则，通式写成：
( ij , H a ) 0
式中： ij垂直于 i轴的平面上平行于 j 轴的应力 (i x, y, z; j x, y, z ) ， 。 为某一函数关系，H a为与加载历史有关的参数， a 1, 2 3）本构方程：
x
式中：E为物体的弹性模量； 为泊松比；G为剪切弹性模量，
E G 2(1 )
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对于平面应变问题：因εz ＝γzx ＝γyz ＝ 0 ，故τyz
＝τzx＝0，可知：
z ( x y )
y x 1 1 2 y x y E 1 2(1 ) xy xy E 1 2 x E
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3.本构方程
塑性状态时应力-应变关系是多值的，取决材料性质和加 -卸载历史。 1）全量理论：描述塑性变形中全量关系的理论，称形变理 论或小变形理论。 汉基（Hencky）、依留申等依据类似弹性理论的广义胡克
定律，提出如下公式 ：
xx m 2G xx m , xy G xy yy m 2G yy m , yz G yz zz m 2G zz m , zx G zx
ij R( ij )
或
d ij R(d ij )
（7-7）
式中：R为某一函数关系
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1）岩石屈服条件和屈服面
初始屈服条件：从弹性状态开始第一次屈服的条件。
f ( ij ) 0
后继屈服条件：当产生了塑性变形，屈服条件的形式发
生了变化的屈服条件。
f ij , ijp , 0
在一系列的岩石流变试验基础上建立反映岩石流变性 质的流变方程，通常有二种方法：
ε ε 2( t) ε 1( t)
A ε0
O
1．经验法
岩石蠕变经验方程：
D ε 3( t) C
(t ) 0 1 (t ) 2 (t ) 3 (t )
B t
式中： (t )为时间 t 的应变； 0 瞬时应变；1 (t )初始段应变；2 (t ) 等速段应变； (t ) 加速段应变。 3
图7-5
岩石的典型蠕变曲线
典型岩石蠕变方程：幂函数方程、指数方程、幂指数对数混合方程
2. 理论模型模拟法
将介质理想化，归纳成各种模型，模型可用理想化的具有基本性能（包 20 括弹性、塑性和粘性）的元件组合而成。
岩石的长期强度:由于流变作用，岩石强度随外
载作用时间的延长而降低，通常把作用时间 t 的强度（最低值）称为长期强度。
E 1 2
中的E换成
，v
换成 1 。
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2. 空间问题弹性本构方程
1 x x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E 2(1 ) 2(1 ) yz yz , zx zx E E 2(1 ) xy xy E
对于大多数岩石，长期强度/瞬时强度
（ s / s0 ）一般为0.4～0.8，软的和中等坚固岩 石为0.4～0.6，坚固岩石为0.7～0.8。表7-1中列 出某些岩石瞬时强度与长期强度的比值。
表7-1 几种岩石长期强度与瞬时强度比值
岩石名称
s / s0
粘土 0.74
石灰石 0.73
盐岩 0.70
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对于平面应力问题：σz＝τzx＝τzy＝0
1 x x y E 1 y y x E 2(1 ) xy xy E
对比平面应力问题与平面应变的本构方程，
可以看出，只要将平面应力问题的本构关系式
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三、 岩石塑性本构关系
塑性本构关系特点：
1、应力-应变关系的多值性
同一应力有多个应变值 σ 与它相对应。 本构关系采用应力和应 变增量的关系表达。
A 加载 卸载 C B
塑性状态描述：除用应
力、应变，还需用塑性应变， 0
ε
图7-1 加－卸载应力－应变曲线
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塑性功等内状态变量来刻画
塑性变形历史。
2、本构关系的复杂性
p ij
F 其总应变增量表示为： d ij D d ij ij
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由一致性条件可推出待定有限量 为：
1 F d ij A ij
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对于系数A： 理想塑性材料： 硬化材料：
A0
F Q F Q A D ij p ij ij kl u
式中： u 为塑性功，这样加载时的本构方程为：
1 1 Q F d ij D d kl A ij kl p 对任何一个状态 kl , kl , u ，只要给出了应力增量，就
可以唯一地确定应变增量 d ij 。 应用增量理论求解塑性问题，能够反映应变历史对塑性 变形的影响，因而比较准确地描述了材料的塑性变形规律。
f f * ( ij ijp ) 0
屈服面为：
式中：α是材料参数。
③混合硬化模型：介于等向硬化-软化和随动硬化之间的模型，后继
f f * ( ij ijp ) H ( ) 0
（2）塑性岩石力学最常用的屈服条件
库仑（Coulomb）、德鲁克-普拉格（Drucker-Prager）屈服条件。