(最新整理)复数运算习题
复数练习题(有答案)
一、复数选择题1．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1122i + D ．1122i - 2．设复数1iz i=+，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12iC ．12-D ．12i -3．若20212zi i =+，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．12i -D ．12i +4．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（ ） A ．6BC ．5D6．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <-B ．1a >或2a <-C ．12a -<<D ．21a -<<7．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 8．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）ABC ．3D ．59．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B．iCiDi10．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦11．已知复数()211i z i-=+，则z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -12．设2iz i+=，则||z =（ ） ABC ．2D ．513．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i1i 2ia -=-+，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-114．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A ．1BC D ．215．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（ ）A ．15B C D ．5二、多选题16．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =17．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为219．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =20．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点21．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件22．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =23．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 25．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠ C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称26．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>27．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =28．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数 29．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为，所以其共轭复数为. 故选：D. 解析：D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.2．A 【分析】根据复数除法运算整理得到，根据虚部定义可得到结果. 【详解】 ，的虚部为. 故选：.解析：A 【分析】根据复数除法运算整理得到z ，根据虚部定义可得到结果. 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，z ∴的虚部为12.故选：A .3．C 【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得，所以. 故选：C解析：C 【分析】根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】 由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i =-. 故选：C4．D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得，所以复数z 在复平面上所对应的点为，在第四象限， 故选：D.解析：D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D.5．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案． 【详解】 ，， 所以，， 故选：C.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案． 【详解】2z i =-，(12)(2)(12)43z i i i i ∴⋅+=-+=+，所以，5z =， 故选：C.6．A 【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果. 【详解】 因为，，所以，， 所以或. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A 【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =，再解一元二次不等式可得结果. 【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->， 所以2a >或1a <-. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题.7．D 【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】 ，. 故选：.解析：D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .8．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅． 【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．9．D 【分析】先对化简，求出，从而可求出 【详解】 解：因为， 所以， 故选：D解析：D 【分析】先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z 【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D10．B 【分析】设，由是实数可得，即得，由此可求出. 【详解】 设，， 则，是实数，，则， ，则，解得， 故的实部取值范围是. 故选：B.解析：B 【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠， 则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220bb a b∴-=+，则221a b +=， 22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤，故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B.11．B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】 由题意可得，则. 故答案为：B解析：B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i ii i ---===--=--++-，则1z i =-+.故答案为：B12．B 【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可. 【详解】 ， .故选：B ．解析：B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i i i z i i i ++===-，∴z ==故选：B ．13．B 【分析】 可得，即得. 【详解】 由，得a ＝1. 故选：B ．解析：B 【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =. 【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1. 故选：B ．14．B 【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模． 【详解】 由题意，∴． 故选：B ．解析：B 【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模． 【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．15．B 【分析】利用复数除法运算求得，再求得. 【详解】 依题意， 所以. 故选：B解析：B 【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z . 【详解】 依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==故选：B二、多选题 16．AB 【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确； 对选项B ，若复数满足，设，其中，且， 则，则选项B 正确； 对选项C ，若复数满足，设解析：AB 【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确；对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.17．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 18．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 19．AC根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.20．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.21．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.22．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)1(1)(1)2i i z i i i --====-+-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题23．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.24．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误.【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．26．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．27．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．28．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.29．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
复数考试题目大全及答案
复数考试题目大全及答案1. 复数的基本概念题目：什么是复数？答案：复数是指形式为a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的加减法题目：计算复数(3+2i)和(1-4i)的和。
答案：(3+2i) + (1-4i) = (3+1) + (2-4)i = 4-2i。
3. 复数的乘除法题目：计算复数(2+3i)和(1-i)的乘积。
答案：(2+3i)(1-i) = 2(1) + 2(-i) + 3i(1) + 3i(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i。
4. 复数的模题目：求复数4+3i的模。
答案：|4+3i| = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5。
5. 复数的共轭题目：写出复数5-2i的共轭复数。
答案：5-2i的共轭复数是5+2i。
6. 复数的实部和虚部题目：复数a+bi的实部和虚部分别是多少？答案：实部是a，虚部是b。
7. 复数的指数形式题目：将复数3+4i转换为指数形式。
答案：3+4i可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中r=|3+4i|=5，θ=arctan(4/3)，所以3+4i=5(cos(arctan(4/3))+isin(arctan(4/3))。
8. 复数的代数形式和三角形式题目：将复数5(cos(π/4)+isin(π/4))转换为代数形式。
答案：5(cos(π/4)+isin(π/4)) = 5(√2/2 + i√2/2) =(5√2)/2 + (5√2)/2i。
9. 复数的除法题目：计算复数(3+4i)除以(1+i)的结果。
答案：(3+4i)/(1+i) = (3+4i)(1-i)/(1+i)(1-i) = (3+4i-3i-4i^2)/(1-i^2) = (3+i+4)/(1+1) = (7+i)/2 = 3.5 + 0.5i。
10. 复数的幂运算题目：计算复数(2+i)的平方。
复数的四则运算同步练习题
复数的四则运算同步练习题一、选择题1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 复数－i ＋1i等于( A ) A ．－2i i C ．0 D ．2i7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19． 在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A )C ．－43D ．－3411． 若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 13.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,z?z̅i +2=2z ，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B ）2 （C（D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i -（D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ）A ．1＋iB ．－1－iC ．1＋3iD ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于 （ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31ii +-=( D )A .1-2i +i D .1+2i29.下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ C ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-30.复数2(1)2i i -=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是 （ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积． 解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2. 52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。
答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。
答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。
答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。
答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。
答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。
解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。
答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。
答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。
(完整版)复数基础练习题附答案
(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 52．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ） A ．2B ．3C．D．3．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.4．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 29．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 12．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 13．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5B C ．10D 14．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ） A．1 B C ．15D ．515．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C ．D ．416．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2B C ．D ．317．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-18．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +19．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件20．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 22．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________. 23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.25．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．26．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．27．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．28．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 30．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．33．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.34．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R，若z =，则t 的值为___________.35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．36．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 37．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．38．设i是虚数单位，复数z =，则z =___________. 39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________.40．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 三、解答题41．已知复数2()(3)i()z m m m m =-++∈R 在复平面内对应点Z ． (1)若2m =，求z z ⋅；(2)若点Z 在直线y x =上．求m 的值．42．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋（x 2－2x －15）i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上．43．已知复数()2i z a =+，i 43w =-其中a 是实数，(1)若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围； (2)若zw是纯虚数，a 是正实数， ①求a ，②求232023z z z z w w w w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭44．已知复数()224124i z m m m =--+-，其中m R ∈． (1)若z 为纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求m 的取值范围．45．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值.【参考答案】一、单选题 1．A 2．D 3．D4．D 5．B 6．D 7．B 8．A 9．D 10．D 11．B 12．A 13．D 14．A 15．C 16．B 17．B 18．C 19．A 20．D 二、填空题21．13i + 22．223．12或12##12-或12 24．1 25．-2 26．327．43i -##3i 4-+ 28．1-29．12i -##2i+1- 30．1 31．i - 32．[]4,6 33．2 34．2或2-35．8336．7π 3738．39．2i -+ 40．1 三、解答题41．(1)29 (2)3m =或1m =- 【解析】 【分析】（1）由复数的运算法则求解 （2）由复数的几何意义求解 (1)2m =时，25i z =+，故(25i)(25i)29z z ⋅=+-=(2)若点Z 在直线y x =上，则23m m m -=+ 解得3m =或1m =- 42．(1)－3<x <2 (2)2<x <5 (3)x ＝－2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+-<⎨--<⎩，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限； (2)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+->⎨--<⎩，即2<x <5时，点Z 位于第四象限； (3)当实数x 满足（x 2＋x －6）－（x 2－2x －15）－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上；综上，（1）()3,2x ∈- ，（2）()2,5x ∈ ，（3）2x =- . 43．(1)1a > (2)①2； ②1-. 【解析】 【分析】（1）化简复数212i z a a =-+，根据复数z 在第一象限，列出不等式组，即可求解；（2）化简复数()()22464383i25aa a a zω--++-=，由zw是纯虚数，求得2a =，化简得到i zω=，结合虚数单位的性质，即可求解.(1)解：由题意，复数()22i 12i z a a a =+=-+，因为复数z 在第一象限，可得21020a a ⎧->⎨>⎩，解得1a >．(2)解：由题意，复数()()()()()()()()2222222i i 43i i i 43i 43i43i 43i 43i a a a a zω++++++===--+- ()()()2222223464383i 48i 4i 3i 6i 3i 16925a a a a a a a a --++-+++++==--，因为zw 是纯虚数，则2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，解得2a =或12a =-，又因为a 是正实数，则2a =，当2a =时，复数224648i 3i 3i 16i 12i 3ii 2525za a a a ω--++-+-===， 因为41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，n N ∈，所2320232334202i i i i i zz z z ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()4678202122352023022i i i i i i i i i i i =++++++++⋅⋅⋅+++()00i i 11=+++--=-．44．(1)6 (2)()2,6 【解析】 【分析】（1）由z 为纯虚数，列方程组，求出m ； （2）由题意列不等式组，即可求出m 的范围．(1)因为复数()224124i z m m m =--+-，其中m R ∈，所以22412040m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得：m =6.(2)因为()224124i z m m m =--+-在复平面内对应的点为()22412,4m m m ---， 所以z 在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点()22412,4m m m -++-.由题意得：22412040m m m ⎧-++>⎨->⎩，解得：26m <<.即m 的取值范围为()2,6.45．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析 (3)1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值. (1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=， 当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1.。
复数练习题进行复数的运算与表示
复数练习题进行复数的运算与表示复数练习题：进行复数的运算与表示一、复数的定义和表示方式复数是由实数和虚数相加而成的数，形如a+bi，其中a为实部，b 为虚部，i为虚数单位（满足i²=-1）。
复数可以通过代数法、几何法和指数法来表示。
二、复数的加法与减法1. 加法规则：设有两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则它们的和z=a+b；其中a=a₁+a₂，b=b₁+b₂。
即：z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i2. 减法规则：设有两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则它们的差z=a-b；其中a=a₁-a₂，b=b₁-b₂。
即：z₁-z₂=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i三、复数的乘法与除法1. 乘法规则：设有两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则它们的积z=a*b；其中a=(a₁a₂-b₁b₂)，b=(a₁b₂+a₂b₁)。
即：z₁*z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i2. 除法规则：设有两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则它们的商z=a/b；其中a=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)，b=(a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)。
即：z₁/z₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+[(a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)]i四、复数运算练习题1. 求下列复数的和：(1+2i)+(3-4i) = 4-2i2. 求下列复数的差：(5+6i)-(2+3i) = 3+3i3. 求下列复数的积：(2+3i)*(4+5i) = -7+22i4. 求下列复数的商：(10+12i)/(2+3i) = 4+2i5. 求下列复数的模：|4+3i| = √(4²+3²) = 56. 求复数的共轭复数：对于复数a+bi，共轭复数为a-bi。
2025新高考数学计算题型精练专题05 复数的四则运算(解析版)
2025新高考数学计算题型精练复数的四则运算1．34i i +的共轭复数为（）．A ．1i +B ．1i-C ．1i-+D ．1i--【答案】A【详解】因为34i i 1i +=-，则其共轭复数为1i +．故选:A 2．若22i i 1i z +=+，则z =（）A ．13i22+B ．13i22-C ．13i22-+D ．13i22--【答案】B 【详解】因为2i 1(2i 1)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ---+====+++-，所以13i 22z =-．故选：B 3．已知i i z z +=，则z =（）A2B ．0C ．12D ．1【答案】A【详解】设i z a b =+，则()21i i i i a b a b b a ++=+=-+，故1a b b a =-⎧⎨+=⎩，解之得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2z ==.故选:A 4．已知i1i z=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【答案】D 【详解】由i 1i z=+，则()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-，则1i 2z -=，所以i z z -=．故选：D ．5．543i=-（）A ．43i-+B ．43i +C ．43i55-+D ．43i55+【答案】D【详解】()()()()543i 543i 543i 43i 43i 43i 2555++===+--+.故选：D 6．若复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =（）A ．2BC ．3D ．5【答案】D【详解】()43i i 43i 4i 3i 43i 34i i i i 1z z +⋅+-⋅=+∴====-⋅- ，，5z ∴=.故选：D.7．若a 为实数，且7i2i 3ia +=-+，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【详解】由题意得，()()2i 3i 7i1iia -+--===-，故选：C ．8．2(1=（）A ．2+B ．2-C ．2-+D ．2--【答案】C【详解】22(113i 2+=++=-+；故选：C.9．已知复数3i2i 12iz +=++，则z =（）A ．1BC ．2D ．【答案】B【详解】因为()()3i 12i 3i2i 2i 1i 2i 1i 12i 5z +-+=+=+=-+=++，所以z =．故选:B10．()1i 1z -=，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i-【答案】B【详解】()1i 12z -=-= ，()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z ++∴====+--+，1i z ∴=-.故选：B.11．设11iz =+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．1D ．0【详解】由题意可得11i 11i 1i 222z -===-+，则11i 22z =+，所以1111i i i 2222z z ⎛⎫⎛⎫-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A12．已知i 为虚数单位，复数13i2iz -=+，则z =（）A ．2BC D【答案】C 【详解】()()()()13i 2i 13i 17i 17i 2i 2i 2i 555z -----====--++-，则z =故选：C.13．已知i 为虚数单位，复数z满足(13i)i z =，则z =（）A ．i -B iC 1i2D 1i 2【答案】D【详解】依题意，2i 1i422z -===-，所以1i 22z =+.故选：D 14．若复数()43i i z =-，则z =（）A ．25B ．20C ．10D ．5【答案】D【详解】因为()43i i 34i z =-=+，所以5z ==，故选:D.15．设复数z 满足()1i 4z -=，则z =（）A ．B ．1C D ．2【答案】A【详解】由()1i 4z -=，得()()()41i 444i 22i 1i 1i 1i 2z ⨯++====+--⨯+，所以z ==故选：A.16．已知复数()()()1i 2i z a a =-+∈R 在复平面对应的点在实轴上，则=a （）A ．12B ．12-C ．2D ．-2【详解】依题意，()()()()1i 2i 22i z a a a =-+=++-，因为复数z 在复平面对应的点在实轴上，所以20a -=，解得2a =.故选：C.17．已知复数z 满足(1)(23i)32i z --=+，则z =（）A ．0B ．iC ．1i-+D ．1i+【答案】D【详解】∵(1)(23i)32i z --=+，∴()()()()32i 23i 32i 13i1111i 23i 23i 23i 49z +++=+==+=+--++，故选：D.18．若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A ．2i --B ．2i-+C ．2i+D ．2i-【答案】B【详解】由已知可得，12i 2i i z -==--，从而2i z =-+.故选：B.19．设i 为虚数单位，若复数z 满足3i i 1iz -=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【详解】由()()()()3i 1i 3i 42i2i i 1i 1i 1i 2z -+-+====+--+，则2i 1z =-，所以z 的虚部为2．故选：D ．20．已知复数z 满足(2i)24i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】C 【详解】()()()()24i 2i 24i 10i2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，故虚部为2-.故选：C 21．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i-C ．2i+D ．2i--【答案】C 【详解】因为i 12iz=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.22．已知复数z 满足()()1i 2i 2i z --=，则z 的虚部为（）A ．1-B ．i-C ．3D ．3i【答案】C【详解】因为()()()2i 1i 2i2i 2i i 12i 13i 1i 1i 1i z +=+=+=-+=-+--+，所以z 的虚部为3，故选：C.23．已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（）A B ．2C ．D ．2±【答案】D【详解】因为i z a =+，所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D 24．已知复数z 是方程2220x x +=-的一个根，则z =（）A ．1B ．2C D【答案】C【详解】因为方程2220x x +=-是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即22i1i 2z ±==±，所以z ==故选：C 25．若复数()2iR 2ia z a -=∈+是纯虚数，则=a （）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】D【详解】由题意设i z b =（0b ≠），2ii 2ia zb -==+，即()2i i 2i 2i a b b b -=+=-+，则22a b b =-⎧⎨=-⎩，解得：1,1a b ==-.故选：D 26．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z =（）A ．2BC ．D【答案】B【详解】因为()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-，因此，z ==故选：B.27．已知复数1i 22z =+，则3z =（）A ．34B C ．1D 【答案】C【详解】法一：由复数乘法运算得231111i i i i =i 22222222z ⎫⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则31z =，法二：由1||12z ==，则31z =，故选：C 28．已知复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =___________．【答案】5【详解】由i 43i z ⋅=+得2243i 4i 3i 4i 334i i i 1z ++-====--，因为5z ==，所以5z z ==，故答案为：5．29．3ii+=______【答案】13i -【详解】()23i i3i 13i i i ++==-.故答案为：13i -30．复数z 满足26i z z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为___________.【答案】-1【详解】令i z a b =+，则i z a b =-，所以()()22i i 3i=6i z z a b a b a b +=++-=+-，故z 的虚部为1-.故答案为：-1.31．设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．【答案】1i+【详解】∵()1i 2i z +=，则()()()i 1i ii i i i 221111z -===+++-.故答案为：1i +.32．复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，则12z z +=________.【答案】3i -/-i+3【详解】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，所以12i z =+，212i z =-，所以123i z z +=-，故答案为：3i -.33．若复数21iz =+（i 为虚数单位），则i z -=___________.【详解】()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，所以i 12i z -=-==.故答案34．若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 是虚数单位），则复数z =_____________．【答案】13i 22-+．【详解】由(1i)12i z -=+可得()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z +++-+===--+--+.故答案为：13i 22-+.35．若()12i 1z +=，则()1i z +=______【答案】62i55-【详解】因为()12i 12z +===，所以()212i 224i 12i 145z --===++，故()()24i 22i 4i 4621i 1i i 5555z -+-++=⨯+==-.故答案为：62i 55-.36．若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】23i-【详解】由2136i z -=+，得246i z =+，∴23i z =+，则23i z =-．故答案为：23i -．37．已知复数i 12i 2iz=-++，则z 的虚部为______．【答案】4-【详解】解：由题意得(12i)(2i)(43i)i34i i i iz -++-+===+⋅，则34i z =-，所以z 的虚部为－4，故答案为：-438．已知复数z 满足210z z ++=，则z z ⋅=_____________.【答案】1【详解】因为22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即2213i 242z ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，12z =-或1i 22z =-+，若12z =-，则122z =-+，则111312244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若1i 22z =-+，则12z =-，则1113i 1222244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，1z z ⋅=.故答案为：1.39．已知复数z 满足()1i i z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．【答案】12/0.5【详解】由()1i i z -=得：()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+，z ∴的虚部为12.故答案为：12.40．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．【答案】2【详解】由题意可知1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故答案为：241．已知复数z 满足()12i |43i |z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为___________.【答案】12i+【详解】由()12i 43i 5z +=-==，得()()()()2512i 512i 512i 12i 12i 12i 14i z --====-++--，则复数z 的共轭复数为12i z =+；故答案为：12i +42．复数312i3i ++的值是_____________．【答案】17i 1010+【详解】解：312i 12i (12i)(3i)17i 17i 3i 3i 10101010+++++====++-．故答案为：17i 1010+.。
复数考试题目大全及答案
复数考试题目大全及答案1. 复数的基本概念复数是指形式为a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数的实部是a，虚部是b。
2. 复数的四则运算(1) 两个复数相加：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(2) 两个复数相减：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i(3) 两个复数相乘：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i(4) 两个复数相除：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (c^2+d^2)] + [(bc-ad) / (c^2+d^2)]i3. 复数的模和辐角(1) 复数的模：|a+bi| = √(a^2+b^2)(2) 复数的辐角：arg(a+bi) = arctan(b/a)，其中a>0；arg(a+bi) = arctan(b/a) + π，其中a<0且b≥0；arg(a+bi) = arctan(b/a) - π，其中a<0且b<0。
4. 复数的共轭复数a+bi的共轭是a-bi。
5. 复数的代数形式复数可以表示为z = x + yi的形式，其中x和y是实数，i是虚数单位。
6. 复数的几何意义复数a+bi可以表示为平面上的点(a, b)，其中a是实轴上的坐标，b是虚轴上的坐标。
7. 复数的幂运算(1) i^2 = -1(2) i^3 = -i(3) i^4 = 1(4) i^n = i^(n%4)，其中n%4表示n除以4的余数。
8. 复数的指数形式复数z = x + yi可以表示为z = r(cosθ + i*sinθ)的形式，其中r是模，θ是辐角。
9. 复数的对数形式复数z = r(cosθ + i*sinθ)可以表示为z = ln(r) + i*θ的形式，其中ln(r)是模的自然对数，θ是辐角。
10. 复数的极坐标形式复数z = x + yi可以表示为z = r(cosθ + i*sinθ)的形式，其中r是模，θ是辐角。
(完整版)复数计算练习题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C 2.10i2－i＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．2＋4i D ．2－4i答案 A3．若w ＝－12＋32i ，则w 4＋w 2＋1等于( ) A ．1 B ．0 C ．3＋3i D ．－1＋3i答案 B4．在(12＋32i)12的展开式中，所有奇数项的和等于( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．i 答案 B 5．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i答案 B 解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i ＋i 2＝1＋3i.∴z ＝1－3i. 6．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2等于( )A ．4iB ．－4iC．2i D．－2i 答案 C7．复数(2＋2i)4(1－3i)5等于()A．1＋3i B．－1＋3i C．1－3i D．－1－3i 答案 B8．复数1＋2i3＝()A．1＋2i B．1－2i C．－1 D．3答案 A解析1＋2i3＝1＋2－i＝1＋2i，故选A.9．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于() A．(x－1＋3i)(x－1－3i)B．(2x－2＋3i)(2x－2－3i)C．2(x－1＋i)(x－1－i)D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)答案 B10．复数i3(1＋i)2＝()A．2 B．－2 C．2i D．－2i 答案 A解析由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.11．复数z＝11－i的共轭复数是()A.12＋12i B.12－12iC．1－i D．1＋i 答案 B解析 z ＝11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，z ＝12－12i ，故选B. 12．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝2＋i ，则z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝________. 答案 －6解析 z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝(z 4－4z 3＋6z 2－4z ＋1)－2＝(z －1)4－2＝(1＋i)4－2＝[(1＋i)2]2－2＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.14．i4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝________(n 为正整数)． 答案 0 15．已知(1－i )31＋i＝a ＋3i ，则a ＝________. 答案 －2－3i16．设z ∈C ，z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________. 答案 34＋i解析 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2. ∴a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i. ∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)若复数z ＝m 2＋m －2＋(2m 2－m －3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解析 由题意得z ＝m 2＋m －2－(2m 2－m －3)i. ∴⎩⎨⎧ m 2＋m －2>0，－(2m 2－m －3)>0，即⎩⎨⎧m 2＋m －2>0，2m 2－m －3<0， 解得1<m <32.18．(12分)计算(12＋32i)3.解析 方法一 ∵(12＋32i)3＝(12＋32i)2·(12＋32i)＝(－12＋32i)(12＋32i)＝(32i)2－(12)2＝－34－14＝－1.方法二 原式＝(12)3＋3×(12)2×32i ＋3×12×(32i)2＋(32i)3＝18＋338i －98－338i ＝－1.19．(12分)已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解析 (1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin 2θ)． (2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)． 由点P 在直线y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12.∴sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12.又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6，56π，76π，116π.20．(12分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，试求实数a 、b 的值．解析 化简得z ＝1＋i 代入方程，得 a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i.∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1， ∴⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4. 21．(12分)设z ＝(a 2－a －6)＋a 2＋2a －15a 2－4i(a ∈R )，试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由．解析 假设复数z 能为纯虚数，则⎩⎨⎧a 2－a －6＝0，a 2＋2a －15a 2－4≠0.∴⎩⎨⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠－5且a ≠3且a ≠±2.∴不存在a 使复数z 为纯虚数．22．(12分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解析 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， 得z 的实部为正数，z 的虚部为负数． ∴复数z 对应的点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎨⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2).消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．。
复数练习题(有答案)百度文库
一、复数选择题1．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --2．设复数1iz i=+，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12iC ．12-D ．12i -3．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9 D ．46- 4．若20212zi i =+，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．12i -D ．12i +5．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <-B ．1a >或2a <-C ．12a -<<D ．21a -<<6．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ） AB．C．D．8．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦9．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④C ．②③D ．①③10．若复数2i1ia -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） AB ．5C ．3D ．511．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i-+12．（ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i -13．已知i 为虚数单位，则43ii =-（ ） A ．2655i + B ．2655i - C ．2655i -+ D ．2655i -- 14．复数21ii+的虚部为（ ） A ．1-B ．1C ．iD ．i -15．已知i 是虚数单位，设11iz i，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、多选题16．若复数351iz i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限17．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 18．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z = 19．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =20．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限21．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限22．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>23．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为224．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =26．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数27．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=28．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( ) A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y == B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于129．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A ．1B ．4-C ．0D ．530．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( )A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：， . 故选：D. 解析：D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：()2211122z i i i i =-=-+=-，()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.2．A 【分析】根据复数除法运算整理得到，根据虚部定义可得到结果. 【详解】 ，的虚部为. 故选：.解析：A【分析】根据复数除法运算整理得到z ，根据虚部定义可得到结果. 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，z ∴的虚部为12.故选：A .3．C 【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可. 【详解】 解：所以的虚部为9. 故选：C.解析：C 【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可. 【详解】解：()()()32351223469i i i i +=-++=-+ 所以()323i +的虚部为9. 故选：C.4．C 【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得，所以. 故选：C解析：C 【分析】根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】 由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i =-. 故选：C5．A 【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果. 【详解】因为，，所以，， 所以或. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A 【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =，再解一元二次不等式可得结果. 【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->， 所以2a >或1a <-. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题.6．A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限， 故选：A解析：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A 7．B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.解析：B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.8．B 【分析】设，由是实数可得，即得，由此可求出. 【详解】 设，， 则，是实数，，则， ，则，解得， 故的实部取值范围是. 故选：B.解析：B 【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠， 则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220bb a b∴-=+，则221a b +=， 22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤，故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B.9．D 【分析】设，则，利用复数的运算判断. 【详解】 设，则， 故，， ，.故选：D.解析：D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b +-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.10．B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】 由复数（）为纯虚数，则 ，则 所以 故选：B解析：B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】由()()()()()()21i 2221112a i a a ia i i i i ----+-==++- 复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B11．D 【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解. 【详解】 设，则复数对应的向量， 因为向量与共线， 所以， 又， 所以， 解得或，因为复数对应的点在第三象限， 所以， 所以，，解析：D 【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈， 则复数z 对应的向量(),OZ a b =， 因为向量OZ 与(3,4)a =共线， 所以43a b =， 又10z =， 所以22100+=a b ， 解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩，因为复数z 对应的点在第三象限， 所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+， 故选：D12．B 【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果. 【详解】 复数. 故选：B解析：B 【分析】首先3i i=-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】3133i ii+====.故选：B13．C【分析】对的分子分母同乘以，再化简整理即可求解.【详解】，故选：C解析：C【分析】对43ii-的分子分母同乘以3i+，再化简整理即可求解.【详解】()()()434412263331055i ii iii i i+-+===-+--+，故选：C14．B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果. 【详解】，故虚部为1.故选：B.解析：B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi ab R+∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i iii i i-==+++-，故虚部为1.故选：B.15．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.二、多选题16．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.17．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z=，其中a R ∈，且0a ≠，则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误； 对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.19．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.20．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.21．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.22．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，2111102222ωω++=---++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．23．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围24．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．26．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．27．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 28．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 29．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤，∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)
复数的四则运算同步练习题一、选择题1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 复数－i ＋1i 等于( A ) A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i 7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19． 在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A)A.34B.43 C ．－43 D ．－3411． 若z ＝1＋2ii ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +113.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B （C （D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ） A ．1＋i B ．－1－i C ．1＋3i D ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于 （ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31i i+-=( D ) A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i29.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ C ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 3430.复数2(1)2i i-=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+2 34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是 （ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i 是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2.52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．P4。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ） A ．24i z =+ B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=2．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．03．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限6．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．5 C D ．2 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四10．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）A B C ．D ．12．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5CD ．13．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5BC ．10D 14．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +17．若5i2iz =+，则||z =（ ）A．2 B C ．D ．318．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．5二、填空题21．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 22．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．23．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 24．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________． 25．设i是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 26．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________. 27．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 28．计算：3i1i+=-___________. 29．已知i34i z =+，求|z |=___________30．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______． 31．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 32．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.33．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．34．已知23iz-＝－i ，则复数z ＝________． 35i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 36．已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________．37．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 38．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.39．若i 是虚数单位，则复数310i3i=-________．（写成最简结果）40．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.三、解答题41．设实部为正数的复数z，满足z =(12i)z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数z ； (2)若i()1im z m R ⋅+∈+为纯虚数，求实数m 的值. 42．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．43．已知复数()()222343i z m m m m =--+-+（m R ∈）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z ： (1)在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在第一象限.44．求数列{}n a ：112n n na a a ++=-的周期.45．由方程()31cos2πisin 2πz k k k ==+∈Z 得310z -=的三个根为()2π2πcosisin 02,33k k k k k ω=+≤≤∈Z ，则()()()321111z z z z ωω-=---．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了31z -的有理分解式．请你仿此将151z -进行有理分解．【参考答案】一、单选题 1．D 2．C 3．B 4．B 5．C 6．B8．A 9．B 10．B 11．B 12．B 13．D 14．D 15．D 16．B 17．B 18．C 19．B 20．B二、填空题21．13i+ 22．-22324．1 25．02627．2829．15##0.230．231．2i-+32．233．8334．3＋2i35．1-1-36．2312π37．239．13i +##3i 1+ 40．1 三、解答题41．(1)3i z =-； (2)6m =-. 【解析】 【分析】（1）根据复数的模公式，结合复数乘法的运算法则、第一、三象限的角平分线的性质进行求解即可；（2）根据纯虚数的定义，结合共轭复数的定义、复数除法的运算法则进行求解即可. (1)设i(0,),10,(12i)2(2)i z a b a b R z z a b b a =+>∈∴=+=-++， 由题意得，22223,101a b b a a a b b -=+=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩， 即3i z =-； (2)i i 3i 3(1)i 1i 222m m m m mz ⋅++=++=++++为纯虚数， 30,62mm ∴+=∴=-. 42．(1)2 (2)1i -+ 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i zz =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z = ∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i =++++⋅⋅⋅+()()()23456789102019202020212022i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i 000=++++⋅⋅⋅+1i =-+所以232022111122221i z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43．(1)1m =或3m = (2)1m =-或3m = (3)1m <-或3m > 【解析】 【分析】（1）由题意可得2430m m -+=，从而可求出m 的值， （2）由题意可得2230m m --=，从而可求出m 的值，（3）由题意可得22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，解不等式组可求得结果(1)点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2430m m -+=得1m =或3m =， ∴当1m =或3m =时，点Z 在实轴上； (2)点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，由2230m m --=得1m =-或3m =， ∴当1m =-或3m =时，点Z 在虚轴上； (3)点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0，由22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，即1313m m m m ⎧-⎪⎨⎪⎩或或，解得1m <-或3m >，∴当1m <-或3m >时，点Z 在第一象限. 44．周期为6. 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x x -+=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】 因为112n n na a a ++=-，所以特征方程为210x x -+=， 因为Δ14130=-⨯=-<，解得：m k == 所以2arg 36a mc a kc ππ-⎛⎫==⎪-⎝⎭， 所以函数()f x 的迭代周期为6T =. 所以数列{}n a 有周期6T =，45．()()()()()231411111z z z z z ωωωω----⋅⋅⋅-【解析】 【分析】根据题目所给的信息即可求解. 【详解】根据题目有理分解式原理可知151=0z -的15个根为()2π2πcosisin 0151514,k k k k k ω=+≤≤∈Z ， 则151z -()()()()()231411111z z z z z ωωωω=----⋅⋅⋅-.。
数学复数练习题附答案
数学复数练习题附答案数学复数练习题附答案复数是数学中一个重要的概念，它可以用来描述实数范围之外的数。
复数由实部和虚部组成，其中实部是一个实数，虚部是一个带有虚数单位i的实数。
在解决各种数学问题和物理问题中，复数起着重要的作用。
本文将提供一些复数练习题，并附带答案，以帮助读者更好地理解和掌握复数的概念和运算。
1. 计算下列复数的模和辐角：a) 3 + 4ib) -2 - ic) 5i答案：a) 模：|3 + 4i| = √(3^2 + 4^2) = 5辐角：θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°b) 模：|-2 - i| = √((-2)^2 + (-1)^2) = √5辐角：θ = arctan(-1/-2) ≈ -26.57°c) 模：|5i| = √(0^2 + 5^2) = 5辐角：θ = arctan(0/5) = 0°2. 计算下列复数的共轭复数：a) 2 + 3ib) -4 - 5ic) 6i答案：a) 共轭复数：2 - 3ib) 共轭复数：-4 + 5ic) 共轭复数：-6i3. 将下列复数写成极坐标形式：a) 1 + ib) -2 - 2ic) 3i答案：a) 极坐标形式：√2 * (cos(π/4) + i * sin(π/4))b) 极坐标形式：2√2 * (cos(3π/4) + i * sin(3π/4))c) 极坐标形式：3 * (cos(π/2) + i * sin(π/2))4. 计算下列复数的乘积：a) (2 + i)(3 - 2i)b) (4 - 3i)(-2 + i)c) (5i)(-2i)答案：a) 乘积：(2 + i)(3 - 2i) = 6 + i - 4i - 2i^2 = 6 - 3i - 2(-1) = 8 - 3ib) 乘积：(4 - 3i)(-2 + i) = -8 + 4i + 6i - 3i^2 = -8 + 10i + 3 = -5 + 10ic) 乘积：(5i)(-2i) = -10i^2 = -10(-1) = 105. 计算下列复数的商：a) (2 + i)/(3 - 2i)b) (4 - 3i)/(-2 + i)c) (5i)/(-2i)答案：a) 商：(2 + i)/(3 - 2i) = (2 + i)(3 + 2i)/(3^2 + 2^2) = (6 + 4i + 3i + 2i^2)/13 = (6 + 7i - 2)/13 = 4/13 + (7/13)ib) 商：(4 - 3i)/(-2 + i) = (4 - 3i)(-2 - i)/((-2)^2 + 1^2) = (-8 + 6i + 4i - 3i^2)/5 = (-8 + 10i + 3)/5 = -5/5 + (10/5)i = -1 + 2ic) 商：(5i)/(-2i) = 5i/(-2i) = -5/2通过以上练习题的解答，我们可以更好地理解复数的概念和运算。
复数运算的复数指数练习题
复数运算的复数指数练习题复数运算是数学中一个重要的概念，它涉及到复数的加减乘除等运算。
复数指数是复数的一种表示方式，常用于解决与三角函数相关的问题。
本篇文章将为大家提供一些复数运算的复数指数练习题，并以简洁美观的排版和流畅的语句进行讲解。
1. 计算复数的指数形式给定复数z = 3 + 4i，将其转化为指数形式。
解答：复数z的模长为|z| = √(3^2 + 4^2) = 5。
复数z的辐角为θ = arctan(4/3) ≈ 0.93 弧度。
因此，复数z的指数形式为：z = 5e^(0.93i)。
2. 复数指数的乘法计算复数z1 = 2e^(πi/6) 和 z2 = 3e^(-πi/4) 的乘积。
解答：将z1和z2写成直角形式：z1 = 2cos(π/6) + 2isin(π/6) = √3 + i，z2 = 3cos(-π/4) + 3isin(-π/4) = -3/√2 - 3/√2i。
将z1和z2相乘得到：z1 * z2 = (√3 + i)(-3/√2 - 3/√2i)= -3√3/√2 - 3√3/√2i - 3/√2i + 3/√2= (-3√3 - 3/√2) + (-3√3/√2 - 3/√2)i= -3√6 - 3√2i - 3√6i/√2 - 3i= (-3√6 + 3√6) + (-3√2/√2 - 3)i= -6 - 6i。
因此，z1 * z2 = -6 - 6i。
3. 复数指数的除法计算复数z1 = 4e^(πi/3) 除以z2 = 2e^(πi/4) 的商。
解答：将z1和z2写成直角形式：z1 = 4cos(π/3) + 4isin(π/3) = 2 + 2√3i，z2 = 2cos(π/4) + 2isin(π/4) = √2 + √2i。
将z1除以z2得到：z1 / z2 = (2 + 2√3i) / (√2 + √2i)= (2 + 2√3i)(√2 - √2i) / (√2 + √2i)(√2 - √2i)= (2√2 - 2√2i + 2√6i - 2√6) / (2 - 2i)= (√2 - √2i + √6i - √6) / (1 - i)= [(√2 - √6) + (√6 - √2)i] / (1 - i)= (√2 - √6 + √6 - √2)i / (1 - i)= (√2 - √2)i= -√2。
(完整版)复数练习题
(完整版)复数练习题一、单选题 1．如果1i12z =-，那么在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．5CD ．2 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．i -D ．1- 10．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ） A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i12．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 513．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞ 14．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ） A ．5BC ．10D15．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i + C ．1117i - D ．1923i +16．若5i2iz =+，则||z =（ ） A ．2 BC．D ．317．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i18．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-二、填空题21．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________22．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 23．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．已知i34i z =+，求|z |=___________ 26．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 27．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________． 28．若()1i 1i z +=-，则z =_______29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.31．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.34．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．35．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.36．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 37．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．38．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 39．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．40．设12z i =-，则z =___________ . 三、解答题41．已知复数z满足||z =z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ､B ､C ，求△ABC 的面积. 42．已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+． (1)求z ；(2)若z 是关于x 的方程()20,x px q p q R ++=∈的一个根，求复数()4i zp q +-的模．43．已知复数()()()22232i R z m m m m m =--++-∈，． (1)若0z >，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z z ⋅的值． 44．求数列{}n a ：112n n na a a ++=-的周期. 45．判断下列命题的真假． (1)任何复数的模都是非负数； (2)x 轴是复平面的实轴，y 轴是虚轴；(3)若1z =，2z =，3z =42i z =-，则这些复数的对应点共圆； (4)cos isin θθ+，最小值为0．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 11．D 12．A14．D15．B16．B17．D18．D19．B20．C二、填空题21．i22．13i+##3i+1 23．24．四25．15##0.226 27．-2 28．i 29．2-30．1 31．032．825i 6 25 -33．1##1+ 34．[]4,635．236．－1＋2i##2i－13738．239．140三、解答题41．(1)1iz=+或1iz=--【解析】 【分析】（1）设()i ,R z x y x y =+∈，根据已知条件列方程求得,x y ，由此求得z . （2）求得,,A B C 的坐标，从而求得三角形ABC 的面积. (1)设()i ,R z x y x y =+∈，222x y +=①，2222i z x y xy =-+的虚部为2，所以22,1xy xy ==②，由①②解得11x y =⎧⎨=⎩或11y x =-⎧⎨=-⎩. 所以1i z =+或1i z =--. (2)当1i z =+时，22i z =，21i z z -=-， 所以()()()1,1,0,2,1,1A B C -，2AC =，所以三角形ABC 的面积为11212⨯⨯=. 当1i z =--时，22i z =，213i z z -=--， 所以()()()1,1,0,2,1,3A B C ----，2AC =，所以三角形ABC 的面积为12112⨯⨯=.42．(1)12z i =+； (2)1. 【解析】 【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据复数的运算以及复数相等，即可求得结果； （2）将（1）中所求z 代入方程，根据复数相等求得,p q ，结合复数的运算，即可求得()4i zp q ++及其模长.(1)设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+，所以332a b =⎧⎨=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以i 12z =+.(2)将i 12z =+代入已知方程可得()()212i 12i 0p q ++++=， 整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=⎧⎨+-=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩，所以()()()()()12i 2i 12i 5ii 4i 2i 2i 2i 5z p q +--+-====-+--+-+--，又i 1-=， 所以复数()4i zp q +-的模为1. 43．(1)2m =- (2)4或100 【解析】 【分析】（1）根据复数0z >，可知z 为实数，列出方程，解得答案；（2）根据z 是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案. (1)因为0z >，所以R z ∈，所以220m m +-=，所以2m =-或1m =． ①当2m =-时，50z =>，符合题意； ②当1m =时，40z =-<，舍去． 综上可知：2m =-． (2)因为z 是纯虚数，所以2223020m m m m ⎧--=⎨+-≠⎩，所以1m =-或3m =,所以2i z =-，或10i z =,所以2i 2i 4z z ⋅=-⨯=或10i (10i)100z z ⋅=⨯-=, 所以4z z ⋅=或100． 44．周期为6. 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x x -+=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】 因为112n n na a a ++=-，所以特征方程为210x x -+=， 因为Δ14130=-⨯=-<，解得：m k ==所以2arg 36a mc a kc ππ-⎛⎫==⎪-⎝⎭， 所以函数()f x 的迭代周期为6T =. 所以数列{}n a 有周期6T =， 45．(1)真命题； (2)真命题； (3)真命题； (4)假命题； 【解析】 【分析】由复数模长公式判断（1），由复平面的定义判断（2），根据复数的模长判断（3），由模长计算公式求解cos isin θθ+，判断（4）. (1)真命题，若()i ,z a b a b R =+∈，则0z =≥，故该命题为真命题； (2)真命题，由复平面的定义可知，x 轴是实轴，y 轴是虚轴，故该命题为真命题； (3)真命题，因为3124z z z z ===(4)假命题，cos isin 1θθ+==为定值，所以其最大最小值均为1，故该命题为假命题.。
数学复数练习题附答案
数学复数练习题附答案数学复数练习题附答案数学是一门抽象而又实用的学科，而复数是数学中一个非常重要的概念。
复数由一个实数部分和一个虚数部分组成，虚数部分以虚数单位i表示。
在实际应用中，复数常常用于描述电路中的交流电信号、量子力学中的波函数等。
为了帮助读者更好地理解和掌握复数的概念和运算规则，下面将提供一些复数练习题，每道题都附带答案和解析。
1. 计算下列复数的实部和虚部：a) 3 + 4ib) -2 - 5ic) 7i答案和解析：a) 实部为3，虚部为4b) 实部为-2，虚部为-5c) 实部为0，虚部为72. 计算下列复数的共轭复数：a) 2 + 3ib) -4 - 6ic) 5i答案和解析：a) 共轭复数为2 - 3ib) 共轭复数为-4 + 6ic) 共轭复数为-5i3. 将下列复数写成极坐标形式，并计算其模和辐角：a) 1 + ib) -3 - 3ic) 4i答案和解析：a) 极坐标形式为√2 * (cos(π/4) + isin(π/4))，模为√2，辐角为π/4b) 极坐标形式为3√2 * (cos(5π/4) + isin(5π/4))，模为3√2，辐角为5π/4c) 极坐标形式为4 * (cos(π/2) + isin(π/2))，模为4，辐角为π/24. 计算下列复数的乘积：a) (2 + 3i)(4 - i)b) (-3 + 2i)(1 + 5i)c) (2i)(3 - 4i)答案和解析：a) 乘积为(11 + 10i)b) 乘积为(-13 - 13i)c) 乘积为(8 + 6i)5. 计算下列复数的商：a) (3 + 2i)/(1 - i)b) (-4 - 3i)/(2 + 3i)c) (5i)/(2 - i)答案和解析：a) 商为(-1.25 + 2.25i)b) 商为(-1 - 2i)c) 商为(-5i)通过以上练习题，读者可以巩固对复数的实部、虚部、共轭复数、极坐标形式以及复数的乘法和除法运算的理解。
(完整版)复数基础练习题
(完整版)复数基础练习题一、单选题1．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+ 2．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(2,1)- D ．(1,2)-- 3．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．25．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --8．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．511．已知复数z 满足(2i)43i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i12．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32- D ．3i 2-13．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-14．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 15．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 16．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5BC ．10D 17．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2 B C ．D ．318．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 19．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +20．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.22．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________. 23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________.24．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 25．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 26．若复数2iiz -=-，则z =_______． 27．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．28．若()1i 1i z +=-，则z =_______29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________. 31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________. 32．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.33．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______． 34．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________． 35．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 36．计算：112i2i-=+___________. 37．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 38．已知复数2i4i ia b +=-，,R a b ∈，则a b +=______. 39．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 40．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 三、解答题41．已知复数z 满足：i 1i z +=-． (1)求z ； (2)求1iz+的模． 42．在复平面内指出与复数z1＝－1，z 2＝2－i ，z 3＝－i ，z 43i 对应的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．43．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为45，向量OZ 对应的复数z 的模为1，求z .44．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值.45．求实数m 取何值时，复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z ；(1)位于第二象限； (2)位于第一或第三象限； (3)在直线10x y --=上．【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．D 10．B 11．B 12．C 13．C 14．D 15．B 16．D 17．B 18．C19．C 20．D 二、填空题 21．52223．1 24．3- 25．1 26．12i - 27．43i -##3i 4-+ 28．i 29．2- 30．9 3132．13i + 33．[]4,6 34．－5i##－5i －35．1236．43i -##3i 4-+ 37．13i +##3i 1+ 38．6 39．1 40．三、解答题41．(1)12i +【解析】 【分析】（1）先求出12z i =-，再求出z ；（2）先利用复数除法法则化简得1i 2i 321z --=+，从而求出模长. (1)12z i =-，12i z =+(2)()()()()2212i 1i 12i 13i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 1i 222----+--====--++--，故 22119101i 223442z ⎛⎫⎛⎫=-+-=+=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 42．答案见解析 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. 【详解】解：由题意知Z 1（－1，2 ），Z 2（2，－1），Z 3（0，－1），Z 4（3 ，3）,如下图所示，在复平面内，复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量分别为1OZ ，234,,OZ OZ OZ . 43．22z =或22z = 【解析】 【分析】由题，OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 可能在第一象限或第四象限，设出Z 的坐标，结合OZ 对应的复数z 的模为1列式，即可求解. 【详解】由题，向量OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 在第一象限或第四象限， 设点Z 的坐标为(,)a b ，则0a >，b a =，又221z a b =+， 故可解得22a b ==2b =，所以22z =+或22z =. 44．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析(3)1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值. (1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=， 当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1. 45．(1)102m -<<或12m <<； (2)12m <-或01m <<或2m >； (3)1m =-或3. 【解析】 【分析】（1）可得点Z 的坐标为()22232,m m m m ---，然后可得2223200m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩，解出即可；（2）可得2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或2223200m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩，解出即可；（3）将点Z 的坐标代入直线的方程求解即可. (1)复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z 的坐标为()22232,mm m m ---若点Z 位于第二象限，则222320m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩，解得102m -<<或12m <<(2)若点Z 位于第一或第三象限，则2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或222320m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩ 解得12m <-或01m <<或2m > (3)若点Z 在直线10x y --=上，则2223210m m m m ---+-= 解得1m =-或3。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-2．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．03．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-14．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ） A ．sin 30°＋icos 30° B ．cos 160°＋isin 160° C ．cos 30°＋isin 30° D ．sin 160°＋icos 160°5．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③ 7．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-8．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）10．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）A B C ．D ．12．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 13．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．i D ．1- 14．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．1015．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．216．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5C D ．17．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-18．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ） A ．12 B ．3C ．D ．919．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +二、填空题21．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________.22．已知i是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．已知复数zi =，i 为虚数单位，则z =______ 24．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 25．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 26．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 27．设12z i =-，则z =___________ .28．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________.29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 31．若i 是虚数单位，则复数310i3i=-________．（写成最简结果） 32．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．33．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________34．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．36．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 37．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________． 38．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.三、解答题41．已知z 是虚数，求证：4z z+是实数的充要条件是2z =．42．已知()122i z x =+-，()()2234i z y x =++-，其中,x y 均为实数，且12z z =，求43．已知复数64i1im z -=+（,i m ∈R 是虚数单位）． (1)若z 是实数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m 的取值范围．44．若复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，求实数a 应满足的条件．45．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．【参考答案】一、单选题 1．C 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B13．D14．B15．A16．B17．B18．C19．D20．B二、填空题21．12223．1241##1-25．1i-##i+1-262728．－4＋3i##3i-4 29．2-.30．231．13i+##3i1+ 32．-233．i4,634．[]35．8336．－1＋2i##2i－15i##－5i－37．－38．139．9π40．35三、解答题41．证明见解析 【解析】 【分析】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠，由复数运算化简得2222444i xyz x y z x y x y⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；当2z =时，可得42z x R z +=∈，证得充分性；当4z z+是实数时，可得224x y +=，必要性得证；由此可得结论.【详解】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠， 则2222224444i 44i i i i x y x y z x y x y x y zx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 当2z =时，224x y +=，则2240y y x y -=+，2242xx x R x y +=∈+， 42z x R z ∴+=∈，即4z z +是实数，充分性成立； 当4z z+是实数时，2240yy x y-=+，又0y ≠，224x y ∴+=，即2z =，必要性成立；4z z∴+是实数的充要条件是2z =. 42．21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】 【分析】根据复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】12z z =，23242y x x +=⎧∴⎨-=-⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩. 43．(1)32m =- (2)32m > 【解析】 【分析】（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可.(1)(64i)(1i)32(32)i (1i)(1i)m z m m --==--++-，因为z 为实数，所以320m +=，解得32m =-. (2)因为z 是z 的共轭复数，所以32(32)i z m m =-++， 所以469(1015)i z z m m -=-++因为复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限， 所以690m ->，同时10150m +>解得32m >. 44．a ＝0或2 【解析】 【分析】y 轴为虚轴，虚轴上的数，实部为零，据此即可求解. 【详解】∵复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，∴220a a -=，解得2a =或0a =. 45．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，.。
数学复数练习题有答案
数学复数练习题有答案1. 计算复数 \( z = 3 + 4i \) 的共轭复数，并求出 \( z \) 的模长。
答案：共轭复数为 \( 3 - 4i \)，模长为 \( 5 \)。
2. 已知复数 \( a = 2 + 3i \) 和 \( b = 1 - 2i \)，求 \( a + b \) 和 \( a - b \)。
答案：\( a + b = 3 - i \)，\( a - b = 1 + 5i \)。
3. 计算复数 \( z = 1 + 2i \) 与 \( w = 4 - 3i \) 的乘积。
答案：\( zw = -5 + 11i \)。
4. 将复数 \( z = 2 + 5i \) 转换为极坐标形式，并求出其辐角。
答案：极坐标形式为 \( 5\angle \arctan(\frac{5}{2}) \)，辐角为 \( \arctan(\frac{5}{2}) \)。
5. 已知复数 \( z = 3 - 4i \)，求 \( z^2 \)。
答案：\( z^2 = -7 - 24i \)。
6. 计算复数 \( z = 1 + i \) 的倒数。
答案：\( \frac{1}{z} = \frac{1 - i}{2} \)。
7. 已知 \( |z| = 5 \) 且 \( \arg(z) = \frac{\pi}{3} \)，求复数 \( z \)。
答案：\( z = 5\left(\cos\frac{\pi}{3} +i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2.5 + 2.5i \)。
8. 将复数 \( z = 4 + 3i \) 转换为三角形式，并求出其辐角。
答案：三角形式为 \( 5\left(\cos\arctan\frac{3}{4} +i\sin\arctan\frac{3}{4}\right) \)，辐角为\( \arctan\frac{3}{4} \)。
9. 计算复数 \( z = 2 - 3i \) 的实部和虚部。
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(完整)复数运算习题
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复数运算习题
一．选择题（共13小题)
1．（2016•淮南一模）复数的虚部是( ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．（2016•眉山模拟）已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为( ）
A．1+i B．l﹣i C．﹣l+i D．﹣l﹣i
3．(2016•黄浦区一模）已知复数z，“z+=0"是“z为纯虚数”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也不必要条件
4．（2016•临沂一模）复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i(i为虚数单位)，则实数a的值为( ）A．﹣3 B．3 C．﹣D．
5．（2016•广西一模）在复平面内，复数+2i2对应的点位于( ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2016•白山一模）若=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位），则a﹣b等于( ）
A．B．1 C．0 D．﹣1
7．（2016•衡阳一模）如图，在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（)
A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i
8．（2016•河西区模拟)已知复数z 1=3﹣i,z2=1+i，是z1的共轭复数，则=( )
A．1+i B．1﹣i C．2+i D．2﹣i
（2016•青浦区一模）复数（a∈R，i是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于( ）9．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（2015•新课标II）若a为实数且，则a=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
11．(2015•静安区一模）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数
的点是（)
A．M B．N C．P D．Q
12．(2015•固原校级一模)若复数（i为虚数单位,a∈R）在复平面内对应点在第四象限，则a的取值范围为（)
A．{a|a＜﹣6｝B．C．D．
13．（2015•海南模拟）已知i是虚数单位,m∈R，且是纯虚数，则()2011的值为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
二．填空题（共5小题）
14．（2015•曲阜市校级模拟)若=1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则
a+b= ．
15．（2015秋•启东市校级期末)复数z满足|z﹣2+i｜=1，则|z+1﹣2i｜的最小值
为．
16．（2015春•淮安校级期末）定义：若z2=a+bi(a，b∈R,i为虚数单位），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，则复数﹣3+4i的平方根是．
17．（2015秋•大丰市校级期末）已知复数z=x+yi（x，y∈R,x≠0）且｜z﹣2|=，则的范围为．
18．（2015春•常州期中）设x是纯虚数，y是实数，且2x﹣1+i=y﹣（3﹣y)i，则|x+y｜
= ．。