因式分解经典题与解析

2013组卷

1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：

x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

=（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

=…

解决下列问题：

（1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；

（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3；

（3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5．

2．请看下面的问题：把x4+4分解因式

分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢

19世纪的法国数学家菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）

人们为了纪念菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲•热门的做法，将下列各式因式分解．

（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．

3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．

解：设x2﹣4x=y

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y2+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2﹣4x+4）2（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________ ．

A、提取公因式B．平方差公式

C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底_________ ．（填“彻底”或“不彻底”）

若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________ ．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．

4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数围）的整数值a，并且将其进行因式分解．

5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．

6．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．

7．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．

8．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：

解：2x2+8x+10

=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）

=2（x2+4x+22﹣22+5）

=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）

=2（x+2）2+2 （去掉中括号）

因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．

请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．

9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；

乙：三次项系数为1；

丙：这个多项式的各项有公因式；

丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；

若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．

10．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．

11．观察强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：

解：设x2+6x=y，则

原式=（y+10）（y+8）+1

=y2+18y+81

=（y+9）2

=（x2+6x+9）2

（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_________ ．

（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．

12．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．

（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①

=（1+x）2（1+x）②

=（1+x）3③

①上述分解因式的方法是_________ ，由②到③这一步的根据是_________ ；

②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是_________ ；

③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．

13．阅读下面的材料并完成填空：

因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有

x2+px+q=（x+a）（x+b）．

如分解因式x2+5x+6．

解：因为2×3=6，2+3=5，

所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．

再如分解因式x2﹣5x﹣6．

解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，

所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．

同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．

因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．

答案

1．请看下面的问题：把x4+4分解因式

分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢

19世纪的法国数学家菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）

人们为了纪念菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲•热门的做法，将下列各式因式分解．

（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．

考点：因式分解-运用公式法．

专题：阅读型．

分析：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．

解答：解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，

=（x2+2y2）2﹣4x2y2，

=（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；

（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，

=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，

=（x﹣a）2﹣（a+b）2，

=（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），

=（x+b）（x﹣2a﹣b）．

点评：本题考查了添项法因式分解，难度比较大．