模糊决策与分析方法汇总
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A (x) A (a) A (b)，
则称A为一个凸模糊集。 如下图，左为凸模糊集，右不为凸模糊集。
axb
ax b
性质：(1)A是凸模糊集 A的任意截集A是一个区间， [0，1]。
证： 对任 [0，1]，若x，z A，即A (x) ，A(z) 。 不妨设x z，则对任y [x，z]，A ( y) A (x) A (z) ，
y A，这说明，若两点在A中，则以两点为端点的整 个区间也包含于A， A只能是一个区间。（注：这里关 键要证是一个区间而非多个）。
对任x y z，取 A (x) A (z)，则x，z A，而A 是区间， y A，即A ( y) A (x) A (z)，即A为凸
模糊集。
(2)A，B是凸模糊集 A B也是凸模糊集。（自证）。
五、模糊统计决策 1、普通统计决策（贝叶斯决策） 2、模糊统计决策（模糊贝叶斯决策）
六、模糊矩阵对策 1、普通矩阵对策 2、模糊矩阵对策
七、模糊数据包络分析 1、普通数据包络分析 2、模糊数据包络分析
八、应用
第一节 模糊数学的基本知识
扎德的三个里程碑：
1965 模糊集
1975 扩张原理
1978 可能性理论
1、水平截集
模糊集A的水平截集A x X | A (x) ，
[0，1]。
1
A x
例1：扎德给出了一个“年轻人”的隶属函数：
1
A
(
x)
1
(
x
1 25 5
)
2
求A的 0.5的水平截集。
0 x 25 25 x 200
解：A0.5＝ x [0，200] | A (x) 0.5 ，而由A (x) 0.5，
模糊决策与分析方法
主讲人
天津大学管理学院
杜纲
目录
一、模糊数学的基本知识 1、模糊集及其隶属函数 2、模糊集的分解定理与扩张原理 3、模糊数 4、可能性分布与模糊概率
二、模糊线性规划 1、约束不等式有宽容度的模糊线性规划 2、系数是模糊数的模糊线性规划 3、区间规划
三、模糊线性回归
1、普通线性回归 2、模糊线性回归 3、应用举例 四、模糊层次分析法(FAHP) 1、普通层次分析法(AHP) 2、基于模糊（互补）一致矩阵的FAHP 3、基于三角模糊数（互补）一致矩阵的FAHP 4、基于区间数判断矩阵的FAHP
证明：要证两个集合相等，应证其隶属函数相等。
A
(
x)
(
[0，1]
A
( x))
[ 0，1]
[
A
(
(x)
A
(
x))]
[
A (
(
x)
A
(
x))]
(
A ( x)
A
( x))
A ( x)
A ( x)
A A
[0，1]
分解定理的意义：模糊集可表示为普通集的并集。
A
3、扩张原理
（1）回顾映射的概念：f : X Y
2、分解定理
定理：设A为X 论域中的一个模糊集，A是A的截 集， [0，1]。则下面的分解式成立：
A A
[0，1]
其中 A称为数与A的乘积，仍为一个集合。
其隶属函数为：
A (x) 0
x A x A
A
1
A
而
1
A (x) 0
x A x A
故A (x)可表示为 A (x)
A
1 A
但A (x1) 0，A (x2 ) 1，显然应有： f (A) ( y) 1。
因此应有： f (A) ( y)
f (x)y
A ( x)
（2）扩张原理：设映射f : X Y，模糊集A X，则
A经f 映射后为Y中模糊集f ( A)， f (A) ( y) sup A (x)。
f (x)y
优化
应用：模糊决策与分析
评价 预测
控制
一、模糊集及其隶属函数
1、论域X（研究对象的全体、全集）
普通集A：边界清晰 模糊集A：边界模糊 2、特征函数与隶属函数
A A X
A的特征函数
A
(
x)
1 0
x A x A
A的隶属函数A (x) x隶属于A的程度。
当X R1时， A
A
X
3、正则模糊集A：max x
2、模糊数 (1)模糊数
R1中的正则模糊集I，若其任意截集I是一个闭区间， 则称I是一个模糊数。 [0，1]
几何表示：（模糊数与凸模糊集的区别）
Βιβλιοθήκη Baidu
是开区间
1
1
比较：
模糊数
正则，即的最大值为1 左（右）连续
凸模糊集
的最大值可以小于1
普通集A X，f ( A) Y，
X
AA
f ( A) y Y | 有x A，使f (x) y
那么f ( A)的特征函数 f ( A) ( y) ?
f (A) f (A)
Y
y
f (x)
f (A) y
x1
x2
A
x
分析合理的定义：当f 为单射， 可A (x) f (A) ( y)；
当f 为非单射，如图，f (x1) f (x2 ) y，
即[1 ( x 25)2 ]1 5
0.5，解得：X
30， A0.5
[0，30]。
含义：30岁以下者隶属于“年轻”的程度不低于0.5。
A ( x)
1 A 0.5
0
25
200
练习：扎德给出了一个“年老人”的隶属函数：
0
B
(
x)
[1
(
x
50 5
)2
]1
求B的 0.5的水平截集。
0 x 50 50 x 200
A
(
x)
1
4、模糊集的表示：A A (x)，
Xx
当X为有限论域时，X x1，，xn
A A (x1) A (xn )
x1
xn
5、模糊集的运算：
A B：仍为X中一个模糊集：A B (x) A (x) B (x)
A B：仍为X中一个模糊集：A B (x) A (x) B (x)
二、模糊集的分解定理与扩张原理
a
b
c
1 0.1 0.9 ab c
（3）多元扩张原理
f
:
X1
X2
Y，A1
X1，A2
X
，
2
( y) f ( A1A2 )
f
(
x1，x2
)
(
y
A1
(
x1
)
A2 (x2 ))
注：这里取最小是因为在直观上，若A1 (x1)＝0
则f (x1，x2 )无意义。
A1 X1
A2
X2
Y
三、模糊数 1、凸模糊集 A为R1中的模糊集，若对任a x b，有
直观解释：
y
f (x)
f (A)
x
A
x
对于有限论域X x1， ，xn，sup即为。
例2：设X 1，2，……，6，Y a，b，c，d，
a，x 1，2，3 f (x) b，x 4，5
c，x 6
A 1 0.2 0.1 0.9 13 5 6
求f ( A)
解：f ( A) sup1，0，0.2 sup0，0.1 0.9
则称A为一个凸模糊集。 如下图，左为凸模糊集，右不为凸模糊集。
axb
ax b
性质：(1)A是凸模糊集 A的任意截集A是一个区间， [0，1]。
证： 对任 [0，1]，若x，z A，即A (x) ，A(z) 。 不妨设x z，则对任y [x，z]，A ( y) A (x) A (z) ，
y A，这说明，若两点在A中，则以两点为端点的整 个区间也包含于A， A只能是一个区间。（注：这里关 键要证是一个区间而非多个）。
对任x y z，取 A (x) A (z)，则x，z A，而A 是区间， y A，即A ( y) A (x) A (z)，即A为凸
模糊集。
(2)A，B是凸模糊集 A B也是凸模糊集。（自证）。
五、模糊统计决策 1、普通统计决策（贝叶斯决策） 2、模糊统计决策（模糊贝叶斯决策）
六、模糊矩阵对策 1、普通矩阵对策 2、模糊矩阵对策
七、模糊数据包络分析 1、普通数据包络分析 2、模糊数据包络分析
八、应用
第一节 模糊数学的基本知识
扎德的三个里程碑：
1965 模糊集
1975 扩张原理
1978 可能性理论
1、水平截集
模糊集A的水平截集A x X | A (x) ，
[0，1]。
1
A x
例1：扎德给出了一个“年轻人”的隶属函数：
1
A
(
x)
1
(
x
1 25 5
)
2
求A的 0.5的水平截集。
0 x 25 25 x 200
解：A0.5＝ x [0，200] | A (x) 0.5 ，而由A (x) 0.5，
模糊决策与分析方法
主讲人
天津大学管理学院
杜纲
目录
一、模糊数学的基本知识 1、模糊集及其隶属函数 2、模糊集的分解定理与扩张原理 3、模糊数 4、可能性分布与模糊概率
二、模糊线性规划 1、约束不等式有宽容度的模糊线性规划 2、系数是模糊数的模糊线性规划 3、区间规划
三、模糊线性回归
1、普通线性回归 2、模糊线性回归 3、应用举例 四、模糊层次分析法(FAHP) 1、普通层次分析法(AHP) 2、基于模糊（互补）一致矩阵的FAHP 3、基于三角模糊数（互补）一致矩阵的FAHP 4、基于区间数判断矩阵的FAHP
证明：要证两个集合相等，应证其隶属函数相等。
A
(
x)
(
[0，1]
A
( x))
[ 0，1]
[
A
(
(x)
A
(
x))]
[
A (
(
x)
A
(
x))]
(
A ( x)
A
( x))
A ( x)
A ( x)
A A
[0，1]
分解定理的意义：模糊集可表示为普通集的并集。
A
3、扩张原理
（1）回顾映射的概念：f : X Y
2、分解定理
定理：设A为X 论域中的一个模糊集，A是A的截 集， [0，1]。则下面的分解式成立：
A A
[0，1]
其中 A称为数与A的乘积，仍为一个集合。
其隶属函数为：
A (x) 0
x A x A
A
1
A
而
1
A (x) 0
x A x A
故A (x)可表示为 A (x)
A
1 A
但A (x1) 0，A (x2 ) 1，显然应有： f (A) ( y) 1。
因此应有： f (A) ( y)
f (x)y
A ( x)
（2）扩张原理：设映射f : X Y，模糊集A X，则
A经f 映射后为Y中模糊集f ( A)， f (A) ( y) sup A (x)。
f (x)y
优化
应用：模糊决策与分析
评价 预测
控制
一、模糊集及其隶属函数
1、论域X（研究对象的全体、全集）
普通集A：边界清晰 模糊集A：边界模糊 2、特征函数与隶属函数
A A X
A的特征函数
A
(
x)
1 0
x A x A
A的隶属函数A (x) x隶属于A的程度。
当X R1时， A
A
X
3、正则模糊集A：max x
2、模糊数 (1)模糊数
R1中的正则模糊集I，若其任意截集I是一个闭区间， 则称I是一个模糊数。 [0，1]
几何表示：（模糊数与凸模糊集的区别）
Βιβλιοθήκη Baidu
是开区间
1
1
比较：
模糊数
正则，即的最大值为1 左（右）连续
凸模糊集
的最大值可以小于1
普通集A X，f ( A) Y，
X
AA
f ( A) y Y | 有x A，使f (x) y
那么f ( A)的特征函数 f ( A) ( y) ?
f (A) f (A)
Y
y
f (x)
f (A) y
x1
x2
A
x
分析合理的定义：当f 为单射， 可A (x) f (A) ( y)；
当f 为非单射，如图，f (x1) f (x2 ) y，
即[1 ( x 25)2 ]1 5
0.5，解得：X
30， A0.5
[0，30]。
含义：30岁以下者隶属于“年轻”的程度不低于0.5。
A ( x)
1 A 0.5
0
25
200
练习：扎德给出了一个“年老人”的隶属函数：
0
B
(
x)
[1
(
x
50 5
)2
]1
求B的 0.5的水平截集。
0 x 50 50 x 200
A
(
x)
1
4、模糊集的表示：A A (x)，
Xx
当X为有限论域时，X x1，，xn
A A (x1) A (xn )
x1
xn
5、模糊集的运算：
A B：仍为X中一个模糊集：A B (x) A (x) B (x)
A B：仍为X中一个模糊集：A B (x) A (x) B (x)
二、模糊集的分解定理与扩张原理
a
b
c
1 0.1 0.9 ab c
（3）多元扩张原理
f
:
X1
X2
Y，A1
X1，A2
X
，
2
( y) f ( A1A2 )
f
(
x1，x2
)
(
y
A1
(
x1
)
A2 (x2 ))
注：这里取最小是因为在直观上，若A1 (x1)＝0
则f (x1，x2 )无意义。
A1 X1
A2
X2
Y
三、模糊数 1、凸模糊集 A为R1中的模糊集，若对任a x b，有
直观解释：
y
f (x)
f (A)
x
A
x
对于有限论域X x1， ，xn，sup即为。
例2：设X 1，2，……，6，Y a，b，c，d，
a，x 1，2，3 f (x) b，x 4，5
c，x 6
A 1 0.2 0.1 0.9 13 5 6
求f ( A)
解：f ( A) sup1，0，0.2 sup0，0.1 0.9